(第十章)排队论精品文档24页

排队系统的优化设计
设计一个未来的排队系统，使系统的总费用最 小。
以稳态系统单位时间的平均总费用来计量
单位时间系统的平均总费用=单位时间的服务费用+
Lq
( / )
2 P0
c
P0
n 0
(
c 1
n! / )
n
c!
c
( / ) ( c
)
c
1
举例(储蓄所的排队系统)
相同的成本，不 同的服务水平
0 .6 , 0 .8 ,c 2 0.6,0.8
2 台服务器，排1队 P ( 6 ) 0 .4 % P q 20 . 45 % W s 1 . 4545 W q 0 . 2045 L s 0 . 8727 L q 0 . 1227 P 0 45 . 45 %
服务器
服务器的数量：单台？多台？ 服务器的结构形式：串联？并联？ 服务方式：单个？成批？ 服务时间：确定的？随机的？
排队系统的数量指标
用几个数量指标描述排队系统的状况，从而反 映服务水平的优劣
平均排队的顾客数Lq 系统中的平均顾客数Ls 一位顾客的平均排队时间Wq 一位顾客在系统中的平均逗留时间Ws 系统中没有顾客的概率P0 顾客必须排队等待的概率Pq 系统中有n个顾客的概率Pn
方法二0.：3,增加一0.台8服务器(2队)
P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
M/M/c/∞/∞/FCFS
• 多台服务器，服务器数量为c
1.理发店的利用率不低于60%； 2.一个顾客的平均等待时间少于5分钟
这是M/M/c的排队模型，其中
10 ,3 c待定
c 3c 利用率 ： 10 1
c 3c 10 60 %
4≤c≤5.56 当c=4时，Wq=0.329小时=19.74分钟 当c=5时，Wq=0.065小时=3.9分钟 故满足上述两个条件的理发师人数为5人
主要数量指标公式
c!c
P (n )
(
(n c )
/ )
P0,(n
c)
n
n! P (n ) ( / ) P0 ,(n c )
n
c!
c
Pq
1
(
)( c
c
)P0
W sW q 1
Wq
Lq
Ls Lq
( c 1 )! ( c )

顾客必须排队等待的概率 Pq

系统中有n个顾客的概率
Pn

(

) n
P0
举例(储蓄所的排队系统)
每分钟平均到达人数 0.6，每分钟平均服
务人数 0.8，该系统的主要指标为：
P q 75 %
系统中的顾客数 概率
W s 5
0
25%
W q 3 . 75
1
18.75%
2
14.06%
值越大，顾客 越不满意
M/M/1/∞/∞/FCFS
•
顾客随机到达 (泊松到达)
• 单位时间顾客到达的平均人数为
(平均到达速度)
• 随机服务时间(负指数服务时间)
• •
单位时间服否务则的队顾会客越的来平越均长人，数系统永(平远均达服不务到速稳度态)

•


称为服务强度或服务器的利用率
• 单台服务器
任何等待一项服务的人或物称为顾客
任何提供这项服务的人或物称为服务器
以顾客排队的时间来评判服务的质量
排队问题无法完全消除。通过增加服务器或提 高服务速度可减少排队现象，但这样又会增加 成本。
管理排队问题时，需要在服务器数量与成本之间求 得平衡
排队系统
顾客到达
排队
服务器
服务后离去
排队系统
Chapter Twelve
Queueing Theory /Waiting Line Models 排队论
当顾客想要一项服务，而服务器又在忙，所以 不得不等候时就形成排队
排队
有形排队：乘客在车站等车，病人排队看病，顾 客在超市排队付款，等等
无形排队：电话呼叫，计算机中程序或指令的处理
系统输入：顾客按怎样的规律到达系统
顾客总体数：有限？无限？ 顾客到达方式：单个？成批？ 顾客到达的间隔：确定的？随机的？
排队与服务规则
排队：单队？多队？(每个服务器前排一队) 服务规则：FCFS(先到先服务)？LCFS(后到先服务)？
SIRO(随机服务)？PR(有优先权的先服务)？
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队

系统中没有顾客的概率 百度文库0 1
( ) 平均排队的顾客数 Lq
2
系统中的平均顾客数 Ls Lq

一位顾客的平均排队时间 W q L q

一位顾客在系统中的平均逗留时间 Ws Wq 1
• 顾• 客平均随到机达到速达度(泊松到达)
•
随机服务时间(负指数服务时间)
• 每台c服 务器的平均服务速度 ，其中
c

•

称为服务强度或服务器的利用率
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队
服务器1
顾客到达
排队
服务器2 服务器3
服务后离去
多台服务器的排队系统
2 台服务器，2队 P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
举例
某理发店有若干名理性师，并有足够的 位置接待人们排队等待理发。顾客到达 间隔服从参数为10(人/小时)的负指数分 布，每名顾客的理发时间服从均值为20 分钟的负指数分布。理发店经理希望确 定满足下述两个条件的理发师人数：
Ls 3
3
10.55%
L q 2 . 25
4
7.91%
5
5.93%
P 0 25 %
6 7或7以上
4.45% 13.35%
改进排队系统
方法一0：.6,提高服1务速度
P ( 7 ) 2 . 79 % P q 60 % W s 2 .5 W q 1 .5 L s 1 .5 L q 0 .9 P 0 40 %