(第十章)排队论精品文档24页
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第10章 排队论
混合制排队系统： • 等待时间有限。即顾客在系统中 等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动 离开，不再回来。如易损失的电 子元件的库存问题，超过一定存 储时间的元器件被自动认为失效。
混合制排队系统： • 逗留时间（等待时间与服务时间 之和）有限。例：用高射炮射击 飞机，当敌机飞越射击有效区域 的时间为t时，若这个时间内未被 击落，也就不可能再被击落了。
第十章 排队论
10.1 引
言
排队论是研究排队系统（又称随 机服务系统）的数学理论和方法，是 运筹学的一个重要分支。 1、有形排队现象：进餐馆就餐，到 图书馆借书，车站等车，去医院看病， 售票处售票，到工具房领物品等现象。
2、无形排队现象：如几个旅客同时打电
话订车票；如果有一人正在通话，其他 人只得在各自的电话机前等待，他们分 散在不同的地方，形成一个无形的队列 在等待通电话。
均数。如果列车因站中2股道均被占 用而停在站外或前方站时，每列车 每小时费用为a元，求每天由于列车 在站外等待而造成的损失。
解：本例可看成一个M/M/1/排队问 题，其中 =2， =3，= /=2/3<1 系统中列车的平均数
L= / (1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）
7、排队研究的基本问题
系统优化问题：又称为系统控制问 题或系统运营问题，其基本目的是 使系统处于最优的或最合理的状态。 包括：最优设计问题和最优运营问 题。
10.2 排队系统的数量指标及记号 1、数量指标
系统状态：也称为队长，指排队系 统中的顾客数（排队等待的顾客数 与正在接受服务的顾客数之和）。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因 故障而停止运行的机器设备在等待修理； 码头上的船只等待装货或卸货；要下降 的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件
记pn(t)为时刻t时系统处于状态n的概率，即系 统的瞬时分布。我们将主要分析系统的平稳 分布，即当系统达到统计平衡时处于状态n的 概率，记为pn。又记
N：系统处于平稳状态时的队长，其均值为L， 称为平均队长；
Nq：系统处于平稳状态时的排队长，其均值 为Lq，称为平均排队长；
T：系统处于平稳状态时顾客的逗留时间，其 均值记为W，称为平均逗留时间；
多 服
平均排队长Lq为：
Lq
(n s) pn
ns1
p0 s
s!
(n s)sns
ns
务 台
p0 s
s!
d
d s
( sn )
n1
p0 s s s!(1 s )2
或
模 型
Lq
c(s, )s 1 s
记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，显然 也是正在忙的服务台的平均数，故
多 服 务
s
s1
n!
定理2
(n=1,2,...)
设N(t)为时间［0,t］内到达系统的顾客数，则 {N(t),t≥0} 为参数为λ的Poisson过程的充分必 要条件是： 相继到达 时间间隔服从相互独立的参数为λ的负指数分布。
M/M/s 等 待 制 排 队 模 型
一、 单服务台模型
单服务台等待制模型M/M/1/∞是指： 顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指 数分布，服务台个数为1，服务时间V服从 参数为μ的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队。
服务机构 修理工人 管理员 医生 交换台 打字员
排队 系统 的特 征及 排队
论
排队系统的具体形式：
队列
顾客到达
…
服务台 服务完成后离去
正在接受服务的顾客
[管理学]排队论
![[管理学]排队论](https://img.taocdn.com/s3/m/a6e6f5f75022aaea998f0f84.png)
1
10 排队论
• • • • • • • 10-1 前言 10-2 基 本 概 念 10-3 到达间隔的分布和服务时间的分布 10-4 单服务台指数分布的排队系统的分析 10-5 多服务台负指数分布排队系统的分析 10-6 一般服务时间M/G/1模型 10-7 经济分析——系统最优化
2
前 言
排队是我们在日常生活和生产中经 常遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 顾客到银行取钱； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等 待现象。
第10章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
15
2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空 闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客 去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。 ④优先权服务（PR）。如老人、儿童先 进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需 要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务规则。
16
2. 排队规则
5.排队系统指标优化 问题1 系统中顾客数=平均队长（Ls）+1？
26
四、 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10 排队论
• • • • • • • 10-1 前言 10-2 基 本 概 念 10-3 到达间隔的分布和服务时间的分布 10-4 单服务台指数分布的排队系统的分析 10-5 多服务台负指数分布排队系统的分析 10-6 一般服务时间M/G/1模型 10-7 经济分析——系统最优化
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前 言
排队是我们在日常生活和生产中经 常遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 顾客到银行取钱； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等 待现象。
第10章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
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2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空 闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客 去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。 ④优先权服务（PR）。如老人、儿童先 进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需 要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务规则。
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2. 排队规则
5.排队系统指标优化 问题1 系统中顾客数=平均队长（Ls）+1？
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四、 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
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无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
运筹学第十章 排队论
一、生灭过程简介
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
运筹学第10章 排队论
平均到达时间（１／λ）＝145／41＝3.46（分钟／人）
平均服务率（μ）＝42／130＝0.323（人／分钟）
平均服务时间（１／μ）＝130／42＝3.1（分钟／人）
这些指标都是排队系统分析中非常重要的数量指标。
二、泊松分布（Poisson） 设Ｎ(t)表示在时间区间（0，ｔ）内到达的顾客数，Pn(t)
Ｌ＝Ｌq＋ｓ
（假定服务强度为１）
2. 逗留时间和等待时间：顾客在系统中停留的时间包括等待时间和服
务时间称作逗留时间，其期望值记作ｗ；其排队等待的时间称作等待时间，期
望值记作ｗq。用λ和μ分别表示单位时间到达的顾客数和服务台平均完成服务的
顾客数，则有： Ｌ＝λｗ 或 ｗ＝Ｌ／λ
①
Ｌq＝λｗq 或 ｗq ＝Ｌq／λ
（三）少不了服务台
• 服务台是服务设施和服务人员的总称，没有服务台，就没有排队问题。
• 服务台可以是一个，也可以是多个。在多个服务台情况下，它们可以是 串联的，也可以是并联的，还可以是混合式的。
• 服务方式可以是单个进行的，也可以是成批进行的。
• 服务时间的分布可以是确定的，也可以是随机的。如自助洗衣店中全自 动洗衣机的服务就是定长的。在大多数服务系统中，服务时间都是随机的。
2
2
27 2
3
23 86 6 3
2
3
61 4
6
24 88 5 2
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4 11 9 5
2
25 92 1 4
7
5 12 2 1
10
6 19 4 7
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7 22 3 3
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8 26 3 4
5
9 36 1 10
0
10 38 2 2
平均服务率（μ）＝42／130＝0.323（人／分钟）
平均服务时间（１／μ）＝130／42＝3.1（分钟／人）
这些指标都是排队系统分析中非常重要的数量指标。
二、泊松分布（Poisson） 设Ｎ(t)表示在时间区间（0，ｔ）内到达的顾客数，Pn(t)
Ｌ＝Ｌq＋ｓ
（假定服务强度为１）
2. 逗留时间和等待时间：顾客在系统中停留的时间包括等待时间和服
务时间称作逗留时间，其期望值记作ｗ；其排队等待的时间称作等待时间，期
望值记作ｗq。用λ和μ分别表示单位时间到达的顾客数和服务台平均完成服务的
顾客数，则有： Ｌ＝λｗ 或 ｗ＝Ｌ／λ
①
Ｌq＝λｗq 或 ｗq ＝Ｌq／λ
（三）少不了服务台
• 服务台是服务设施和服务人员的总称，没有服务台，就没有排队问题。
• 服务台可以是一个，也可以是多个。在多个服务台情况下，它们可以是 串联的，也可以是并联的，还可以是混合式的。
• 服务方式可以是单个进行的，也可以是成批进行的。
• 服务时间的分布可以是确定的，也可以是随机的。如自助洗衣店中全自 动洗衣机的服务就是定长的。在大多数服务系统中，服务时间都是随机的。
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第十章排队论
2.2 泊松流
• 设 N (t )表示在时间区间 0, t 内到达的顾客数 (t 0) ( 令Pn (t1 , t2 )表示在时间区间 t1 , t2 (t2 t1 ) 内有 n 0)个顾客到达的概率，即
Pn (t1 ,t2 ) P N (t2 ) N (t1 ) n (t2 t1 , n 0)
服务台的各 种排列方式
1.3 排队模型的分类
排队模型分类方法——D.G.Kendall，1953
– 构成排队模型的三个主要特征指标
• (1) 相继顾客到达间隔时间的分布； • (2) 服务时间的分布； • (3) 服务台的个数。
– 根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall记号： X/Y/Z
区间 情况
0,t
个数 概率
t , t t
个数 概率 个数
0,t t
概率
( A) ( B) (C )
n n 1 n2 n3 0
Pn (t ) Pn 1 (t ) Pn 2 (t ) Pn 3 (t ) P0 (t )
0 1 2 3 n
船舶到达数n
0 1 2 3 4 5 6 7
频数
12 43 64 74 71 49 26 19
频率(%)
0.033 0.118 0.175 0.203 0.195 0.134 0.071 0.052
8
9 10以上 合计
4
2 1 365
0.011
0.005 0.003 1.000
2.1 经验分布
实际中测定相继到达时间间隔的方法 • 以τi表示第i号顾客到达的时刻，以si表示对它的服务时间，这样可算出相继 到达的间隔时间ti (ti=τi+1-τi)和排队等待时间wi，它们的关系如下：
运筹学—第十章 排队轮
第14页 页
生灭过程
各状态之间的转移关系图： 各状态之间的转移关系图：
P0
λ0
P1
1
Pn −1
λ n −1
Pn n
λn
Pn +1 n+ 1
0
⋯
n-1
⋯
µ1
图 10-3
µn
µ n +1
圆圈表示状态，圆圈中标号是状态符号，表示系统中稳定顾客 圆圈表示状态，圆圈中标号是状态符号 ， 数； 箭头表示从一个状态转移到另一个状态 表示从一个状态转移到另一个状态， 箭头表示从一个状态转移到另一个状态 ， 表示转移速率。 λ和μ表示转移速率。 P0 表示系统中没有顾客、服务台空闲的概率； P1 表示系统中有 1 表示系统中没有顾客、服务台空闲的概率； 个顾客、 个顾客、服务台忙着的概率； P2 表示系统中有 2 个顾客、 有 1 个顾客 个顾客、服务台忙着的概率； 排队，其余依此类推， 表示系统中有 个顾客、服务台忙着、 排队，其余依此类推， Pn 表示系统中有 n 个顾客、服务台忙着、 有 n-1 个顾客排队时的概率。 个顾客排队时的概率。
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顾客到达 单队单服务台：
队列
服务完成离去 服务台
〇…
正在接受服务的顾客 服务台 1 服务完成离去 服务台 2
单队多服务台 并联：
顾客到达
队列
〇…
〇 〇 〇 〇…
⋮
服务台 n 服务台 1 服务完成离去 服务台 2
多队多服务台 并联：
顾客到达
〇… 〇…
⋮
服务台 n
多服务台串联： 顾客到达 程和常见的概率分布 生灭过程 泊松过程 负指数分布 爱尔朗分布 定长分布
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运筹学第十章 排队论
从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成
形式上看，服务台有：
①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
(2) 服务方式。 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属 于成批服务。
这四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说明系统 排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是 顾客与服务系统的管理者都很关注的。
2、忙期和闲期
(1)忙期:
是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次 成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。
BB
(2)闲期:
与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
I I
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
形式上看，服务台有：
①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
(2) 服务方式。 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属 于成批服务。
这四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说明系统 排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是 顾客与服务系统的管理者都很关注的。
2、忙期和闲期
(1)忙期:
是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次 成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。
BB
(2)闲期:
与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
I I
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
运筹学-第十章-排队论
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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1.理发店的利用率不低于60%； 2.一个顾客的平均等待时间少于5分钟
这是M/M/c的排队模型，其中
10 ,3 c待定
c 3c 利用率 ： 10 1
c 3c 10 60 %
4≤c≤5.56 当c=4时，Wq=0.329小时=19.74分钟 当c=5时，Wq=0.065小时=3.9分钟 故满足上述两个条件的理发师人数为5人
顾客必须排队等待的概率 Pq
系统中有n个顾客的概率
Pn
(
) n
P0
举例(储蓄所的排队系统)
每分钟平均到达人数 0.6，每分钟平均服
务人数 0.8，该系统的主要指标为：
P q 75 %
系统中的顾客数 概率
W s 5
0
25%
W q 3 . 75
1
18.75%
2
14.06%
服务器
服务器的数量：单台？多台？ 服务器的结构形式：串联？并联？ 服务方式：单个？成批？ 服务时间：确定的？随机的？
排队系统的数量指标
用几个数量指标描述排队系统的状况，从而反 映服务水平的优劣
平均排队的顾客数Lq 系统中的平均顾客数Ls 一位顾客的平均排队时间Wq 一位顾客在系统中的平均逗留时间Ws 系统中没有顾客的概率P0 顾客必须排队等待的概率Pq 系统中有n个顾客的概率Pn
主要数量指标公式
c!c
P (n )
(
(n c )
/ )
P0,(n
c)
n
n! P (n ) ( / ) P0 ,(n c )
n
c!
c
Pq
1
(
)( c
c
)P0
W sW q 1
Wq
Lq
Ls Lq
( c 1 )! ( c )
Chapter Twelve
Queueing Theory /Waiting Line Models 排队论
当顾客想要一项服务，而服务器又在忙，所以 不得不等候时就形成排队
排队
有形排队：乘客在车站等车，病人排队看病，顾 客在超市排队付款，等等
无形排队：电话呼叫，计算机中程序或指令的处理
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队
系统中没有顾客的概率 P0 1
( ) 平均排队的顾客数 Lq
2
系统中的平均顾客数 Ls Lq
一位顾客的平均排队时间 W q L q
一位顾客在系统中的平均逗留时间 Ws Wq 1
• 顾• 客平均随到机达到速达度(泊松到达)
•
随机服务时间(负指数服务时间)
• 每台c服 务器的平均服务速度 ，其中
c
•
称为服务强度或服务器的利用率
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队
服务器1
顾客到达
排队
服务器2 服务器3
服务后离去
多台服务器的排队系统
任何等待一项服务的人或物称为顾客
任何提供这项服务的人或物称为服务器
以顾客排队的时间来评判服务的质量
排队问题无法完全消除。通过增加服务器或提 高服务速度可减少排队现象，但这样又会增加 成本。
管理排队问题时，需要在服务器数量与成本之间求 得平衡
排队系统
顾客到达
排队
服务器
服务后离去
排队系统
系统输入：顾客按怎样的规律到达系统
顾客总体数：有限？无限？ 顾客到达方式：单个？成批？ 顾客到达的间隔：确定的？随机的？
排队与服务规则
排队：单队？多队？(每个服务器前排一队) 服务规则：FCFS(先到先服务)？LCFS(后到先服务)？
SIRO(随机服务)？PR(有优先权的先服务)？
方法二0.：3,增加一0.台8服务器(2队)
P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
M/M/c/∞/∞/FCFS
• 多台服务器，服务器数量为c
2 台服务器，2队 P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
举例
某理发店有若干名理性师，并有足够的 位置接待人们排队等待理发。顾客到达 间隔服从参数为10(人/小时)的负指数分 布，每名顾客的理发时间服从均值为20 分钟的负指数分布。理发店经理希望确 定满足下述两个条件的理发师人数：
排队系统的优化设计
设计一个未来的排队系统，使系统的总费用最 小。
以稳态系统单位时间的平均总费用来计量
单位时间系统的平均总费用=单位时间的服务费用+
Lq
( Байду номын сангаас )
2 P0
c
P0
n 0
(
c 1
n! / )
n
c!
c
( / ) ( c
)
c
1
举例(储蓄所的排队系统)
相同的成本，不 同的服务水平
0 .6 , 0 .8 ,c 2 0.6,0.8
2 台服务器，排1队 P ( 6 ) 0 .4 % P q 20 . 45 % W s 1 . 4545 W q 0 . 2045 L s 0 . 8727 L q 0 . 1227 P 0 45 . 45 %
Ls 3
3
10.55%
L q 2 . 25
4
7.91%
5
5.93%
P 0 25 %
6 7或7以上
4.45% 13.35%
改进排队系统
方法一0：.6,提高服1务速度
P ( 7 ) 2 . 79 % P q 60 % W s 2 .5 W q 1 .5 L s 1 .5 L q 0 .9 P 0 40 %
值越大，顾客 越不满意
M/M/1/∞/∞/FCFS
•
顾客随机到达 (泊松到达)
• 单位时间顾客到达的平均人数为
(平均到达速度)
• 随机服务时间(负指数服务时间)
• •
单位时间服否务则的队顾会客越的来平越均长人，数系统永(平远均达服不务到速稳度态)
•
称为服务强度或服务器的利用率
• 单台服务器
这是M/M/c的排队模型，其中
10 ,3 c待定
c 3c 利用率 ： 10 1
c 3c 10 60 %
4≤c≤5.56 当c=4时，Wq=0.329小时=19.74分钟 当c=5时，Wq=0.065小时=3.9分钟 故满足上述两个条件的理发师人数为5人
顾客必须排队等待的概率 Pq
系统中有n个顾客的概率
Pn
(
) n
P0
举例(储蓄所的排队系统)
每分钟平均到达人数 0.6，每分钟平均服
务人数 0.8，该系统的主要指标为：
P q 75 %
系统中的顾客数 概率
W s 5
0
25%
W q 3 . 75
1
18.75%
2
14.06%
服务器
服务器的数量：单台？多台？ 服务器的结构形式：串联？并联？ 服务方式：单个？成批？ 服务时间：确定的？随机的？
排队系统的数量指标
用几个数量指标描述排队系统的状况，从而反 映服务水平的优劣
平均排队的顾客数Lq 系统中的平均顾客数Ls 一位顾客的平均排队时间Wq 一位顾客在系统中的平均逗留时间Ws 系统中没有顾客的概率P0 顾客必须排队等待的概率Pq 系统中有n个顾客的概率Pn
主要数量指标公式
c!c
P (n )
(
(n c )
/ )
P0,(n
c)
n
n! P (n ) ( / ) P0 ,(n c )
n
c!
c
Pq
1
(
)( c
c
)P0
W sW q 1
Wq
Lq
Ls Lq
( c 1 )! ( c )
Chapter Twelve
Queueing Theory /Waiting Line Models 排队论
当顾客想要一项服务，而服务器又在忙，所以 不得不等候时就形成排队
排队
有形排队：乘客在车站等车，病人排队看病，顾 客在超市排队付款，等等
无形排队：电话呼叫，计算机中程序或指令的处理
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队
系统中没有顾客的概率 P0 1
( ) 平均排队的顾客数 Lq
2
系统中的平均顾客数 Ls Lq
一位顾客的平均排队时间 W q L q
一位顾客在系统中的平均逗留时间 Ws Wq 1
• 顾• 客平均随到机达到速达度(泊松到达)
•
随机服务时间(负指数服务时间)
• 每台c服 务器的平均服务速度 ，其中
c
•
称为服务强度或服务器的利用率
• 排队长度无限制
• 顾客来源无限制
• 先到者先服务
• 单队
服务器1
顾客到达
排队
服务器2 服务器3
服务后离去
多台服务器的排队系统
任何等待一项服务的人或物称为顾客
任何提供这项服务的人或物称为服务器
以顾客排队的时间来评判服务的质量
排队问题无法完全消除。通过增加服务器或提 高服务速度可减少排队现象，但这样又会增加 成本。
管理排队问题时，需要在服务器数量与成本之间求 得平衡
排队系统
顾客到达
排队
服务器
服务后离去
排队系统
系统输入：顾客按怎样的规律到达系统
顾客总体数：有限？无限？ 顾客到达方式：单个？成批？ 顾客到达的间隔：确定的？随机的？
排队与服务规则
排队：单队？多队？(每个服务器前排一队) 服务规则：FCFS(先到先服务)？LCFS(后到先服务)？
SIRO(随机服务)？PR(有优先权的先服务)？
方法二0.：3,增加一0.台8服务器(2队)
P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
M/M/c/∞/∞/FCFS
• 多台服务器，服务器数量为c
2 台服务器，2队 P ( 7 ) 0 . 74 % P q 37 . 5 % Ws 2 W q 0 . 75 L s 0 .6 L q 0 . 225 P 0 62 . 5 %
举例
某理发店有若干名理性师，并有足够的 位置接待人们排队等待理发。顾客到达 间隔服从参数为10(人/小时)的负指数分 布，每名顾客的理发时间服从均值为20 分钟的负指数分布。理发店经理希望确 定满足下述两个条件的理发师人数：
排队系统的优化设计
设计一个未来的排队系统，使系统的总费用最 小。
以稳态系统单位时间的平均总费用来计量
单位时间系统的平均总费用=单位时间的服务费用+
Lq
( Байду номын сангаас )
2 P0
c
P0
n 0
(
c 1
n! / )
n
c!
c
( / ) ( c
)
c
1
举例(储蓄所的排队系统)
相同的成本，不 同的服务水平
0 .6 , 0 .8 ,c 2 0.6,0.8
2 台服务器，排1队 P ( 6 ) 0 .4 % P q 20 . 45 % W s 1 . 4545 W q 0 . 2045 L s 0 . 8727 L q 0 . 1227 P 0 45 . 45 %
Ls 3
3
10.55%
L q 2 . 25
4
7.91%
5
5.93%
P 0 25 %
6 7或7以上
4.45% 13.35%
改进排队系统
方法一0：.6,提高服1务速度
P ( 7 ) 2 . 79 % P q 60 % W s 2 .5 W q 1 .5 L s 1 .5 L q 0 .9 P 0 40 %
值越大，顾客 越不满意
M/M/1/∞/∞/FCFS
•
顾客随机到达 (泊松到达)
• 单位时间顾客到达的平均人数为
(平均到达速度)
• 随机服务时间(负指数服务时间)
• •
单位时间服否务则的队顾会客越的来平越均长人，数系统永(平远均达服不务到速稳度态)
•
称为服务强度或服务器的利用率
• 单台服务器