单纯形法、大M法

基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。
2015-6-27
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 4 x1 x 2 2 x 3 10 2 x 1 2 x 2 x 3 1 x1、x 2、x 3 0
4）无可行解的判断：当用大 M单纯形法计算得到最优解并 且存在人工变量>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 2015-6-27
二、退化、循环及其处理方法 1、退化 单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存 在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中 就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。 2、退化迭代的特点 （1）退化解的基变量中至少有一个取值为0。 （2）退化迭代中基在不断变化但解始终不变。 （3）退化迭代不会引起目标函数值的改进。 3、防止循环迭代的方法 （1）摄动法 （2）字典顺序法 （3）最小下标法
的系数为1，构造一个新的辅助目标函数。在此基础上，
建立辅助线性规划问题。然后运用单纯形方法求解， 直到辅助目标函数值为0时为止。第二阶段重新回到原 来的问题，以第一阶段得到的可行基为初始可行基， 运用单纯形方法以求出原来问题的解。
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3)两阶段法的计算步骤 （1）不考虑原问题是否存在基可行解， 引进人工变 量，构造辅助线性规划问题。 （2）用单纯形方法求解辅助问题，若辅助问题的目标 函数值w≠ 0，则原问题无可行解，停止计算。
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解：将数学模型化为标准形式：
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 且基变量中无非零的人工变量，则线规划具有唯一最优解。
2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 且基变量中无非零的人工变量，则线则性规划具有多重最 优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个σk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。
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人工变量x6=x7＝ 0，第一阶段目标函数W=0，则
(0，1，1，12，0)T是原线性规划问题的基可行解，转第
二阶段的计算
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由表可得最优解为： x1=4， x2=1，x3=9； 目标函数值
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Z=-2
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
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-2x1 +x3 x1,x2,x3, ≥0
≥3
=1
解：先在约束条件中加入人工变量，写出辅助规划问 题。 Min W=x6+x7
s.t. x1-2x2+x3+x4
-4x1+x2+2x3 -x5+x6
=11
=3
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-2x1 +x3 +x7 =1 xi≥0,i=1,2, …,7
用单纯形法进行第一阶段的计算如下表
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单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 x5 b 15 20
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1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
－ 20 25 60
j
0 x4
1
2
1
0
0
2
j
1
2
x2
x1
75 3 20 1/3 1/3
25 35/3
0 1 0 0 1 0
单纯形法的计算步骤
例1.10 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
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解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 x 3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
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θi 4 5 1 3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
j
→ →
j
→
j
j
2、两阶段法
在原来问题引入人工变量后分两个阶段求解线性 规划问题的方法。其中，第一阶段在原来问题中引入 人工变量，设法构造一个单位阵的初始可行基，另外 在目标函数中令非人工变量的系数全部为0，人工变量
所有 j 0
否
循环
是
基变 量中是否 含有非零xa
否
有某个 否 唯一 非基变量的 最优解 j 0
是 无穷多 最优解
停止
找出 ( j )max即 k
aik 0 (对任一 j 0)
否
是 无可行解
循 环
是
无界解
bi 计算 i ( alk 0) alk
用非基变量xk 替换基变量xl
列出下一个 新单纯形表
线性规划模型的应用
一般而言，一个经济、管理问题需要满足以下条 件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
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单纯形法小结
建 立 模 型 两 三个 xj≥0 不 x j无 xj ≤ 0
令 xj’ = - xj
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个 数
取
值
右 端 项 bi ≥0
不 处 理
等式或 不等式 ≤ 加 松 弛 变 量 xs = 加 入 人 工 变 量 xa ≥ 减
极大或极小 max Z 不 minZ 令
单纯形法的计算步骤
③
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用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的 基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地 可以画出一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。 数学解释 检验数σj 经济解释
单位变量增加带来目标 单位产品产量增加带来 函数变化值 的净利润变化值 确保在迭代过程中所有 确保在增加产品产量的 变量的值非负，即每步 过程中，不超过现在的 得到的解均为基可行解。资源限量。
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故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
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单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB 0 -M -M 0 -M -1 2 -M -1 2 3 -1 XB x6 x5 x7 x6 x5 x3 x2 x5 x3 x2 x1 2015-6-27 x3 b 4 10 1 3 8 1 3/5 31/5 11/5 13 31/3 19/3 3 x1 -4 1 2 3－2M －6 －3 2 5-6M －6/5 3/5 －2/5 5↑ 0 1 0 0 2 x2 3 －1 －2 2+M 5 3 －2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 x3 1 2 1 －1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x4 －1 0 0 －M －1 0 0 －M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 -M x6 1 0 0 -M x7 0 0 1
（3）若辅助问题目标函数的值w =0，则将第一阶段
计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的
系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始
表。 4）解的判断同单纯形法
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例4.2
用两阶段法求解线性规划问题 minΖ =-3x1+x2+x3 s.t. x1-2x2+x3 ≤11
-4x1+x2+2x3
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系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
max Z 3 x1 2 x 2 x 3－Mx 6 Mx 7 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 x 6 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 x 7 1 x j 0, j 1,2, ,7
σ j c j ci a ij
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单纯形法的计算步骤
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3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
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单纯形法的计算步骤
2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。 cj cB 0 XB x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1
σ j c j ci a ij
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0
0 x4 0
x3 1
θi
0
j
x4
30
1
3
0
1
3
？
0
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4 a21) 3 (0 2 0 1) 3
17 5 －9
1 0 0
3 1 －2
1 0 0
j
最优解： 2015-6-27
x2
17/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3 -98/9 -1/9 -7/3 最优值：
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
一、人工变量法：
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前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定 一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为 了得到一组基向量和初始基可行解，在约束条件的等式左端加 一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工 变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解， 这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。 1、大M 法 通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后 由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此
乘 以 3/5 后 得 到
30 10
18 4
3
4
j
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x2
5/ห้องสมุดไป่ตู้ 1/3 5/3 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 3/5 －1/5 －1
－1/3 1/3 －4/3 －1/5 －2/5 －1
最优解：
最优值：
单纯形法的计算步骤
例1.11 用单纯形法求解
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 20 3 x1、x 2、x 3 0
最小比值 θj
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单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
cj
cB 0 0 0 4 基变量 x3 b 40 30
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bi /ai2，ai2>0
4
x2 1 3 4
3
x1 2 1 3
0
x3 1 0 0
0
x4 0 1 0
θi
j j
x4 x3 x2 x1
40 10 18 30
换 出 行
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解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
新加变 量目标 系数 xs 0 xa -M
bi < 0
约束条 件两端 同乘以 -1
个
以上 处
理
约束
令 xj = x j′ - x j″ xj′ ≥0 xj″ ≥0
求 图 单纯 解 解 形法 法、 单 纯 形 法
去
xs 加 入
处
理
z′=- Z
minZ =－ max z′
xa
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A
求 : j c j z j
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
变量作为换出变量。 bi L min a ik 0 a ik 2015-6-27