2019年四川预赛(参考答案及评分细则)
四川省南充市2019届高三第一次高考适应性性考试物理参考答案及评分意见
2019届第一次诊断考试物理试题参考答案及评分意见22. (1)不必要（2分） (2)2.00 (2分) （3）2k (2分)23.（1）A 1（2分） （2）R 1（2分） (3) a （2分） （4）UI −R (3分)24.解：（12分）（1）（4分）物块A 从释放至滑上木板B ，由能量守恒知弹性势能全部转化为物块的动能：E p =12mv 02=2J …………………4分（2）(8分)物块A 滑上木板B 后，由于木板足够长，则物块减速，木板加速，最终相对静止。
物块A 向右减速：a 1=μmg m =2m/s 2…………………2分 木板B 向右加速：a 2=μmg M=1m/s 2………………………2分最终共速，A 相对B 滑动的时间t ,则：v 0−a 1t =a 2t …………………2分解得：s ……………………2分25.解：（20分）（1）（4分）小球静止释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从A 点沿切线方向进入，则此时速度方向与竖直方向的夹角为45°，即加速度方向与竖直方向的夹角为45°， 则：tan45°=mg Eq…………………………2分解得：E =mg q ……………………1分（2）（6分）根据几何关系可知，圆弧的半径 r =√，从P 到B 点的过程中，根据动能定理得：12mv B 2−0=mg(2L +√2L)+EqL ……………………2分在B 点，根据牛顿第二定律得：N −mg =mv B2r……………………2分解得：N =3(√2+1)mg ………………1分由牛顿第三定律知小球对管的压力大小：N ′=3(√2+1)mg ……1分 方向竖直向下 ……………………1分32t（3）（10分）从P 到A 的过程中，根据动能定理得：12mv A 2=mgL +EqL ………………2分 解得：v A =√4gL ……………………1分 小球从C 点抛出后做类平抛运动，抛出时的速度 v C =v A =√4gL ………………1分 小球的加速度g′=√2g ……………………1分 当小球沿抛出方向和垂直抛出方向位移相等时，又回到x 轴， 则有：v C t =12g′t 2解得：t =2√2Lg‘ ……………………2分 则沿x 轴方向运动的位移x =√2v C t =√2×2√gL ×2√2Lg =8L ……………………2分则小球落在x 轴上的坐标：x′=L −8L =−7L …………………1分33．（1）BCD （选对1个给2分，选对2个给4分，选对3个给5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分）（2）设U 形管两端竖直朝上时，左、右两边气体的压强分别为p 1和p 2。
2019年四川省高中学生化学竞赛预赛试题
2019年四川省高中学生化学竞赛预赛试题●本试题共9题，满分100分，竞赛时间3小时，迟到30分钟者不能进场。
●答案直接答在试题纸上指定位置，其它纸上答题无效。
●参赛者姓名、报名号、所属学校必须填在试题纸首页密封线左面的指定位置，写在其它地方者按废卷处理。
●允许使用非编程计算器及直尺等文具。
一、(13分)化合物A是一不溶于水的暗红色固体，它能溶于硝酸生成浅粉色的溶液B，将B与浓HNO3和KClO3共煮沸生成MnO2棕色沉淀，将MnO2与NaOH和Na2O2共熔转化为暗绿色化合物C，C 可溶于盐酸溶液生成紫红色溶液D及少量MnO2，将MnO2加入酸性H2O2溶液中有气体E产生，同时生成溶液B，在溶液B中加入少量NaOH溶液生成白色沉淀F，F很快转变为褐色沉淀G，回答下列问题：1．A、B、C、D、E、F、G各是什么物质，写出分子式。
(7分)2．写出MnO2在酸性条件与H2O2反应及在碱性条件与Na2O2反应的方程式。
(4分)3．D的阴离子空间构型为。
(2分)二、(14分)1．有A、B、C三种硝酸盐和一种钠盐D。
A和B中的金属元素为同族，A和D的水溶液混合可生成黄色沉淀，B和D的水溶液混合可生成白色沉淀，C和D的水溶液混合可生成黑色沉淀，在C的溶液中加入强碱立即析出白色胶状沉淀，该沉淀溶于过量的强碱中。
用铂作阳极，铜作阴极，电解D的溶液，在阳极上析出黄色沉淀。
①写出A、B、C、D的分子式。
(2分)②写出A、B、C与D的溶液反应的离子方程式。
(3分)③写出C与强碱溶液反应的离子方程式。
(2分)2．物质A的水溶液加热会凝结，其最终水解产物为两性化合物B，B是生命所需的重要组成物质，经质谱分析知B的摩尔质量为89g/mol，含氧约为36％(质量分数)，经红外光谱和核磁共振谱测定可知B中含有两种C－H键和一种N－H键。
① A的名称是，B的结构式为。
(每空1分)②25℃时水溶液中B的钠盐与强酸反应结合一个质子的平衡常数为K，则B的钠盐的碱式电离常数K b的表达式为(水的离子积常数为K w) ，其共轭酸的酸式电离常数K a的表达式为。
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为（）A．B．1C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a时，f（x）＝e x﹣2a．若A，B是函数f（x）图象上的两个动点，点P（a，0），则当的最小值为0时，函数f（x）的最小值为（）A．e B．e﹣1C．e D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．14．（5分）（2x+）4展开式的常数项是．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，，则a5＝．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，P A ⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMD；（Ⅱ）当P A＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y之间的关系，经统计得到如下数据：（Ⅰ）已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）；（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线＝x的斜率和截距最小二乘估计分别为：＝，＝．参考数据：x i y i＝8440，x＝25564．20．（12分）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P 满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|．（Ⅰ）求不等式f（x）﹣3＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱AO与底面OCB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是直角三角形，直角边长为2；4；∴OA＝6，∴棱锥的体积V＝＝8．故选：B．4．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（0，1），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z＝1．故选：A．5．【解答】解：执行如图所示的程序框图如下，n＝1时，S＝＝，n＝3时，S＝+＝，n＝5时，S＝++＝，n＝7时，S＝+++＝，满足循环终止条件，此时n＝9，则输出的n值是9．故选：C．6．【解答】解：∵2+a5＝a6+a3，∴a4＝2，S7＝＝7a4＝14．故选：B．7．【解答】解：“x＜﹣2”推不出“ln（x+3）＜0”，反正成立，所以“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件，所以A不正确；函数的最小值为3+；所以B不正确；当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”是真命题，所以它的逆否命题为真命题；所以C正确；命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”不满足命题的否定形式，所以D不正确；故选：C．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+2cos x，其导数函数f′（x）＝3﹣2sin x，则有f′（x）＝3﹣2sin x＞0在R上恒成立，则f（x）在R上为增函数；又由2＝log24＜log27＜3＜，则b＜c＜a；故选：D．9．【解答】解：高各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱长为2，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），M（，1，1），B（，1，0），N（0，1，0），＝（，﹣1），＝（﹣，0，0），设异面直线A1M与BN所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线A1M与BN所成角的正切值为．故选：C．10．【解答】解：设齐王上等，中等，下等马分别为A，B，C，田忌上等，中等，下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，b），（B，c），（C，c），共6种，∴齐王的马获胜的概率为p＝＝．故选：C．11．【解答】解如图，显然的模不为0，故当最小值为0时，只能是图中的情况，此时，P A⊥PB，且P A，PB与函数图象相切，根据对称性，易得∠BPD＝45°，设B（x0，y0），当x≥a时，f′（x）＝e x﹣2a，∴∴x0＝2a∵P（a，0）∴PD＝a，∴BD＝a，即B（2a，a），∴e2a﹣2a＝a，∴a＝1，∴当x≥1时，f（x）＝e x﹣2，递增，故其最小值为：e﹣1，根据对称性可知，函数f（x）在R上最小值为e﹣1．故选：B．12．【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则，则m＝，n＝，∴mn＝＝，∴（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）＝＝，令＝t＞1，则f（t）＝．f′（t）＝＝，∴当t＝2时，函数f（t）取得最小值f（2）．∴．∴e＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则F到渐近线的距离为d＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2415．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，a n+1＝S n，①，则：当n≥2时，a n＝S n﹣1②①﹣②得：a n+1﹣a n＝a n，所以：（常数），所以：数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以：（首项不符合通项）．故：，当n＝5时，．故答案为：3216．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝（2分）即＝，（4分）∴a＝（6分）（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝（8分）∵a＞b，∴B＝，（9分）C＝π﹣A﹣B＝（10分）∴S△ABC＝＝＝（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结AC，交BD于点O，连结MO，∵M，O分别为PC，AC的中点，∴P A∥MO∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（Ⅱ）如图，取线段BC的中点H，连结AH，∵ABCD为菱形，∠ABC＝，∴AH⊥AD，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∴A（0，0，0），B（），C（），P（0，0，），M（），∴＝（，），＝（0，2，0），＝（），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，∴＝（1，0，1），设直线AM与平面PBC所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＝（38+48+58+68+78+88）＝63，＝（16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8）＝21.5，＝≈0.2，＝﹣＝8.9，故所求回归方程是：＝0.2x+8.9；（Ⅱ）由题意知X的所有可能为0，1，2，∵P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为：故E（X）＝0×+1×+2×＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），∵，∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），即，∴，∵|AB|＝4，∴m2+n2＝16，∴，∴曲线C的方程为：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得﹣，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴k HM+k HN＝＝＝4﹣＝1，解得t＝3，故t的值为3．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（x）＝，∵当a＜0，x＞0时，有ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由题意当a＝1时，不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，即xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣恒成立，设g（x）＝e x﹣﹣，则g′（x）＝，设h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+，当x＞0时，有h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，故函数h（x）有唯一零点x0，且＜x0＜1，故当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增，即g（x0）为g（x）在定义域内的最小值，故b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0，得x0＝﹣，＜x0＜1，…（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，故方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，即lnx0＝﹣x0，＝，故g（x）的最小值g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x+2y，整理得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．得到：，化简得：，所以：（t 1和t2为A、B对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当x≥，f（x）﹣3＝2x﹣1++1﹣3＜0，解得x＜，即有≤x ＜；当﹣2＜x＜时，f（x）﹣3＝1﹣2x++1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有﹣＜x＜；当x≤﹣2时，f（x）﹣3＝1﹣2x﹣﹣1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有x∈∅．综上可得原不等式的解集为（﹣，）：（Ⅱ）由f（x）＝，可得f（x）的值域为[，+∞），关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，可得m2+2m+＜，即m2+2m＜0，解得﹣2＜m＜0，则m的范围是（﹣2，0）．。
2019年第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷及参考答案与评分标准word版
第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷〕f 5678总分910111213141516本卷共M 题，满分200企 一、选择题.本题共5小题,每小题6分.在毎小題给出养」个选项 中■有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合霆意.把符 合题意的选项前面的英文字母写在毎小题后面的方tS 号耳全部 选对的得勺分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得。
分.h 如图，球心枉坐标很点0的球面上有三个彼此绝缘的金属环, 它们分别与—y 平心 7平Iin M Y 平血与球面的交銭（大 ED 章合「各白通有大小相等的电流，电流的流向如图中箭头所 示。
必标原点处的磁场方向与北轴j紬w 轴的夹您分别足B* ancsjnt-已rr&in —-11 aicsin arcsin 亠,-arcsin * A /3 运D. ai<r &in arcsin — t arcsin丄 為 打畐2. 从褛顶边缘以大小为先的初速度竖玄上抛 小球;经过切时间后在楼顶边建讥爭1E 开始释放另…小球。
若要求两小球同时落地,忽略空气阻力，则珂的取值范貳三兀出点的得分阅卷复核I ------------------------- -----arcfiin —r物螂竟赛预赛试卷第】页（共「页）3.如图価牛学径相同的小陳（构成-个体系）置于水平桌面的-条直线上，其中一个是徴永碱琢（新有北擁W利稱极巧’其金三个足钢球;致球与右边两个钢球相互接触二让另一钢球在敛球左边一定距离处从静止释放,逐渐加敢直奎与抜球碰撞毗时最右边的钢球立即以很大的速度战弾开"卅于整个过程的始来，下列说法正确的是工休系动能増加，体系碍能减少乩松系动能减少，体系磁能增加C.休系动能减少.体系磁能减少a休系动能墟加，体系E?•能増加如图，一带£电荷Q的绝缘小球]可視为点电荷）固定呑）t滑絶燥平根上，另-“绝缘小球（可視为点电荷）听带电荷用（其值可任盍选耗）表代可在平桓上移动、并逹在轻弹簧的一燭，轻弹簧的另一端连在固宦拦椀卜昇踴小球的球心在弹薇的轴线上口不考虑可移动小球与固走小球相互接触的情形，且弹賞的光变处于弹性限度内C关于可移动小球的平衡位矍，下列说法正确的星A,若謹有一个平衡的位骨B.若“匸趴没冇平衡位宜G若v<O t可能冇一个或两个平衡位覺D.若7<0,没有平衡位臂I 】乞如鬲，小物块a』和匚静冏于光滑冰平地面上「现让玄以速度V向右运动+与b发生弹性if fit磁后h与瓷也侵牛弹性正确:.若h和c的瞳爼可任意选释，碰后匚的摄大速度接近于A. 2V H, 3V C,4V D 5V [ 1二”填空题.把答案填在题中的横线上.只宴给出结果、不需写出求俺结果的过理•6,（10分）20茁年2月11 R美国国家科学基金会区布：美国的”激光于涉吋为波天立台・心£0）的网台尊生引力波捱测器誉次直接探测到了引力波口该引力波足由得分阅卷夏核门亿光年之外的两颗黑机在合并的兹后阶段产住的。
二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准
二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A 、x x y 2cos 2sin += B 、x x y 2cos 2sin = C 、x x y 2cos sin 2+= D 、x x y 2cos 2sin 22-=2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙 为4:3的概率是A 、12835 B 、165 C 、74 D 、85 3、函数2x y =的图象1F 与它按向量)1,(m =平移后的函数图象2F 在1=x 处的切线互相垂直，则实数m 的值为（ ）A 、45-43-、B C 、43 D 、454、设数列}{n a 满足：21=a ，nn a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ，则2009P 的值为（ ） A 、21-B 、1-C 、21D 、15、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+k y kx k y x 22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 6、已知c b a ,,均为大于0的实数，设命题P ：以c b a ,,为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q ：)(2222ca bc ab c b a ++<++则P 是Q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x 满足θcos 1log 2+=x ，其中]02[，πθ-∈，则函数|3|2|1|)(-+-=x x x f 的最大值等于 ．8、设二项式01221212222)13a x a x a x a x a x n n n n n +++++=--- （记n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则=+∞→nnn R T lim．9、已知ABC ∆的三边长分别为3、4、5，点P 为ABC ∆内部（不含边界）一动点，则点P 到三边距离之积的最大值等于 ． 10、在长方体1111D C B A ABCD -中，棱6=AB ，21==BB BC ，点P 是线段1BC 上的一动点，则1PB AP +的最小值是 ． 11、集合},21241|{R x x A x ∈≤≤=，}012|{2≤+-=tx x x B ， 若A B A =⋂，则实数t 的取值范围是 .．12、直线1l 与直线2l 平行，1l 上有5个不同的点，2l 上有10个不同的点，将1l 上的点与2l 上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个．（用具体的数字作答）三、解答题13、已知奇函数)(x f 在定义域]3,3[-内是减函数，且0)2()2(2<-+-x f x x f ，求实数x 的取值范围．14、如图，已知PB PA ，是⊙O 的两条切线，PCD 是⊙O 的一条割线，E 是AB 与PD 的交点． 证明：DECEPD PC =．_ _ B15、如图，双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为21l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交21l l ，于B A ，两点．又已知该双曲线的离心率25=e ．16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A 、x x y 2cos 2sin += B 、x x y 2cos 2sin = C 、x x y 2cos sin 2+= D 、x x y 2cos 2sin 22-= 解：在A 中，取4π=x ，则1=y ；取4π-=x ，则1-=y ，从而y 不是偶函数；在B 中，x y 4sin 21=，它不是偶函数； 在C 中，22cos 1xy +=，它的最小正周期为π；在D 中，x y 4cos -=，符合条件．故答案选D ．2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙 为4:3的概率是A 、12835 B 、165 C 、74 D 、85 解：符合条件的概率为128352747=C ．故答案选A ．3、函数2x y =的图象1F 与它按向量)1,(m =平移后的函数图象2F 在1=x 处的切线互相垂直，则实数m 的值为（ ）A 、45-43-、B C 、43 D 、45解：因为2)1(='y ，故2F 的函数为12--=）（m x y ，其在1=x 处的切线的斜率为）（m k -=122，由1122-=-⨯）（m 知45=m ．故答案选D ．4、设数列}{n a 满足：21=a ，nn a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ， 则2009P 的值为（ ） A 、21-B 、1-C 、21D 、1解：因为1111111112--=--=-=++n nn n a a a a ， 于是n n n n a a a a =---=-=++11111123，故}{n a 是以3为周期的周期数列 又21=a ，212=a ，13-=a ，从而13-=P 所以，1126692009-=-=P P ）（．故答案选B ．5、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：若0=k ，显然方程组仅有一组解（0，0），故0=k 符合条件； 若0≠k ，则2222k y x =+的图象是一个以)0,0(为圆心，以||2k r =为半径的圆，而k y kx 2=-表示直线．由题设条件知||21|2|2k k k =+，即222214k k k =+，解得1±=k ． 综上所述，符合条件的实数k 共有3个．故答案选C ．6、已知c b a ,,均为大于0的实数，设命题P ：以c b a ,,为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q ：)(2222ca bc ab c b a ++<++则P 是Q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解：一方面，若P 成立，则a c b >+，故2)(a c b a >+，即2a ac ab >+同理：2b bc ba >+，2c cb ca >+所以，)(2222ca bc ab c b a ++<++，即Q 成立．另一方面，若Q 成立，取2,1===a c b ，这时以c b a ,,为长度的线段不能构成 三角形的三边，即P 不成立．综上所述，P 是Q 的充分但不必要条件．故选A ．二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x 满足θcos 1log 2+=x ，其中]02[，πθ-∈，则函数|3|2|1|)(-+-=x x x f 的最大值等于 ． 解：由条件知]2,1[cos 1∈+θ，则42≤≤x ， 从而|3|21)(-+-=x x x f当32≤≤x 时，x x x x f -=-+-=5|3|21)(，此时最大值为3； 当43≤≤x 时，73|3|21)(-=-+-=x x x x f ，此时最大值为5． 综上所述，)(x f 在4=x 时取到最大值5．8、设二项式01221212222)13a x a x a x a x a x n n n n n +++++=--- （记n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则=+∞→nnn R T lim．解：取1=x ，得∑==ni i na 2022；取1-=x ，得∑=-=ni i i na 202)1(4从而24222n n n T +=，24222nn n R -=于是14242lim lim 2222-=-+=+∞→+∞→n n nn n nn n R T ．故答案填1-．9、已知ABC ∆的三边长分别为3、4、5，点P 为ABC ∆内部（不含边界）一动点， 则点P 到三边距离之积的最大值等于 ．解：设543===c b a ，，，则ABC ∆为直角三角形，其面积为6=∆ABC S ． 记点P 到三边c b a ，，的距离分别为c b a h h h ，，， 则122==++∆ABC c b a S ch bh ah故1516604)3(133==++≤⋅⋅=c b a c b a c b a ch bh ah abc abc ch bh ah h h h 等号当且仅当⎩⎨⎧=++==12c b a cb a ch bh ah ch bh ah ，即PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，亦即P 为ABC ∆的重心时取得．故答案填1516． 10、在长方体1111D C B A ABCD -中，棱6=AB ，21==BB BC ，点P 是线段1BC 上的一动点，则1PB AP +的最小值是 ．解：如图， 将11C BB ∆沿1BC 为轴旋转至与平面1ABC 共面，得12C BB ∆， 则1352=∠ABB ，故 21PB AP PB AP +=+25135cos 26226222=⨯⨯-+=≥ ）（AB ．等号当且仅当P 为2AB 与1BC 的交点时取得． 故答案填25．11、集合},21241|{R x x A x ∈≤≤=，}012|{2≤+-=tx x x B ， 若A B A =⋂，则实数t 的取值范围是 .． 解：因为}12|{-≤≤-=x x A ，B A ⊆故0122≤+-tx x 在]1,2[--∈x 上恒成立． 又t x x 21≥+，而]1,2[--∈x 时]2,25[1--∈+x x所以 t 225≥-，即45-≤t ． 所以，实数t 的取值范围是]45,(--∞．故答案填]45,(--∞．12、直线1l 与直线2l 平行，1l 上有5个不同的点，2l 上有10个不同的点，将1l 上的点与2l 上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个．（用具体的数字作答）解：经过任何一个交点的两条线段的4个端点，两个在1l 上，两个在2l 上，以它们为顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点．所以，任何一个交点与两个顶点在1l 上，两个顶点在2l 上的四边形一一对应．所以，所求的交点个数共有45021025=C C ．故答案填450．三、解答题13、已知奇函数)(x f 在定义域]3,3[-内是减函数，且0)2()2(2<-+-x f x x f ， 求实数x 的取值范围．解：由)(x f 的定义域知⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-3233232x x x解3232≤-≤-x x 得 31≤≤-x解323≤-≤-x 得51≤≤-x所以有31≤≤-x ① ……5分因为)(x f 是奇函数，得)2()2()2(2x f x f x x f -=--<- ……10分又因为)(x f 在定义域内单减，故x x x ->-222解得1-<x 或2>x ② ……15分由①、②得32≤<x ，即实数x 的取值范围为]3,2(． ……20分 14、如图，已知PB PA ，是⊙O 的两条切线，PCD 是⊙O 的一条割线，E 是AB 与PD的交点． 证明：DECEPD PC =． 证法一：连结BC AD AC ，，和BD ，则PBDPBCPAD PAC S S S S PD PC ∆∆∆∆== ……5分 ∵ PAC ∆∽PDA ∆ ，_ _ BPBC ∆∽PDB ∆∴22AD AC S S PAD PAC =∆∆，22BDBC S S PBD PBC =∆∆ ∴BDBCAD AC = ……10分 ∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ACE ∆∽DBE ∆ ， BCE ∆∽DAE ∆∴DE AE DB AC = ②, AECEDA BC = ③ ……15分 故由①、②、③得 DECEPD PC = ……20分证法二：（同证法一前）∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ADBACBBDE DAE BCE ACE BDE BCE DAE ACE S S S S S S S S S S DE CE ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++=== ……15分 而180=∠+∠ADB ACB ，∴ADB ACB ∠=∠sin sin∴DBDA CBAC ADB DB DA ACB CB AC DE CE ⋅⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=sin sin ② 由①、②知DECEPD PC =． ……20分15点F 垂直于1l （I ）求证：|||OA （II ）若，（5F 截得的弦CD 的长度．解：（I故2254c a =① 从而222251c a c b =-= ②，故21525==c ca b 设θ=∠=∠BOF AOF ，则21tan =θ ……5分 故 34tan 1tan 22tan tan 2=-==∠θθθAOB 34= 令)0(3||>=m m OA ，则m AB 4||=，m OB 5||=，满足||2||||AB OB OA =+， 所以， ||||||OB AB OA 、、依次成等差数列 ……10分（II ）由已知52=c ，代入①，②得1,422==b a ，于是双曲线的方程为1422=-y x 设直线AB 的斜率为k ，则2cot tan tan ==∠=∠=θAFO BFX k于是直线AB 的方程为：)5(2-=x y ……15分联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=14)5(222y x x y ，消y 得 084532152=+-x x 故弦CD 的长度341584154)532(5151||22=⨯⨯--⨯=∆⋅+=k CD ……20分16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证法一：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a （1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立；（2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(-≥-a a a 即证 016992246<+-+-a a a a因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a)2()3)(1)(12(2222+----=a a a a ……15分 又3331≤≤a 时，有02,03,01,0122222>+<-<-<-a a a a 所以，016992246<+-+-a a a a ……20分证法二：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分 又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a（1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立； （2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(->-a a a 即须证 016992246<+-+-a a a a记 16992)(246+-+-=a a a a a f因为 6183612)(35-+-='a a a a f )3(6)3(1223-+-=a a a 当3331≤≤a 时，有03,032<-<-a a 故当3331≤≤a 时0)(<'a f ， 因此)(a f 在3331≤≤a 时单调递减 ， ……15分 所以，0136393932)31()(246<+-+-=≤f a f ，即（*）成立 ……20分16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证明：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分 又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 a a a 312922>+-（1）若10≤<a ，则497292>≥-a ，从而2229294a a a >- 于是2222229294)129(a a a a a >-≥+-所以，a a a 312922>+-． ……15分（2）若31≤<a ，则只须证 132922->-a a a 即证 016992246<+-+-a a a a又因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a0)2()3)(1)(12(2222<+----=a a a a ，结论成立． ……20分。
2019年全国高中学生化学竞赛预赛试题(四川赛区)
2019年全国高中学生化学竞赛预赛试题（四川赛区）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 总计
满分9 10 8 7 8 8 10 10 10 10 10 100
得分
评卷人
本试卷共8页，11个大题，满分100分。
竞赛时间3小时。
迟到超过30分钟者不能进考场。
开始考试后1小时内不得离场。
时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。
试卷装订成册，不得拆散。
所有解答必须写在指定的直线上或方框内，不得用铅笔填写。
草稿纸在最后一页。
不得持有任何其他纸张。
姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论。
允许使用非编程计算器以及直尺等文具。
第1题（9分）有一化合物X，其水溶液为浅绿色，可发生如下的转化关系（部分反应物、生成
物从略）。
其中B、D、E、F均为无色气体，W、K为常见的金属单质，C为难溶于水的红褐色固体。
在混合液中加入BaCl2溶液可生成不溶于稀盐酸的白色沉淀，H和W反应可放出大量的热。
请回答下列问题：
1-1 B气体的检验方法为。
1-2 电解混合液时能产生O2的阳极反应式为。
1-3 按要求写出上述转化关系中有关反应的化学方程式：。
2019年四川省宜宾市全市初中数学竞赛试卷解析版
2019年四川省宜宾市全市初中数学竞赛试卷一、选择题（50分，1-10题每题3分，11-15题每题4分）1．使代数式的值为零的x的值是（）A．0，1B．1，C．0，1，D．2．若|a|+a＝0，则的化简结果是（）A．2a﹣1B．1﹣2a C．﹣1D．13．下列图形，①正方形，②正三角形，③矩形，④菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．下列命题中真命题是（）A．若a≠0，则a﹣1＜a B．若a＞b，则|a|＞|b|C．若sinα＝，则α＝30°D．若a≠b，则（a﹣b）2＞05．已知方程x2+5x+k＝0的两根之差为3，则k为（）A．﹣4B．﹣1C．1D．46．在△ABC中，sin A•cos B＜0，则△ABC的外心在△ABC的（）A．一边上B．内部C．外部D．一边上或外部7．已知平行四边形的对角线长为x、y，一边长为12，则x与y的值可能是下列各组数中的（）A．8与14B．10与14C．10与38D．18与208．方程|x2﹣6x|＝9的不相等的根的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，AT切⊙O于T，直线AO交⊙O于B、C且∠TAB＝40°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°10．已知|3x+y﹣4|+＝0，则（x﹣y）0+（x+y）﹣1等于（）A．B．C．D．11．已知函数y＝﹣ax+b（a≠0）的图象经过一、三、四象限，则函数y＝﹣ax2+bx的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．已知△ABC是钝角三角形，AB＝2，AC＝5，BC＝x，那么x的取值范围是（）A．3＜x＜7B．＜x＜7或3＜x＜4C．3＜x＜或＜x＜7D．＜x＜713．设x1、x2是方程3x2﹣7x﹣6＝0的两根，则（x1﹣3）•（x2﹣3）＝（）A．6B．4C．2D．014．有序实数对的运算定义为：（a，b）※（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），如果对所有的（a，b），均有（a，b）※（x，y）＝（a，b），则（x，y）是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（1，1）15．设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A．12公斤B．15公斤C．18公斤D．24公斤二、填空题（24分，每小题4分）16．一个凸多边形过相邻两边上各一点（但不是顶点）作一线段，形成另一多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是．17．已知＝＝，那么＝．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，E、G三等分AB，且EF∥GH∥BC，则EF＝，GH＝．19．计算：++++…+＝．20．如图，在△ABC中，AD：DB＝2：3，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BF：FC＝．21．两座灯塔A和B与海岸观察站S的距离相等，A在S北偏东30°方向，B在S的南偏东60°方向，则灯塔B在灯塔A的方向．三、解答题（46分）22．已知方程组的解为，求a、b的值．23．如果对于自然数n，7n的个位数字用a n表示，试求a1995的值．24．当x＝时，求代数式A＝x3﹣x2﹣x+1的值．25．（已知如图，半径为2的⊙A与直线l相切于C，点B与⊙A在l的同旁，与l的距离BD ＝6，DC＝15，点P为l上到A、B两点距离之和为最短的一点，试确定P点的位置，并求出PC和PD．26．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作DF⊥AC，垂足为F，连接BF交⊙O于E，求证：（1）DF是⊙O的切线；（2）BF：AF＝FC：EF．27．在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速运动，甲球从A点出发按顺时针方向运动，乙球同时从B点出发，按逆时针方向运动，两球相遇于C点，相遇后两球各自在圆上反向作匀速运动，但这时甲球速度是原来的2倍，乙球速度是原来的一半，它们第二次相遇于D点，D在AnB上，已知AmC＝40cm，BnD＝20cm，求ACB的长度．参考答案一、选择题（50分，1-10题每题3分，11-15题每题4分）1．【解答】解：根据题意，得，解得，x＝．故选：D．2．【解答】解：∵|a|+a＝0，∴a≤0，∴原式＝|a﹣1|+|a|＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．故选：B．3．【解答】解：①正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；故选：C．4．【解答】解：A、若a≠0，则a﹣1＜＝，当0＜a＜1时，＞a，故本选项错误；B、若a＞b，假设a＝2，b＝﹣3，此时|a|＜|b|，故本选项错误；C、若sinα＝，则α＝30°或150°，故本选项错误；D、若a≠b，则（a﹣b）2＞0，故本选项正确．故选：D．5．【解答】解：设x1、x2是方程x2+5x+k＝0的两根．∵方程x2+5x+k＝0二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是k，∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝k；∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4k＝9，解得，k＝4．故选：D．6．【解答】解：∵sin A•cos B＜0，当△ABC是直角或锐角三角形时，sin A和cos B的值都是正数，不符合已知条件，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点上，锐角三角形的外心在三角形的内部，故答案A错误；B错误；D错误；只有钝角三角形的cos B的值是负数，故答案C正确．故选：C．7．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，当AB＝12时，根据三角形的三边关系定理只要满足：OB﹣OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可，A、OA＝4，OB＝7，12＞4+7，故本选项错误；B、OA＝5，OB＝7，12＝5+7，故本选项错误；C、0A＝5，0B＝19，19﹣5＞12，故本选项错误；D、OA＝9，OB＝10，10﹣9＜12＜10+9，故本选项正确；故选：D．8．【解答】解：方程|x2﹣6x|＝9可化为两个方程，分别为x2﹣6x＝9…①x2﹣6x＝﹣9…②①化简为x2﹣6x﹣9＝0，△＝（﹣6）2﹣4×（﹣9）＝72＞0，即①有两个不相等的实数根．②化简为x2﹣6x+9＝0，△＝（﹣6）2﹣4×9＝0，即②有两个相等的实数根，∴方程|x2﹣6x|＝9共有三个不相等的实数根．故选：C．9．【解答】解：连接OT，∵AT切⊙O于T，∴∠ATO＝90°，∵∠TAB＝40°，∴∠AOT＝50°，∵OC＝OT，∴∠C＝∠OTC，∵∠AOT＝∠C+∠OTC，∴∠C＝25°．故选：A．10．【解答】解：根据题意得，，解得或（x﹣y＝0，不符合题意，舍去），∴（x﹣y）0+（x+y）﹣1＝（﹣4﹣16）0+（﹣4+16）﹣1＝1+＝．故选：B．11．【解答】解：∵一次函数y＝﹣ax+b的图象经过一、三、四象限，∴﹣a＞0，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝﹣ax2+bx的图象开口向上，对称轴x＝＞0，在y轴右边．故知二次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．12．【解答】解：∵AB＝2，AC＝5，BC＝x，∴3＜x＜7，∵△ABC是钝角三角形，∴若AC的对角∠B是钝角，则cos∠B＝＝＜0，∴4+x2﹣25＜0，∴﹣＜x＜，即3＜x＜；若BC的对角∠A是钝角，则cos∠A＝＝＜0，∴x2＞29，∴x＞或x＜﹣，即＜x＜7．∴x的取值范围是：3＜x＜或＜x＜7．故选：C．13．【解答】解：∵x1+x2＝，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝﹣2﹣3×+9＝0．故选：D．14．【解答】解：∵（a，b）※（x，y）＝（ax+by，ay+bx）＝（a，b），∴ax+by＝a，ay+bx＝b，∵对于任意实数都成立，∴x＝1，y＝0，∴（x，y）为（1，0）．故选：B．15．【解答】解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有＝，解得x＝24．切下的合金重24公斤．故选：D．二、填空题（24分，每小题4分）16．【解答】解：设原多边形的边数是n，则新多边形的边数是（n+1），根据题意得，[（n+1）﹣2]•180°＝2520°，解得n＝15．故答案为：15．17．【解答】解：设＝＝＝k，那么x＝6k，y＝4k，z＝3k，∴＝＝＝．故答案是．18．【解答】解：设EF＝a，GH＝b，∵E、G三等分AB，且EF∥GH∥BC，AD∥BC，∴DF＝FH＝CH，∵AD＝4，BC＝6，根据梯形的中位线定理得：，解得：a＝，b＝，故答案为：，．19．【解答】解：++++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．故答案为：．20．【解答】解：在AE上取点G，使EG＝EF，∵E为CD的中点，∴DE＝CE，又∵EG＝EF，∠DEG＝∠CEF，∴△DGE≌△CFE，∴DG＝FC，根据比例关系可知：DG∥FC，∵AD：DB＝2：3，∴＝＝＝．故答案为．21．【解答】解：由题意得∠MSA＝30°，∠NSB＝60°，∴∠ASB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵AS＝BS，∴∠SAB＝45°．∵MN∥AD，∴∠SAD＝∠MSA＝30°，∴∠BAD＝∠SAB﹣∠SAD＝45°﹣30°＝15°．∴灯塔B在灯塔A的南偏东15°．故答案为：南偏东15°．三、解答题（46分）22．【解答】解：把代入原方程组得，解得．∴a、b的值分别为2，1．23．【解答】解：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649，∴可得出个位数分别为7、9、3、1且呈周期性变化，又∵1995÷4＝498余3，71995的个位数字为3，即a1995的值为3．24．【解答】解：∵x＝，∴x＝＝+1，∴A＝x3﹣x2﹣x+1＝x（x2﹣2x+1）﹣x+1＝x（x﹣1）2﹣x+1＝x﹣x+1＝1．25．【解答】解：∵半径为2的⊙A与直线l相切于C，∴以l为对称轴作点A的对称点A′，连接BA’，交l与点P，点P即要求的点，∵P A＝P A′，∴P A+PB＝P A′+PB＝BA′（两点之间线段最短）；由作图得∠APC＝∠A′PC，∵∠A′PC＝∠BPD（对顶角相等），∴∠BPD＝∠APC，∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，∴tan∠BPD＝tan∠APC，∴＝，即＝，得：PD＝，则PC＝15﹣PD＝．26．【解答】证明：（1）连接AD，DO，∵AB为直径作⊙O交BC于D，∴∠ADB＝90°，（直径所对圆周角等于90°）即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵O为AB中点，D为BC中点，∴DO∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）设AC与⊙O交于一点G，∵AF，FB都为⊙O的割线，∴FG•F A＝FE•FB，∴＝，∵∠ABC＝∠DGC，（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DGC，∴DG＝DC，∵DF⊥AC，∴FC＝FG，∴＝，即BF：AF＝FC：EF．27．【解答】解：设BC＝x厘米．甲球速度为v甲，乙球速度为v乙．根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程第二次等候时方程．由此可得，（x﹣40）（x﹣80）＝0．由于已知条件v甲≠v乙，∴x≠40，x＝80（厘米）ACB＝40+80＝120（厘米）．。
全国高中数学联赛四川省初赛试题及答案(word版)
2019年全国高中数学联赛(四川预赛)试题
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1、设正六边形得边长为1,则、
2、双曲线得右焦点为,离心率为,过点且倾斜角为得直线与该双曲线交于点,若得中点为,且等于半焦距,则.
3、满足(其中得有序数组得组数就是.
4、已知正四棱锥得高为3,侧面与底面所成角为,先在内放入一个内切球,然后依次放入球、、、,使得后放入得各球均与前一个球及得四个侧面均相切,则放入所有球得体积之与为.
5、设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个,现每次从袋子里取出一个球(取出某色球得概率均相同),确定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止.记此时取出球得次数为,则得数学期望为.
6、已知为实数,且对任意,当时,恒成立,则得最大值就是.
7、已知数列满足:,其中表示不超过实数得最大整数.设为实数,且对任意得正整数,都有.则得最小值就是.
8、若正整数使得方程有正整数解,称为“好数”,则不超过2019得“好数”个数就是.
二、解答题:本大题3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9、(本题满分16分)设点得坐标为,点为圆上得两动点,满足,求面积得最大值.
10、(本题满分20分)设,为实数,使得恒成立,求得最大值.
11、(本题满分20分)已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)设函数有极小值,求得取值范围.。
2019年预赛试题参考答案及评分标准
1
3
27
27
P
16 32 64 64
E 2 1 3 3 4 27 5 27 269 ． ……………………………………13 分
16 32 64 64 64
13、（13 分）已知数列{an}中， a1
1, a2
1 4
，且
an1
(n 1)an n an
3 4
4
81 128
．
∴ P A 1 P A 1 81 47 ． 128 128
………………………………………… 5 分
（2）该生参加竞赛次数 的可能取值为 2，3，4，5． ………………………………… 6 分
P
2
1 2 4
M
2 3
,
0,
4 3
，
BC 2,2,0 ， PC 2,0,2 ，
MC
8 3
,
0,
4 3
．
设平面 MBC 的法向量为 m x1, y1, z1 ，
则由
m m
BC 0 MC 0
得：
2x1x1y1z100
（Ⅱ）由 PO 平面 ABC ， OB AC ，∴ PO OB ， PO OC ， 于是以 OC ， OB ， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系，
则
O
0,
0,
0
，
C
2,
0,
0
，
B
0,
2,
【全国百强名校】四川南充高级中学2019年学科竞赛九年级化学试卷(附答案及评分标准)
南充高级中学九年级学科竞赛化学试卷（时间：化学 50分钟化学满分：80分）可能用到的相对原子质量：Na—23 S—32 Ｏ—16 Ba—137 Fe—56 Mg—24 Ca—40Al—27 Zn—65 Al—27 Cl—35.5 H—1（请将选择题答案填入后面相应的表格中。
否则不能得分）一、选择题（每小题只有一个正确选项，共6个小题，共30分）1．某星期天，小明同学回家发现自家田里的小麦出现大面积倒伏现象，就向其父母提出了一条合理化建议：明年应在小麦生长期增施抗倒伏的化肥，你认为增施的化肥是A. NH4NO3 B．CO(NH2)2 C．Ca(H2PO4)2 D．KCl2．向一接近饱和的KNO3溶液中，逐渐加KNO3晶体，下列图象中符合溶液中溶质质量变化规律的是加入KNO3的量A 加入KNO3的量B加入KNO3的量C加入KNO3的量D3．食用下列方法处理过的食品，不会危及人体健康的是A．用干冰冷藏的食品 B．用硫磺熏制的白木耳、粉丝等食品C．用甲醛浸泡的海鲜 D．用工业用盐腌制的肉类食品4．在托盘天平的两边各放一只盛有50g14.6%的稀盐酸的烧杯，调节天平至平衡。
分别向两烧杯中加入下列各组物质,充分反应后,天平仍然平衡的是A. 3.6g铝 3.6g镁B. 10.6g NaOH 10.6g Na2CO3C. 5.6g铁 6.5g锌D. 8.4gMgCO3 8.4g CaCO35．点燃的火柴若火柴头竖直向上，则火柴燃烧的状况是A．火势越来越旺 B．火势先是变弱后越来越旺C．火势越来越弱 D．火势保持不变直到火柴梗燃烧殆尽6．某金属加工厂生产过程中的废液含有少量硝酸银和硝酸铜，为回收利用资源和防止污染，该厂向废液中加入一定量的铁粉，反应停止后过滤，向滤出的固体中加入少量稀盐酸，无气体产生。
则下列有关说法中，正确的是A．滤出的固体中一定含有银和铜，一定不含铁B．滤出的固体中一定含有银，可能含有铁，也可能含有铜C．滤液中一定有硝酸亚铁，一定没有硝酸银和硝酸铜D．滤液中一定有硝酸亚铁，可能有硝酸银和硝酸铜（请将选择题答案填入下面相应的表格中。
2019年全国初中数学竞赛四川地区初赛试卷解析版
2019年全国初中数学竞赛四川地区初赛试卷含解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0的根是（）A．a，b B．﹣a，﹣b C．c，d D．﹣c，﹣d4．若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|≤a有解，则实数a最小值是（）A．1B．2C．4D．65．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18B．24C．30D．366．不定方程x2﹣2y2＝5的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．二次函数y＝x2﹣ax+2的图象关于x＝1对称，则y的最小值是．8．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是．9．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n﹣1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分．比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是．三、解答题（共3小题，满分70分）10．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值．11．抛物线y＝ax2+bx+c的图象于x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式．12．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．参考答案一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．【解答】解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°﹣150°＝30°，∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°＝12，∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝12×（12﹣3）÷2＝54．故选：B．2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．3．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab＝0，而方程的两个根为c、d，∴c+d＝a+b+1，①cd＝ab，②又方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝0，③∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab＝0，（x﹣a）（x﹣b）＝0，∴x＝a，x＝b．故选：A．4．【解答】解：当x＜1，原不等式变为：2﹣2x+9﹣3x≤a，解得x≥，∴＜1，解得a＞6；当1≤x≤3，原不等式变为：2x﹣2+9﹣3x≤a，解得x≥7﹣a，∴1≤7﹣a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x﹣2+3x﹣9≤a，解得x＜，∴＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．故选：C．5．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8＝24个．故选：B．6．【解答】解：若有解，x必为奇数，令x＝2n+1，（2n+1）2＝2y2+5，整理得2n（n+1）＝2+y2，y为偶数，令y＝2m，2n（n+1）＝2+4m2，n（n+1）＝1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选：A．二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，解得a＝2，∴二次函数为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵二次项系数为1，图象开口向上，∴y的最小值是1．故答案为1．8．【解答】解：∵（）2＝62+（）2，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．在直角△AMC中，CA＝，CM＝BC＝3，∴∠CMA＝30°，∴∠DMB＝30°，在直角△BDM中，BD＝BM•sin∠DMB＝3×＝．故答案是：．9．【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下：局，总分为100n ×n﹣10n，假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n﹣9n，女选手最高得分总和为19n×n﹣n，依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n﹣9n）：（19n×n﹣n）≤4，因女选手得分为正数，变形得：（81n×n﹣9n）≤4（19n×n﹣n），移项：5n（n﹣1）≤0，解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1．故答案为：1．三、解答题（共3小题，满分70分）10．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1，∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80，∴5a2+18a﹣99＝0，∴a＝3或﹣，当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a＝﹣．11．【解答】解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN 是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN＝90°，故∠ACN＝45°，从而C（﹣1，0），N（1，0）．（5分）于是直线l的方程为：y＝x+1．设B（x3，y3），由S△BMN＝S△AMN，知y3＝，（10分）从而，即．（15分）综上可知，该抛物线通过点A（0，1），，N（1，0）．于是，（20分）解得．所以所求抛物线的解析式为y＝4x2﹣5x+1．（25分）12．【解答】证明：如图，连接MH，EH，∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，∴MA＝MH＝MD，∴∠MHD＝∠MDH，∵M，D，H，E四点共圆，∴∠HEC＝∠MDH，∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC，∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH，∵∠CMH＝∠HME，∴△CMH∽△HME，∴，即MH2＝ME•MC，∴MA2＝ME•MC，又∵∠CMA＝∠AME，∴△CMA∽△AME，∴∠MCA＝∠MAE，∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME ＝180°，∴A，B，H，E四点共圆，∴∠AEB＝∠AHB，又∵AH⊥BH，∴∠AHB＝90°，∴∠AEB＝∠AHB＝90°．。
四川省2019年高中学生化学竞赛(预赛)试题
四川省2019年高中学生化学竞赛（预赛）试题●本试卷共8页，10个大题，满分100分。
●竞赛时间3小时。
迟到超过30分钟者不能进考场。
开始考试后1小时内不得离场。
时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。
●试卷装订成册，不得拆散。
所有解答必须写在指定的直线上或方框内，不得用铅笔填写。
草稿纸在最后一页。
不得持有任何其他纸张。
●姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论。
●允许使用非编程计算器以及直尺等文具。
沉淀，I为NaCl溶液，D是淡黄色固体单质，B是黄绿色气体。
试填写下列空白：1—1 L的化学式为：1—2 F的化学式为：1—3 写出J受热分解反应的化学方程式：1—4 H和G之间反应的化学方程式：第2题（13分）从某物质A的水溶液出发有下图所示的转化关系：2—1写出C、D、E的化学式：C D E2—2检验B溶液中阴离子的实验操作和实验现象是：。
2—3写出下列反应的离子方程式：①A和足量的NaOH溶液Δ②C、D按体积比1：1通入水中：③A+H2O2：第3题（9分）晶胞是组成晶体的最基本单位，晶胞一定是平行六面体。
氯化钠晶体属立方晶系（即其晶胞为一立方体）。
Na+位于晶胞的顶角及面心处，Cl_位于晶胞的棱心及体心处。
晶胞中微粒（原子、离子等）计数的规则是：顶角、棱上、面上和体内的微粒数各按1/8、1/4、1/2、1来计算。
3—1在NaCl晶体中化学键类型为：3—2在NaCl晶胞中，Na+和Cl—的数目分别为：3—3已知NaCl晶胞的边长a=526pm，试计算NaCl晶体的密度3—4 MgO、CaO、SrO、BaO的结构也属NaCl型，试推测其熔点的变化规律，并给出简要的说明。
第4题（9分）试用相关理论讨论以下问题：4—1判断N3—、N2O的空间构型，有无离域π键？若有指出其所属类型。
4—2判断O3的空间构型，说明O3在水中的溶解性为何比O2的大？4—3推测乙醇、乙醚及丙三醇沸点高低的顺序，简述理由。
2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛试卷及答案
解：（1）设 g(x) f (x) ax2 x 2 x ln x x 2 ，
则 g(x) ln x ，
当1 < x < 3 时， g(x) 0 ，
因此 , g(x) 在 (1,3) 单调递增，
所以， g(x) g(1) 1；
设 h(x) (3 x)ex，则 h(x) (2 x)ex ，
所以， F (x) 在[1, e] 上无极值点．
（ii）当 1 a 0 ，即 a 1 时， t(x) 0 ，
e
e
于是 F (x) ax2 xlnx, x 1, e ，
则 F(x) 2ax lnx 1, F x 2a 1 ，
x 因为 1 [1 ,1] ，
xe ①当 2a 1，即 a 1 时， F (x) 0 ，
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1、 3
2、 2
3、8
4、 18 、12
6、 6 6 ln 6
1
7、
8、1346.
13
288
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）设点 A 的坐标为 (0, 3) ，点 B, C 为圆 O ： x2 y2 25 上的两动
2
故 F(x) 在[1, e] 单调递增，
又因为 F(1) 2a 1 0 ，
故 F (x) 在[1, e] 上单调递增，
所以， F (x) 在[1, e] 上无极值点．
1
②当
a 1 时，由 F(x) 2a 1 0 得
1
x e，
e
2
x
2a
于是 F(x) 在[1, 1 ] 单调递减，在[ 1 , e] 单调递增．
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A
O1 B
O x
P
由①、②、③、④可知：
C
x2 y2 3y 8 ，即 x2 ( y 3)2 ( 41)2 .
2
2
所以，线段 BC
的中点 P
的轨迹是 O1 ，其方程为：
x2
(y
3)2 2
(
41)2 . ……4 分 2
3 41 于是| AP || AO1 | | O1P | 2 2 ,
2019 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
参考答案及评分标准
说明： 1、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档；第 9 题 4 分一个档次、 第 10 题和第 11 题均为 5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增 加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考 本评分标准评分.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1、 3
2、 2
3、8
4、 18 、12
6、 6 6 ln 6
1
7、
8、1346.
13
288
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）设点 A 的坐标为 (0, 3) ，点 B, C 为圆 O ： x2 y2 25 上的两动
) 时，可取到等号.
2
25 3 41
所以，△ ABC 面积的最大值是
.
2
10.（本题满分 20 分）设 a, b, c (0,1] ， 为实数，使得
……16 分
3 1 (1 a)(1 b)(1 c) abc
恒成立，求 的最大值.
解：取 a b c 1 时， 64 .
2a
2a
又因为 F (1) 2a 1 0, F (e) 2ae 2 0 ,
故 x0 1, e 使得 F (x0 ) 0 ，
因此， F (x) 在 (1, x0 ) 上单调递减，在 (x0 , e]上单调递增，
所以， F (x) 在[1, e] 上有一个极小值点．
2
故 F(x) 在[1, e] 单调递增，
又因为 F(1) 2a 1 0 ，
故 F (x) 在[1, e] 上单调递增，
所以， F (x) 在[1, e] 上无极值点．
1
②当
a 1 时，由 F(x) 2a 1 0 得
1
x e，
e
2
x
2a
于是 F(x) 在[1, 1 ] 单调递减，在[ 1 , e] 单调递增．
(3 x)ex
e2
（2） F(x) | f (x) | x2 lnx a ， x [1, e] x
令 t(x) lnx a, x [1, e], 则 t(x) 1 ln x ，
x
x2
当 x [1,e] 时， t(x) 0 ，
故 t(x) 在[1, e] 上单调递增． 于是 t(1) t(x) t(e) ，即 a t(x) 1 a .
……10 分
只须证 1 1 64 (1 x2 )3 x 27
1 x 64 (1 x)3(1 x)3 x 27
1 64 x(1 x)2 (1 x)3 27
……15 分
由均值不等式知：
x(1
x)2 (1
x)3
27 x(1
x)2 (1
x )3
27(
x
2(1
e
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页）
……5 分
（i）当 a 0 ，即 a 0 时， t(x) 0 ，
于是 F (x) xlnx ax2, x 1, e ，
则 F(x) lnx 1 2ax 0, 从而 F (x) 在[1, 3] 上单调递增，
所以， F (x) 在[1, e] 上无极值点．
点，满足 BAC 90 ，求△ ABC 面积的最大值.
解：如图，设 B(x1, y1),C(x2, y2 ) ， P(x, y) 为线段 BC 的中点.
则 x12 y12 25 ①
y
x22 y22 25 ② x1x2 ( y1 3)( y2 3) 0 ③ x1 x2 2x, y1 y2 2 y ④
……8 分
从而△ ABC 面积 S 1 | AB | | AC | 1 (| AB |2 | AC |2 ) 1 | BC |2 | AP |2
2
4
4
( 3 41)2 25 3 41
22
2
……12 分
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 5 页）
3 41
当点 P 的坐标为 (0,
则 g(x) ln x ，
当1 < x < 3 时， g(x) 0 ，
因此 , g(x) 在 (1,3) 单调递增，
所以， g(x) g(1) 1；
设 h(x) (3 x)ex，则 h(x) (2 x)ex ，
当1 < x < 2 时， h(x) 0 ；当 2 < x < 3 时， h(x) 0
x)
3(
x 1 )
3 )6
27
3
6
64
于是 64 x(1 x)2 (1 x)3 64 27 1，故（*）成立.
27
27 64
综上可知， 的最大值是 64 . 27
……20 分
参考答案及评分标准 （第 2 页 共 5 页）
11.（本题满分 20 分）已知函数 f (x) xlnx ax2 , a R .
因此， h(x) 在 (1, 2) 单调递增，在 (2,3) 单调递减.
所以， h(x) 的最大值为 h(2) e2 ，即 0 (3 x)ex e2 ，
1
1
(3 x)ex
e2
0.
又因为 f (x) ax2 x 2 1，
所以 f (x) ax2 x 2 1 .
从而
F
(
x)
ax2 xlnx,1
xlnx
ax2
,
x0
x
x
x0 e
，
于是
F
x
2ax 1 lnx,1 x lnx 1 2ax, x0
x0 xe
，
令 k(x) ax2 xlnx, x [1, e] ，则 k(x) 2ax lnx 1
4
27
……5 分
下证： 64 满足条件，即证
3 1 64 (1 a)(1 b)(1 c)
27
a b c 27
注意到： (1 a)(1 b)(1 c) (1 a b c)3 3
令 a b c 3x2 ，其中 x 0 ，则 0 x 1.
下面证明 k(x) 0 ，即证 2ax lnx 1, 2a lnx 1 ， x
又 (ln
x 1) x
ln x x2
0 ，故 (ln
x 1 x )min
2 e
即证 a 1 ，所以结论成立，即 k(x) 0 ， e
注意到 (1, x0 ) [1, e] ，故 F (x) 在[1, x0 ) 单调递减，在 (x0 , e] 单调递增．
（1）证明：当1 <
x
<
3 时，
f
(x) ax2 x 2 (3 x)ex
1 e2
；
（2）设函数 F(x) | f (x) | （ x [1, e]）有极小值，求 a 的取值范围.
解：（1）设 2 ，
（ii）当 1 a 0 ，即 a 1 时， t(x) 0 ，
e
e
于是 F (x) ax2 xlnx, x 1, e ，
则 F(x) 2ax lnx 1, F x 2a 1 ，
x 因为 1 [1 ,1] ，
xe ①当 2a 1，即 a 1 时， F (x) 0 ，
因此， x0 为 F (x) 的极小值点.
……15 分
综上所述，当 0 a 1 或 1 a 1 时， F (x) 在1, e 上有极小值点． ……20 分
ee
2
参考答案及评分标准 （第 5 页 共 5 页）
……10 分
（iii）当 a 1 时， F(x) 2 x lnx 1，由 F(x) 2 1 0 得 x e ，
e
e
ex
2
于是 F(x) 在[1, e ] 上单调递减，在[ e ,e] 上单调递增，
2
2
又 F(1) 2 1 0, F (e) 0 ，从而 F x 0 在[1, e] 上恒成立，
e
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页）
所以， F (x) 在[1, e] 上无极值点．
（iv）当 0 a 1 时，因为 t(x) 在[1, e] 单调递增， e
于是 x0
1, e ，使得
lnx0 x0
a，
因此，当 x [1, x0 ] 时， t(x) 0 ，当 x [x0, e] 时， t(x) 0 ，