金融经济学 第3章 组合前沿的数学 - 复制
金融经济学3Arrow-Debreu经济
理论研究的挑战
假设条件严格
Arrow-Debreu经济模型假设市场是完全竞争的，且所有参与者都 具有完全理性，这与现实情况存在较大差异。
缺乏动态分析
Arrow-Debreu经济模型主要关注静态均衡，缺乏对市场动态变化 的分析。
难以解释复杂经济现象
Arrow-Debreu经济模型难以解释现实世界中复杂的经济现象，如 市场失灵、信息不对称等。
实证研究的挑战
数据获取与处理
Arrow-Debreu经济模型假设市场是完全竞 争的，但实际数据往往难以完全符合这一假 设，数据获取和处理难度较大。
模型适用性
Arrow-Debreu经济模型主要适用于完全竞争市场 ，对于不完全竞争市场，模型可能无法准确描述市 场行为。
实证检验难度
由于Arrow-Debreu经济模型假设市场是完 全竞争的，实证检验需要大量数据和复杂的 计量分析，难度较大。
产业组织
市场结构
Arrow-Debreu经济模型可以用于分析市场结构，如垄断、寡头和竞争市场的特点，以及市场结构对 价格和产量的影响。
企业策略
该模型还可以用于研究企业策略，如定价、产量决策和产品差异化等，以及这些策略对企业利润和市 场地位的影响。
04
Arrow-Debreu经济的挑战 与未来发展方向
一般均衡理论
供需平衡
在一般均衡理论中，市场中的所有商品和服务的 供给和需求达到平衡状态。
效率最大化
市场达到一般均衡时，资源分配达到最优状态， 实现了资源利用的最大效率。
帕累托最优
在一般均衡状态下，无法通过重新配置资源使得 至少一个人的状况变好而不损害其他人的利益。
风险与不确定性
风险
01
金融经济学第三讲md
金融经济学第三章
因此所有风险资产和可行组合的期望回报率都位于同一条直线上， 该直线被称为证券市场线，如图3.2.1所示。
（图3.2.1）：完全风险资产下市场组合是有效组合时的证券市场 线
金融经济学第三章
二、零-贝塔CAPM
在上述假定下，由于市场组合m是一个有效组合，其零-协方差 组合 zc(m) 是一个无效组合，所以对于任意可行投资组合 q，其期 望回报率满足： E[~ rq ] E[~ rzc ( m) ] qm ( E[~ rm ] E[~ rzc ( m) ]) ， ， 上述关系式被称为零 -贝塔 CAPM (Zero-Beta Capital Asset Pricing Model)，由 Black(1972) 和 Lintner(1969) 给出。零 - 贝塔 CAPM蕴涵，均衡时资产和可行投资组合的期望回报率仅反映了同 市场组合相关的那部分风险。
金融经济学第三章
3.3.2 存、贷款利率不等时的CAPM
假定市场中存在 I位投资者，所有投资者都是风险回避的、不 饱和的，他们有着相同的投资周期，对资产回报率有相同的预期； 假定每一种证券都是无限可分的，风险资产和无风险资产正供给， 假定风险资产可以无限卖空，同时无风险资产的贷款利率大于存款 利率；假定市场是无摩擦的，即没有交易成本和税收，信息会自动 地传递到每一个投资者手中。 当投资者都选择持有有效组合，风险资产和无风险资产正供给， 借款利率大于贷款利率时，个体投资组合都位于图 3.5.2 中的曲线 e d LDEH上。该经济中存在两个切点组合 和 。
金融经济学第三章
上海财经大学金融学院
陈利平
金融经济学第三章
金融经济学基础第三章中文文字版
⾦融经济学基础第三章中⽂⽂字版第三章资产组合前沿边界的数学分析3.1 在第⼆章我们证明了当风险资产A ⼆阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，⽅差则⼩于B 的⽅差。
当存在两个以上的资产并且可以⽆限制地构造投资组合时，如果存在⼀个资产的投资组合⼆阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的⽅差必然最⼩。
这⼀结果是我们论述在不同的期望收益率⽔平下具有最⼩⽅差的投资组合的动机之⼀。
3.2 资产选择的均值-⽅差模型⾃从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被⼴泛地应⽤在⾦融领域。
个体效⽤函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对⽅差的厌恶。
不过，对任意的分布和效⽤函数，期望效⽤并不能仅仅由预期收益和⽅差决定。
然⽽，资产选择的均值-⽅差模型仍然流⾏是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
除3.1节指出的⼀个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。
3.3 个体的效⽤函数可以在期望财富附近泰勒展开，///231()([])([])([])([])([]),2u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中()331([])([])([])!n n n R u E wE w w E w n ==-∑ ()n u 表⽰u 的n 阶导数。
假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效⽤可以表⽰为//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!E u w u E w u E w w E R σ=++ （3.3.1）其中()331[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w表⽰的w 的n 阶中⼼矩。
关系式（3.3.1）指出了⼀个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效⽤函数是递增并严格凹的。
金融经济学第3章
2
1 E[r ] 1 E[r ]
E[CFn ]
1 E[r ]
n
• 而“期望的r的大小取决于风险的大小”是人们借贷
和消费选择的结果。
比较：人们在确定(无风险)的借贷利率r下的
借贷、消费的选择
W1=1100
下年消费
590
480
B
110
U2 (C0 ,C1)
A U1(Y0,Y1)
消费的选择？
C1
C13
C12
C11
Y1
A
C0
Y0
w0
C0
• 例如，下一年的收益率有5种状况，如果选择了本
年贷出100单位消费品（本年消费变为550-100=
450），则：
r
C1 ( =480+
)
5%
10%
20% 30%
50%
105
110
120
130
150
585
590
600
610
630
• 这样的消费能给该个体带来多大的效用呢？
用准则。
• 当L1和L1’ 作为备选方案时选L1 ，当L2和L2’
作为备选方案时选L2’ ，就违背了期望效用原
则。
•
•
因为通过计算表明，如果遵从期望效用原则
的投资者L1和L1’ 之间偏好L1’，那么他必须
在L2和L2’ 之间偏好L2 。
Why？
• “阿莱悖论”显示的是个体的偏好违反独
立性公理的情况，这时，个体的偏好不能
收益h2。
• 定义3.2：一个赌博称为是公平的是指ph1+(1p)h2=0。
+u(630)×0.15和
金融经济学第三章
?首先：资本市场是否完全？
两个公司的状态相关的回报是线性独立的，因此市 场是完全的。
?纯证券价格：
100 p1 ? 30 p2 ? 62 40 p1 ? 90 p2 ? 56 ? p1 ? 0.5, p2 ? 0.4
?NPV：NPVA ? 10 p1 ? 12 p2 ? I0A ? 10*0.5 ? 12*0.4 ? 10 ? ?0.2
? 完全的资本市场 ：可产生任何形式的收益，线 性无关的证券个数与所有自然状态的数目相等。
? 例：由三个资产构成的资本市场： (1,1,1), （1,0,0) ，（0,1,1 ）就不是完全市场。
D、纯证券价格的导出
? 建立市场证券与纯证券价格之间的关系
? 例：某公司销售两篮子水果，篮子 1里有10根香蕉 20个苹果，价格为 8$，篮子2里有30根香蕉10个苹 果，价格为 9$。
自然状态可能有无穷个。 自然状态发生的概率等于与证券期末收益相联系的概
基本假设：
? 个体能够把证券期末报酬的分布的结果与发生
的状态联系起来；
? 当某一状态发生时，个人仅关心他们可以获得
的财富的数量，个体效用函数与状态独立。
B、纯证券定义（Arrow-Debreu证券）
定义：对某给定的状态发生时，纯证券的价值 是1； 在其它状态下，其价值是 0。
可以证明，若对投资者的偏好施加额外的限制，或 者对投资收益施加额外的限制，组合分离成立。
投资组合分离依赖：效用函数形式 (投资者偏好 )、 或证券收益分布；
效用函数是二次函数、或者证券的收益是联合正
态分布时，两基金分离成立。
如果投资组合可分，与市场是否完全没关系。
I、公司估价、Fisher分离原理和最优投资决策
金融经济学第三章
34.28
三阶段股利贴现模型
• 两阶段模型假设公司的股利在头n年以每年gh的速率 增长，从（n+1）年起由gh立刻降为gs，而不是稳定 地有一个从gh到gs的过渡期，这是不合理的，为此， Fuller（1979）提出了三阶段模型
成长期
g
gh
过渡期
gt
成熟期
gs
n1
n2
t
v vh vc vs
收盘价略高于开盘价。小阳星的出现，表明行情正 处于混乱不明的阶段，后市的涨跌无法预测。
K线图
• 光头阳线: •
光头阳线若出现在低价位区域，且成交量同时放大， 预示为一轮上升行情的开始。如果出现在上升行情 途中，表明后市继续看好。
K线图
• 十字星: 这种线型常称为变盘十字星，无论出现在高价位区 或低价位区，预示大势即将改变原来的走向。
Dt (1 k)t
11 t7
Dt1(1 gt ) (1 0.15)t
其中gt
g1
(g1
g2)
t T1 T2 T1
g7
0.25
(0.25
0.10)
76 11 6
D71 D6 4(1 0.25)6 15.26 类似地:
D81 D7 D6 (1 0.22) 18.62,
0.22 类似地:
rc )n2n1
tn2
Dt (1 rs )tn2
(1
Dn2 (1 rs ) rh )n1(1 rc )n2n1(rs
gs )
Dn2 D0 (1 gh )n1 (1 gc )n2n1
• 例：假定某公司股票期初支付的股息为1元，前2年的股息 增长率为15%，然后按线性的方式下降到第7年的10%，之 后股息增长率一直维持在这一水平，折现率为18%，问股 票的内在价值是多少？
金融经济学基础第三章中文文字版
第三章 资产组合前沿边界的数学分析3.1 在第二章我们证明了当风险资产A 二阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，方差则小于B 的方差。
当存在两个以上的资产并且可以无限制地构造投资组合时，如果存在一个资产的投资组合二阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的方差必然最小。
这一结果是我们论述在不同的期望收益率水平下具有最小方差的投资组合的动机之一。
3.2 资产选择的均值-方差模型自从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被广泛地应用在金融领域。
个体效用函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对方差的厌恶。
不过，对任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益和方差决定。
然而，资产选择的均值-方差模型仍然流行是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
除3.1节指出的一个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。
3.3 个体的效用函数可以在期望财富附近泰勒展开，///231()([])([])([])([])([]),2u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中()331([])([])([])!n n n R u E w E w w E w n ==-∑()n u 表示u 的n 阶导数。
假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效用可以表示为//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!E u w u E w u E w w E R σ=++ （3.3.1） 其中 ()331[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w 表示的w 的n 阶中心矩。
关系式（3.3.1）指出了一个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效用函数是递增并严格凹的。
除了期望与方差，关系式（3.3.2）还含有高阶矩的项，它说明了对于任意的分布和偏好，期望效用不能仅仅由财富的期望值和方差确定。
金融经济学第3章
p q implies
【A. xiom 3.5】 Archimedean axiom:
For all p，q，r P , if p q r then there exists
a,b (0,1) such that
ap (1 a)r q bp (1 b)r .
第3章
不确定下的选择理论： 期望效用函数
【Definition】 An individual’ s preferences have an
expected utility representation if there exists a function u
such that random consumption ~x is preferred to random consumption ~y if and only if
ap (1 a)r aq (1 a)s .
13
❹ p ~ q and a [0,1] imply that p ap (1 a)q.
❺ p ~ q and a [0,1] imply that
ap (1 a)r aq (1 a)r , for all r P . ❻ There exist z 0 , z0 Zsuch that
E[u(~x )] E[u(~y)]
where E() is the expectation under the individual’s probability belief.
2
3.1 Expected Utility Function
Suppose that : ① There are two dates, time 0 and time 1; ② There is a single consumption good available, ③ Individual consume only at time 1. ④ Uncertainty in the economy is modeled by uncertain states of nature to be realized at time 1. : the collection of all the possible states of nature ,
第三章数理金融
第三章 套利与资产定价3.1 一般性市场结构3.1.1 复合证券前面介绍的Arrow-Debreu 证券只在一种情形有正的支付，但现实中的大多数证券的支付分布都要复杂一些，它们在多种情形下都有正的支付。
如无风险债券在所有状态下都有相同的正支付，股票在多种状态都有正支付。
由于从理论上我们都可以用状态或有证券的某种组合复制出这些证券的支付分布，故通常又称这些现实中的证券为“复合证券”（composite seurity ）。
事实上，证券n 的支付向量.,1,,,;;;;n n w n n X x x x Ω⎡⎤=⎣⎦ ，则证券市场结构由下面的支付矩阵X 给出：1,11,1,,1,,,1,,n N w w n w N n N x x x x x x X x x x ΩΩΩ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.1.2 冗余证券不同证券的支付向量之间有可能出现线性相关的情况。
此时，某些证券的支付向量可表成其它一些证券的支付向量的线性组合。
此时，支付矩阵X 非满秩。
记j X 是剔除了证券j 后的支付矩阵，即j X 111,,,;;j j N x x x x -+⎡⎤=⎣⎦ ，则由原来的N 只证券的组合生成的任意支付也可由剔除了证券j 以后的1N -只证券来生成。
下面说明这一点。
令θ为由所有的N 只证券生成的一个组合，j θ是剔除了j 后的1N -只证券的组合。
设j x 是其它x 的线性组合。
故存在j θ*使得j j x X =j θ*设由任意θ所生成的支付： j x X X θ==j θ j jj x X θ+=(j θj j θθ+*) 这就证明了上述结论。
由于不需要证券j 时，我们也可生成相同的证券，故称证券j 为“冗余证券”（redundant security ）。
在帮助参与者进行资源配置的时候，冗余证券并没有额外的价值。
没有它们的参与，证券市场仍有同样的功能。
故在下述分析中，我们将其忽略。
即是说，由于它们总是能够达到相同的配置，故在此意义上，X 与j x 是两个等价的市场结构。
金融经济学3
12
均衡价格的产生 均衡，一个价格体系和资源配置，达到市场供需平衡
以及所有参与人的最优化；
• 达到一种价格，上图不再运动，供需平衡，个人均达 到最优，市场出清——均衡；该价格就称为均衡价格。
13
一般经济均衡理论
From Internet .
14
资源的有效配置
配置：在参与者间进行分配 虽然“各自优化”，未必自然达到最优的配置； 极端例子：无证券市场。 评判标准：Pareto最优
定义（Pareto 占优） 以 {ck , k 1, 2,..., K} 记经济中的一个配置。称配置 {ck }
Parero占优于配置 {ck} ，如果
并且严格偏好至少对一个k成立。
资源的有效配置
定义（可行性配置） 一个配置称为可行的（feasible），如果
ck ek
k
k
定义（Pareto最优） 一个可行性配置，如果不存在其它Pareto占优于
5
金融市场
一些名词（续） •冗余证券
支付可由其他证券复制的证券； 多余的，去除之后市场仍具有同样结构；
忽略冗余证券：rank(X)=N≤M
对市场X的等价描述
忽略冗余证券，考察N个证券组合：
结论：
提供了市场的等价描述。
特殊情形N=M
如果N<M呢？
对市场的假设：
证券的支付只取决于未来实际经济状态； 支付外生； 市场信息的完全流通； 无摩擦市场假设：无参与成本、无交易成本、无税收、
它的可行配置，则称该配置是Pareto最优的。
Pareto最优配置也称为有效（efficient）配置； 允许参与者达到有效配置的市场称为有效市场。
金融学第三章ss10.10
* 我国目前的利率水平( 2010.10.20 — )： 单位：年利率% 人民币存款基准利率： 活期 定期： 三个月 半 年 一 年 二 年 三 年 五 年 0.36
1.91 2.20 2.50 3.25 3.85 4.20
人民币贷款基准利率:
短期贷款: 六个月 一年 中长期贷款: 一至三年(含三年) 三至五年(含五年) 五年以上 5.60 5.96 6.14 5.10 5.56
第三节 利率的风险结构
相同期限债券因风险差异而产生的不同利率！
因素主要有以下三种：
1、违约风险（default risk）
政府债券←→公司债券
债券利率与无风险证券利率之差 -- 风险溢价 （risk premium）
假定中央政府发行的公债其利率为r0，另一 种为公司债券，利率为rc 。假设分析之初没有 风险溢价，即rc= r0
n Vn P (1 r )
例：投资100万元，按年利率10%计算，3年后的复利值？
解： V3 = P(1+r)3 = 100(1+0.1)3 = 133.1(万元)
#
连续复利：
e
r
(三)现值计算
未来某一金额的现在价值。
贴现
概念与计算方法和复利值正好相反：
1 计算公式： P V (1 r )n
莫迪格利亚尼 ：
r↓→ Ps↑→ FW 、LR↑→ C↑→ Y↑
对耐用消费品支出的影响 ：i↓→ 耐用消费品支出↑→ Y↑
对汇率的影响：
i↓→ E↓→ NX（净出口）↑→ Y↑
……
32*10000
日期
1月2日
存入金额
支取金额
余额
计息积数
10000
金融经济学第3章组合前沿的数学
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。 在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的 ~)]就可以完全地由均值和方差表示。 函数。因此， E[u ( w 正态分布对于加法运算保持不变，即多个正态分布变量 之和仍为正态分布。
A 前沿资产组合的有效集应当是位于射线 C D (~ rp ) C
引入无风险资产情况下考察任意一支资产与前沿资产组 合之间的关系（假设 rf A C ）：
当存在一支无风险资产时，
E[~ rq ] rf qp ( E[~ rp ] rf ) ~ ~ rq (1 qp )~ rf qp ~ rp qp
s.t. w e (1 w 1)rf E[~ rp ]
T T
1 T min w Vw h 2
rf 表 其中 仍然表示风险资产的预期收益率的N 维向量， 示无风险资产的收益率。
e
构造一个拉格朗日函数，可求得
(~ rp ) {
E[ ~ r p ] r f H ~ E [ rp ] r f H
我们总可以将资产组合q qp ~ rp q
金融经济学中的组合数学问题
金融经济学中的组合数学问题第1章绪论1.1 选题背景和意义在金融分析中，投资方案的确定以及怎样找出好的投资组合以降低投资风险等，都涉及到组合优化模型。
例如在股票中，有些炒股的人应用组合数学模型，得到一个实用性的结论：每周四下午二点后买入优选的股票后，于每周五收盘前抛出。
再优选一只股票，于下周一开盘后10 点半买入，到下周三抛出。
这样操作得到的收益是天天进出收益的四倍以上。
这说明天天进出，是零和游戏中收益最不佳的。
而对于中线操作者而言，一旦选不好股票，其所承担的风险也较大。
所以上述应用组合数学模型得到的操作方法是最佳的。
从而揭示了组合数学在现实应用中的意义。
1.2 前人的研究成果美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者马科维茨于1952 年在《金融杂志》上发表了题为《证券组合选择》的论文，把证券组合风险和收益之间的替代关系数量化，提出了均衡分析的理论与方法，建立了现代证券组合理论的基本框架。
这一理论的重要意义在于它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
马科维茨曾经在其诺贝尔经济学奖授奖演讲词中说道：“我寻求投资者们——至少有充分计算资源的投资者们事实上能遵循的一组规则。
所以，我认为在计算上可行的一个近似方法优于一个不能计算的精确方法。
我相信肯尼斯·阿罗的不确定经济学著作与我的著作的分歧之点是他寻求一个精确的一般解，我寻求一个能实施的好近似法。
我相信两条研究路线都有价值。
”现代资产组合理论主要研究如何度量不同的投资风险，组合投资收益与风险之间的关系，以及如何选择资产以最大化组合收益等。
Samuelson 和E.Fama分别于1969 年和1970 年研究了离散时间的投资消费问题。
在投资者具有不变弹性效用函数的假设下，Samuelson得到投资组合选择与投资者的财富水平及消费选择无关。
Merton 在连续时间下提出了最优投资消费问题，该问题假设投资者拥有两种可供选择的资产——风险资产和无风险资产，投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大化。
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2、资产组合前沿
假定： 1、在一个无摩擦的经济中有 N 2 种风险资产，这 些资产皆可以自由地卖空，并且，所有资产的收益率 都具有有限的方差和彼此差异的预期值。 2、任何一种资产的随机收益率都不能由其他资产收益 率的线性组合来表示，即这些资产的随机收益率是彼 此线性独立的。 J ~ ~ r ( r ) 在这种假设的经济中，向量 j j 1 表示J 种风险资 产的随机收益率。矩阵V表示J 种风险资产收益率的方 差—协方差矩阵。 V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。
1
g 是预期收益率为0 从以上（3.9.4）式人们可以看出， 的前沿资产组合的权重向量； g w 是预期收益率为1 的前沿资产组合的权重向量。
资产组合前沿
资产组合前沿：经济中所有的前沿资产组合之集合。 命题：所有资产组合前沿上的资产组合都可以由两个前 沿资产组合g和g+h的线性组合所构成。 命题：整个资产组合前沿可以由任意两种收益率不同的 前沿资产组合得出。 任意两支前沿资产组合 p 和 q之间的协方差为
C 1 V 1
T
1
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
D BC A
2
~ E [ rp ] 的前沿资产组合 我们可以得出一个预期收益率为 的唯一权重集合
wp g hE[~ rp ]
1
(3.9.4)
其中
g 1 D[ B(V 1) A(V e)] 1 1 h 1 D[C (V e) A(V 1)]
其中E[ R3 ] 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由 对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而 是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。
2!
~ ]) 2 (w ~ ) E[ R ] u ( E[ w 3
均值－方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完 全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一 个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以 表达为 u ( z ) z (b 2) z 2 。 此时 E[ R3 ] 0 于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
b ~ ~ ~ ]) 2 2 ( w ~ )) E[u ( w)] E[ w] (( E[ w 2
(8.2)
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻 画存在着以下两个主要的缺点：
第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富 具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这 点之后，收益增加的边际效用为负。
C A A 1 T ~ ~ ~ ~ Cov(rp , rq ) w p Vwq ( E[rp ] )( E[rq ] ) D C C C (3.11.1)
均值－方差平面中的前沿组合
关系式（8.11a）也可以等价地写成
2 (~ rp )
1 (C ( E[~ rp ]) 2 2 AE[~ rp ] B) D
前沿组合
前沿资产组合：如果在所有具有相同预期收益率的资产组
合中，这一资产组合具有最小的方差值，则该资产组合就是 前沿资产组合。 资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权 重wp 是下面二次规划问题的解 1 T min w Vw w 2 s.t. 。 wT e E[~ rp ]和 wT i 1 其中：e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量， E[ ~ rp ] 表示资产组合的预期回报率，i表示分量为1的N维向量。
构造一个拉格朗日函数，w p 是以下函数式的解： 1 T min L w Vw ( E[~ rp ] wT e) (1 wT 1) { w, , } 2 （其中， 和 是两个正值的常数。） 求解可得 B AE[~ rp ] CE[~ rp ] A D D T 1 其中 A 1T V 1e eTV 11 Be V e
用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明
~ 是经济行为主体在时期1的全部收入或财富， 随机变量 w ~ ) 的预期值周围展开可得 其效用函数 在 u( w
~ )] u ( E[ w ~ ]) E[u ( w
~ w 1
~ ])为常数, 2 E ( w ~ E[ w]) 2 其中u ( E[ w 1 (n) ~ ]) m n ( w ~) E[ R3 ] u ( E[ w n 3章 组合前沿的数学
本章大纲
偏好与分布 资产组合前沿 资产组合前沿的一些数学性质
1、偏好与分布
一般来说，仅仅用资产组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。 但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为资 产组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。 对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期 收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分 析的运用是存在限制条件的。
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。 在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的 ~)]就可以完全地由均值和方差表示。 函数。因此， E[u ( w 正态分布对于加法运算保持不变，即多个正态分布变量 之和仍为正态分布。
(8.11b)
最小方差资产组合的收益率和其他任意资产组合（不单 是前沿资产组合）的收益率的协方差，总是同最小方差 资产组合收益率的方差相等。 有效资产组合：在整个资产组合前沿曲线中，所有那些 预期收益率严格大于最小方差资产组合收益率 A C 的资 产组合称之为有效资产组合； 无效资产组合：那些既不是有效资产组合，又不是最小 方差组合的资产组合称之为无效资产组合。 前沿资产的线性组合也落在资产前沿上。 任意一支有效资产组合的凸组合仍然是一支有效资产组 合。因此有效资产组合的集合是一个凸组合。