金融经济学 第3章 组合前沿的数学 - 复制
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其中E[ R3 ] 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由 对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而 是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。
2!
~ ]) 2 (w ~ ) E[ R ] u ( E[ w 3
均值－方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
2、资产组合前沿
假定： 1、在一个无摩擦的经济中有 N 2 种风险资产，这 些资产皆可以自由地卖空，并且，所有资产的收益率 都具有有限的方差和彼此差异的预期值。 2、任何一种资产的随机收益率都不能由其他资产收益 率的线性组合来表示，即这些资产的随机收益率是彼 此线性独立的。 J ~ ~ r ( r ) 在这种假设的经济中，向量 j j 1 表示J 种风险资 产的随机收益率。矩阵V表示J 种风险资产收益率的方 差—协方差矩阵。 V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完 全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一 个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以 表达为 u ( z ) z (b 2) z 2 。 此时 E[ R3 ] 0 于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。 在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的 ~)]就可以完全地由均值和方差表示。 函数。因此， E[u ( w 正态分布对于加法运算保持不变，即多个正态分布变量 之和仍为正态分布。
b ~ ~ ~ ]) 2 2 ( w ~ )) E[u ( w)] E[ w] (( E[ w 2
(8.2)
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻 画存在着以下两个主要的缺点：
第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富 具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这 点之后，收益增加的边际效用为负。
C 1 V 1
T
1
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
D BC A
2
~ E [ rp ] 的前沿资产组合 我们可以得出一个预期收益率为 的唯一权重集合
wp g hE[~ rp ]
1
(3.9.4)
其中
g 1 D[ B(V 1) A(V e)] 1 1 h 1 D[C (V e) A(V 1)]
《金融经济学基础》
第 3章 组合前沿的数学
本章大纲
偏好与分布 资产组合前沿 资产组合前沿的一些数学性质
1、偏好与分布
一般来说，仅仅用资产组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。 但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为资 产组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。 对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期 收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分 析的运用是存在限制条件的。
前沿组合
前沿资产组合：如果在所有具有相同预期收益率的资产组
合中，这一资产组合具有最小的方差值，则该资产组合就是 前沿资产组合。 资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权 重wp 是下面二次规划问题的解 1 T min w Vw w 2 s.t. 。 wT e E[~ rp ]和 wT i 1 其中：e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量， E[ ~ rp ] 表示资产组合的预期回报率，i表示分量为1的N维向量。
(8.11b)
最小方差资产组合的收益率和其他任意资产组合（不单 是前沿资产组合）的收益率的协方差，总是同最小方差 资产组合收益率的方差相等。 有效资产组合：在整个资产组合前沿曲线中，所有那些 预期收益率严格大于最小方差资产组合收益率 A C 的资 产组合称之为有效资产组合； 无效资产组合：那些既不是有效资产组合，又不是最小 方差组合的资产组合称之为无效资产组合。 前沿资产的线性组合也落在资产前沿上。 任意一支有效资产组合的凸组合仍然是一支有效资产组 合。因此有效资产组合的集合是一个凸组合。
用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明
百度文库
~ 是经济行为主体在时期1的全部收入或财富， 随机变量 w ~ ) 的预期值周围展开可得 其效用函数 在 u( w
~ )] u ( E[ w ~ ]) E[u ( w
~ w 1
~ ])为常数, 2 E ( w ~ E[ w]) 2 其中u ( E[ w 1 (n) ~ ]) m n ( w ~) E[ R3 ] u ( E[ w n 3 n!
构造一个拉格朗日函数，w p 是以下函数式的解： 1 T min L w Vw ( E[~ rp ] wT e) (1 wT 1) { w, , } 2 （其中， 和 是两个正值的常数。） 求解可得 B AE[~ rp ] CE[~ rp ] A D D T 1 其中 A 1T V 1e eTV 11 Be V e
1
g 是预期收益率为0 从以上（3.9.4）式人们可以看出， 的前沿资产组合的权重向量； g w 是预期收益率为1 的前沿资产组合的权重向量。
资产组合前沿
资产组合前沿：经济中所有的前沿资产组合之集合。 命题：所有资产组合前沿上的资产组合都可以由两个前 沿资产组合g和g+h的线性组合所构成。 命题：整个资产组合前沿可以由任意两种收益率不同的 前沿资产组合得出。 任意两支前沿资产组合 p 和 q之间的协方差为
C A A 1 T ~ ~ ~ ~ Cov(rp , rq ) w p Vwq ( E[rp ] )( E[rq ] ) D C C C (3.11.1)
均值－方差平面中的前沿组合
关系式（8.11a）也可以等价地写成
2 (~ rp )
1 (C ( E[~ rp ]) 2 2 AE[~ rp ] B) D
2!
~ ]) 2 (w ~ ) E[ R ] u ( E[ w 3
均值－方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
2、资产组合前沿
假定： 1、在一个无摩擦的经济中有 N 2 种风险资产，这 些资产皆可以自由地卖空，并且，所有资产的收益率 都具有有限的方差和彼此差异的预期值。 2、任何一种资产的随机收益率都不能由其他资产收益 率的线性组合来表示，即这些资产的随机收益率是彼 此线性独立的。 J ~ ~ r ( r ) 在这种假设的经济中，向量 j j 1 表示J 种风险资 产的随机收益率。矩阵V表示J 种风险资产收益率的方 差—协方差矩阵。 V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完 全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一 个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以 表达为 u ( z ) z (b 2) z 2 。 此时 E[ R3 ] 0 于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。 在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的 ~)]就可以完全地由均值和方差表示。 函数。因此， E[u ( w 正态分布对于加法运算保持不变，即多个正态分布变量 之和仍为正态分布。
b ~ ~ ~ ]) 2 2 ( w ~ )) E[u ( w)] E[ w] (( E[ w 2
(8.2)
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻 画存在着以下两个主要的缺点：
第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富 具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这 点之后，收益增加的边际效用为负。
C 1 V 1
T
1
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
D BC A
2
~ E [ rp ] 的前沿资产组合 我们可以得出一个预期收益率为 的唯一权重集合
wp g hE[~ rp ]
1
(3.9.4)
其中
g 1 D[ B(V 1) A(V e)] 1 1 h 1 D[C (V e) A(V 1)]
《金融经济学基础》
第 3章 组合前沿的数学
本章大纲
偏好与分布 资产组合前沿 资产组合前沿的一些数学性质
1、偏好与分布
一般来说，仅仅用资产组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。 但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为资 产组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。 对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期 收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分 析的运用是存在限制条件的。
前沿组合
前沿资产组合：如果在所有具有相同预期收益率的资产组
合中，这一资产组合具有最小的方差值，则该资产组合就是 前沿资产组合。 资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权 重wp 是下面二次规划问题的解 1 T min w Vw w 2 s.t. 。 wT e E[~ rp ]和 wT i 1 其中：e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量， E[ ~ rp ] 表示资产组合的预期回报率，i表示分量为1的N维向量。
(8.11b)
最小方差资产组合的收益率和其他任意资产组合（不单 是前沿资产组合）的收益率的协方差，总是同最小方差 资产组合收益率的方差相等。 有效资产组合：在整个资产组合前沿曲线中，所有那些 预期收益率严格大于最小方差资产组合收益率 A C 的资 产组合称之为有效资产组合； 无效资产组合：那些既不是有效资产组合，又不是最小 方差组合的资产组合称之为无效资产组合。 前沿资产的线性组合也落在资产前沿上。 任意一支有效资产组合的凸组合仍然是一支有效资产组 合。因此有效资产组合的集合是一个凸组合。
用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明
百度文库
~ 是经济行为主体在时期1的全部收入或财富， 随机变量 w ~ ) 的预期值周围展开可得 其效用函数 在 u( w
~ )] u ( E[ w ~ ]) E[u ( w
~ w 1
~ ])为常数, 2 E ( w ~ E[ w]) 2 其中u ( E[ w 1 (n) ~ ]) m n ( w ~) E[ R3 ] u ( E[ w n 3 n!
构造一个拉格朗日函数，w p 是以下函数式的解： 1 T min L w Vw ( E[~ rp ] wT e) (1 wT 1) { w, , } 2 （其中， 和 是两个正值的常数。） 求解可得 B AE[~ rp ] CE[~ rp ] A D D T 1 其中 A 1T V 1e eTV 11 Be V e
1
g 是预期收益率为0 从以上（3.9.4）式人们可以看出， 的前沿资产组合的权重向量； g w 是预期收益率为1 的前沿资产组合的权重向量。
资产组合前沿
资产组合前沿：经济中所有的前沿资产组合之集合。 命题：所有资产组合前沿上的资产组合都可以由两个前 沿资产组合g和g+h的线性组合所构成。 命题：整个资产组合前沿可以由任意两种收益率不同的 前沿资产组合得出。 任意两支前沿资产组合 p 和 q之间的协方差为
C A A 1 T ~ ~ ~ ~ Cov(rp , rq ) w p Vwq ( E[rp ] )( E[rq ] ) D C C C (3.11.1)
均值－方差平面中的前沿组合
关系式（8.11a）也可以等价地写成
2 (~ rp )
1 (C ( E[~ rp ]) 2 2 AE[~ rp ] B) D