方程组,不等式组的解法及应用
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只需代入x 3m 5m 2 或x , 得到x 3. 2 4
3m 5m 2 . 2 4
(3) 待定系数法：
例8. 若x3-6x2+11x-6=(x-1)(x2+mx+n),求3n-2m的值. 解：∵x3-6x2+11x-6=x3+(m-1)x2+(n-m)x+n
(3) 配方法：
例6. 如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2-4a-5,求a的取值范围. 解：①-2×② b2+c2=2a2+16a+14 -) 2bc=2a2-8a-10 —————————— (b-c)2=24a+24 ∵b≠c，∴(b-c)2>0, 24a+24>0. ∴a>-1为所求.
无解. -1<x<6 ∴不等式的解集为-1<x<6.
2、注意认识上的提高：以方程组的解法为例
方程组有解的条件：有几个未知数，应有几个相应的方程. 代入消元
消元
(整体代入)
加减消元
解方程组的 指导思想
分因降次
降次
换元降次
(1) 2x+3y=k 的解满足x y 3, 求k. 例2.已知方程组 3x+4y=2k+6 (2)
方程两边同乘x+1 3x-4<2(x+1) 3x-4<2x+6 ∴x<6. 以上解法是错误的.
二. 复习中应注意的几个问题 3x 4 3x 4 例1. 2与 2的解法的对比. x 1 x 1 解： 3x 4 移项得 20 x 1
3x 4 2(x 1) 0 x 1 x6 0 x 1 x 6 0, 或 x 6 0, x 1 0. x 1 >0.
2
解： 设wk.baidu.com + 1 =y,则x 2 1 y 2 2. x x2
1 1 2 区别(x 2 )与(x ) x x 的不同
2
原方程化为6(y2-2)+5y-38=0. 整理得到6y2+5y-50=0, 10 5 y1 =- ,y 2 = . 3 2 1 10 1 2 当x 时， 3x 10x 3 0, x1 , x 2 3. x 3 3 1 5 1 2 当x 时， 2x -5x 2 0, x 3 , x 4 2. x 2 2 经检验，均为原方程的解.
方法一. 解：将k=2x+3y代入(2)式 得到3x+4y=4x+6y+6 方法二. 解： 2x+3y k
x 2y 6 xy3
3x+4y=2k+6 x+y=3
x 12 y 9 k=-3
∴k=-3为所求
x 12 y 9
m 1 6, n m 11, n 6.
3n-2m=18-2· (-5)=28.
m 5, n 6.
4. 注意进行知识上的综合：
例9. 在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分， 平一场得1分，负一场得0分.某班足球队参加了12 场比赛，共得22分.已知这个队只输了2场，那么 此队胜几场？平几场？ 解：设这支足球队胜x场，平y场. 依题意，得 x+y+2=12,
x 4 5 为方程组的解. y 2
(2) 换元法：
例4. 解方程
1 2x 4x 2 1. x 2x+2
2
解：设x2+2x+2=y,
原方程化为
1 1 则 2 . x 2x 2 y
1 2(x 2x+2) 4 2 1. x 2x 2
∴k=-3为所求
解三元一次方程组
3. 注重数学方法的使用
(1) 消元法 例3. 解方程组 解：由题意知
x 2y 1 0, x 2 4y2 9 0.
① x 2y 1, x 2 4y 2 9. ② 由②得(x+2y)(x-2y)=-9 ③ 将①代入得2x=-8, ∴x=-4 将x=-4代入③ y=2.5
一、两部分知识的地位和作用
1. 数学学习的基础 2. 知识组合的材料 3. 解决问题的工具
二. 复习中应注意的几个问题 1. 注意基本功的夯实 3x 4 例1. 3x 4
x 1 2与 x 1
2的解法的对比.
解：方程两边同乘x+1 得3x-4=2(x+1) x=6 经检验，x=6是原方程的解
(3) 待定系数法：
例7. 已知关于x的方程4x-m=2(x-2m)与 2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解相同，求m的值. 3m 解：4x-m=2(x-2m)的解为 x , 2 5m+2 2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解为 x 4 . ∵两个方程的解相同， ∴m=2. 若求x的值，不必将m=2代入原方程，
3x+y=22.
解方程组，得 x 6, y 4. 答：这支足球队胜了6场，平了4场.
4. 注意进行知识上的综合：
例10. 某商场以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每 盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月 每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶. 在 整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价. 解：设每盒茶叶的进价为x元.
依题意，得
同处以5，得 化简，得
2400 50 20%x-5( -50)=350 x
10 0.2x ( 2400 50) 70 x
x2-10x-1200=0 ∴x1=30,x2=40. 经检验，x1、x2都是原方程的解，x=-30不合题意，舍去. 答：每盒茶叶的进价为40元.
4. 注意进行知识上的综合：
2
1 则有2y 3 0. y 整理得到2y2-3y+1=0, ∴y1=1,y2=0.5. 当x2+2x+2=1时，x1=x2=1. 当x2+2x+2=0.5时，△<0,方程无实根. 经检验，x=-1为原方程的解.
(2) 换元法：
例5. 解方程
1 1 6(x 2 ) 5(x ) 38=0. x x
3m 5m 2 . 2 4
(3) 待定系数法：
例8. 若x3-6x2+11x-6=(x-1)(x2+mx+n),求3n-2m的值. 解：∵x3-6x2+11x-6=x3+(m-1)x2+(n-m)x+n
(3) 配方法：
例6. 如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2-4a-5,求a的取值范围. 解：①-2×② b2+c2=2a2+16a+14 -) 2bc=2a2-8a-10 —————————— (b-c)2=24a+24 ∵b≠c，∴(b-c)2>0, 24a+24>0. ∴a>-1为所求.
无解. -1<x<6 ∴不等式的解集为-1<x<6.
2、注意认识上的提高：以方程组的解法为例
方程组有解的条件：有几个未知数，应有几个相应的方程. 代入消元
消元
(整体代入)
加减消元
解方程组的 指导思想
分因降次
降次
换元降次
(1) 2x+3y=k 的解满足x y 3, 求k. 例2.已知方程组 3x+4y=2k+6 (2)
方程两边同乘x+1 3x-4<2(x+1) 3x-4<2x+6 ∴x<6. 以上解法是错误的.
二. 复习中应注意的几个问题 3x 4 3x 4 例1. 2与 2的解法的对比. x 1 x 1 解： 3x 4 移项得 20 x 1
3x 4 2(x 1) 0 x 1 x6 0 x 1 x 6 0, 或 x 6 0, x 1 0. x 1 >0.
2
解： 设wk.baidu.com + 1 =y,则x 2 1 y 2 2. x x2
1 1 2 区别(x 2 )与(x ) x x 的不同
2
原方程化为6(y2-2)+5y-38=0. 整理得到6y2+5y-50=0, 10 5 y1 =- ,y 2 = . 3 2 1 10 1 2 当x 时， 3x 10x 3 0, x1 , x 2 3. x 3 3 1 5 1 2 当x 时， 2x -5x 2 0, x 3 , x 4 2. x 2 2 经检验，均为原方程的解.
方法一. 解：将k=2x+3y代入(2)式 得到3x+4y=4x+6y+6 方法二. 解： 2x+3y k
x 2y 6 xy3
3x+4y=2k+6 x+y=3
x 12 y 9 k=-3
∴k=-3为所求
x 12 y 9
m 1 6, n m 11, n 6.
3n-2m=18-2· (-5)=28.
m 5, n 6.
4. 注意进行知识上的综合：
例9. 在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分， 平一场得1分，负一场得0分.某班足球队参加了12 场比赛，共得22分.已知这个队只输了2场，那么 此队胜几场？平几场？ 解：设这支足球队胜x场，平y场. 依题意，得 x+y+2=12,
x 4 5 为方程组的解. y 2
(2) 换元法：
例4. 解方程
1 2x 4x 2 1. x 2x+2
2
解：设x2+2x+2=y,
原方程化为
1 1 则 2 . x 2x 2 y
1 2(x 2x+2) 4 2 1. x 2x 2
∴k=-3为所求
解三元一次方程组
3. 注重数学方法的使用
(1) 消元法 例3. 解方程组 解：由题意知
x 2y 1 0, x 2 4y2 9 0.
① x 2y 1, x 2 4y 2 9. ② 由②得(x+2y)(x-2y)=-9 ③ 将①代入得2x=-8, ∴x=-4 将x=-4代入③ y=2.5
一、两部分知识的地位和作用
1. 数学学习的基础 2. 知识组合的材料 3. 解决问题的工具
二. 复习中应注意的几个问题 1. 注意基本功的夯实 3x 4 例1. 3x 4
x 1 2与 x 1
2的解法的对比.
解：方程两边同乘x+1 得3x-4=2(x+1) x=6 经检验，x=6是原方程的解
(3) 待定系数法：
例7. 已知关于x的方程4x-m=2(x-2m)与 2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解相同，求m的值. 3m 解：4x-m=2(x-2m)的解为 x , 2 5m+2 2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解为 x 4 . ∵两个方程的解相同， ∴m=2. 若求x的值，不必将m=2代入原方程，
3x+y=22.
解方程组，得 x 6, y 4. 答：这支足球队胜了6场，平了4场.
4. 注意进行知识上的综合：
例10. 某商场以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每 盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月 每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶. 在 整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价. 解：设每盒茶叶的进价为x元.
依题意，得
同处以5，得 化简，得
2400 50 20%x-5( -50)=350 x
10 0.2x ( 2400 50) 70 x
x2-10x-1200=0 ∴x1=30,x2=40. 经检验，x1、x2都是原方程的解，x=-30不合题意，舍去. 答：每盒茶叶的进价为40元.
4. 注意进行知识上的综合：
2
1 则有2y 3 0. y 整理得到2y2-3y+1=0, ∴y1=1,y2=0.5. 当x2+2x+2=1时，x1=x2=1. 当x2+2x+2=0.5时，△<0,方程无实根. 经检验，x=-1为原方程的解.
(2) 换元法：
例5. 解方程
1 1 6(x 2 ) 5(x ) 38=0. x x