100测评网新课标高二数学文同步测试(4)(1-1第三章(1))
新课标高二数学文同步测试(5)(1-1第三章(2))
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]2005－2006学年度下学期高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（5）（1-1第三章（2））说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．物体运动方程为s ＝41t 4－3，则t ＝5时的瞬时速率为（ ）A ．5 m/sB ．25 m/sC ．125 m/sD ．625 m/s2．曲线y ＝x n（n ∈N ）在点P （2，)22n 处切线斜率为20，那么n 为 （ ）A ．7B ．6C ．5D ．43．细杆AB 长为20 cm ，AM 段的质量与A 到M 的距离平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 段 质量为8 g ，那么，当AM ＝x 时，M 处的细杆线密度ρ（x ）为 （ ）A ．2xB ．4xC ．3xD ．5x 4．若f(x)=ax 3+bx 2+cx+d （a ＞0）为增函数，则（ ）A ．b 2-4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b=0，c ＞0D ．b 2-3ac ＜0 5．函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（ ）A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．0＜b ＜21 6．()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１Ｂ．－2C ．－3D ．17．两曲线32xy 1y 2b ax x y +-=++=与相切于点（1,－1）处，则a ，b 值分别为 （ ） A ．0，2 B ．1，－3 C ．－1，1D ．－1，－1 8．曲线y=ln(2x －1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离 （ ）A ．5B ．25C ．35D ．09．设函数y ＝f （x ）在1x x =处有(),0x f 1='在2x x =时()2x f '不存在，则 （ ）A ．一定都是极值点及21x x x x ==B ．是极值点只有1x x =C ．都可能不是极值点及21x x x x ==D ．至少有一个点是极值点及21x x x x ==10．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．63>-<a a 或D ．21>-<a a 或二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
新课标高二数学文同步测试（9）（选修1-2第四章）
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）（1-2第四章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．192．有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．303．“对于大于2的整数，依次从2～n 检验是不是n的因数，即整除n的数。
若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数”，对上面流程说法正确的是（）A．能验证B．不能验证C．有的数可以验证，有的不行D．必须依次从2～n－1检验4．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下大将，他英勇善战，谋略超群，为建立汉朝立下不朽功勋。
据说他在一次点兵的时候，为保住事秘密，不让敌人知道自己里的事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1~3报数，结果最后一个士兵报2；又令士兵1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样韩信很快算出自己士兵的总数。
士兵至少有多少人（）A．20 B．46 C．53 D．395．注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．“烧开水泡壶茶喝”是我国著名数学家华罗庚教授作为“统筹法”的引子，虽然是生活中的小事，但其中有不少的道理。
100测评网高二(文科)数学试题参考答案
官桥中学2006~2007学年度第一学期期末考试高二（文科）数学试题参考答案一、选择题(5’×10=50’)CABDD DBCBC 二、填空题（5’×4=20’）11、－3 12、12 13、k 10≤ 14、（甲）1 （乙）109三、解答题：15. 解：（1）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+…………4分22T ππ== …………6分 （2）由3222()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得263k x k ππππ+≤≤+，…………10分 所以，减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈ …………12分 16、解：⑴∵{a n }为公比为q 的等比数列，a n+2＝12n na a ++（n ∈N *）∴a n ·q 2＝2n na q a + …………2分即2q 2―q ―1＝0 解得q ＝－12或 q ＝1 …………4分 ∴a n ＝112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭或a n ＝1 …………6分⑵当a n ＝1时，b n ＝n ， S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n + …………8分 当a n ＝112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭时b n ＝n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭S n ＝1＋2·（－12）＋3·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭①－12 S n ＝（－12）＋2·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭②…………10分①—②得32 S n ＝1＋12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭＝112112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭+－n ·12n⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝ ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213232n n…………13分⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2132219494n S nn …………14分17．(Ⅰ)证明: ∵O 是AC 的中点，D 是AB 的中点∴OD//BC,又BC ⊆平面SCD,OD ⊄平面SCD∴ OD//平面SBC; …………………………………7分(Ⅱ) 证明:SAC ∆是正三角形, O 是AC 的中点，∴SO AC ⊥.又∵平面SAC ⊥平面ABC ，∴SO ACB ⊥平面，∴SO AB ⊥. …………………………………14分18、解：设分别采用甲、乙两种原料各y x ,千克，可生产产品z 千克，…………………1分依题意，约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0024.05.065.1y x y x y x …………………6分目标函数为=z y x 10090+把目标函数化为100109z x y +-=， 当直线100109z x y +-=的纵截距取最大值时，z 也取最大值。
100测评网高二(文科)数学试题
官桥中学2006~2007学年度第一学期期末考试高二（文科）数学试题本试卷共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若集合{}22|M ≤≤-=x x ，{}03|N 2≤-=x x x ，则N M ＝（ ） A. [－2，3] B. [－2，0]C. [0，2]D. （0，2） 2、一粒骰子，抛掷一次，奇数向上的概率是（ ） A.21 B.61 C.32 D. 43 3、要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。
宜采用的抽样方法依次为（ ）A ．①用随机抽样法，②用系统抽样法B ．①用分层抽样法，②用随机抽样法C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法D ．①②都用分层抽样法4、若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ） A ．4 B ．194 C ．94 D ．14 5、已知a 、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么||a b += （ ）A ．3B ．2C ．4D 6、下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A.x x f sin )(=B.1)(+-=x x fC.()x x a a x f -+=21)( D.xx x f +-=22ln )( 7、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ ） A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l .C.若β⊥l 且βα⊥,则α//lD. 若m =⋂βα且m l //,则α//l .8、已知三角形的内角分别是A 、B 、C ，若命题:;P A B >命题:sin sin Q A B >，则P 是Q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） A.直角三角形. B.等边三角形. C.钝角三角形. D.等腰直角三角形.10、设()x f 是定义在R 上的函数，若不等式()0<x f 的解集为{x │1＜x ＜2}，则不等式()01<-x f 的解集为（ ）A. {x │1＜x ＜2}B. {x │0＜x ＜1}C. {x │2＜x ＜3}D. 不能确定第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分；把答案填在答题卷中相应的横线上）11、在条件02021x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下， 则3z x y =-的最大值是 。
100测评网新课标高二数学文同步测试(1)(1-1第一章)
普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版]（选修1-1、1-2）高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（1）—1-1第一章说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是（ ）A ．ab =0B ．a +b =0C ．a =bD ．a 2+b 2=0 2．“至多有三个”的否定为（ ） A ．至少有三个B ．至少有四个C ．有三个D ．有四个3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）A ．金盒里B ．银盒里C ．铅盒里D ．在哪个盒子里不能确定4．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 （ ）A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞ 5．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数 6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然 而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（ ）A ．不拥有的人们不一定幸福B ．不拥有的人们可能幸福C ．拥有的人们不一定幸福D ．不拥有的人们不幸福7．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假8．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件9．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜610．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1。
100测评网高二数学(文科)练习(必修5+选修1-1)
绵德中学2008-2009学年度高二数学（文科）练习（必修5+选修1-1） 班级 学号 姓名一．选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。
每题5分，满分50分）1．椭圆2211625x y +=的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若12PF =，则=2PF （ ） A.2 B.4 C.6 D.82．函数y =x 2cos x 的导数为 （ ） A ．y ′=x 2cos x -2x sin xB ．y ′=2x cos x -x 2sin xC ． y ′=2x cos x +x 2sin xD ．y ′=x cos x -x 2sin x3．若a 、b 为正实数，则a b >是22a b >的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4．在△ABC 中，2,2,6a b B π===，则A 等于（ ）A ．4π B ．4π或34π C ．3π D ． 34π5．与直线14-=x y 平行的曲线3y x x =+的切线方程是（ ）A. 04=-y xB. 420x y -+=或024=--y xC. 024=--y xD. 04=-y x 或044=--y x6．经过点)62,62(-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．18622=-x yB ．16822=-x yC ．16822=-y xD ． 18622=-y x7．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个奇数，不能被5整除D ．存在一个被5整除的整数不是奇数8．已知数列10,4,,2(31)n -，则8是此数列的第（ ）项：A ．10B ．11C ．12D ．13 9．抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ）A ．)4,0(aB ．)41,0(a-C ．)41,0(aD ． )0,41(a10．在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+ 则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 二．填空题：（将答案填写在题后的横线上，每题5分，满分20分） 11．二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________．12．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于_________；13．等差数列{}n a 中，14258,12,a a a a +=+=则这数列的前10项和为_________；14．到定直线L ：x =3的距离与到定点A （4，0）的距离比是23的点的轨迹方程是 。
100测评网新课标高二数学文同步测试(期中测试题(1-1))
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（期中测试题（1－1））说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．判断下面命题的真假“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死” （ ）A ．假命题B ．真命题C ．不是命题D ．可真可假 2．若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y 2－x 2=1的顶点，且该椭圆的离 心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为（ ）A ．22x +y 2=1B ．22y +x 2=1C ．42x +y 2=1D ．42y +x 2=13．函数y=xx ln 1ln 1+-的导数是（ ）A ．—B ．C ．—D ．—4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是 （ ）A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0)B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（aa 1+, 0）D ．(－a a 1-, 0), (a a 1-, 0)5．设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为 ,则该双曲线的离心率e（ ）A ．5BCD ．546．设y=8x 2－lnx ，则此函数在区间(0,41)和(21,1)内分别为（ ）A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减 7．设a ∈R ，则a>1是a1<1 的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。
则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）2)ln 1(2x + 2)ln 1(2x x + 2)ln 1(2x x +2)ln 1(1x x +12y x =±A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 9．函数y=x 3－3x 2－9x (－2<x<2)有 （ ） A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极小值为-27，无极大值10．曲线2)(3-+=x x x f 在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为（ ） A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )和(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和 (－1, －4)二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
100测评网新课标高二数学文同步测试(7)(1-2第二章)
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（7）（1-2第二章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 （ ）A ． a 、b 都与l 相交B ． a 、b 中至少一条与l 相交C ． a 、b 中至多有一条与l 相交D ． a 、b 都与l 相交2．已知),....3,2,1(,,n i R b a i i =∈，1.. (2)2221=+++n a a a ，1 (2)2221=+++n b b b ，则n n b a b a b a +++.....2211的最大值为 （ ）A ．1B ．2C ．2nD ．n 2 3．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ） A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业 C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张4．已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是（ ）A ．一定不大于2B ．一定不大于22C ．一定不小于22D ．一定不小于25．从棱长为32的正方体的一个顶点A 0出发,在体内沿一条直线进行到另一条棱上的点A 1,使得 |A 0A 1|=1,再从A 1出发,在体内沿一条直线进行到另一条棱上的点A 2,使得|A 1A 2|=1,……,如此 继续走下去，如果限定所走的路径不重复，则总路程最多等于 （ ） A ．18 B ．8 C ．12 D ．106．已知数列{a n }满足a n+1=a n －a n －1(n ≥2)，a 1=a ，a 2=b ，设S n =a 1+a 2+A +a n ，则下列结论正确 的是 （ ） A ．a 100=－a S 100=2b －a B ．a 100=－b S 100=2b －a C ．a 100=－b S 100=b －a D ．a 100=－a S 100=b －a 7．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓 展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B两两相互垂直，则可得” （ ）A ．AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2 +C D 2 +BD 2B ．BCD ADB ACD ABCS S S S∆∆∆∆=⨯⨯2222C ．2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D ．AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 28．已知函数n mx x x f ++=22)(，则)1(f 、)2(f 、)3(f 与1的大小关系为 （ ）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于19．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m ； （2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ； （4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+成立，且0)0(≠f 。
100测评网高二数学典型例题四
典型例题一例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．（３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．作图与证明在此省略．说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型例题二例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）.（A ）平面ABC ⊥平面ABD（B ）平面ABD ⊥平面BDC（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE（D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为⊂A C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于⊂AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例３．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．典型例题四例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②．由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ．因为⊂BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．典型例题五例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为30，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =，在B A Q Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △BHQ 中，,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2222sin ===∠a a BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．典型例题六例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（３）求C A '与平面CD C '所成的角；（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决．解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．（２）若 90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 22,21,='∴='=∴= ．（３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD C '所成的角．在直角三角形C AD '中， 30,21='∠∴='=C DA AC C D DC ，于是 60='∠D C A ．（４）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，C C DE C C AE AC C A DC CD '⊥'⊥∴='=',,, ，AED ∠∴为二面角D C C A -'-的平面角．,41,21,120a DE a CD D C DC C =∴=='='∠ 在直角三角形AED 中，,23a AD =DE AD AED =∠∴tan 324123==a a ． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．典型例题七例7 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ．∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角．∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD AP DD PF =． 而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ． 在1PBD ∆中，251==PB PD ． ∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ． 在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ， 在PEF Rt ∆中，21sin ==∠PE PF PEF ， ∴︒=∠30PEF ． 典型例题八例8 在ABC ∆所在平面外有一点S ，已知AB SC ⊥，SC 与底面ABC 所成角为θ，二面角C AB S --的大小为ϕ，且︒=+90ϕθ．求二面角A SB C --的大小．分析：由题设易证SD SC ⊥，由已知得SC ⊥平面SAB ，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．解：如图所示，作SO ⊥平面ABC 于O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ． ∵SO ⊥平面ABC ，∴SCO ∠是SC 与平面ABC 所成角，θ=∠SCO ．∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥，∴CD AB ⊥，SD AB ⊥．∴SDO ∠是二面角C AB S --的平面角，ϕ=∠SDO ．∵︒=+90ϕθ，∴SD SC ⊥．又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ，∴平面SBC ⊥平面SAB ，∴二面角A SB C --的大小为︒90．说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB ∠不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为︒90，反之亦然．典型例题九例9 如果αβ⊥，αγ⊥，a =γβ ，那么α⊥a ．分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证α⊥a ，只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．证法一：如图所示，设b =βα ，c =γα ，过平面α内一点P 作b PA ⊥于A ，作c PB ⊥于B ．∵αβ⊥，∴β⊥PA ．又a =γβ ，∴a PA ⊥，同理可证a PB ⊥．∵P PB PA = 且α⊂PB PA 、，∴α⊥a ．证法二：如图所示，设b =βα ，在平面β内作直线b l ⊥1．∵βα⊥，∴α⊥1l ．设c =γα ，在平面γ内作直线c l ⊥2．同理可证a l ⊥2，因此21//l l ．由于β⊂1l ，β⊄2l ，∴β//2l ．而γ⊂2l ，γβ =a ，∴a l //2．故由a l //2知，α⊥a ．证法三：如图所示过直线a 上一点P 作直线α⊥'a ．∵γβ =a ，a P ∈，∴β∈P ，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），∴β⊂'a ．同理可证γ⊂'a ，故γβ ='a ． 椐公理2可知，直线'a 与直线a 重合．∴α⊥a说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．典型例题十例10 设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，α=∠ASB ，β=∠BSC ，θ=∠ASC ，α、β、θ均为锐角，且θβαcos cos cos =⋅．求证：平面ASB ⊥平面BSC ． 分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．证明：如图，任取点A ，作SB AB ⊥于B ，过B 作SC BC ⊥于C ，连结AC ． ∵αcos ⋅=AS SB ，βcos ⋅=SB SC ，故βαcos cos ⋅⋅=AS SC ．又由θβαcos cos cos =⋅，则θcos ⋅=AS SC ，从而可得︒=∠90ACS ，即SC AC ⊥，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面ACB ，即有SC AB ⊥，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，故平面ASB ⊥平面BSC ．说明：本题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得AC SC ⊥，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线．此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，SC AC ⊥于C ，连结BC ．在SBC ∆中，由余弦定理及条件θβαcos cos cos =⋅，证明222SC BC SB +=，从而BC SC ⊥，∴SC ⊥面ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．典型例题十一例11 如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．分析：如果二面角βα--l 内部，也可能在外部，应区别处理．解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部时，乙是点P 在二面角βα--l 的外部时．∵α⊥PA ，∴l PA ⊥．∵l AC ⊥，∴面l PAC ⊥．同理，面l PBC ⊥，而面PAC 面PBC PC =∴面PAC 与面PBC 应重合，即A 、C 、B 、P 在同一平面内，ACB ∠是二面角的平面角．在APC Rt ∆中，212422sin ===∠PB PA ACP ， ∴︒=∠30ACP ．在BPC Rt ∆中，22244sin ===∠PC PB BCP ， ∴︒=∠45BCP ，故︒=︒+︒=∠754530ACB （图甲）或︒=︒-︒=∠153045ACB （图乙）．说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．典型例题十二例12 P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．解：如图，过点P 作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，O a =γ ，则OA =αγ ，OB =βγ 连结PO ，则10==BP AP∵α⊥PA ，β⊥PB ，∴γ⊥a ，而⊂PO 平面γ，∴PO a ⊥，∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．又∵γ⊥a ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴AOB ∠是二面角βα--a 的平面角，即︒=∠120AOB ．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用APB ∆．在APB ∆中，10==BP AP ，︒=∠60APB ，∴10=AB ． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 说明：(1)该题寻找︒120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．(2)充分借助于四边形PAOB 为一圆内接四边形，∵OA PA ⊥，OB PB ⊥，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．典型例题十三例13 如图，正方体的棱长为1，O BC C B =11 ，求：(1)AO 与11C A 所成的角；(2)AO 与平面AC 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成的角．解：(1)∵AC C A //11，∴AO 与11C A 所成的角就是OAC ∠．∵OB OC ⊥，⊥AB 平面1BC ，∴OA OC ⊥（三垂线定理）．在AOC Rt ∆中，22=OC ，2=AC ，∴︒=∠30OAC ．(2)作BC OE ⊥，平面1BC ⊥平面AC ．∴OE ⊥平面AC ，OAE ∠为OA 与平面AC 所成的角．在OAE Rt ∆中，21=OE ，25)21(122=+=AE ． ∴55tan ==∠AE OE OAE ． (3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴⊥OC 平面AOB ．又∵⊂OC 平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π，直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，二面角(]π,0三种． 典型例题十四例14 如图，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2=PB ，PB 与平面PCD 所成的角为︒45，PB 与平面ABD 成︒30角，求：(1)CD 的长；(2)求PB 与CD 所在的角；(3)求二面角D PB C --的余弦值．分析：从图中可以看出，四面体BCD P -是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为333221=⨯⨯=⋅⋅BD PC BC PD ，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．解：(1)∵⊥PD 平面ABCD ，∴BC PD ⊥．又⊥BC 平面PDC ，∴BPC ∠为PB 与平面PCD 所在的角，即︒=∠45BPC ．同理：PBD ∠即为PB 与平面ABD 所成的角，∴︒=∠30PBD ，在PBC Rt ∆中，∵2=PB ，∴2==PC BC ．在PBD Rt ∆中，︒=∠30PBD ，∴1=PD ，3=BD ．在BCD Rt ∆中，2=BC ，3=BD ，∴1=CD ．(2)∵CD AB //，∴PB 与CD 所成的角，即为PB 与AB 所成的角，PBA ∠即为PB 与AB 所成的角∵⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB PA ⊥（三垂线定理）．在PAB Rt ∆中，1==CD AB ，2=PB ，∴︒=∠60PBA ．(3)由点C 向BD 作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结CF ． ∵⊥PD 平面ABCD ，∴CE PD ⊥．又BD CE ⊥，∴⊥CE 平面PBD ，CF 为平面PBD 的斜线，由于PB EF ⊥，∴由三垂线定理：CF PB ⊥．∴CEF ∠为二面角D PB C --的平面角在BCD Rt ∆中，2=BC ，1=DC ，3=BD ， ∴36=⋅=BD CD BC CE ． 在PCB Rt ∆中，2=BC ，2=PC ，2=PB ， ∴1=⋅=PBCP BC CF ， ∴36sin ==∠CF CB CFE ． ∴33cos =∠CFE ， ∴二面角D PB C --的余弦值为33． 说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．典型例题十五例15 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ；(2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===，又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形，∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=， ∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22． 典型例题十六例16 判断下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体C A 1中，平面AC ⊥平面1AD ，平面 AC 平面1AD AD =，在AD 上取点A ，连结1AB ，则AD AB ⊥1，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB 没有保证在平面11A ADD 内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体C A 1中，平面1AD ⊥平面AC ，1AD ⊂平面11A ADD ，AB ⊂平面ABCD ，且1AD AB ⊥，即AB 与1AD 相互垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；(3)如上图，正方体C A 1中，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11A ADD ，⊂AC 平面ABCD ，1AD 与AC 所成的角为︒60，即1AD 与AC 不垂直．说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．典型例题十七例17 如图，在︒60二面角βα--a 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为3和5，求P 到交线a 的距离．解：作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，设PA ，PB 所确定的平面为γ，Q a = γ，连AQ ，BQ ，∵α⊥PA ，∴a PA ⊥．同理a PB ⊥，∴⊥a 平面γ，∴PQ a ⊥，则PQ 是P 到a 的距离．在四边形PAQB 中，︒=∠=∠90B A ，∴PAQB 是圆的内接四边形，且R PQ 2=．又∵︒=∠60BQA ，︒=∠120BPA ， ∴7120cos 53253=︒⋅⋅-+=AB ，331432760sin 2=⨯=︒==AB R PQ ． 说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P 、B 、A 、Q 四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．典型例题十八例18 如图，四面体SABC 中，A B C ∆是等腰三角形，a BC AB 2==，︒=∠120ABC ，且⊥SA 平面ABC ，a SA 3=．求点A 到平面SBC 的距离．分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作BC AD ⊥于D ，连结SD ，则平面SAD ⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角A BC S --的平面角SDA 所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全相同．解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有BC SD ⊥，又D AD SD = ，∴BC ⊥平面SAD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC 平面ADS SD =，∴过点A 作SD AH ⊥于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ． 在SAD Rt ∆中，a SA 3=，a AB AD 360sin =︒⋅=， ∴23)3()3(332222a a a a a AD SA ADSA AH =+⋅=+⋅=， 即点A 到平面SBC 的距离为23a ． 说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.。
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.2)
10．A正．四3棱柱 ABCD
AB，CD 的中点，
EAF1BB．1C61BDD1
C．
中，底面边长为 2
62
G ．则三棱锥 B1
，侧棱长为D4．，E3，F EFD1 的体积 V
分别为棱
二、A填．空题66：请把答案填在（ B．题1中63横）3线上（每小题
16 6C分．，共3 24
D．16
分）．
22
5．A；分析： Q ABB1 A1 为正方形， A1B AB1 ，又平面 AB1D 平面 ABB1A1 ， A1B 面 AB1D ， A1B 是
平面 AB1D 的一个法向量，设点C 到平面 AB1D 的距离为 d ，则
d ACuuuAr 1B = AC ( A1A AB)
18．（12 分）已知棱长为 1 的正方体 A1C ，E、F 分别是1 B1 C 、1 C D 的中点． （1）求证：E、F、D、B 共面； （2）求点 A1 到平面的 BDEF 的距离； （3）求直线 A1 D 与平面 BDEF 所成的角．
19．（14 分）已知正方体 ABCD－1A1 B1 C1 D 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求： （Ⅰ）D1 E 与平面 BC1 D 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 D－BC1 －C 的大小； （Ⅲ）异面直线 B1 D1 与 BC1 之间的距离．
Ⅰ Q D为的PC中点，
uuur OD
2 4
a,0,
1 2
h
,
uuur 又PA
2 2
a,0,h
，
uuur OD
1 2
uuur PA.
uuur uuur OD∥∥ PA.
100测评网高二数学练习卷两个平面平行的判定和性质测试题
高二数学同步检测四两个平面平行的判定和性质说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是…( )A.l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥βB.l⊂α,m⊂α,且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m答案:C解析:如左上图,A错;如右上图,D错;B显然错.故选C.2下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两个平面平行④与同一直线成等角的两个平面平行A.①②B.②③C.③④D.②③④答案:B解析:如图(1),①错;如图(2),④错.B.3给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小;②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等;③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行;④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有( )A.①②④B.②③④C.①③D.④解析:由于两个平行平面间的距离是定值，所以①②显然正确;如图,a,b 相等,但ab,故③错;④正确.故选A.4设α,β表示平面,a 表示直线,且直线a 不在平面α或β内,并有①α∥β;②a ⊥α;③a ⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案:C 解析:⇒⎭⎬⎫⊥αβαa //a ⊥β,即①②⇒③.⇒⎭⎬⎫⊥⊥βαa a α∥β,即②③⇒①. ⇒⎭⎬⎫⊥ββαa //a ⊥α,即①③⇒②.故选C. 5已知平面α∥平面β,α,β之间的距离等于d,直线a ⊂α,则β( ) A.有且只有一条直线与a 的距离等于d B.有无数条直线与a 的距离等于d C.所有直线与a 的距离都等于d D.仅有两条直线与a 的距离等于d 答案:B解析:过直线a 上任一点作平面β的垂线,垂足为A,过点A 在平面β内作直线b ∥a,此时a 与b 间的距离为d;在平面β内所有与a 异面的直线间的距离也都是d.6如果平面α∥平面β,直线a ⊂平面α,点B ∈β,则平面β内过点B 的所有直线中,下列结论成立的是( )A.不一定存在与a 平行的直线B.不存在与a 平行的直线C.存在唯一一条与a 平行的直线D.存在无数条与a 平行的直线 答案:C解析:如图所示.过直线a 与点B 所确定的平面γ,且γ∩β=b,直线b ∥直线a,且唯一.故选C. 7已知m,n 是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题: ①若m ∥α,则m 平行于平面α内的任意一条直线; ②若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n; ③若m ⊥α,n ⊥β,m ∥n,则α∥β; ④若α∥β,m ⊂α,则m ∥β. 其中正确的命题是( )A.①②③B.③④C.②③D.④解析:若m ∥α,则m 平行于过m 所作平面与α相交的交线,并非α内任一条直线,故①错; 若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则可能m ∥n,也可能m,n 异面,故②错;⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥βααn n n m m //α∥β,③正确;⇒⎭⎬⎫⊂αβαm //m ∥β,④正确.8已知平面α∥平面β,C 、A ∈α,B 、D ∈β,AB ⊥CD,且AB=2，直线AB 与平面α所成的角为30°，则线段CD 长的取值范围为( )A.［1，+∞)B.(1,332] C.(332,334) D.［332,+∞) 答案:D解析:如图，过D 作DA ′∥AB 交平面α于A ′，由α∥β,故DA ′=AB=2.DA ′与α成30°角，由已知DC ⊥AB,可得DC ⊥DA ′,所以DC 在过DC 且与DA ′垂直的平面γ内.令γ∩α=l,在γDC 0⊥l 时最短，此时DC 0=DA ′·tan30°=332,故CD ≥332. 9已知平面α∥平面β，其间夹一垂线段AB=4，另一斜线段CD=6，且AC=BD=3.E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 的长为( )A.1B.2C.2D.5答案:C解析:如图，过F 作AB 的平行线，交α、β于P 、Q 两点，则四边形ABQP 为矩形. ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，故EF ⊥PQ. 由Rt △EAC ≌Rt △EBD ⇒EC=ED,则△APC 为直角三角形.在Rt △CPF 中，CP 2=CF 2-PF 2=5⇒CP=5. 在Rt △CPA 中，AP 2=AC 2-CP 2=32-(.)2=4. ∴AP=2.而AP=EF ，∴EF=2.10一间民房的屋顶有如下图的三种盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P 1,P 2,P 3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则( )A.P 1<P 2<P 3B.P 1=P 2<P 3C.P 1<P 2=P 3D.P 1=P 2=P 3 答案:D解析:由S 底=S 侧cos θ可得P 1=P 2, 而P 3=2θθθcos )(2)cos cos (2121S S S S +=+ 又∵2(S 1+S 2)=S 底,∴P 1=P 2=P 3.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）11如下图,点P 是一光源,将一投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.答案:平行解析:当α∥β时,易证△ABC ∽△A ′B ′C ′,从而形状不会发生变化.12设直线a 在平面M 内,则平面M 平行于平面N 是直线a 平行于平面N 的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也 答案:充分不必要解析:设p:平面M ∥平面N ，q:直线a ∥平面N.⇒⎭⎬⎫⊂=⋂⇒M a N M N M φ平面平面// a ∩N=∅⇒a ∥N,∴p ⇒q.⇒⎭⎬⎫⊂M a N a 平面//平面N 与平面M 不一定平行,∴qp.13如图，已知平面α∥平面β，线段AB 、CD 夹在α、β之间，AB=13，CD=55，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离是____________.答案:5解析:设A 、C 在平面β上的射影为A ′、C ′，则α、β之间的距离AA ′=CC ′=a,且BA ′、DC ′分别为AB 、CD 在β. 在Rt △ABA ′中，AB=13， 则BA ′=222'213a AA AB -=-.在Rt △CDC ′中，CD=55， 则C ′D=22'2125a C C CD -=-. 又∵C ′D 与A ′B 相差为2，即A ′B-C ′D=2，22212513a a ---=2.∴a=5.∴平面α、β的距离为5.14设P 表示点,m,n,l 表示两两不重合的三条直线,以α,β表示两个不重合的平面,那么下列四个命题:①m ⊥α,若n ⊥α,则m ∥n;②m ⊂α,n ∩α=P,l 是n 在α内的射影.若m ⊥l,则m ⊥n;③m ⊥α,若n ∥a,l ∥α,则m ⊥n,m ⊥l;④m ⊥α,若m ⊥β,则α∥β中逆命题能成立的序号是________. 答案:①②④解析:命题③的逆命题是:m ⊥α,若m ⊥n,m ⊥l,则n ∥α,l ∥α,错误的原因在于满足条件的直线n 和l 可能在平面α内,故①②④能成立.三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15已知平面α∥β,AB 、CD 为夹在α、β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点.求证:EF ∥α,EF ∥β.分析:要证EF ∥α，根据线面平行的判定定理，只需在α内找一条直线与EF 平行；或过EF 作一平面，使该平面与α平行，据面面平行的性质定理即可证得.证法一:连结AF 并延长交β于G . ∵AG ∩CD=F,∴AG 、CD 确定平面γ，且γ∩α=AC,γ∩β=DG . ∵α∥β,∴AC ∥DG .∴∠ACF=∠GDF. 又∠AFC=∠DFG ，CF=DF, ∴△ACF ≌△GDF.∴AF=FG . 又AE=BE,∴EF ∥BG . ∵BG ⊂β,∴EF ∥β. 同理,FE ∥α.证法二:∵AB 与CD 为异面直线,∴A ∉CD.在A 、C 、D 确定的平面内过点A 作AG ∥CD 交β于点G ，取AG 的中点H ，连结AC 、HF. ∵α∥β,∴AC ∥DG ∥FH. ∵DG ⊂β,∴HF ∥β. 又∵E 为AB 的中点, ∴EH ∥BG.∴EH ∥β.又EH ∩HF=H,∴平面EHF ∥β.∵EF ⊂平面EHF,∴EF ∥β.同理,EF ∥α.16如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.答案:已知:α∥β,γ∥β, 求证:α∥γ.证明:如图,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a,c,e 和b,d,f.⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫⇒⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒γγγββα////////////////////b f b a e a f d e c d b c a α∥γ.17如图所示,A,B,C,D 四点在平面M 和N 之外,它们在M 内的射影A 1,B 1,C 1,D 1成一直线,在N内的射影A 2,B 2,C 2,D 2组成一个平行四边形,求证:ABCD 是平行四边形.证明:∵A,B,C,D 四点在平面M 内的射影是一条直线, ∴ABCD 为平面四边形.又AA 2⊥平面N,DD 2⊥平面N, ∴AA 2∥DD 2. ∵A 2B 2∥C 2D 2,∴平面AA 2B 2B ∥平面CC 2D 2D. 又ABCD 为平面四边形, ∴AB ∥CD.同理可证AD ∥BC. ∴ABCD 为平行四边形.18如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,过其对角线BD 1的平面分别与AA 1、CC 1相交于点E,F,求截面四边形BED 1F 面积的最小值.解:由平面与平面平行的性质定理可证BF ∥D 1E,BE ∥D 1F. ∴BED 1F 是平行四边形.作EH ⊥BD 1于H. ∵F BED S 1=2·1BED S =BD 1·EH=EH ·3a,∴要求四边形BED 1F 面积的最小值,转化为求EH 的最小值. ∵AA 1∥平面BDD 1B 1,∴当且仅当EH 为直线AA 1到平面BDD 1B 1的距离时,EH 最小,易得EH min =22. ∴F BED S 1的最小值为26a 2. 19(2006高考天津卷,理19)如图,在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱EF21BC.(1)证明FO ∥平面CDE;(2)设BC=3CD,证明EO ⊥平面CDF.证明:(1)取CD 中点M,连结OM,在矩形ABCD 中, OM21BC,又EF 21BC,则EF OM.连结EM, 于是四边形EFOM 为平行四边形. ∴FO ∥EM.又∵FO ⊄平面CDE,且EM ⊂平面CDE, ∴FO ∥平面CDE.(2)连结FM.由(1)和已知条件,在等边△CDE 中,CM=DM,EM ⊥CD 且EM=23CD=21BC=EF.因此平行四边形EFOM 为菱形,从而EO ⊥FM.∵CD ⊥OM,CD ⊥EM,∴CD ⊥平面EOM.从而CD ⊥EO. 而FM ∩CD=M,所以EO ⊥平面CDF.本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.。
新课标高二数学文同步试卷(4)及答案(选修1-1第三章)
1．两曲线 y x 2 ax b与2 y 1 xy3
相切于点（1，－1）处，则 a，b 值分别为 （）
A．0，2
B．1，－3
C．－1，1
D．－1，－1
2．
设函数f
x
2x 1 x2
, 则f
x
（）
A．在（－∞，＋∞）单调增加
B．在（－∞，＋∞）单调减少
C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加
B．极大值必大于极小值
C．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
D．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
5． 设f
x在x
0 可导,
则
lim
x0
f x0
x f x0
x
3x 等于
（）
A． 2 f x0
B． f x0
6．下列求导运算正确的是
（）
A．(x+
g x f x x2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当 x (0,1]时，g（x）有最
令 3
大值 1？
参考答案
一、 1．D； 2．C； 3．B； 4．D；
5．D
提示：这里插入 f x0 ，因为题目假定 f(x)在 x 0 点可导，所以分成两项的极限都存
12．已知 x R ，奇函数 f (x) x3 ax2
在
bx c [1,)
的条件是
。
上单调，则字母 a,b, c 应满足
13．两个和为 48 的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数
分别为__________。
14．设f x xx 1x 2 x 1000,则f 0 ____________.
100测评网新课标高二数学文同步测试61-2第一章
实用标准文案高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（6）（1-2第一章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
这里的被解释变量是（）A．作物的产量B．施肥量C．试验者D．降雨量或其他解释产量的变量2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归，根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程^y＝a＋bx中，b的取值（）A．在（－1，0）内B．等于0 C．在（0，1）内D．在［1，＋∞］内3．当绘制散点图时（）A．应将被解释变量绘制在水平轴上B．将解释变量绘制在水平轴上C．如果解释变量是类别型的，应使用不同的图示标志D．应使用能够使整体趋势大致成线性的绘图标尺4．相关系数度量（）A．两个变量之间是否存在关系B．散点图是否显示有意义的模型C．两个变量之间是否存在因果关系D．两个变量之间直线关系的强度考虑下面的列联表数据，并回答问题（5）—（8）。
5．德国生产的汽车是4缸的比例为（）A．21% B．50% C．80% D．91%6．表中4缸汽车所占的比例是（）A．21% B．50% C．80% D．91%7．表中的4缸汽车是由德国生产的比例是（）A．21% B．50% C．80% D．91%8．从表中可以得出结论（）A．原产国和汽缸数之间不存在明显的关系B．原产国和汽缸数之间的相关系数可能是0.5C．拟合这些数据的回归线可能有负的斜率D．在原产国和汽缸数之间有一些相关对于家庭暴力案件有三种处理方法：建议分居，发传票和逮捕施暴者。
根据处理后的情况决定是否再次逮捕施暴者。
100测评网新课标高二数学同步测试(9)—(2-2第三章)
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—2[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）—（2－2第三章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是 （ ） A ．没有解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．多于两解 2．已知z =x ＋y i (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z = （ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ．i +1的共轭复数是i －1； 4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m （ ） A ．1 B ．0 C ．3 D ．复数无法比较大小 6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，且z =2，则z =（ ）A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >1 10．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为 ． 12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ． 14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋y i =1()1t ti t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－2|＝13，求z z 12的值．16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z :(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz ．(2)z 的实部和虚部都是整数．18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2． （2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→， 其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ nn i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ， ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3. 当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D ；7．A ；8．C ；9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；； 10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ；二、11．21；12．x =25, y =4； 13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i .或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋y i =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴点(x，y)的轨迹方程为xy＝1，它是以x轴、y轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝、z2＝如图所示．则|zz12|＝52，且cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45，s i n∠A OD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250m mm⎧+-=⎨-≠⎩，解得m=2，∴m=2时，z为实数．（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即223100250m mm⎧+-≠⎨-≠⎩，解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．22223203100250m mm mm⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，xx解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求． 17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0). 则22)(101010b a bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++=由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<zz , ∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<b a a *当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解． 当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a . 由(2)知 a =1,2,3.∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1， 因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法． 18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R). 由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba ay x y y x ， ∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆． 又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z iz 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3, ∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴)4,13[||∈w .复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合． 20．讲解：从化简变形| →m |入手．|→m |2=(→m )2=(→→++-j B A i B A 2sin 252cos )2=225cossin 242A B A B -++⋅ =2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+ ，∴2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+=89， ∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ，∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ． 又 A 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91．说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．===========================================================适用版本：人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A版,语文S版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版适用学科：语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理适用年级：一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初适用领域及关键字：100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料，中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷===========================================================本卷由《100测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.。
100测评网新课标高二数学同步测试(5)—(2-1第三章3.2)
AA 1 DCBB 1C1 图普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（5）—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =直线BD 和SC 之间的距离（ ） A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ）A ．621 B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6π C ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111A B C D A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F 的距离 ． 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离 ． 14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 18．（12分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离； （3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1，过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B 的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；分析：建立如图所示的直角坐标系，则A ，B ，(C ，(D ，(0,0,2)S ．(2,DB ∴=，2(CS =．令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则0n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩， x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(2,n ∴=-． ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅===5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==()AC A A AB ⋅+)AC A A AC AB ⋅+⋅=． 6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1A B C 与平面11AC D 间的距离AD n d n⋅==7．D；()()().,0,0,,0,,0,0.0,0,.212,0,,2OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A B C OP h P h D PC OD a h PA a ⊥==∴⊥⊥⊥-⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则 为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭∴=-∴∴， 平面∥∥()2,,,0,,44,210cos ,210sin cos ,PA a h OD PBC n OD n OD n OD n OD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛=- ⎝⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成的角为ⅡA BCDC D 1图8．B ；解 以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系， 设a CB CA ==，则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a =，）（1,,0a -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥平面AB D ， ∴ 0=⋅BD GE ，解得 2=a ． ∴ ）（32,31,31=， ）（2,2,21-=， ∵ ⊥平面AB D ， ∴ 为平面AB D 的一个法向量．由 32323634||||,c o s111=⋅=⋅>=<BA GE BA GE ∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37． 评析 因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）（0,323,01=BB ，由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量． 设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B n n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122B n n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==x z y x 3323． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||,c o s 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB ， 得 60,21>=<n BB ． 故所求二面角B AD B --1的大小为60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C ；解 以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系， 则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴ )4,2,22(1-=D ，)4,22,2(1-=D ，)0,22,22(11=B D ，图10BA DC D 1A 1B 1C 1zy xEFG∴ 1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅>=<F D E D D D ， ∴135,sin 11>=<F D E D ， 所以 5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆S EF D ， 设 平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0222022204D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===232431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 )243,1,1(=， ∴点1B 到平面EF D 1的距离516||11==n d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求． 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000||CB A D Cz By Ax d +++++=计算得到．（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 二、 11分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则110n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，116D C n n ⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC ．12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴=，1(1,,0)2AF =-；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=， 则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=， 102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩， (1,2,1)n ∴=-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F的距离为AB n AB n⋅⋅==13．1；解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0） ，＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1） 设平面D B EF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：0=⋅ 即x ＋y ＝00=⋅21y ＋z ＝0 令x ＝1, y =－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1D B EF 的距离1==h 14．510解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，21，1）设平面AB C 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）01=⋅AD设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin ==θ， 三、15． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=⋅A n 可解得1＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1）， 所以，=33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos 33． 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、 νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1＝（1，1，－1）由 012=⋅M B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅A B n012=⋅C B n 012=⋅C B n 012=⋅C B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面P AD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a ，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ） 于是，CD a a AE},23,21,0{=={－a ，a ，0}设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为42． 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y y x 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)21,1,1(,1--==n y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=n AD D A.1222,cos ||||.2223223||||,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||11111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯⨯>=<∴=-++-==-++-=A A A A n D A A A O A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，(0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，(1AC =-()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =．（Ⅰ）不难证明1AC 为平面BC 1D 的法向量，∵ 1111113cos ,A C D EA C D E A C D E== ∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 a r c c 2π-（即．（Ⅱ）1AC 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 1113cos ,A C ABA C AB AC AB==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为． （Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为1112A C BB d A C==．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0，∴→1BD ⊥→1AB ， 同理 →1BD ⊥→AC ， 而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ， 则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0， 化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0， 易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600=21 (2·a )2·23 =23·a 2 ． 此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ． (证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)=========================================================== 适用版本：人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A 版,语文S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科：语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级：一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字：100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 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普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版]（选修1-1、1-2）高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（4）—1-1第三章（1）说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．两曲线3212xy y b ax x y +-=++=与相切于点（1，－1）处，则a ，b 值分别为（ ） A ．0，2 B ．1，－3C ．－1，1D ．－1，－1 2．()()x f xxx f 则设函数,122+-=（ ）A ．在（－∞，＋∞）单调增加B ．在（－∞，＋∞）单调减少C ．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D ．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少 3．当x ≠0时，有不等式（ ）A ．x e x+<1B ．x e x +>1C ．x e x x e x x x +><+<>10,10时当时当D ．x e x x e x x x +>>+<<10,10时当时当 4．若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）A ．极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B ．极大值必大于极小值C ．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D ．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值5．()()()等于则可导在设x x x f x x f x x f x 3lim ,0000--+→（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f ' 6．下列求导运算正确的是（ ）A ．(x +211)1xx +=' B ．(log 2x )′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ．(x 2cos x )′=－2x sin x7．函数f (x )= a x 2+x +1有极值的充要条件是（ ）A ．a >0B ．a ≥0C ．a <0D ．a ≤0 8．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-'＞0. 且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ） A ．(－3,0)∪(3,+∞) B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3) 9．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b <0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b =2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b <2,则方程g （x ）=0有三个实根10．已知函数f (x )的导数为,44)(3x x x f -='且图象过点（0，－5），当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
11．函数f （x ）＝x ＋2cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为_________;在区间[0，2π]上最大值为___________．12．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 。
13．两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________。
14．()()()()().____________0,100021='---=f x x x x x f 则设 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。
15．（12分）设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图象如图所示，且与y =0在 原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数的递减区间。
16．（12分）是否存在这样的k 值，使函数21232)(2342++--=x kx x x k x f 在（1，2）上递减，在（2，－∞）上递增。
17．（12分）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ;（2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围.18．（12分）讨论函数()[]2,0|,27184|23∈+-=x x x x f 的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．19．（14分）如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h 所做成的盒子体积V(不计接缝). （1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当h a 为多少时，体积V20．（14分）已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。
（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； 令()()132++--=tx x x f x g 。
是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？参考答案一、 1．D ； 2．C ； 3．B ； 4．D ；5．D 提示：这里插入()0x f ，因为题目假定f (x )在0x 点可导，所以分成两项的极限都存在．()()()()[]()()[]()()()()()()().43 33lim3lim 3lim 3lim00000000000000000x f x f x f xx f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x f xx x f x x f x x x x '='+'=---+-+=--+-+=--+→→→→即 t 3x 则x t,3x 错误做法：令x 注意：本题有个常见的00+==- ()()()()()()().43lim 4lim 44lim lim0000000x f x x f t f x t f x t f x x x f x x f x x x x '=-'='=-+=--+→→→→ 因为题中只设f （x ）在0x 可导，没说在0x 及其邻域内可导，更没假定()x f '在0x 点连续，所以上面的做法是无根据的． 6．D ；7．C ；8．D ；9．B ；10．B 二、 11．()12,36+π+π；提示：,sin 21x y -='得f （x ）的驻点为ππππk k 265,26++，当在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0内考虑时，仅有一个驻点(),22,20,366,6πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f 比较后得知，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为36+π，而当考虑区间[0，2π]上的最大值时，需比较f （0）, f （2π）,⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65,6ππf f 四个值的大小． 12．0,3a c b ==≤；解析：(0)00f c =⇒=；()()00f x f x a +-=⇒=．2'()3f x x b =-，若()f x [1,)x ∈+∞上是增函数，则'()0f x ≥恒成立，即2min (3)3b x ≤=； 若()f x [1,)x ∈+∞上是减函数，则'()0f x ≤恒成立，这样的b 不存在．； 综上可得：0,3a c b ==≤ 13．5与43；14．1000！；提示：()()()()()()!.10001000x 2x 1x lim 0x 0f x f lim 0f 0x 0x =---=--='→→三、15．解析：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y > 当x =a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-aa a ，得a =－3 （2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）点拨：1、如果函数f (x )在点x =x 0的一个δ区域：(x 0－δ，x 0+δ)内有定义，对任意的x ∈(x 0－δ，x 0)∪(x 0，x 0+δ)总有f (x )＜f (x 0)（f (x )＞f (x 0)），则称f (x 0)为函数f (x )的极大（小）值，x 0称为极大（小）值点；2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值。
16．解析：f (x )=4k 2x 3－2x 2－2kx +2，由题意，当x ∈（1，2）时，)('x f ＜0当x ∈(2，+∞)时，)('x f ＞0 由函数)x ('f 的连续性可知)2('f =0 即32k 2－8－3=0得21k =或83k -=验证：当21k =时，)2)(1)(1(22)('23--+=+--=x x x x x x x f若1＜x ＜2，0)('<x f ， 若x ＞2，0)('>x f ，符合题意当83k -=时，)91937)(2)(91937(1692432169)('23+----=++-=x x x x x x x f显然不合题意综上所述，存在21k =，满足题意 点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k 值后还需讨论验证。
17．（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点. （II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得 .0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a 18．解：设(),2718423+-=x x x ϕ则()()312-='x x x ϕ，于是当0<x ≤2时，(),0<'x ϕ而只有x ＝0时，()0='x ϕ，故在[0，2]上()x ϕ为单调减少， 而()(),132,023,270-=ϕ=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ=ϕ所以()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=+-= 2.23 ,230 |27184|23x x x x x x x f ϕϕ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0为单调减少，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,23为单调增加，因而在[0，2]上f （x ）的最大值f （0）＝27，最小值.023=⎪⎭⎫ ⎝⎛f19．解：（1）六棱柱的底边长（h a 332- ）cm ，底面积为（2332436⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅h a ）cm 2∴体积V ＝h h a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-233223 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-h a ah h 223433332（2）V ′＝0433*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a ah h 得a h 63=或ah 23=（舍去）∴当ah 63=cm 时V 有最大值33a cm 3 20．解：（1）()x f'=ax x 232+依题意得k =()1'f =3+2a =－3， ∴a =－3()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b =()11-=f∴a =－3，b =－1 （2）令()x f'=3x 2－6x =0得x =0或x =2∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3f （－1）=－3，f （4）=17∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。