奇异函数在Fourier变换中的作用
10-Fourier变换及其应用
, 即(1.10)成立.由(1.10),
f ( x ) e
i x
1 2 1 2
dx d x i fˆ ( )
12
i
f ( x )e
i x
推论 7.1 则
若 f ( x ) f
m
(m )
( x ) L ( ) C ( )，
2
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏 微分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具 有普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本 知识及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解
某些典型数学物理方程的定解问题.
3
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的 求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分 变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类 典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我 们下面将要介绍的Fourier变换。
g
f
L
1
故 f g L1 ( )
17
再由Fubini定理
( f g)
1 2 1 2
e
i x
dx
f ( x y ) g ( y )dy
g ( y )e
i y
dy
f ( x y )e
i ( x y )
定理证毕.
8
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定
Fourier变换
2c n
称 | c n | 为 fT (t) 离散振幅频谱；
称 argcn为 fT (t)离散相位频谱；
8
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的
性质，叫做在时域中表示的性质。而频谱 F(n)
描述了这种性质在频域中的表示。
因此傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
例延拓求为矩Ｔ形周波期函函数数f的(t傅) 立10叶级||tt ||数11的复指数11o形f(式t1)
2 3
26
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
则 1
2
f
(t )eitdt eitd＝
f (t), t为连续点
f
(t
0) 2
f
(t
0)
,
t为间断点
在 ( , )绝对可积 |f是 (t)|d指 t收的 敛
20
Fourier 积分公式的三角形式
f (t) 1
2
f
(t
)e
i
t
d
t
e
it
d
1
2
f
(t
1 T , cn T
T2 T 2
fT
(t )eint dt
t t f(t) T l if m T (t) T l iT 1 m n T T 2 2fT ()e i n td e i n t
17
t t f(t) T l if m T (t) T l iT 1 m n T T 2 2fT ()e i n td e i n t
T 2 T 2
fT(t)eint
dteintD
T
令
FT
常用函数的fourier变换
常用函数的fourier变换
Fourier变换是一种将函数从时间或空间域转换到频率域的数学工具。
在信号处理、电子工程、物理学、数学等领域中，Fourier变换都有着广泛的应用。
本文将介绍几个常用的函数及其Fourier变换。
1. 正弦函数：f(x) = sin(wx)
正弦函数的Fourier变换为：
F(w) = π[δ(w-w0) - δ(w+w0)]
其中，δ(x)为Dirac函数，w0为正弦函数的角频率。
2. 余弦函数：f(x) = cos(wx)
余弦函数的Fourier变换为：
F(w) = π[δ(w-w0) + δ(w+w0)]
3. 高斯函数：f(x) = e^(-x^2/2a^2)
高斯函数的Fourier变换为：
F(w) = a√(2π)e^(-a^2w^2/2)
4. 矩形函数：f(x) = rect(x/L)
矩形函数的Fourier变换为：
F(w) = Lsinc(wL/π)
其中，sinc(x)为sinc函数，定义为sinc(x) = sin(x)/x。
以上是几个常用函数的Fourier变换公式，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解Fourier变换的原理和应用。
- 1 -。
第1章 连续Fourier变换-2. 连续Fourier变换
第1章 连续Fourier 变换2. 连续Fourier 变换2.1 定义当函数)(t x 在实数范围内有定义，同时还满足Dirichlet 条件：1)、单值函数，函数值可以是复值；2)、在定义域内只存在有限个极大或极小值，或是在任一有限的间隔)2/,2/(T T -内分段光滑，3)、不含无穷型间断点；4)、只包含有限个有限型间断点，而且绝对可积，∞<⎰∞∞-dt t x )(。
那么函数)(t x 的Fourier 变换存在，其定义如下：⎰∞∞--=dt e t x f X ft j π2)()( (1-10)其中，12-=j 。
在上面公式中，)(f X 是一个复值函数，由实部和虚部构成，以频率f 为自变量(单位Hz)，称)(f X 为)(t x 的频谱函数，并满足⎰∞∞-=dt t x X )()0(。
作为一个复值函数，可以把)(f X 分解为实部与虚部两部分，也可以表示为体现振幅与相位的欧拉函数形式：)()()Im()Re()(f j e f X f j f f X ϕ⋅=+= (1-11)其中，)(Im )(Re )(22f f f X +=，2)(f X 就是平时所说的能量谱；)Re()Im()]([f f f tg =ϕ，在一些文献中称为相位谱。
图1 欧拉函数示意图图1中绘出了欧拉函数在复坐标系单位圆上的相位示意图，体现了正弦函数、余弦函数和欧拉函数之间的对应关系。
公式(1-11)表明，可以通过Fourier 变换将一个复杂信号分解为不同频率的谐波分量，并利用振幅(或能量)和相位来表征每一个分量，按频率高低次序排列各分量的振幅与相位，就得到通常所说的频谱分布。
从这个角度来看，Fourier 变换和频谱的概念是完全一致的。
可以根据一个函数的Fourier 变换反演计算其在时域的表达形式，即逆向连续Fourier 变换：⎰∞∞-=df e f X t x ft j π2)()( (1-12)由上式定义的逆向Fourier 变换可以得到：⎰∞∞-=df f X x )()0(。
Fourier和Laplace变换在信号系统频域分析中的运用
Fourier 和Laplace 变换在信号系统频域分析中的运用1. Fourier 变换在信号系统频域分析中的运用当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域与频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，那么该系统的零状态响应()zs y t 的推导过程如下：由于输入激励()x t 的频谱函数为1()3x j j ωω=+， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为22()32()3()()3()2(1)(2)j j H j j j j j ωωωωωωω++==++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为2()3()()()(1)(2)(3)zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+==+++， 将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得13122()23zs Y j j j j ωωωω-=++++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为2313()()()22t t t zs y t e e e u t ---=+- 【分析】由上述例题可知，对连续时间LTI 系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI 系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier 变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。
Fourier变换
f (t)
t
0, t 0 例1 求函数 f ( t ) t 的Fourier变换及其积 e , t 0
分表达式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数， 是工程技术上常碰到的一个函数。 解：根据公式, 有
2 jsin 解： F ( ) F [ f (t )] 1 2
由Fourier积分公式，有
0
sin sin t d. 2 1
1 f (t ) F [ F ( )] F ( )e j t d 2 1 2 jsin 1 2 (cos t jsin t )d 2 1 2sin sin t 1 2 d 2
f (t )e j t d t
F ( )e j t d
(1.9)
(1.10)
当 f (t) 为奇函数时，由上式可得
叫做 f (t)的Fourier正弦变换式(简称为正弦变换)，即 而 叫做 换)，即 的Fourier正弦逆变换式(简称为正弦逆变
F ( )
1 f (t ) 2
F ( ) F [ f (t )]
0
f (t ) e
j t
dt
e t e jt d t
1 j 2 2 j
e ( j ) t d t
0
0, t 0 例1 求函数 f ( t ) t 的Fourier变换及其积 e , t 0
0
sin sin t d. 2 1
1.2 Fourier变换解析
f ( 0) .
变 换
一般地，若 f (t ) 在 t t 0 点连续，则
d (t t0 ) f (t ) d t
P24
(2) 对称性质
d 函数为偶函数，即 d (t ) d (t ) .
19
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
0
[ f ( t )] e t e j t d t
0
f (t )
变 换
e ( j ) t d t
1
1 e( j ) t ( j ) 0
1 j 2 . 2 j
O
t
9
§1.2 Fourier 变换 解 (2) 振幅谱为 | F ( ) | 第 一 章 Fourier
f (t )
1
1
2 sgn t . j
t
12
§1.2 Fourier 变换
二、单位脉冲函数及其Fourier变换
第 1. 为什么要引入单位脉冲函数 一 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 章 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。 13
§1.2 Fourier 变换
第 一 解 章 Fourier
f (t )
1
1 2 j t [ F ( )] e d 2π j
《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习
03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换，可以将信号分 解成不同频率的成分，从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中，Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声，提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分， Fourier变换可以实现信号压缩， 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘，然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中，两个函数的乘积可以通过卷积 来表示，因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题，提高计算效率和精度。
fourier transform的原理
fourier transform的原理Fourier Transform的原理Fourier Transform（傅里叶变换）是一种数学工具，用于将一个函数或信号从时间域转换到频率域。
它是由法国数学家Jean-Baptiste Joseph Fourier 在19世纪提出的。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶级数在介绍傅里叶变换之前，我们首先了解一下傅里叶级数。
傅里叶级数是傅里叶变换的基础，用于将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：f(x)=a0+∑[a n cos(2πnxT)+b n sin(2πnxT)]∞n=1其中，a n和b n是函数f(x)的傅里叶系数，T是函数f(x)的周期。
连续傅里叶变换傅里叶级数适用于周期性函数，但对于非周期性函数，我们需要使用连续傅里叶变换。
连续傅里叶变换将一个非周期性函数f(t)转换为一个连续的频谱F(ω)，其公式如下：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−iωt dt连续傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，其中ω表示角频率。
离散傅里叶变换在实际应用中，我们通常处理的是离散的数字信号。
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的一种离散形式，将一个离散的信号序列x(n)转换为离散的频谱X(k)，其公式如下：X(k)=∑xN−1n=0(n)e−i2πknN其中，k表示频率索引，N表示信号的长度。
快速傅里叶变换离散傅里叶变换的计算复杂度为O(N2)，当N较大时，计算时间将会变得非常长。
为了提高计算效率，我们引入了快速傅里叶变换（FFT）。
FFT 是一种高效的算法，能够将离散傅里叶变换的计算复杂度降低到O(NlogN)，使得大规模的信号处理成为可能。
傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理和频谱分析中有着广泛的应用。
它可以用于图像压缩、音频处理、信号滤波、图像恢复等领域。
例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶变换将时域的声音信号转换为频域的频谱，以便对声音进行频谱分析和滤波处理。
4_5-6 变换性质
=e
jωt 0
∫
f ( x )e
jωx
dx=e
F ( jω )
.在
说明: 说明:信号时移不影响 时域中的延时和在频域
幅度谱, 幅度谱,只影响相位谱 中的移相相对应. 中的移相相对应.
综合
e
jtω 0
f (at + b) : > 0) (a
先移后转再尺度, 先移后转再尺度,最后频移
(
)
ω
sin j4 sin 2 2 f3(t ) = f2(2t ) F3( jω ) = = j4 2 ω ω 2
2
ω
2
ω
反过来… 反过来
例4-5-4(时移性质) (时移性质) 求图(a)所示三脉冲信号 求图(a)所示三脉冲信号 的频谱. 的频谱. 解:
令f a ( t ) 表示矩形单脉冲 信号,其频谱函数Fa ( jω ) ,
F ( jω ) 变成时域的F ( jt ) ,放在左边 , 放在左边, 其变换 2π f ( ω ) 放在右边. 的变换时可以想想: 放在右边 .求 G(t ) 的变换时可以想想 : 什么函数的变换 1 1 是形如 G(ω ) 的 . 例如求 时想到 . t ω 1 2t e ε (t ) 2 + jω 1 c c 1 2(ω ) ε (ω ) 2π e = 2 + jt a + jbt b a / b + jt
}合并
例
ωτ 的频谱密度函数. 已知f (t ) F ( jω ) = τ Sa , 求f (2t 5)的频谱密度函数 . 2
ωτ jω 5 向右): 对t时移5( 向右 ):f (t 5) τ Sa e 2 ωτ j 5 ω 尺度变换: 尺度变换 :t → 2t:f (2t 5) Sa e 2 2 4
考研高数总复习Fourier变换性质(讲解)
F1
2E
e
j
2
sin
2
2E sin
且 F F1
2
.
F1
E
2π
4π
6π
三、微分性质
上连续或只有 如果f t 满足： 在 ，
有限个可去间断点, 且当 t 时, f t 0 则
1
j0t
（
）
它表明频谱函数 F
沿 轴向左或向右位移
j t0
0的 Fourier 逆变换等于原来的函数（ f t）乘以 e
.
E，0 t 求矩形单脉冲 f (t ) 的频谱函数. 0，其他
根据Fourier变换的定义，有
F
f (t )e
2
Parseval等式
六、能量积分
证明： 由乘积定理，有
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
1 F1 ( )F2 ( )d 2π
六、能量积分
令 f1 (t ) f 2 (t ) f (t )，则
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π 1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
其中 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及 F2 ( ) 是 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及F2 ( )的共 轭函数.
它表明时间函数 f t
第六章 第3节 Fourier变换性质及应用
[ f1 ( t ) f 2 ( t )]e- jw t d t =ℱ [ f1 (t ) f 2 (t )]
-
二.卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条 件, 且ℱ[ f1(t) ]=F1(w), ℱ[f2(t) ]=F2(w),则 以及
ℱ
ℱ[ f1(t) * f2(t) ] = F1(w)F2(w)
0 t
t
f1 ( t ) f 2 ( t )
-
f1 ( ) f 2 ( t - )d
1 e
0
t -
d 1 - e
-t
0 t 0 例2 求卷积 ( t )* u( t ) 其中u( t ) 1 t 0 t 并证明 ( )d u( t )
现证 (w )F (w ) (w )F (0)
1 - jvu jvw (w )F (w ) ( u)F ( u)e du e dv - 2 - 1 F (0) jvw jvw F (0)e dv e dv 2 - 2 - F (0) 2 ( -w ) F (0) (w ) 2
- -
f1 (t - u) f 2 (u)d u
f 2 (t ) f1 (t )
2)分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
证:左边 f1 ( )( f 2 (t - ) f 3 (t - ))d
f1 ( t ) f 2 ( t )
-
f1 ( ) f 2 ( t - )d
4_4 Fourier变换
一些典型信号的傅立叶变换
一,门函数 二,单边指数函数 三,直流信号 四,符号函数 五,冲激函数 六,冲激偶 七,阶跃函数
ωτ gτ (t ) τ S a 2 1 α t e ε (t ) ,α > 0 α + jω 1 2 πδ (ω ) 2 sg n ( t ) jω
δ (t ) 1 δ ' ( t ) jω
F ( jω ) = 1 f (t ) = 2π
∫ ∫
∞
∞ ∞
f (t )e
jω t
d t = F [ f (t )]
1 Fn = T f (t ) =
∫
T 2 T 2 ∞
f (t )e j n t d t
∞
F ( jω )e jω t d ω = F 1[F ( jω )]
n = ∞
∑Fe
n
f (t )
∫
∞
∞
f (t )e jω t d t
∫
∞ ∞
0
e
(α + jω ) t
dt
E 1
-e
(α + jω ) t ∞
α + jω
1 = α + jω
0
O
t
e
幅度频谱 F ( jω ) = ω = 0, ω → ±∞ ,
α t
1 ε (t ) α + jω
1 E
F( jω F(ω) )
j n t
简写 f (t) F( jω)
有两个名称? 为什么 F ( jω ) 有两个名称? 1 . 频谱密度函数: 反映 f (t ) 的频率信息,与 Fn 对应. 对应. 频谱密度函数: 的频率信息, 2 . Fourier 变换:以及逆变换是时 域和频域的桥梁, 变换: 域和频域的桥梁, 是频域分析的工具. 是频域分析的工具.其 重要性超过 Laplace 变换和 变换. Z 变换. y (t ) = f (t ) * h(t )
Fourier变换简介
Fourier变换的物理意义 变换的物理意义——频谱 4. Fourier变换的物理意义 频谱 4.1 4. 非正弦的周期函数的离散频谱
a0 ∞ f (t ) = + ∑ (an cos nwt + bn sin nwt ) 2 n =1 f (t ) = Cn e jwnt ∑
+∞
An = an + bn
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t )) 2 n =1
2 T a0 = ∫ 2T fT (e)dt T −2
2 an = T
(1.1)
∫
2 bn = T
∫
T 2 T T − 2 T 2 T T − 2
(t ) cos(nω t )dt
(n = 1, 2 , 3 ,L )
fT ( t )的离散振幅频谱；
fT ( t )的离散频谱；
fT ( t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ.
这种频谱图称为离散频谱 离散频谱，也称为线状频谱 离散频谱 线状频谱
4.2 4.2 连续频谱 在频谱分析中, Fourier变换F(ω)又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F(ω)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频 谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一 个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.
−βt
jω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个Fourier
变换对。 1 +∞ 证 f (t) = ： F(ω)ejωtdω ∫−∞ 2π 1 +∞ jω0t jωt jωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π jω0t 即 和 πδ (ω −ω0)构 了 个 e 2 成 一 Fourier变 对 换 。 由上面两个函数的变换可得
复变函数：第二节 Fourier变换的定义及性质
F
1 2
p2 (t )
sin
,
1
1
其中 2 p2(t ) 是宽度为2, 幅度为的 2 矩形脉冲函数,
它是偶函数. 由Fourier变换(的2) 对称性质, 设 F() F [
F[ 2 ,
0,
f(
1 2
t)] F
p2( )
1; 1.
sin t t
F(F)[F (t)] 2 证明 由Four.ier逆变换有 f (t
F f (t )ei0t F ( 0 )(其中0为常数).
证明： 由Fourier变换的定义,
F
f (t )ei0t
f (t )ei0teitdt
f (t )ei( 0 )tdt F (
0 ).
19
(7) 微分性质 设 F () F [ f (t)], 并且 f (n)(t)在
于是
. f(1t )o
1
2
.
1
F
(
)e
i
宽度为2 幅度为 的f矩(形 )脉 冲1函11数 F
2
(3) 相似性质 设 F() F [ f (t)], 则
F [ f (at)]
1 a
F
a
(其中 a 0为常数).
证明 由Fourier变换的定义,
F[ f (at )] f (at )eitdt.
0
i
o
t
5
例7.2 求矩形脉冲函数(E>0)
p
(
t
)
E
,
0,
t
2
t
2
的频谱.
解： 由频谱函数的定义
p (t )
F()
数学物理方法2-1Fourier变换new
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
信号与系统第三章—Fourier变换
f ( t ) dt
借助于奇异函数的概念，可使有些不满足此条件 的信号也可以进行傅里叶变换。
信号处理基础
3、常用非周期信号的傅里叶变换 1）矩形脉冲信号
f(t) E
E f (t ) 0
|t | |t |
2
-
2
0
2
t
2
傅立叶变换为 ：
F ( )
0
1
或
f (t ) e
u (t ) ,
傅里叶变换为
F ( )
f (t )e
( j ) t
j t
dt
e
t
e
j t
0
Ω
dt
( )
0
e
dt
e
( j ) t
0
j
0
1
2
j
0
幅度谱和相位谱为
R ( ) jX ( ) F ( ) e
信号处理基础
R ( ) F ( )
0 0
信号处理基础
傅里叶变换对
F (Ω )
f (t )
常用函数的傅里叶变换对
jΩ t
1
f (t )e
dt
g (t )
Sa (
1
2
)
e
F ( Ω )e
jΩ t
t
u (t )
2
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用PDE讲义08_Fourier变换
应用偏微分方程与科学计算讲义（八）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo.8马石庄2011．09．29．北京第8讲Fourier变换教学目的：积分变换方法通过函数的变换，减少了泛定方程中的自变量的个数，从而把偏微分方程化为常微分方程，还可以把原来方程中出现的一些有奇性的函数，变为比较规则的函数。
Fourier变换是最重要的积分变换．主要内容：§1Fourier积分 (3)1.1从Fourier级数到Fourier积分 (3)1.2Fourier变换 (5)1.3物理意义 (9)§2Fourier变换的性质 (12)2.1卷积及其Fourier变换 (12)2.2反演定理 (13)2.3广义函数的Fourier变换 (15)§3求解偏微分方程 (17)3.1无限长杆的热问题 (17)3.2d’Alembert公式 (20)3.3半平面上的Laplace方程 (22)习题8 (23)附录：关于积分变换 (24)尽管有偏微分方程的Fourier级数解法的成功与冲击，19世纪主要努力之一仍然是要寻求封闭形式的解，即用初等函数及其积分表示的解．用封闭形式解偏分方程的最重要的方法是Fourier变换，起源于Laplace（1749－1827）开创的工作，思想应当归Fourier，Cauchy和Poisson。
把这个重要发现的优先权归结谁是不可能的，因为这三个人都向巴黎科学院宣读了直到一个时期以后才发出来的论文，每人都听过别人的论文，无法从出版物中确定什么东西是每个人取自口头报告的．§1Fourier积分在区间∞，∞上以2为周期的函数可以用Fourier级数表示，而非周期函数不能，对于许多问题，可以对非周期函数求出与Fourier级数展开式类似的积分表达式。
Fourier变换的性质
1Sec. 7.3 Fourier 变换的性质Fourier 变换的性质设)()]([w G r f F =, 且我们约定: 当涉及到一个函数需要进行Fourier 变换时, 这个函数总是满足变换条件的● 线性性质若βα,为任意常数, 则对任意函数1f 和2f , 有][][][2121f F f F f f F βαβα+=+证明: 由定义有][][ )()( )]()([][21212121f F f F dx e x f dx e x f dx e x f x f f f F iwx iwx iwx βαβαβαβα+=+=+=+⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--● 延迟性质 设0w 为任意常数, 则)()]([00w w G x f e F x iw -=证明: 由定义有)( )( )()]([0)(000w w G dx e x f dx e x f e x f e F x w w i iwx x iw x iw -===⎰⎰∞∞---∞∞--● 位移性质 设0x 为任意常数, 则2)]([)]([00x f F e x x f F iwx -=-证明: 由定义有)]([ )( )()( )()]([00000)(000x f F e x d e x f e x x d e x x f edxe x xf x x f F iwx x iw iwx x x iw iwx iwx -∞∞-'--∞∞----∞∞--=''=--=-=-⎰⎰⎰● 相似性质设a 为不为0的常数, 则)(1)]([aw G a ax f F =证明: 令x ax '=, 则当0>a 时有)(1 )( )()]([aw G a ax de x fdx e ax f ax f F x a wi iwx =''==⎰⎰∞∞-'-∞∞-- 而当0<a 时, 有)(1 )( )()]([awG a ax de x fdx e ax f ax f F x a wi iwx -=''==⎰⎰∞∞-'-∞∞-- 所以 )(1)]([awG a ax f F =● 原函数微分性质3若当∞→x 时, 0)(→x f , 0)()1(→-x f n , (其中 ,2,1=n ), 则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==''=')]([)()]([)]([)()]([)]([)]([)(2x f F iw x f F x f F iw x f F x f iwF x f F nn证明: 由定义有⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞----='='dx e iw x f e x f dx e x f x f F iwx iwx iwx ))((])([)()]([因为当∞→x 时, 0)(→x f , 因此)]([)()]([x f iwF dx e x f iwx f F iwx =='⎰∞∞--又因为当∞→x 时, 0)(→'x f , 因此)]([)()]([])([)]([2x f F iw x f iwF dxx f d F x f F ='='='' 重复以上过程便可得证像函数的微分性质设)()]([1x f w F F =-则 )()()]([1x f ix w F F -='- 证明: 上式两边作算符F , 并利用FF -1=1)()()()()()]([w F dx e x f dw d dx dw de x f dx ex f ix x ixf F iwx iwx iwx'===-=-⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--例:求x y =的Fourier 变换.解:此函数不满足绝对可积条件, 但是可以利用δ函数变换中已有的公式x x y ⋅==1, )(2]1[ωπδ==⎰∞∞--dx e F iw x由微分性质可得: )(2][ωδπ'=i x F4例: 求⎩⎨⎧<≥=000)(x x x x f 的Fourier 变换 解: 此函数可以写成)()(x xH x f =, 还是利用微分性质)(1)(1)]([2w i w iw i x f F δπωπδ'+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=● 积分性质)]([1])([x f F iwd f F xx =⎰ξξ 证明: 因为)()(0x f d f dxd xx =⎰ξξ所以 )]([])([0x f F d f dxd F xx =⎰ξξ又由微分性质有])([])([0⎰⎰=xx xx d f iwF d f dxd F ξξξξ比较上面两式便可得证.● 卷积定理已知函数)(1x f 和)(2x f , 则定义积分⎰∞∞--ξξξd x f f )()(21为函数)(1x f 和)(2x f 的卷积, 记作)(*)(21x f x f , 即⎰∞∞--=ξξξd x f f x f x f )()()(*)(2121卷积运算”*”是一种函数间的运算, 易于证明它与乘法相似, 具有交换律、结合律与分配律, 即)(*)()(*)(1221x f x f x f x f =5)](*)([*)()(*)](*)([321321x f x f x f x f x f x f = )(*)()(*)()]()([*)(3121321x f x f x f x f x f x f x f +=+对于函数)(1x f 和)(2x f , 有)]([)]([)](*)([2121x f F x f F x f x f F ⋅=此即卷积定理. 证明: 由定义⎰⎰∞∞-∞∞---=dx e d x f f f f F iwx ])()([]*[2121ξξξ由于1f 和2f 都是在),(∞-∞上绝对可积的, 故积分可以交换次序, 因此][][ ][)( ])()[(]*[21212121f F f F d f F e f d dx e x f f f f F iw iwx ⋅=⋅=-=⎰⎰⎰∞∞--∞∞-∞∞--ξξξξξξ像函数的卷积定理)]([*)]([21)]()([2121x f F x f F x f x f F π=⋅ 证明:)]([*)]([21)(*)(21)()(21 ])()[(21 ])(21)[( )()()]()([211212)(12212121x f F x f F w G w G w d w w G w G w d dx e x f w G dxe w d e w G xf dx e x f x f x f x f F x w w i iwx x w i iwx πππππ==''-'=''=''==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-'--∞∞-∞∞--'∞∞--6例: 求图1所示的函数⎪⎩⎪⎨⎧><=a x a x E x f)(0的像函数解: 利用定义求像函数并不复杂, 下面介绍利用变换的性质来求像函数, 利用)(x H 函数把图示的函数写成如下的解析式:[])()()(0a x H a x H E x f --+=利用延迟性质:wawE w iw awE i w iw e E w iw e E x f F iaw iaw 0000sin 2 )(1sin 2 )(1)(1)]([=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-πδπδπδ说明:◆ 如果分段定义图1中的函数, 只能利用定义来求像函数, 利用)(x H 函数可以写成定义在()∞∞-,的函数, 再利用)(x H 的性质来求, 多数情况可以简化公式◆ 按δ函数的定义, 它总要参与积分的运算才有意义, 所以有关系式)()()()(000x x x f x x x f -=-δδ, 因此上题括号中第二项为0◆ 把图1的函数左移a 得到图2的函数, 可以利用延迟来求它的像函数.[]aw e wE a t fF iawsin 2)(0-=-图1图27例: 求ax x H x f sin )()(=的Fourier 变换 解: 利用Fourier 变换的位移性质来求[][][]()()[])()(2 )(121)(121 )(21)(21)(2)(22a w a w iw a a a w a w i i a w a w i i x H e F i x H e F ix H i e e F X f F iax iax iax iax +--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--δδππδπδ例 利用Fourier 变换求解微积分方程)()()()(2)(0x H x g d y x y dxx dy x x =++⎰ξξ解: 方程两边进行Fourier 变换, 利用微分和积分性质[])()()(1)(2)(x H x g F w Y iw w Y w iwY =++ [])()(12)(2x H x g F iw w iww Y ++-=再进行Fourier 反演就可以求解, 但是)(x g 是未知函数, 先利用留数定理进行下式的反演⎰∞∞---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-dw e i w iw iw w iw F iwx221)(2112π－当0>x 时x i w iwx iwxe x iwe dwd i dxe i w iw -=∞∞--=-=--⎰)1()()(212π当0<x 时0)(212=--⎰∞∞-dx e i w iw iwxπ所以 )()1(1221x H e x iw w iw F x--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-－ 再利用卷积定理, 对y 进行反演8⎰⎰-∞∞-----=---=*-=x x d e x g d x H x g H e x H x g x H e x x y 0)()1( )()()()1( )()()()1()(ξξξξξξξξξξ说明:1.利用Fourier 变换解微分和积分方程是Fourier 变换的应用之一, 它包含三个步骤-----变换, 整理和逆变换, 最后进行反演, 最困难的是反演.2. 反演计算的是Jordan 型积分, i w =是二阶极点, 而在0<x 时下班平面没有留数, 所以积分结果等于0.作业: 求2x e η- (0>η)的Fourier 变换。
第一章fourier变换
jwn t
(w n = nw )
当T
?
， Tlim f T ( t ) = f ( t )
f (t ) =
蝌 2p
1
+? - ?
轾 犏 犏 臌
f (t )e
- j wt
dt e
jwt
dw
三 Fourier 积分定理：
f (t )
在 (-
? ,
) 满足下列条件:
(1) f ( t ) 在 任 何 有 限 区 间 上 满 足 展 开 为 Fourier 级数的条件,即只存在有限个第一类间断 点和有限个极值点； (2)
F2 ( w ) = F [ f 2 ( t )] 则
F1 ( w ) = F [ f 1 ( t )]
，
F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( w ) + b F2 ( w ) = a F [ f 1 ( t )] + b F [ f 2 ( t )]
F
- 1
1 2
ò
0
ì f (t ) t 贡 1 ï ï sin w cos w t dw =ï 1 í ï w t= 1 ï ï 2 î
+
当 t = 0 时， ò0
sin w w
dw =
p 2
——Dirichlet 积分
§1.2 Fourier变换
一 Flourier 积分
f (t ) = 1 2p
+ ?
f
(n)
(0 )
-
+
由于 F ( w ) = F [ d ( t )] =
ò
d (t )e
-