二次根式混合运算经典ppt课件
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第3课时二次根式的混合运算PPT课件(北师大版)
6
6
24 3
1 3 6
8
1
63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转 化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知 识来简化计算.
二 二次根式的化简求值
例2：已知 a
1 ,b 52
1 ，求 52
a2 b2 2.
解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变 形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
第二章 实数
2.7 二次根式
第3课时 二次根式的混合运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.熟练掌握二次根式的综合运算.（重点、难点）
导入新课
视察与思考
如果梯形的上、下底长分别为2 2 cm, 4 3 cm，高为 6 cm，那么它的面积是多少？
1：计算：
3
33
2
3
31 3
3 4 3
3;
解：（3）( 18 1 ) 8
2
18 8 1 8 188 1 8
2
2
144 4 12 2 ＝10 .
3.在一个边长为 (6 15 5 5) cm的正方形内部，挖去一个边 长为 (6 15 5 5) cm的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意得，
解： a 1
5 2 5 2,
5 2 ( 5 2)( 5 2)
b 1
52
5 2,
5 2 ( 5 2)( 5 2)
a b 2 5, ab 1,
a2 b2 2 (a b)2 2ab 2
(2 5)2 2 2 20 2 5.
15.4 二次根式的混合运算课件(共16张PPT)
合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.
2.乘法公式：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
15.4 二次根式的混合运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式混合运算法则和顺序.2.会进行二次根式的混合运算.
学习重难点
二次根式混合运算法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的混合运算.
复习巩固
分式的混合运算顺序：
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号内的.
新知引入
知识点 二次根式的混合运算
谈一谈
计算下列各式：谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
运算时，用到了分配律和平方差公式.
例题解析
例1 计算下列各式：
例2 计算下列各式：
乘法公式在实数范围内也是成立的.
例3 计算下列各式：
随堂练习
B
拓展提升
D
2.若3-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是 .
2.乘法公式：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
15.4 二次根式的混合运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式混合运算法则和顺序.2.会进行二次根式的混合运算.
学习重难点
二次根式混合运算法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的混合运算.
复习巩固
分式的混合运算顺序：
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号内的.
新知引入
知识点 二次根式的混合运算
谈一谈
计算下列各式：谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
运算时，用到了分配律和平方差公式.
例题解析
例1 计算下列各式：
例2 计算下列各式：
乘法公式在实数范围内也是成立的.
例3 计算下列各式：
随堂练习
B
拓展提升
D
2.若3-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是 .
2二次根式的混合运算PPT课件(华师大版)
3 3 6 3 3 2.
23
2
(3) 5 5 2 5 1 5 2
5 5 2 5 10 .
3
33
(4) 6 2 6 3 6 3 6 2 6 6 6.
2
2
2
(5) 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
12 4 6 2 14 4 6.
21.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
复
习
提问ຫໍສະໝຸດ 1、二次根式的乘除法则是什么？ 2、什么是同类二次根式？ 3、二次根式加减运算的法则是什么？
知识点 1 二次根式的混合运算
1. 二次根式的混合运算： 运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或 开方)的混合运算． 运算顺序：先算乘方(开方)，再算乘除，最后算 加减，如果有括号就先算括号里面的．
方法一：
1 2
1 2
a a a a
=
a
1 a
+
a
1
a
a
1 a
a
1
a
=2 a 2 4. a
方法二：
1 2
1 2
a
a
a
a
2
1 1 2
a
2 a
a
a
a
2
1 a
a
2
1 a
a2 1 a2 1
a
a
4.
2
a 2 a
1 1 2
a
C. 5 5
B. 12 3 2
2
D. 3 1 2
2 计算：
2016
2015
3
0
(1) 2 3 2 3 2 2 ;
《二次根式的混合运算》PPT课件
二次根式的混合运算
- .
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
同类二次根式
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
计算
计算
1、注意运算顺序2、运用运算律
二:问题:
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
基础训练
C
比较根式的大小.
提高题
解:
提 高题
想一想：还有其他方法吗？
提 高题
思考:
D
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
观察题目的特点是否能应用乘法公式
2 计算
从例2可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次
- .
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
同类二次根式
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
计算
计算
1、注意运算顺序2、运用运算律
二:问题:
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
基础训练
C
比较根式的大小.
提高题
解:
提 高题
想一想：还有其他方法吗？
提 高题
思考:
D
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
观察题目的特点是否能应用乘法公式
2 计算
从例2可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次
二次根式的混合运算教学课件
在处理复杂二次根式混合运算时，可以运用因式分解、配方法等技巧简化计算过程 。
02
CATALOGUE
二次根式的加减法
合并同类项
总结词
合并同类项是二次根式混合运算中的基础步骤，有助于简化表达式和提高计算效 率。
详细描述
在二次根式混合运算中，经常遇到多个根式形式相同的项。这些项被称为同类项 。通过将同类项合并，可以简化表达式，减少计算的复杂度。合并同类项的方法 是将它们的系数相加或相减，根号内的内容保持不变。
运算顺序
01
02
03
先乘除后加减
在进行二次根式的混合运 算时，应遵循先乘除后加 减的运算顺序，确保运算 的正确性。
根式化简
在运算过程中，应对二次 根式进行化简，将其化简 到最简形式，以便于后续 的计算。
括号优先
在运算过程中，如果存在 括号，应优先计算括号内 的内容，以避免出现运算 错误。
简化过程
，否则会导致计算结果错误。
根式化简不彻底
在进行二次根式的混合运算时，应 对二次根式进行化简，将其化简到 最简形式，否则会导致计算结果不 准确。
括号处理不当
在运算过程中，如果存在括号，应 优先计算括号内的内容，否则会导 致计算结果错误。
05
CATALOGUE
练习与巩固
基础练习
基础运算
包括基本的二次根式化简、加减、乘 除等基础运算，帮助学生掌握二次根 式的基本运算法则。
除法运算
总结词
掌握二次根式的除法运算法则是进行 混合运算的关键。
详细描述
二次根式的除法运算规则是将一个二 次根式除以另一个二次根式，将其系 数相除，根号内的数相除，得到的结 果仍为二次根式。例如： $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
02
CATALOGUE
二次根式的加减法
合并同类项
总结词
合并同类项是二次根式混合运算中的基础步骤，有助于简化表达式和提高计算效 率。
详细描述
在二次根式混合运算中，经常遇到多个根式形式相同的项。这些项被称为同类项 。通过将同类项合并，可以简化表达式，减少计算的复杂度。合并同类项的方法 是将它们的系数相加或相减，根号内的内容保持不变。
运算顺序
01
02
03
先乘除后加减
在进行二次根式的混合运 算时，应遵循先乘除后加 减的运算顺序，确保运算 的正确性。
根式化简
在运算过程中，应对二次 根式进行化简，将其化简 到最简形式，以便于后续 的计算。
括号优先
在运算过程中，如果存在 括号，应优先计算括号内 的内容，以避免出现运算 错误。
简化过程
，否则会导致计算结果错误。
根式化简不彻底
在进行二次根式的混合运算时，应 对二次根式进行化简，将其化简到 最简形式，否则会导致计算结果不 准确。
括号处理不当
在运算过程中，如果存在括号，应 优先计算括号内的内容，否则会导 致计算结果错误。
05
CATALOGUE
练习与巩固
基础练习
基础运算
包括基本的二次根式化简、加减、乘 除等基础运算，帮助学生掌握二次根 式的基本运算法则。
除法运算
总结词
掌握二次根式的除法运算法则是进行 混合运算的关键。
详细描述
二次根式的除法运算规则是将一个二 次根式除以另一个二次根式，将其系 数相除，根号内的数相除，得到的结 果仍为二次根式。例如： $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式混合运算(经典)-PPT
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
18
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
可以互相讨论下，但要小声点
9
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2 - 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
a2－1 a＋1
a2－2a＋1 a2－a
a＋1a－1 a＋1 a－1 aa－1
《二次根式的混合运算》PPT课件
(2) (2 5 + 2 )2
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件（上课用）
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27 (6)5 2 3 5
(1) 2 3 (2)2 3 (3) a 1
(4) x2 1
(5) 3 (6)5 2 3 5
一. 分母有理化常规基本法
练习 1 1 2 3 2 2 1 3 1
二.分解约简法
化简 x y (m n) x y
•
13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。
•
14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。
•
15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!
下，改变模样。
•
6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！
•
7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！
•
10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。
•
11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。
人教版八年级下册数学：16.3 二次根式的混合运算 课件(共15张PPT)
的二次根式进行 合并
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
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(2)Q a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
上次更新: 2020年3月12日星期四
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm，高 为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式
23
(
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
__加_1_、、二__减次__根、式__的乘__混、合__运_除_算的是混指合二运次算根．式的 2、二次根式的混合运算顺序与实数的运
算顺序相同： 先算__乘__除___，后算____加__减_，有括号的先算 括号里面的．
二次根式的混合运算：
3、二次根式的加减运算步骤： ① ② 4、二次根式的乘法运算公式：
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进 行的.
例3 计算：
(
1)
6-
3 8
×
2；
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
解
(1)
6-
3 8
×
2
=
6×
2-
3× 8
2
=
6× 2 -
3× 8
2
=
3× 2× 2 -
3 4
=
2
3-
3 2
=
(
2-
1) 2
3
=
3 2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
a a
b a c
b ad c
b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
5、二次根式的除法运算公式：
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年3月12日星期四
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
1、分母有理化的定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次 根式互为有理化因式。
4、常见的互为有理化因式：
a 的有理化因式：
ba b a c
3
；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2- 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
如何计算
？ 2 +1 2 -1
2 +1 2 -1
= ((
2 +1)( 2 -1)(
2 +1) 2 +1)
=(
2)2+2 2+1 ( 2)2-1
= 2+2 2+1
从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.
= 3+2 2.
例5 计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
=
-
3 2
+
1 2
5.
练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4