实验六 线性系统的根轨迹
线性系统的根轨迹分析 自控实验报告
装订线信息科学与工程学院本科生实验报告线性系统的根轨迹分实验名称析预定时间实验时间姓名学号授课教师实验台号19专业班级装一、目的要求订线1．根据对象的开环传函，做出根轨迹图。
2．掌握用根轨迹法分析系统的稳定性。
3．通过实际实验，来验证根轨迹方法。
二、原理简述绘制根轨迹(1)由开环传递函数分母多项式S(S+1)(0.5S+1)中最高阶次n＝3，故根轨迹分支数为3。
开环有三个极点：p1＝0，p2＝－1，p3＝－2。
实轴上的根轨迹：(2)①起始于0、－1、－2，其中－ 2 终止于无穷远处。
②起始于0 和－ 1 的两条根轨迹在实轴上相遇后分离，分离点为显然S2 不在根轨迹上，所以S1 为系统的分离点，将S1＝－0.422 代入特征方程S(S+1)(0.5S+1)＋K 中，得K＝0.193(3)根轨迹与虚轴的交点：代入特征方程可得将S = j W1装订线根据以上计算，将这些数值标注S平面上，并连成光滑的粗实线，如下图所示图上的粗实线就称为该系统的根轨迹。
其箭头表示随K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与特征根位臵相应的开环增益K 的数值。
根据根轨迹图分析系统的稳定性根据图2.1 -3 所示根轨迹图，当开环增益K 由零变化到无穷大时，可以获得系统的下述性能：R＝500/K(1)当K＝3；即R＝166 KΩ时，闭环极点有一对在虚轴上的根，系统等幅振荡，临界稳定。
(2)当K > 3；即R < 166 KΩ时，两条根轨迹进入S 右半平面，系统不稳定。
(3)当0 < K < 3；即R >166 KΩ时，两条根轨迹进入S 左半平面，系统稳定。
三、仪器设备PC 机一台，TD-ACC+(或TD-ACS)实验系统一套。
2装订线四、线路示图实验对象的结构框图：模拟电路构成：五、内容步骤1．绘制根轨迹图：实验前根据对象传函画出对象的根轨迹图，对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。
并确定各种状态下系统开环增益K 的取值及相应的电阻值R。
线性系统的根轨迹分析法
2 2
K (s 1 / )
'
s ( s 1 / T1 )( s
1
2
n
j d )( s
n
j d )
K K / T1 T 2
两个负实根 K值增加 相对靠近移动
K ＝1 / 4
s1 s 2 1 / 2
1
1 2
0
离开负实轴，分别沿s=-1/2 直线向上和向下移动。
1 / 4 K 一对共轭复根
自动控制理论
开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环 极点的全部数值。 根轨迹与系统性能 • 稳定性：开环增益由0→∞，考察根轨迹是否进入s 右半平面。 • 稳态性能：开环传递函数在坐标原点有一个极点，系 统为Ⅰ型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。 一般情况下，根轨迹上标注出来的参数K不是开环增 益,而是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有 一个比例常数关系。 • 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估 计。
相角条件：
K
*
n
m
1.根轨迹的起点和终点
n
j 1
( s z j ) ( s p i ) ( 2 k 1) ,
i 1
( k 0 , 1, 2 , )
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
s pi s zi
幅值条件
K 0
'
K ＝
'
i 1 m
本章重点
学习本章内容,应重点 掌握根轨迹的基本概念、 绘制根轨迹的条件、系统 根轨迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统的稳定性 、暂态特性和稳态性能, 参量根轨迹的概念和绘制 方法,理解零度根轨迹的基 本概念和绘制方法。
线性系统的根轨迹法
当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角 和交点来确定。
证明如下
渐近线是s很大时系统的根轨迹，
m
n
(s z j )
(s pi )
1 k * j1
j 1
i 1nBiblioteka pi模值条件（幅值条件）：
K * i1
m
szj
j 1
4-2 根轨迹绘制的基本法则
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o根轨迹
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
(2k 1)180o , (k 0,1,2, )
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点， 终止于开环零点。
(s)
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环系统前向通道系统
根轨迹增益。
（2）闭环系统的零点由 开环前向通道传递函数的零点和
反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 K * 均有关。
性能。
对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根 轨迹。
根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，
通过图解法来求闭环系统根轨迹。
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
线性系统的根轨迹一、 实验目的1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、 实验容1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。
)136)(22()(22++++=s s s s s K s G )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。
2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
三、 实验结果及分析1.（1） )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus')运行结果：选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0021 + 0.9627ik =28.7425r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-2.3313-0.0145 + 0.9873i结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序：num=[1 12]；den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')运行结果：选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =k =1.0652e+003r=-11.4165 + 2.9641i-11.4165 - 2.9641i-0.0835 + 9.9528i-0.0835 - 9.9528i结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
线性系统的根轨迹法
利用根轨迹分析系统的稳态性能
在根轨迹图上画出 ξ = 0.5 的径向直4线
Root Locus
Imaginary Axis
2
与根轨迹的交点
0
s1,2 = −1± j 3
-2
由法则8可求出第三个极点
-4
-4 -3 -2 -1
0
1
s3 = (−2 − 2 − 2) − (−1+ j 3 −1− j 3) = −4
Imaginary Axis
Root Locus 4
Root Locus 4
Root Locus 4
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-4 -3 -2 -1 0
1
-4 -3 -2 -1
0
1
-4 -3 -2 -1 0
1
Real Axis
Real Axis
Real Axis
自自 动 控 制 原 理
小结
p 根轨迹的概念（开环绘制à分析闭环） p 绘制根轨迹的基本法则 ☆ p 特殊根轨迹的绘制 p 基于根轨迹的系统性能分析
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
jω
ωd
β
−σ
0
等σ%线
−πξ
σ % = e 1−ξ 2 ×100%
= e−π tan−1 β ×100%
σ
等ts线 Δ = 0.05
−ωd
ts
=
3.5
ξωn
=
3.5
σ
等tp线
tp
=
π ωd
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
实验六-线性系统的根轨迹分析
《自动控制理论》实验报告专业：电气工程及其自动化班号：1406111学号：1140610319姓名：赵元胜电气工程及其自动化实验中心二〇一六年十二月实验六线性系统的根轨迹分析一、实验目的1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法；2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法；二、实验设备Pc 机一台，MA TLAB 软件。
三、实验举例已知系统开环传递函数为)2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。
解：1、绘制控制系统的根轨迹图MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den)在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号↵表示回车）>>k=[1]↵>>z=[]↵>>p=[0 -1 -2]↵>>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)↵ 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)↵ 绘制控制系统的根轨迹图>>grid ↵ 绘制坐标屏幕显示系统的根轨迹图形2.分析根轨迹的一般规律1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。
2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。
3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。
4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。
当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
线性系统的根轨迹法87页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
Байду номын сангаас
线性系统的根轨迹法
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
实验六-线性系统的根轨迹教学提纲
实验六-线性系统的根轨迹实验六 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n nm m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹grid %画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
实验六线性系统根轨迹
实验六 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n nm m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()( 系统的闭环特征方程可以写成0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
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实验六 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n nm m m m a s b sa sb s b sb sb Ks KG s G ++++++++==--+-11111210)()(系统的闭环特征方程可以写成0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*s s s s K s G ，绘制系统的根轨迹的MATLAB 的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
num=[1 1];den=[1 4 2 9]; k=1:0.5:10; rlocus (num,den,k)2）确定闭环根位置对应增益值K 的函数rlocfind （）在MATLAB 中，提供了rlocfind 函数获取与特定的复根对应的增益K 的值。
在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K 和闭环根r （向量）的值。
该函数的调用格式为：[k,r]=rlocfind(num,den)执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus （num,den ），作出根轨迹图。
执行rlocfind 命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window ”，图3-1 系统的完整根轨迹图形图3-2 特定增益范围内的根轨迹图形即要求在根轨迹图上选定闭环极点。
将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K 和闭环根r 的返回变量值。
例3-2：系统的开环传递函数为253865)(232+++++=*s s s s s Ks G ，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K 的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。
则此时的MATLAB 的调用格式为：G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]);rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点rG_c=feedback(G ,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。
其中，调用rlocfind （）函数，求出系统与虚轴交点的K 值，可得与虚轴交点的K 值为0.0264，故系统稳定的K 的范围为),0264.0(∞∈K 。
3）绘制阻尼比ζ和无阻尼自然频率n ω的栅格线sgrid( )当对系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率n ω有要求时，就希望在根轨迹图上作等ζ或等n ω线。
MATLAB 中实现这一要求的函数为sgrid( )，该函数的调用格式为：sgrid(ζ,n ω) 已知ζ和n ω的数值，作出等于已知参数的等值线。
sgrid(‘new’) 作出等间隔分布的等ζ和n ω网格线。
（a ）根轨迹图形 （b ）K=1时的阶跃响应曲线图3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线例3-3：系统的开环传递函数为)2)(1(1)(++=s s s s G ，由rlocfind 函数找出能产生主导极点阻尼ζ=0.707的合适增益，如图3-3(a)所示。
G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]); zet=[0.1:0.2:1];wn=[1:10];说明：sgrid ：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn 、阻尼比矢量z 对应的格线。
sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。
sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z 、自然振荡频率wn 的格线添加：sgrid(‘new ’);或 cle sgrid(zet,wn);hold on;rlocus(G) [k,r]=rlocfind(G)Select a point in the graphics window selected_point = -0.3791 + 0.3602i k = 0.6233 r =-2.2279 -0.3861 + 0.3616i -0.3861 - 0.3616i同时我们还可以绘制出该增益下闭环系统的阶跃响应，如图3-3(b)所示。
事实上，等ζ或等n ω线在设计系补偿器中是相当实用的，这样设计出的增益K=0.6233将使得整个系统的阻尼比接近0.707。
由下面的MATLAB 语句可以求出主导极点，即r(2.3)点的阻尼比和自然频率为G_c=feedback(G ,1); step(G_c) dd0=poly(r(2:3,:));wn=sqrt(dd0(3));zet=dd0(2)/(2*wn);[zet,wn]ans =0.7299 0.5290我们可以由图3-3(a)中看出，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常接近，设计的效果是令人满意的。
4）基于根轨迹的系统设计及校正工具rltoolMATLAB 中提供了一个系统根轨迹分析的图形界面，在此界面可以可视地在整个前向通路中添加零极点（亦即设计控制器），从而使得系统的性能得到改善。
实现这一要求的工具为rltool ，其调用格式为：rltool 或 rltool(G)例3-4：单位负反馈系统的开环传递函数)50)(20)(5(125.0)(2++++=s s s s s s G输入系统的数学模型，并对此对象进行设计。
den=[conv([1,5],conv([1,20],[1,50])),0,0]; num=[1,0.125]; G=tf(num,den); rltool(G)该命令将打开rltool 工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图3-4（a ）所示。
单击该图形菜单命令Analysis 中的Response to Step Command 复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响应曲线，如图3-4（b ）所示。
可见这样直接得出的系统有很强的振荡，就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
（a ）根轨迹上点的选择 （b ）闭环系统阶跃响应图3-3 由根轨迹技术设计闭环系统单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加一对共轭复极点，两个稳定零点，调整它们的位置，并调整增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应效果，则可以试凑地设计出一个控制器)84.03.61)(84.03.61()26.10)(31.38(29.181307)(j s j s s s s G C -+++++=在此控制器下分别观察系统的根轨迹和闭环系统阶跃响应曲线。
可见，rltool 可以作为系统综合的实用工具，在系统设计中发挥作用。
三、实验内容1．请绘制下面系统的根轨迹曲线，同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
)136)(22()(22++++=s s s s s Ks Gnum=[ 1];den=[conv([1,2,2],[1,6,13]),0]; G=tf(num,den); rlocus(G);gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imageinary Axis') title('根轨迹') [k,r]=rlocfind(G) G_c=feedback(G ,1); step(G_c)a ）原对象模型的根轨迹 （b ）闭环系统阶跃响应 图3-4 根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析k>27.2372时系统稳定)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s Gnum=[1 12];den=[conv([1,1],conv([0.012,0.1,1],[0.0714,1]))]; G=tf(num,den); rlocus(G); gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imageinary Axis') title('根轨迹') [k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G ,1); step(G_c)k =1.0869e+003,所以当k>1.0869e+003,时系统稳定)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s Gnum=[0.005 1];den=[conv([0.012,0.1,1],[0.0714,1]),0]; G=tf(num,den); rlocus(G); gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imageinary Axis')title('根轨迹')[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)k =3.0559时系统临界稳定所以当k>3.0559系统稳定2. 在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。