弹塑性力学第二章 矢量和张量

i 1
i 1
再如， 若n为单位矢量，p为常数， 则下列关于矢量r的方程代表一个平面
rgn p
在直角坐标系下可表示成
ax by cz p
在用直角坐标表示方 程时，数量关系更加 明确，但有时不够简 练！！
p r
平面方程rgn p
2.4 标量和矢量场
温度和密度等标量只取决于所考察的点所处的空间位置， 可以表示成位置坐标的函数 f (x1, x2 , x3 ) 。而方程
如果 ， 及V的偏导数存在，下列结果很容易得到证明
1、
• 2 2 2 2
x12 x22 x32
2

2 x12
2
x22
2
x32
称为拉普拉斯算子
2、 () （这里 和 是标量场）
3、 • (V ) •V V •
在直角坐标系中，用ei (i 1, 2, 3) 表示起点在坐标
原点分别和各坐标轴平行的单位矢量。
坐标为 Vi (i=1,2,3)的空间任意一点可以用矢量OP 或V表示.矢量V也可以用其分量 Vi
（i=1，2，3）表示。即
V V1 V2 V3 或以单位矢量表示为 V v1e1 v2e2 v3e3
2、求和约定（缩略表示）
求和约定是为了简练表达求和关系式所采用的一种表示法。 即在同一项中指标重复两次，且求和项数不引起误解时 ，重复 的指标可以任意选择符号，且求和号可以省略 （Einstein求和 约定），如矢量U和V的内积可以表示为
3
U • V u1v1 u2v2 u3v3 ui vi uivi uk vk i 1
其中
( ji ) (ij )T (ij )1
坐标变换矩阵,其逆矩阵为
三维空间
上述关系很容易推广到三维
类似地，有下面两个关系式
ij a ji aii a11 a22 a33
ei • e j ij
在三维欧氏空间，笛卡尔坐标系x,y,z下具有分量
dx, dy, dz的线元。线元长度的平方为
f (x1, x2 , x3 ) c 表示三维空间的一个曲面，称为标量场。而流体中质点的 速度随位置的改变关系可以表示为矢量场 V (x1, x2 , x3 )。
1、标量场的梯度（gradient）
假设标量场Φ定义于一指定的空间区域，则其对各坐标
的导数为

Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即
矢量点积的另外一种表达形式为
U •V u1e1 u2e2 u3e3 (v1e1 v2e2 v3e3 )
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi i 1
2 矢量积
利用右手坐标系，矢量U和V的矢量积可以定义一个新矢量 W.该矢量的长度为，如果U 和V位于纸平面, 那么 矢量W将和 纸平面垂直,且正向按右手螺旋法则确定.用叉积表示为:
1,i j,i 1,2,3 0,i j, j 1,2,3
如果完整地写出，其含义为 11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
更进一步， ij 矩阵为对称矩阵，因为 ij ji，由求和约定，有
第2章 矢量和张量
2.1 引言
应力、应变、位移和本构方程的矢量与张量表示， 在许多文献和参考书中是很常见的。 对一些基本物理量的矢量和张量表示代替其分量的展开 形式表示，使得我们在描述这些物理量之间的关系时有 很大的优点。
因为其数学表达特别简练，因此可以帮助我们把注 意力集中于理解这些原理所表达的物理内涵而不是花更 多的精力在数学方程本身。
u1 u2 u3 U • (V W ) v1 v2 v3
w1 w2 w3
(2.15b)
3）、 4）、
U (V W ) (U •W )V (U •V )W (U V ) W (U •W )V (V •W )U
U (V W ) (U V )W
矢量方程
(2.16) （2.17）
x1 x2 x3
的散度可以表示为
• 2 ,11 ,22 ,33 ,ii
4、克龙克勒符号 ij （Kronecker delta）
克龙克勒 ij 是单位矩阵的一种简单表示，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
ij
另一类量，除需要知道大小外还需要说明它的方向，
例如力、速度、加速度和位移等，这一类量称为矢量 （或向量）
表示矢量大小的数值称为矢量的模。
矢量可以用一条有向线段表示，使它的正方向指向矢 量的方向，它的长度等于矢量的模。表示矢量的记号一 般用带箭头的拉丁字母或黑体字表示,也可以用矢量的起 点和终点两字母表示。

y
'

x
sin

y
cos
X’

C
D

AB
x
可以表示为
xi' ij xj (i, j 1, 2)
(a)
ij


11 21
12 22
源自文库



cos sin
sin
cos

方程（a）的逆转换为
xi ji x'j (i, j 1, 2)
考察平面内的两个直角坐标系oxyz和o ' x ' y ' z '
若坐标系O'x'y'由Oxy经过原点移动而无转动得到， 则该转换称为平移。
若点P在老坐标系和新坐标系下的坐标分别为 （x,y)和（x',y'),且新坐标系的原定O'在Oxy中的坐标为(h,k)
则有如下平移公式
x

y

x ' h y ' k
W U V
(2.11)
几何上两矢量的叉积的大小表示该两矢量组成的平行四边 形的面积.矢量的叉积还可以用坐标系的单位矢量和行列式的形 式表示为
e1 e2 e3
W U V u1 u2 u3 v1 v2 v3
(2.12)
e1 (u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3 (u1v2 u2v1 )
最后，可以简化
aij x j bi
也可以表示成
ars xs br
关于指标（上标或下标）求和缩略表示的三个规律
规律1：如果一个表达式或方程中的一项中下标（上标） 只出现一次，该指标称为自由指标，该指标必须在方程或表 达式中的每一项中都出现一次。
规律2：如果一个方程或表达式每一项的下标有两个，且为 重复下标，则称该下标为哑标（dummy index）, 哑标在每 一项中或者同时出现或者同时不出现。
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新
矢量，即(w1, w2 , w3 ) (u1 v1, u2 v2 , u3 v3 )
但下列表达式是不正确的
ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3
或

x' y'

x y
h k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转角得到
则这类转换称为转动，坐标系转动后新老坐标系下的点P之间
满足
y
P
x x 'cos y 'sinY’

y

x
'
sin

y
' cos
x ' x cos y sin
jj 11 22 33 3
ij 可以当成一个算子或函数来应用，如
i1v1 i2v2 i3v3 vi
或更一般地，有
ij v j vi
另外，可以很容易验证
ij ji ii 11 22 33 3
坐标的平移和转动
•V divV v1 v2 v3 x1 x2 x3
注： V • 没有意义。
3、矢量的旋度（Curl of a Vector）
梯度算子 和矢量V的叉积形成一个新矢量称为矢量的旋度
e1 e2 e3 V curlV
x1 x2 x3 v1 v2 v3
为了表示方便，可约定采用通用的单一下标来表示，即用 vi
来表示矢量的三个分量，这里很容易理解下标i取值是1到3。 如，式 xi 0 表示矢量X的各分量为零或X是零矢量。类似有
f ( X ) f (xi ) f (x j ) f (x1, x2 , x3 )
下标可以自由选取，xi 和 x j在上式中表示相同的矢量。
ds2 dx2 dy2 dz2
易见有下列关系式
U V (V U )
混合积:
(2.13)
三个矢量U,V和W的混合积有下面的性质
1）、(U •V )W U (V •W ) (一般不相等)
(2.14)
2） U • (V W ) V • (W U ) W • (U V )
(2.15a)
（等于U、V和W三矢量组成的平行六面体的体积）也可以用 矩阵形式表示为
或以标量的坐标形式表示 V （v1, v2, v3)
两矢量U和V相等当且仅当对应分量相等，即 vi ui (i 1,2,3)
矢量的数乘和加减运算 数乘
U V
加减
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2)e2 (u3 v3)e3
以分量的形式可以表示成
4、 cur lg rad () 0
5、 divcurlV • ( V ) 0
2．5 指标表示与求和约定
前面已经讨论，一个矢量V可以用多种方式表示，如
V (v1, v2 , v3 ) v1e1 v2e2 v3e3
在三维空间中，一个矢量有三个分量，要用三个下标。
规律3：在表达式或一个方程中同一项中的下标重复多于 两次以上是错误的。
3 微分的表示
在指标表示中用逗号（comma）表示偏导数，如矢量V的散
度可以表示为
vi,i
v1,1 v2,2
v3,3
vi xi
•V
标量函数 的梯度可以方便地表示成
,i


xi

( , , )
美丽的故事需要用美丽的语言来讲述、张量就是力 学的语言！
2.2 坐标系和矢量的坐标表示
本章我们限定采用的坐标系为卡氏坐标系。 在三维空间中，卡氏坐标系常用相互的右手坐标系，
常用坐标轴x,y,z表示也可以用 x1, x2 , x3 表示。
在各门科学中所遇到的量，可以分为两类：
一类完全由数值决定，例如面积、温度、时间、质量等， 这一类量称为标量
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 F (1) , F (2) ,..., F (n) 作用，质点的平衡
条件为
F (1) F (2) ... F (n) 0
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
n
n
n
Fxi 0,
Fyi 0,
Fzi 0
i 1
G grad ( , , )
这里 ( , , )
x1 x2 x3 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面 (x1, x2 , x3 ) c
的一矢量，且是曲面上的最大梯度（证明这里略）。
2、 矢量的散度（Divergence of a Vector） 一个梯度算子和一个矢量的点积称为矢量的散度（标量）
例，三元一次齐次方程的缩略表示。
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
缩略表示第一步，方程组可以写成
a1 j x j b1
a2 j x j b2
a3 j x j b3
(w1, w2, w3) (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
以下标表示
wi ui vi
2.3标量积和矢量积
有两类矢量乘积，标量积（又称点积或内积）和矢量 积（或差积），下面分别讨论。 1、标量积
矢量U和V的标量积定义为
U •V U V cos
这里 U 表示矢量的长度或模， 表示两矢量之间的夹角