初中难题集合
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1.在平面直角坐标系中，抛物线经过O （0，0）、
A （4，0）、
B （3
，
3-
）三点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA 的中点M 为圆心，OM 长为半径作⊙M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P ，过点P 作⊙M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（2010昆明中考第25题）
解：（1）设抛物线的解析式为：
2
(0)y ax bx c a =++≠
由题意得：0164093⎧
⎪=⎪⎪
++=⎨⎪
⎪++=⎪
⎩c a b c a b c ……………1分
解得：
0a b c =
== ………………2分
∴抛物线的解析式为：
2y x x =
………………1分
（2）存在
（2
）抛物线
2y x x =
的顶点坐标是(2,，作抛物线和⊙M （如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C
连接MC ，过C 作CD ⊥ x 轴于D ∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM ⊥BC ∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt △CDM 中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,
CD =
∴
C (1,
)
设切线 l 的解析式为:(0)y kx b k =+?，点B 、C 在 l 上，可得：
20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：
33k b ==
∴切线BC
的解析式为：
y x =
∵点P 为抛物线与切线的交点
由233y x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
解得：
11
122x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
22
6
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴点P
的坐标为：11(2P -，
2
P ………………4分
∵
抛物线
2y x x =
-的对称轴是直线2=x
此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形
l ′
于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图) 得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B1、C1
l ′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线2=x 的对称点：
39(2P ，4(P -即为所求的点. ………………4分
（本题其它解法参照此标准给分）
吉林市二十九中学 陈宏伟
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
4-2-2
x x y =与直线x y =交于点A 、B ，M 是抛物线上一个动点，连接OM 。
当M 为抛物线的顶点时，求△OMB 的面积；
当点M 在抛物线上，△OMB 的面积为10时，求点M 的坐标； 当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M 的面积最大；
吉林市二十九中学 陈宏伟
[][]
[][]
[]
分）
有最大值。（时，当分）
（则设（综上所述，即分）（上方时，同理
在直线当分）
（即解得分）（则设下方时，
在直线当）（（分）
（）（，易得交于点轴的平行线与作过点分）（
解得分）
），（是顶点时，当）解：（12
3
2225
)23(2)
43(24)42(2
1)4()42(2
1)42(21),(),42,()3)
2
5313,2533(),25313,2533(),
2
5
10,253(),2510,253(2)2
5
313,2533(),25313,2533(
)(2)2
510,253(),2510,253(25
3,253210)4()42(2
1)42(21)
,(),42,()2112362
1
16211,11)4,4(421(5-15)1(42122
2
2
22
4321432121222
222OMB m m m m m m m m m m m m m m MNB
OMN OMB m m m m m m m m m m m m m MNB
OMN OMB m m m m m MNB OMN OMB S x x x x x x x x x x x x x x x S S S x x N x x x M M M M M M M AB M b M M x x x x x x x x x x S S S x x N x x x M AB M a S S S N N AB y M B x y x x y M M x x x y ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴+--=++-=⨯---⨯=-⨯---⨯+⨯---⨯=+=--++----++--++----++--+=
-==-⨯---⨯+⨯---⨯=+=--=⨯⨯+⨯⨯=+=∴⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=--=∴--=--=