对偶规划

min 12 y1 8 y 2 16 y 3 12 y 4 2 y1 y 2 4 y 3 0 y 4 2 s.t 2 y1 2 y 2 0 y 3 4 y 4 3 y , y , y , y 0 1 2 3 4
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第一节 对偶规划的数学模型
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第一节 线性规划的一般模型
(1)决策变量：设x1为甲产品的产量，x2为乙产品的产量。
(2)约束条件：生产受设备能力制约，能力需求不能突破有效供给量。
设备A的约束条件表达为
2 x1 ≤16
同理，设备B的加工能力约束条件表达为 2x2 ≤10 设备C的装配能力也有限，其约束条件为 3x1+ 4x2 ≤32
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
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第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 • 设备台时出让的价格（希望出让的价格最少值以获得市 场优势） min 16y1+10y2+32y3 • 显然还有 y1，y2，y3≥0
• 把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示， 将会发现一个有趣的现象。
原问题与对偶问题对比表
A（y1） 甲（x1） 乙（x2） 2 2 12
B（y2） 1 2 8
C（y3） 4 0 16
D（y4） 0 4 12 2 3 minω max z
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第一节 对偶规划的数学模型
2. 原问题与对偶问题的对应关系
综上的LP模型：
max Z 3x1 5 x2 2 x1 16 2 x 10 2 s.t. 3x1 4 x2 32 x1 , x2 0
OM:SMห้องสมุดไป่ตู้
(3)目标函数：目标是企业利润最大化
max Z= 3x1 +5x2
(4)非负约束：甲乙产品的产量为非负
x1 ≥0， x2 ≥0
对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =37 两个问题的目标函数值相等并非偶然 前者称为线性规划原问题，则后者为对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
第3 章 对偶规划
学习要点 Sub title
理解线性规划问题的对偶问题 构建线性规划问题的对偶模型 正确理解对偶规划的基本性质 掌握影子价值的涵义及其应用 资源总存量和分配量增减决策
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第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B， C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润 值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
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第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
• • • •
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min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
对偶问题
（对偶问题）
（原问题）
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第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
生产计划问题
例. 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部件分别在 设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表 所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。 产品 工时消耗 工时成本 生产能力 设备 甲 乙 元/h h A 2 0 20 16 B 0 2 15 10 C 3 4 10 32 据市场分析，单位甲乙产品的销售价格分别为73和75元，试确定获 利最大的产品生产计划。
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第一节 对偶规划的数学模型
•在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： • （1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式 约束条件。 • （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机 时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线 性规划数学模型为：
2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s .t 4 x1 16 4 x 12 2 x1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器 用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定 价才是最佳决策？
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产品数据表
设备 产品 甲 乙 A 2 2 B 1 2 C 4 0 D 0 4 产品利润 （元／件） 2 3
设备可利用机时数（时）
12
8
16
12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
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第一节 对偶规划的数学模型
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： max z 2 x1 3 x 2
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第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 若该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在 谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量 对方出价，对出租与否做出抉择。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首 先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
max z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s .t 4 x1 16 4 x 12 2 x1 , x 2 0
原问题
min 12 y1 8 y 2 16 y 3 12 y 4 2 y1 y 2 4 y 3 0 y 4 2 s.t 2 y1 2 y 2 0 y 3 4 y 4 3 y , y , y , y 0 1 2 3 4