1.2排列与组合类型题
2019-2020版高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．。
三段式学案3：1.2 排列组合(习题课)
1.2排列组合习题课一、学习目标：1．掌握计数原理、排列、组合的常规题型及综合问题；2．注意两个原理的区别，排列与组合的区别，积累解决排列组合应用问题的思想方法.二、学习过程：典型示例：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．例2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？例3．某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？巩固练习：1.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．2．(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？3. 有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．4. 用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；(3)若直线方程ax＋by＝0中的a、b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？5. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．三、个人小结：参考答案例1.【解析】(1)根据分步乘法计数原理得到：222642C C C ＝90种． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33种方法．根据分步乘法计数原理可得：222642C C C ＝x 33A ，所以x ＝22264233C C C A ＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有123653C C C ＝60(种)方法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有12336533C C C A ＝360(种)方法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有222642C C C ＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有12336533C C C A ＝360(种)方法；③“1、1、4型”，有4363C A ＝90(种)方法．所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．例2. 【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法， 由分步计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有24C 种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法12124432C C C A ⋅⋅⋅＝144(种)．(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒．因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有24C 种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ⋅种放法；第2类，有24C 种放法．因此共有3142C C ⋅＋24C ＝14(种)．由分步计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有24C ×14＝84(种)．例3.【解析】法一 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车，可分为三类：从一个车队中抽调，有17C 种；从两个车队中抽调，一个车队中抽1辆，另一个车队中抽2辆，有2172C C ⋅＝42种；从三个车队中抽调，每个车队中抽调1辆，有37C ＝35种．故由分类加法计数原理知，共有7＋42＋35＝84种抽调方法．法二 (隔板法)由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个元素排成一排，在相互之间的9个空档(除去两端)中插入6个档板，即可将元素分成了7份，因而有69C ＝84种抽调方法． 巩固练习：1.【解析】先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有12222222C A A A 种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有22A 种方法，故舰艇分配方案的方法数为1222222222C A A A A ＝32. 2.【解析】(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有24C 种插法；二是2张同时插入，有14C 种插法，再考虑3人可交换有33A 种方法．所以，共有33A (24C ＋14C )＝60(种)．下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有3252A C 种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插入法，所以所求的坐法数为3252A C ＝60(种)．(2)可先让4人坐在4个位置上，有44A 种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空档”之间，有25A 种插法，所以所求的坐法数为44A ·25A ＝480(种)．3.【解析】(1)由题意得：432952C C C ＝1 260，所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组，有432952C C C 种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有33A 种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法432952C C C 33A ＝7 560(种)． 所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种．(3)用与(1)相同的方法求解，得333963C C C ＝1680(种)．所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种．4. 【解析】(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有1233A A ＝18(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有13A A＝48(个)；24当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有1112A A A A＝108(个)；3233故共有18＋48＋108＝174(个)．(3)a，b中有一个取0时，有2条；a，b都不取0时，有2A＝20(条)；5a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复，a＝2，b＝1，与a＝4，b＝2重复．故共有2＋20－2＝20(条)．5.解析：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35·C23＋C45·C13种，后排有A55种，共有(C35·C23＋C45·C13)·A55＝5 400(种)．(2)除去该女生后，先取后排有C47·A44＝840(种)．(3)先取后排，但先安排该男生，有C14·C47·A44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共有C36·C13·A33＝360(种)．。
1.2排列与组合123
3.几种阶乘变形.
n! A = (n-m)!
m n
n!+n n!=(n+1)!
1 1 n = n! (n+1)! (n+1)!
排列应用题1
【概念复习】： 1 ．排列的定义，理解排列定义需要注意的 几点问题； 从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素（这 里的被取元素各不相同）按照 一定的顺序 排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列. 2．排列数的定义，排列数的计算公式
41 41
41 4 1 2
2 3 1 3 1
2
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1 2
3
2 4
3
3
1
3
4
3
1 2
2
4
1
4 2
3
3 42 42 3
河北省抚宁县第六中学人教A版高中数学选修2-3课件：1.2排列组合综合应用问题
说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空 法”对反面明了的,可用“排除法”
第二十一页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
② Ab-------------Ba
③ Bb-------------Aa
④ Ba-------------Ab
显然： ①与③； ②与④在搭配
上是一样的。所以只有2种方法，
所以总的搭配方法有2 C82.C72种。
第十四页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
排列组合综合问题
练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成
第十二页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数.
(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
解：（1）先把男生全排列,再选择必须插空的位 置∴总排列数为 A44.A43.A21
（2）同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位, 女偶数位,或者对调.∴总排列数为A22.A44.A44种.
注意：若是3个元素按一定顺序,
则必须除以排列数 A33.
点评：排列应用题是实际问题的一种,其指导思想：
弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方
法.本例是排列的典型问题,解题方法可借鉴.排列
问题思考比较抽象,“具体排”是一种把抽象转化具
体的好方法.
第二十二页，编辑于星期日：十四点 三十七分。
有条件限制的组合问题
排列数.
部分平均分组问题中，先考虑不平均分组，剩下的就是 平均分组。这样分组问题就解决了.
第一章12排列组合
1.2排列与组合一、基础知识一般地，从n 个不同元素中，任取m (n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．排列数的公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n mn+---== 或 )!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质：① m n nmnC C -= ② 1m n m n m 1n C C C -++= 规定：10=n C ，0!1=二、典型例题 （一）投信箱法（1）由数字0，1，2，3，4可组成多少个可重复数字的四位数？ （2）5个人到4家旅馆住店有几种住法？（3）5个不同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ （4）5个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？（5）有5群鸽子其中有2群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种？ （二）站队问题⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ ⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （6）8人排成一排照相，A 、B 、C 三人互不相邻的排法共有多少种？ （7）8人排成一排照相，A 、B 相邻的排法共有多少种？（8）8人排成一排照相，A 、B 、C 三人互不相邻，D 、E 也不相邻，共有多少种排法？ （三）查字典法1、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字比324105大的数？（297）2、用0、1、2、3、4五个数字，可以组成比2000大、且百位数字不是3的四位数有多少个？ 3、由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字能被3整除的五位数？（216） （四）计算1. 求值：97100C = ；123456234567C C C C C C +++++= .2. 求值：310A = ；2321n n A A ++÷=. 3. (1)若x 1618x 218C C -=,则x= ； (2)若8x 12x C C =,则x= ；（五）恰当分组⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（4）乒乓球的10名队员中有三名主力队员，派五名参赛，三名主力队员要求安排在一 、三、五位置，其余7名队员选取2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排法有多少？ （5）有划船运动员10员，其中3人会划右舷，2人只会划左舷，其中5人既会划右舷又 会划左舷，现在要从这10人当中选出6人平均分配在一只船的两舷划桨，不考虑在同 一舷中3人的顺序，有多少种选法？ （六）元素相同与不同的分组（1）四名优等生保送到三所学校，每所学校至少一名，则不同的选送方案是（ ） （2）将10个名额分配给7个班，每个班至少有一个名额的分配方法（ ） （3）将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ （七）有关至多至少1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？ （八）平均分组法6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵分为三份，每份两本；⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．（九）插隔板法⑴某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现在从这7个车队中抽出10辆车组成运输队，且每个车队至少1辆，则不同的抽法有（）845=126⑵把10本相同的笔记本分给6名学生，每人至少1本，有多少种分法？C9⑶方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？（分析：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分派所得4堆球的3）各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有C11（十）八环行排列1．教师2人，学生6人，师生8人围圆桌而坐，有多少种不同的坐法？2．在排成4*4的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外。
高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件
课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
29
弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)． 例4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类： 第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)； 第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)； 第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)； 第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)； 所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.
1.2.2有约束条件的排列组合问题(张用)
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? 6 4
C C C C 3150
6 10 1 2 4 6 1 2 1 1
C10 C 6
消序法 (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
6 2 2 2 C10 C6 C4 C2 18900
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有
C
2 10
45
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （2） 4只鞋子没有成双的； (2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 种 4 1 1 1 1 1 有 C 2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
一题多变 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训， 在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
一题多变 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训， 在下列条件下，有多少种不同的选法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数 为
C 20
3 6
种方法
插空法
某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用 电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯， 但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， A 可以熄灭的方法共有（ ） 3 （A） 83 种（B） 8 种 （C）C 3 种 （D） 3 种 C A C11 9
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式检测(含解析)
1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。
【全程复习方略】高中数学 1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题课件 新人教A版选修2-3
列出这6种分法，如下：
甲
玫瑰花
乙
月季花
丙
莲花
玫瑰花
月季花 月季花 莲花 莲花
莲花
玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花
月季花
莲花 玫瑰花 月季花 玫瑰花
【补偿训练】从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同 数字排成一个三位数，若组成的这些三位数中，1不在百位，2 不在十位，3不在个位.则这样的三位数共有多少个？并写出这 些三位数.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这_______排 列问题.(填“是”或“不是”) (2)从1，2，3中任取两个数字可组成不同的两位数有______个. (3)从3,5,7中任选两个数相减，可得到________个不同的结果.
【解析】(1)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法， 故不是排列问题. 答案：不是 (2)12，13，21，23，31，32,共6个. 答案：6 (3)从3,5,7中任选两个数相减的所有情况是3-5=-2,3-7=-4， 5-7=-2,5-3=2,7-3=4,7-5=2，故共有4个不同的结果.
然后再按树形图写出排列.
【变式训练】将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、 丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来 .
【解析】按分步乘法计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有3种分法； 第二步，分给乙，有2种分法； 第三步，分给丙，有1种分法. 故共有3×2×1＝6种不同的分法.
不同的选法是一个排列问题.( )
【解析】(1)错误.排列与元素的顺序有关， 所以1,2,3与3,2,1不是同一排列. (2)正确.由定义易知，取出的元素各不相同， 因此不能重复出现同一元素. (3)错误.由排列的定义知，取出元素后，再按顺序排成一列才 组成一个排列，只取不排不是排列 . (4)正确.选出的两个同学参加竞赛的学科不同，所以是排列问 题. 答案：(1)×(2)√(3)×(4) √
1.2.2排列与组合2
m n m n m m
数公式. m 因为 A n
n! , 所以, 上面的组合数公式 n m! n! m . 还可以写成 Cn m! n m! 7 例1 用计算器计算 C10 .
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
abc abd acd bcd
上述等式有什么实际意 义呢 ? 显然, 左边就是" 从 4个不同元素中取出 3个元素的排列数 ".右边的两 个数相乘, 使我们联想到分步乘法 计数原理 ,
因此,以" 元素相同 " 为标准, 可 以把这24个排列分成每组有 6个不同排列的 4组.把上述结 果用一种能够使人看出 其来 历的方式表述是非常有 好处 24 4 3 2 3 的 : C4 4 6 3 2 1 A3 4 3 3 3 . 于是 , 我们有 A C A 4 4 3. 3 A3
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合
排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
上述解释可以推广到一 般情形. 求从n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的: 第1步, 从这n个不同元素中取出 m个元素,共
有C 种不同的取法 ; 第 2 步, 将取出的m个元素做全排列 ,共有A m m 种不同的排法 . m m 根据分步乘法计数原理 ,有 Am C A n n m.
1.2.3排列组合综合题型
例14．已知方程x y z 5，求 ⑴有多少组正整数解？ ⑵有多少组非负整数解？
4
2 （ 4
4 3 3 C － （2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有 2 （ ）种； A A 4 3 4
（3）甲、乙二人均参加，有 C
A
4 － 2 4
A ＋A
3 3
2 2 ）种
共有252种．
例6.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如 果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参 赛方法？ 解法二：六人中取四人参加的种数为
1 4 共有 A4 A4 种；
解法二：对特殊位置 :第一节和第六节进行分类解决. 例7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、 物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育， 最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 2 第一类 第一节和第六节均不排数学、体育，有 A4 种 4 共有 A42 A44 种； 其他有 A4 种， 第二类 第一节排数学、第六节排体育有 一 种，
甲乙 丙丁
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.
相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即 将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排 列.
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C C (2) 6 4 C 18900
突破1.2 排列与组合(解析版)
突破1.2 排列与组合一、考情分析二、经验分享【排列】 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．mn A说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mn A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：由2n A 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素12,,n a a a 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2n A ．由分步计数原理完成上述填空共有(1)n n -种填法，∴2n A =(1)n n -由此，求3n A 可以按依次填3个空位来考虑，∴3n A =(1)(2)n n n --，求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）另外，我们规定 0! =1 .1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同【组合】1．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下： 组 合 排列 dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．2.推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅．3.组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且 规定: 01n C =.三、题型分析(一) 排列问题【1.无限制条件的排列问题】例1.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有()A．48种B．64种C．72种D．96种【答案】：A【解析】：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排列，不同的安排方案总数有A22A22A22A33＝2×2×2×6＝48种．故选A.【变式训练1】有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有________种．(用数字作答)【答案】：210【解析】：从7本不同的书中选3本送给3名同学，即从7个元素中任取3个元素的一个排列，∴共有A37＝7×6×5＝210种不同的送法．【2.有限制条件的排列问题】例2.(2018湖南联考，5分)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A．360种B．480种C．600种D．720种【答案】：C【解析】：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C45＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A55＝120种情况，则不同的排列有5×120＝600种，故选C.【变式训练1】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168【答案】：B【解析】：歌舞类节目设为a1，a2，a3，小品类节目设为b1，b2，相声类节目设为c.(法一)先排歌舞类节目，有A33种排法，再排其他类节目：①歌舞类节目中间有相声类节目，顺序如a1ca2_a3，c有A12种排法．从b1，b2选其一填入空中，剩下的再进行插空，则共有A12A12A14种排法；②歌舞类节目中间无相声类节目，顺序如ca1_a2_a3，c有A12种排法．中间2个空用b1，b2填入，有A22种排法，则共有A12A22种排法．∴共有A33(A12A12A14＋A22A12)＝120种．故选B.(法二)先排b1，b2，c，若a1，a2，a3不相邻，顺序如×b1×b2×c×，共有A33 A34种方法，其中b1，b2相邻的情况，顺序如×b1b2×c×，共有A22A33A22种方法，∴同类节目不相邻的排法种数为A33A34－A22A33A22＝A33·(A34－4)＝6×20＝120.【变式训练2】(经典题，5分)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)【答案】：480【解析】：如图，①C在第1位时，有A55＝120种排法；②C在第2位时，在字母D，E，F中任取一个放在第1位，剩下的4个字母全排列，故共有3A44＝72种排法；③C在第3位时，当A，B在C的左侧时，有A22A33种排法，当A，B在C的右侧时，在字母D，E，F中任取两个放在C的左侧，有3A33A22种排法，故共有A22A33＋3A33·A22＝48种排法．根据对称性可知，共有2×(120＋72＋48)＝480种排法．【变式训练3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324B．328C．360D．648【答案】：B【解析】：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A29＝9×8＝72(个)；当0不排在末位时，有A14·A18·A18＝4×8×8＝256(个)，于是由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328(个)．故选B.【变式训练4】将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数为()A．12 B．20 C．40 D．60【答案】：C【解析】：五个元素没有限制的全排列数为A55，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列数A 33，可得这样的排列数为A 55A 33×2＝40. (二) 组合问题【1．无限制条件的组合问题】例3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】：C【解析】：利用组合知识及分步乘法计数原理可知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝15×5＝75(种)． 【变式训练1】(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴 赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取 两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】：C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的 数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15==P ， 故选C ．【2．有限制条件的组合问题】例4. 从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．①A ，B 必须当选；②A ，B 必不当选；③A ，B 不全当选；④至少有2名女生当选；⑤至多有2名女生当选． 【答案】：①120种 ②252种 ③672种 ④596种 ⑤546种【解析】：①由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中任意选取3人即可，此时有C 22C 310＝120种选法．)②从除去A ，B 两人的10人中任选5人即可，此时有C 510＝252种选法．③从12人中选出5人的全部选法有C 512种方法，A ，B 全部当选有C 310种方法，故A ，B 不全当选有C 512－C 310＝672种选法．④注意到“至少有2名女生”的反面是“只有1名女生或没有女生”，故可用间接法进行计算，所选5人中含有1名女生的选法有C 15C 47种，没有女生的选法有C 57种，∴至少有2名女生当选的选法有C 512－C 15C 47－C 57＝596种．⑤“至多有2名女生当选”所包含的情况有：没有女生当选、只有1名女生当选、有2名女生当选三种，分别求出三种情况的选法：没有女生的选法有C 57种，含有1名女生的选法有C 15C 47种，含有2名女生的选法有C 25C 37种，∴根据分类加法计数原理，至多有2名女生当选的选法有C 57＋C 15C 47＋C 25C 37＝546种． 【变式训练1】现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
1.2.2组合(一)
a
b
c
d
b c d
c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
3.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc ， abd ， acd ， bcd .
组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bcd bdc
m n
m 1 m1 m 1 n! Cn nm n m (m 1)!(n m 1)! m 1 n! (m 1)! (n m)( n m 1)!
n! m Cn . m !(n m) !
例题分析
例3.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条？
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
m n
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵
C
2 n
7 10
(3) 已知
C
3 n
A
,求 n ．
例2
m 1 m1 求证 : C Cn . nm
m n
n！ 证明: C , m（ ! n m） !
(3)全排列数公式：
A n!
n n
情境创设 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？ 2 3
A 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合课堂练习(无答案)新人教A版选修2 3 试题
1.2 排列与组合§1.2 排列与组合－排列（一）【典型例题】例1．从a, b, c, d 这四个字母中取出两个进行排列，（1）用计数原理计算总共有多少个排列？（2）写出所有排列，数出个数；（3）两种方法所得排列数一样吗？例2．12名选手参加民歌大赛，比赛设一等奖，二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有多少种不同的获奖情况？【课堂练习】1．计算①4A 24+5A 35； ②A 14+A 24+A 34+A 44； ③2A 712A 35A 1212．2.（1）一天有六节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？（2）上午有4节课，一个教师要上三个班级的课，每个班一节课，这个教师的课有几种排法？§1.2 排列与组合－排列（二）【典型例题】用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个四位数？（3）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（5）能组成多少个比1325大的四位数？【课堂检测】7个人排成一排．（1）一共有多少种不同的排列方法？（2）其中甲必须排在中间的排法有多少种？（3）其中甲不能排在最后一个位置的排法有多少种？（4）其中甲不能排在第一个位置，也不能排在最后一个位置的排法有多少种？§1.2 排列与组合－排列（三）【典型例题】例1.三个女生和三个男生排成一排,（1）男生甲不能排在首位，可有多少种不同的排法？（2）男生甲不能排在首位，男生乙不能排在末位，可有多少种不同的排法？（3）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（4）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（5）如果女生必须全分开，男生必须全分开，可有多少种不同的排法？（6）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的站法？(7)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的站法？（8）如果三名女生排列顺序固定，但位置不定，可有多少种不同的排法？【课堂检测】某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?§1.2 排列与组合－组合（一）【典型例题】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次，共通了多少次？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛所有冠亚军的可能情况？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【课堂检测】1.有下列等式：① C m n =n!m!(n -m)!； ②C m n =n m C m-1n-1； ③ m!(m -1)! C m n= n! 其中一定成立的是（填序号）.2.设集合A={a,b,c,d,e}, B ⊆A, 如果a ∈B. 且B 中有3个元素，那么满足条件的集合B 有多少个？3.已知甲乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员组成有多少种可能？§1.2 排列与组合－组合（二）【典型例题】例1.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的三件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的三件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种？例2.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？【课堂检测】1. 房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开一盏灯用以照明，有多少种不同的方法？2.学校开设了6门选修课，问：（1）某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？（2）某学生从中至少选2门，共有多少种不同的选法？（3）某学生从中至多选4门，共有多少种不同的选法？§1.2 排列与组合－组合（三）【典型例题】例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有( )例2．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法例3．如图,从一个3×4的方格中的一个顶点A 到对顶点B 的最短路线有几条？【课堂检测】1.从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A2．8级台阶，一步允许走1级或2级，7步走完，则一共有多少种不同走法．。
1.2排列与组合
人教A 版，高中数学，选修2-31.2排列与组合 1.2.1排列 练习（P20）1．写出：（1）从4个不同元素中任取2个元素的所有排列； （2）从5个不同元素中任取2个元素的所有排列。
【解析】（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed 。
2．用计算器计算：（1）415A； （2）77A ； （3）42882A A-； （4）812712A A ； 【解析】（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=；（2）777!5040A ==；（3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=； （4）87121277121255A A A A ==.3．用计算器计算下表中的阶乘数，并填入表中：N 2 3 4 5 6 7 8!N2624120 720 5040 403204．求证：（1）11n m m n A nA --=； （2）8767876787A A A A -+=【解析】（1）因为!()!nm n A n m =-，11(1)![(1)(1)]!m n n nA n n m ---=⨯---(1)!()!n n n m -=⨯-!()!n n m =-，所以11nm m n A nA --=。
（2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=。
5．从参加乒乓球团体比赛的５名运动员中选出３名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同方法？【解析】3560A =（种）。
6．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？【解析】3424A =（种）。
1.2.2组合 练习（P25）1．甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，列出：（1）所有各场比赛的双方； （2）所有冠亚军的可能情况。
1.2排列与组合(课后习题详解)
3 2
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（4） 3C8 2C5 3 56 2 10 148 。
3 2
6．求证 Cn
m
m 1 m1 Cn1 。 n 1
【解析】
m 1 m1 m 1 (n 1)! n! m Cn1 Cn n 1 n 1 (m 1)![(n 1) (m 1)]! m! n m !
4 A4 24 .
6．一个学生有 20 本不同的书，所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？ 【解析】排列 由于书架是单层的，所以问题相当于 20 个元素的全排列，有 A20 种不同的排法. 7．学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序，除第 1 个节目和最后一个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置，2 个曲艺节目 要求排在第 4,8 的位置，共有多少种不同的排法？ 【解析】分步乘法计数原理，排列 可以分三步完成： 第一步，安排 4 个音乐节目，共有 A4 种排法； 第二步，安排舞蹈节目，共有 A3 种排法； 第三步，安排曲艺节目，共有 A2 种排法。 所以不同的排法有 A4 A3 A2 288 （种） 。
n 2 Cn 1 Cn (n 1)
（4） Cn 1 Cn
n
n2
n(n 1) n(n2 1) 。 2 2
3．求证： （1） An1 An n An1 ；
n 2 n 1 n 1
（2）
(n 1)! n! (n k 1)n ! （k n） 。 k! (k 1)! k!
2．用计算器计算： （1） A15 ；
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常用解法有：直接法、间接法，可将条件视为特殊元
素或特殊位置，一般地，按从不同位置选取元素的顺 序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类． 2.排列组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，
5.七个人站成一排，其中甲、乙、丙三人顺 序一定，共有多少种不同的排法？
6.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
13.从 5 双不同的袜子中取 4 只，使至少 有 2 只配成一双的可能取法有多少种？
六、隔板法
14.有10个三好生名额，分配到高三年级 6个班，每班至少1个名额，共有多少种 不同的分配方案？
15．20 个相同的球分给 3 个人，允许有人 可以不取，但必须分完，有多少种分法？
17. 20 个相同的球分给 3 个人，每人至少 16 一个球，有多少种分法？
同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分步．
3.解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)正难则反，等价转化的策略； (3)相邻问题捆绑处理的策略； (4)不相邻问题插空处理的策略；
(5)定序问题除法处理的策略；
(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
九、元素交叉问题
21.某旅行社有9名导游，其中有5人只会英语， 3人只会日语，还有1人既会英语又会日语， 现从这9人中选出3人会英语，2人会日语，有 多少种不同的选法？
22.有 4 个男同学和 3 个女同学到某工厂区 实习，该厂可供实习的工作岗位有 9 个， 每个岗位最多可供 1 人实习，其中 3 个岗位 只适合男同学， 2 个岗位只适合女同学，另 外 4 个岗位男、女同学都可以实习，问有多 少种不同的分配方法？
综合练习
1. 5人站成一排， （1）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不 同的排法？ （2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不 同的排法？ （3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少 种不同的排法？ 2.五名学生和一名老师照相，老师不能站排头， 也不能站排尾，共有多少种不同的站法？
3.四名学生和三名老师排成一排照相，老师 不能排两端，且老师必须要排在一起的不同 排法有多少种？ 4.停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放， 若要使3个空位连在一起，则停放的方法有多 少种？
方法
一、不相邻——插空
4.一条街上有十盏灯排成一排，为了节约 用电，现要关闭其中的三盏，但是，为了 保证行人看清路面，不能关闭相邻的两盏， 道路两端的灯也不能关闭，则不同的关灯 方式有 _____种。
5.三个学校分别有 1 名、 2 名、 3 名学生获 奖，这 6 名学生排成一排合影，要求同校 的任两名学生不能相邻，那么不同的排法 有 _____种。
八、先组后排
19.从6名男生和4名女生中，选出3名男生 和2名女生分别承担A,B,C,D,E五项工作， 一共有多少种不同的分配方法？
20.有 4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球 全部放入盒内。 （1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒子放 2 个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
二、相邻——捆绑
6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、 4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求 同一品种的画必须连在一起，那么不同的 陈列方式有多少种？
7.四名学生和三名老师排成一排照相，老师 不能排两端，且老师必须要排在一起的不同 排法有多少种？
三、特殊位置、特殊元素——优先法
8.在7名运动员中选出4名组成接力队参加 4×100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒 的安排方法有多少种？
(7)平均分组问题，除法处理的策略；
(8)构造模型的策略．
题型
一、涂色问题
1.将红、黄、绿、黑四种不同颜色涂入如图 的五个区域内，要求相邻两个区域的颜色各 不相同，则有多少种不同的涂法？
涂色问题通常要用到两个计数原理
二、投信问题：
2.（1）将 4 封信投入到 3 个信箱中，有多少 种不同的投法？ （ 2） 3 位旅客到 4 个宾馆住宿，有多少种 不同的住宿方法？
7.（1）将四个不同的小球分给甲、乙两人， 每人两个，有多少分法？ （2）、将四个不同的小球分成两组，每 组两个，有多少种分法？ （3）、将四个小球分成两组，一组三个， 一组一个，有多少分法？ （4）、将四个小球分给甲乙两人，一人 三个，一人一个，有多少分法？
8.某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名 会跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名 演员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农 村演出，问有多少种选法？
9.六人站成一排，甲不在排头，乙不在 排尾。
四、顺序固定——除序法
10.七个人站成一排，其中甲、乙、丙 三人顺序一定，共有多少种不同的排法？
11.由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有 重复数字的六位数，其中个位数字小于 十位数字的共有多少个？
五、正难则反——间接法Fra bibliotek12.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个 点，在其中取 4 个不共面的点，则不同 取法有多少种？
17.有编号为1，2，3的三个盒子，将20个 完全相同的小球放在盒子中，要求每个盒 子中球的个数不小于它的编号数，则共有 多少种不同的分配方案？
七、分组问题：
18.九本不同的书，按下列条件，各有多少种 不同的分法？
（1）分为三份，一份两本，一份三本，一份四本。 （2）分为三份，每份三本； （3）分给甲、乙、丙三人，每人三本； （4）分成三份，一份五本，两份两本。
A 3 2 B 2
投信问题是可重复问题； 注意是谁选择谁。
三、数字问题
3.用 0、 1、 2、 3、 4 这 5 个数字，可以组成 多少个没有重复数字 : （ 1）四位密码？ （ 2）四位数？ （ 3）四位奇数？ （ 4）能被 3 整除的数？ （ 5）比 231 大的数？
数字问题要注意——是否重复；有无数字 0； 具体要求等等