高等数学习题：习题课(07)微分中值定理

证明：（1） ( 1, 1) ，使 f () ； 2
（2） ，(0, ) ，使 f ()[ f ()]1 。 证明：（1）令( x) f ( x) x ，则 ( x)C[1, 1] ，且
2
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
由介值定理知，至少存在一点C[0, 2] ，
使 f (C) f (0) f (1) f (2) 1 ， 3
∵ f ( x)在[C,3]上连续 ，在(C,3)内可导 ，
且 f (C )1 f (3) ，
∴由Rolle定理知，
必存在 (C,3)(0,3), 使 f ()0 。
2．设在[0, 1] 上 f ( x) M ，且在 (0, 1) 内f ( x) 取得
方法二 先考察 f ( x) 在x 是否连续，若不连续，
则 f ( x ) 不存在。 若连续，则求出x x 时的导函数 f ( x) ， 若 lim f ( x) 存在，则 f ( x ) 也存在，
x x
且 f ( x ) lim f ( x) .
x x
要求：做大题时一律用方法一。
练习:1.确定常数 a,
值定理，故( x ,
x)
，使
f ( x) f ( x ) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x ) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x ) A 。 同理可证 f ( x ) B 。
分段函数在分段点 x 处的导数 f ( x ) 的求法
方法一
极大值，试证： f (0) f (1) M .
证明：∵ f ( x) 在(0, 1) 内取得极大值，
∴必 x(0, 1) ， f ( x )0. (Fermat引理)
在[0, x]和[x, 1]上对f ( x)应用Lagrange定理,
有
f
(
x ) f x 0
(0)
f
(1 ),
01 x ,
f
b ，使函数
f
(
x
)
e
x
,
x2
在点 x2 处可导。
axb, x2
2.设f ( x)在[0,1]上可导，且0 f ( x) 1, f ( x) 1, 证明：f ( x) x在[0,1]上有且只有一根.
3.证明:x (, ),有 arctan x arcsin x . 1 x2
4．设 f ( x) ， g( x) 在[a, b] 连续，在(a, b) 内可导， f (a) f (b)0 ，
求出
f
(
x
)
lim
x x
f
( x) f ( x ) x x
和
f
(
x
)
lim
x x
f ( x) f ( x ) x x
，
若 f ( x ) f ( x )a ，则 f ( x )a . 若 f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ), f ( x ) 有
一个不存在，则 f ( x ) 不存在.
e[ f ()1[ f ()]0 ，
即 f ()1[ f ()]0 ，从而 f ()[ f ()]1 。
6．设 f ( x) 在[a, b] 连续，在(a, b) 内可导， f (a) f (b)1 ， 试证：, (a, b) ，使e[ f () f ()]1 。
分析：即证 e e[ f () f ()] 。这题是要证明存 在两个中间值 ， ，满足等式e e[ f () f ()] 。 由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故要用 两次中值定理才能解决问题。
习题课六
一、证明题
1．设函数 f ( x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导 ，且
f (0) f (1) f (2)3 ， f (3)1 ，试证必存在 (0,3), 使 f ()0 。
证明：∵ f ( x)在[0,3]上连续 ，∴ f ( x)在[0,2]上连续 ， 且在[0, 2]上必有最大值 M 和最小值 m ，于是 m f (0) M ， m f (1) M ，m f (2) M ，故 m f (0) f (1) f (2) M ， 3
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
即eg()[ f () g() f ()]0 ，
而e g() 0 ，故 f () g() f ()0 。
5．设 f ( x) 在[0, 1] 连续，在（0，1）内可导， f (0) f (1)0 ， f ( 1 )1 ， 2
(1) 1
f ( x
x
)
f
(
2
),
x 2 1,
把 f ( x )0 代入上面两式，得
f (0) x f (1),
(1)
f (1) (1 x ) f (2 ),
(Baidu Nhomakorabea)
(1)+(2)，并取绝对值，借助题设条件 f ( x) M ，得
f (0) f (1) f (0) f (1) x f (1) (1 x ) f (2 )
证明：（1）R ，(a, b) ，使 f () f ()0 ， （2）(a, b) ，使 f () f ()g()0 。
证明：设 F(x)ex f (x) ， 则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ， 由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ， 即e[ f ()f ()]0 ， 由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。
xM (1 x )M M.
3．定理 设 f ( x) 在[ x , b) (或(a, x ] )上连续，
在 ( x , b) （或(a,
x )
）内可导，且
lim
x x
f
( x)
A
(或
lim
x x
f
( x) B
)，则
f ( x ) A
(或
f ( x ) B
)。
证明：x( x , b) ，则 f ( x) 在[x, x] 上满足拉格朗日中
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
注意到 f ( x)1 正是 f ( x) x 的导数，用“指数因子法”，
作辅助函数： F( x)ex[ f ( x) x] ，
则 F ( x)C[0, ] ，F ( x)D(0, ) ，且F (0) F ()0 ， 故由罗尔定理， (0,) ，使F ()0 ，即