将军饮马系列---最值问题

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(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分3别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ⊥ON 时，AQ 最小.2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 内一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45，易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

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P
l 3.形成的线段长即为最短（三点共线）
探究二
求出最短值
A
A
P l
B
A'
将最短线段构造在直角三角形中，利用勾股定理求具体值
B
l P
例题讲解
如图所示，AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M,N,MN=12m,
AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一点，则PA+PB的最小
值是多少m？ 15m
A B
E MP N
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的
周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C′
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，
然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、
AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
课堂检测
1. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中
BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.

将军饮马问题地11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分3别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ⊥ON 时，AQ 最小.2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45，易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)

专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。

例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小。

作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。

2.连A’B 。

3.交点P 就是要求点。

连线长A’B 就是PA+PB 最小值。

【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。

中考数学必学几何模型：将军饮马模型(几何最值)含答案解析

2
A A
P
C
B
D
P
C
B
A'
解答：
如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′C，连接 A′B 并延长交 CD 于点 P，则点 P
就是 PA PB 的值最大时的点， PA PB ＝A′B．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC 等于 4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°． ∵点 A、A′关于 CD 对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
A
M
l1
A′
N
l2
B
将 A 向下平移 d 个单位到 A，连接 A′B 交直线 l2 于点 N，过点 N 作 MN⊥l1，连接 AM.点 M、N 即为所求．
AM＋MN＋NB 的最小值为 A'B＋d.
例题：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF ＝2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标．
2．如图，点 C 的坐标为（3，y），当△ABC 的周长最短时，求 y 的值．
3
y A(0,3)
O
B(2,0)
x
解：解：（1）作 A 关于 x=3 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 x=3 与点 C．
∵点 A 与点 A′关于 x=3 对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点 B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．

初中数学最值系列之将军饮马

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)

将军饮马等8类常见最值问题题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高（1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为。

最值模型之将军饮马模型(解析版)

最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。

例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。

专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)

题型二：一定两动模型
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小.
分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
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12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（）
试卷第 10页，共 11页
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参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值．【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E

2024成都中考数学二轮复习专题：几何最值之将军饮马问题

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）题型一：两定一动模型模型作法结论当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA PB-最大．连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA PB-的最大值为AB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0【例1】如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．【解析】解：解：（1）作A 关于x =3的对称点A′，连接A′B 交直线x =3与点C ．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y =kx +b ，将点B 和点A′的坐标代入得：k ＝34，b ＝−32．∴y =34x -32．将x =3代入函数的解析式，∴y 的值为34【例2】如图，正方形ABCD 中，AB ＝7，M 是DC 上的一点，且DM ＝3，N 是AC 上的一动点，求|DN －MN |的最小值与最大值．【解析】解：当ND=NM 时，即N 点DM 的垂直平分线与AC 的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM ，当点N 运动到C 点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,5-或12,)5(4-．【解析】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，∵抛物线经过点4(0)C ，，则54a ＝，解得：45a ＝，抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝，函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k bb =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线BC 的表达式为：4y x 45=-+，当3x ＝时，85y ＝，故点835P （，）；3（）存在，理由：四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形，则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，点E 在第四象限，故：则125E y ＝-，将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-，解得：2x ＝或4，故点E 的坐标为122,5（-或12,5（4-）．题型二：一定两动模型模型作法结论点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．分别作点P 关于OA、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB 于D ，点C 、点D 即为所求．PD ＋CD 的最小值为P ′C【例4】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【例6】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E 作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为26．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，552，DH=DE DGEG⋅5∴EH=2DH=25∴HM=DH EHDE⋅=2，∴=1，在Rt△DCK中，，∴△PCD的周长的最小值为．【例7】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）AM+AN．【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得91504a a cc++=⎧⎨=⎩，解得164ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x=3时，y=﹣16×9+56×3+4=5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，=，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴当CM CNCO CB=时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，即4145m m-+=，解得m=169，此时M点坐标为（0，169）；当CM CNCB CO=时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，即4154m m-+=，解得m=119，此时M点坐标为（0，119）；综上所述，M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）连接DN，AD，如图，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值==，∴AM+AN．题型三：两定两动模型模型作法结论点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′【例8】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，7BC =，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.【答案】103【详解】解：如图，在AD 上截取线段AF=DE=2，作F 点关于BC 的对称点G ，连接EG 与BC 交于一点即为Q 点，过A 点作FQ 的平行线交BC 于一点，即为P 点，过G 点作BC 的平行线交DC 的延长线于H 点．∵E 为CD 的中点，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴QCE~GHE,∴CQ EC GH EH=,∴2 56 CQ=，∴CQ=5 3，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-510 33 =．故答案为10 3．【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=304，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．题型四：两定点一定长正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．【解析】如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．【例11】村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？ABl 2l 1【解答】设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2，则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.提分作业1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为()A ．3B ．4C ．33D ．3【解析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．2．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是()A3B．2C．3D．4【解析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．3．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．310B．103C．9D．92【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE2293 =310．故选A．4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值_____．【答案】10【详解】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE22AD AE+2286+＝10．∴PB+PE的最小值为10．故答案为10．5．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB 上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N 关于OA 的对称点N ′，连接N ′M 交OA 于P ，则此时，PM +PN 最小，∵OA 垂直平分NN ′，∴ON =ON ′，∠N ′ON =2∠AON =60°，∴△NON ′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N ′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON =3，∵点M 是ON 的中点，∴OM =1.5，∴PM =2，∴P （32，2）．故答案为：（32，2）．6．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为多少？【答案】∠ECF ＝30º【解析】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.7．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点．（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．【解析】(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入，得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2，∴直线CD '为y ＝2x －2.令y ＝0，得x ＝1，∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″，设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．8．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．【答案】（1）9y x =；（2）12(0,)5【详解】解：（1）∵OABC 是矩形，∴90B OAB ︒∠=∠=，∵AB DB =，∴45BAD ADB ︒∠=∠=，∴45OAD ∠=，又∵AD x ⊥轴，∴45OAD DOA ︒∠=∠=，∴OD AD =，∵(3,0)D ∴3OD AD ==，即(3,3)A 把点(3,3)A 代入的k y x=得，9k =∴反比例函数的解析式为：9y x=．答：反比例函数的解析式为：9y x =．（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ，∵90B =∠，AB BD =，BE AD⊥∴1322AE ED AD ===，∴39322OD BE +=+=，∴93(,)22B ，则点B 关于y 轴的对称点193(,22B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小，设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将(3,3)A ,193(,)22B -，代入得，339322k b k +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得：15k =，125b =，∴直线1AB 的关系式为11255y x =+，当0x =时，125y =，∴点12 (0,)5 P答：点P的坐标为12 (0,)5．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.。

题型01 最值问题之将军饮马-2023年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题(全国通用)(解析版)

最值问题之将军饮马模型精讲基础模型：如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？模型解析：作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，PA ’+PB =A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）模型变式：1、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．2、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

BBBB考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

3、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）针对训练一、单选题1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．4B．C．D ．5【答案】D【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，BB2．如图所示，在△ABC 中，，BD 平分，P 为线段BD 上一动点，为边AB 上一动点，当AP PQ +的值最小时，APB Ð的度数是（）A ．118°B ．125°C ．136°D ．124°∵BD 平分ABC Ð，ABC Ð∴12ABD CBD ABC Ð=Ð=Ð∵BP BP =，∴()SAS PBQ PBE V V ≌，∵90AEB Ð=°，34CBD Ð=°，∴124APB AEB CBD Ð=Ð+Ð=°．故选：D ．3．如图，Rt △ABC 中，9043C AC BC Ð==°=，，，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD AB ^于点D ，则PB PD +的最小值为（）A ．154B ．245C ．5D ．203根据对称性的性质，可知：BP 在Rt △ABC 中，90,ACB AC Ð=°225AB AC BC \=+=，根据对称性的性质，可知：V 2S S S S \=+=4．如图所示，已知A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y 2=x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大值时，点P 的坐标是（）A．（3，0）B．（72，0）C．（53，0）D．（52，0）P PB 与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【详解】解：连接OP ，PA PB ^Q ，90APB \Ð=°，AO BO =Q ，2AB PO \=，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ¢，当点P 位于P ¢位置时，OP ¢取得最小值，过点M 作MQ x ^轴于点Q ，则3OQ =、4MQ =，5OM \=，又2MP ¢=Q ，3OP \¢=，26AB OP \=¢=，故选：D ．6．如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若AE ＝2，则EM ＋CM 的最小值为（）A B．C．D．的最小值为（）A．2B C D．1【答案】B【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，PPB PE y+=，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M的坐标是（）A．(B．(C．(D．(【答案】AP小值为（）A．5B．C．D．10【答案】A【详解】连接EC，交BD于P点∵四边形ABCD为正方形∴A点和C点关于BD对称\=PA PC\+=+=PA PE PC PE EC根据“两点之间线段最短”，可知PA PE+的最小值即为线段EC的长.10．如图，在矩形ABCD 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD PE +的最小值为（）A ．8B ．C ．10D ．2点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆点E 的对称点为1E ，连接1'O E ∴当点D 、P 、1E 、'O 共线时，如图所示，在Rt 'DCO V 中，CD 22'8610DO \=+=，又1'2O E =Q ，11''8DE DO O E \=-=，即PD PE +的最小值为8，故选：A ．二、填空题11．如图，在△ABC 中，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上任意一点，则AP BP +的最小值是______．【答案】4【详解】解：连接PC ．∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP PC =，∴PA BP AP PC +=+，∴当点A ，P ，C 在一条直线上时，PA BP +有最小值，最小值为4AC =．故答案为：4．12．如图，在等边△ABC 中，BD AC ^于D ，3cm =AD ．点,P Q 分别为,AB AD 上的两个定点且1cm BP AQ ==，点M 为线段BD 上一动点，连接,PM QM ，则PM QM +的最小值为______cm ．^∵△ABC是等边三角形，BD AC为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______．【答案】1300m14．如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM PN +的距离最短，则最短距离是 _____米．【答案】50【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ¢，连接MP ¢，当P 点与P ¢重合时，MP NP MP NP NQ ¢¢+=+=的值最小，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，QBP MBP Ð=Ð，即Q 在AB 上，MQ BD ^Q ，15．在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当BA BO+的值最小时，=a ________．【答案】1 216．如图，直线4y x =+与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC PD +的值最小时，点P 的坐标为 ___________．【答案】()10-，【详解】解：作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接CD ¢交x 轴于点P ，此时PC PD +值最小，最小值为CD ¢，如图．令4y x =+中0x =，则4y =，∴点B 的坐标为()04，；令4y x =+中0y =，则40x +=，解得：4x =-，∴点A 的坐标为()40-，．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点()22C -，，点()02D ，．∵点D ¢和点D 关于x 轴对称，∴点D ¢的坐标为()02-，．设直线CD ¢的解析式为y kx b =+，∵直线CD ¢过点()22C -，，()02D ¢-，，∴222k b b -+=ìí=-î，解得22k b =-ìí=-î，∴直线CD ¢的解析式为22y x =--．令0y =，则022x =--，解得：1x =-，∴点P 的坐标为()10-，．故答案为：()10-，．17．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则△PMN 周长的最小值是______．【答案】3cm【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∴PM CM OP OC COA POA ==Ð=Ð，，；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN DN OP OD DOB POB ==Ð=Ð，，，∴3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴COD △是等边三角形，∴()3cm CD OC OD ===．∴△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++³=．故答案为：3cm ．18．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1DE =，2DF =，若P 为对角线AC 上一动点，则EP FP +的最小值为______．【答案】3【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ¢，则PF PF ¢=，连接'EF 交BD 于点P ．EP FP EP P F \+¢+=．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F'在一条直线上时，EP FP +的值最小，此时F EP FP EP P E F ¢+==¢+．Q 四边形ABCD 为菱形，周长为12，3AB BC CD DA \====，AB CD ∥，2AF =Q ，1AE =，1DF AE \==，\四边形AE D F ¢是平行四边形，3E D F A \¢==．EP FP \+的最小值为3．故答案为：3．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点C 在直线MN 上，30BCN Ð=°，点P 为MN 上一动点，连接AP ，BP ．当AP BP +的值最小时，CBP Ð的度数为__________度．【答案】15【详解】如图，作B 关于MN 的对称点D ，连接,,AD BD CD ，AP BP +Q 的值最小，则MN 交AD 于P ，由轴对称可知：20．如图，抛物线43y x x =-+与x 轴分别交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接,,MA MC AC ，则MAC △周长的最小值是______．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B -，，，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x 取何值时，0y >？(3)设（1）题中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC △的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．∴1k =，∴直线BC 的解析式为3y x =-，把1x =代入上式，∴=2y -，∴Q 点坐标为()12-，．22．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．(2)问题探究：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝4，∠BAD ＝2∠ABC ．过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于点E ．如图②，连结OE ，则OE 的长为____．(3)如图③，若点P 是对角线BD 上的一个动点，连结PC 、PE ，则PC ＋PE 的最小值为_____．（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求CDE(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.∵在矩形OACB 中，∴D （0，2），C （设直线CD ¢为y 得34k b =＋，b ∴直线CD ¢为y 理由如下：∵四边形CDEF 的周长为∴DE ＋CF 最小时，四边形轴于点D，且:4:3CD AD=，反比例函数kyx=的图象经过A、B两点．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P为直线AC上一动点，求BP OP+的最小值．∵BC AC ^，FC BC =，∴AC 垂直平分BF ，∴BP FP =，∴BP OP FP OP OF +=+=，由“两点间线段最短”可得BP 由（1）得A 、B 关于原点对称，∴()7,3B -，∵C 为线段BF 的中点，25．如图，已知抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得90Ð=o且以点C，M，N为顶点CMN的三角形与OACV相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．∵对于2246y x x =+-，令∴C (0，-6)，26．如图，直线1l 经过9,02A æöç÷èø、()2,5B -两点，直线2:3l y x =-+与直线1l 交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线1l沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线3l与直线2l交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．）∴154M x =或154M x =-，∴M (154，0)或（154-，0），∴存在一点M ，使△MOA 的面积等于△AOB 的面积，且M 点的坐标为(154，0)或（154-，0）．28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，其中OA ＝2，S △ABC ＝12，点C 在x 轴的正半轴上，且OC ＝OB ．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移6个单位长度得到直线l 1，直线l 1与y 轴交于点E ，与直线CB 交于点D ，过点E 作y 轴的垂线l 2，若点P 为y 轴上一个动点，Q 为直线l 2上一个动点，求PD +PQ +DQ 的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），设直线D'D''解析式为y＝sx+t，则2262s ts t=-+ìí-=+î，解得22st=-ìí=-î，∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此时PD＝25，PQ＝0，DQ＝25，∴PD+PQ+DQ的最小值为45．（3）存在，理由如下：此时AD中点即为MN中点，∴2200224pp q-+=+ìí+=++î，解得2pq=ìí=-î，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，如图：同理可得：2200242p p q -+=+ìí++=+î，解得410p q =ìí=î，∴N （0，10）；③以AN 、DM 为对角线，如图：同理可得2020224p q p -+=+ìí+=++î，解得42p q =-ìí=-î，∴N （0，﹣2），综上所述，以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，N 的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．29．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在Rt△CEH 中，∠CEH ＝45°，∠ECH ＝90°，连接AE ．(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；∠HBF＝45°时，求证：(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+12AE＝CE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE ＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．，连接，作。

初中数学将军饮马五大模型七类题型及答案

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

中考数学复习专题之二“将军饮马”模型解决最值问题

专题二 “将军饮马”模型解决最值问题【实战精例1】（2019•广西）如图，AB 为O 的直径，BC 、CD 是O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB =2BC =，当CE DE +的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C D 【实战精例2】（滨州·中考真题）如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，EM CM +的最小值为．一、“将军饮马”模型问题：如图，在定直线l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB 最小。

【简析1】如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。

类型一：“两定一动“--和最小【经典剖析1】（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中+的最小值为()AD=，点F是线段AD上的动点，则BF EFBC、AB边的中点，6A．3 B．6 C．9 D．12【经典剖析2】如图，直线8=+分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别y x为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC PD+值最小时，点P的坐标为()A．(4,0)−−D．(1,0)−C．(2,0)−B．(3,0)【经典剖析3】已知(1,1)A −、(2,3)B 两点，在y 轴上存在点P 使得AP BP +的值最小，则点P 的坐标为( ) A ．1(0,)4B ．1(0,)3C ．1(0,)4−D ．1(0,)3−【经典剖析4】如图，边长为a 的等边ABC ∆中，BF 是AC 上中线且BF b =，点D 在BF上，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE ∆，连接EF ，则AEF ∆周长的最小值是( )A ．1223a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．32a类型二：两定一动“--差最大--定点同侧类型三：“两定一动“--差最大【经典剖析1】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)B−，点P为x轴上一A，(2,3)点，当||−最大值时，点P的坐标为．PB PA类型四：“两动一定“--最短距离【经典剖析1】如图，四边形ABCD中，130∠=∠=°，在BC，CD上B DBAD∠=°，90分别找一点M，N，使AMN∠+∠的度数为()∆的周长最小时，则ANM AMNA．80°B．90°C．100°D．130°【经典剖析2】如图，30=，点E，F分别是BA，∠=°，点D是它内部一点，BD mABC∆周长的最小值为()BC上的两个动点，则DEFA．0.5m B．m C．1.5m D．2m类型五：“两动两定“--最短距离【经典剖析1】（2021春•江岸区校级月考）如图所示，50AOB ∠=°，30BOC ∠=°，12OM =，4ON =．点P 、Q 分别是OA 、OB 上动点，则MQ PQ NP ++的最小值是．类型六：“两定点一定长①”【类型七】“两定点一定长②”【经典剖析1】如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC= ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.问题作法图形原理在直线l 上求两点M,N （M 在N 左侧），使MN=a ，使AM+MN+NB 最短将A 向右移a 个单位到A’，作A ’关于l 对称点A’’，连接A’’B 与交点即为N ，左移a 个单位，即为M 。

将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4. 垂线段最短 .基本模型1.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 两侧；要求：在直线l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小解：连接AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 ,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l 上任取异于点P 的一点 P′，连接 AP′、 BP′，在△ ABP’中， AP′+BP′>AB，即 AP′+BP′>AP+BP∴ P 为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 .2.已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或△ ABP的周长最小）解：作点 A关于直线l 的对称点A′，连接 A′B 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段 AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使 PA+PB最小，则需 PA′+PB值最小，从而转化为模型 1.3.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 的同侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线l 上找一点P，使︱ PA-PB︱的值最大解：连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：此时︱ PA-PB︱ =AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P′，连接 AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱ P′A-P′B︱<AB，即︱ P′A-P′B︱ <︱PA-PB︱4.已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使︱ PA-PB︱的值最大解：作点 B 关于直线 l的对称点 B′，连接 B′A 并延长交于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质知l 为线段 BB′的中垂线，由中垂线的性质得： PB=PB′，要使︱ PA-PB︱最大，则需︱ PA-PB′︱值最大，从而转化为模型 3.典型例题 1-1如图，直线y= x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点A和点 B，点 C、 D 分别为线段AB、OB的中点，点 P 为 OA上一动点，当 PC+PD最小时，点P 的坐标为 _________，此时 PC+PD的最小值为 _________.【分析】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点D' ，连接CD'交x 轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线， OP为△ CDD'的中位线，易求 OP长，从而求出 P 点坐标； PC+PD的最小值即 CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点D′，连接CD′交 x 轴于点 P，此时 PC+PD值最小．令y= x+4 中 x=0，则 y=4，∴点 B 坐标（ 0， 4）；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得： x=﹣6，∴点 A 的坐标为（﹣ 6， 0）．∵点 C、 D 分别为线段AB、 OB 的中点，∴ CD为△ BAO的中位线，∴CD∥ x 轴，且 CD=12 AO=3，∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称，∴ O为 DD′的中点，D′（ 0， -1 ），∴ OP为△ CDD′的中位线，∴OP=12 CD=32，∴点 P 的坐标为（﹣，0）．在Rt△ CDD′中，CD′ =CD 2 D D 2=3242=5，即PC+PD的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点 P 坐标；若题型变化， C、 D不是 AB 和 OB中点时，则先求直线 CD′的解析式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标 .典型例题 1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 0， 1），点 B的坐标为（，﹣ 2），点 P 在直线 y=﹣ x 上运动，当 |PA﹣ PB| 最大时点 P 的坐标为 _________， |PA ﹣ PB|的最大值是 _________.【分析】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，连接 BC，可得直线 BC的方程；求得 BC与直线 y=﹣ x 的交点 P 的坐标；此时 |PA ﹣ PB|=|PC ﹣ PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，易得 C 的坐标为（﹣ 1， 0）；连接 BC，可得直线BC 的方程为 y=﹣54 x﹣54，与直线 y= ﹣ x联立解得交点坐标P 为（ 4，﹣ 4）；此时 |PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC= (231)2( 2)2= 241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2 和 4，需作一次对称点，连线得交点 .变式训练 1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（ 5， 0），OB=4 ，点 P是对角线OB上的一个动点，D（ 0，1），当 CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，） D ．（，）变式训练 1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和 BD交于点 O， AC=2，BD=2 ,E 为 AB的中点， P 为对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最小值为 __________.变式训练 1-3如图，已知直线y= x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y= x2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为（ 1， 0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AM﹣ MC|的值最大，求出点 M的坐标 .拓展模型1.已知：如图， A 为锐角∠ MON外一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：过点 A 作 AQ⊥ ON于点 Q， AQ与 OM相交于点 P，此时， AP+PQ最小；理由： AP+PQ≧ AQ，当且仅当A、 P、 Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ ON时， AQ最小 .2.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：作点 A 关于 OM的对称点A′，过点A′作 AQ⊥ ON于点 Q， A′ Q交 OM于点 P，此时 AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′ P，要使 AP+PQ最小，只需 A′ P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使△ APQ的周长最小解：分别作 A 点关于直线 OM的对称点 A1, 关于 ON的对称点 A2，连接 A 1A2交 OM于点 P，交 ON于点 Q，点P 和点 Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段 A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP， AQ=AQ，△ APQ的周12长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、 P、 Q、 A2四点共线时，其值最小 .4.已知：如图， A、 B 为锐角∠ MON内两个定点；要求：在OM上找一点 P，在 ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点 A 关于直线OM的对称点A′，作点 B 关于直线ON的对称点B′，连接 A′B′交 OM于 P，交 ON于 Q，则点 P、点 Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和 A′B′的长度之和；理由： AB 长为定值，由基本模型将PA转化为 PA′,将QB转化为 QB′，当 A′、 P、Q、 B′四点共线时，PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB 的值最小 .5. 搭桥模型已知：如图，直线m∥ n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线 AB 不与 m垂直）要求：在 m、n 之间求作垂线段PQ，使得 AP+PQ+BQ最小 .分析： PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、 Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A 沿着平行于PQ的方向，向下平移至点 A′，使得AA′ =PQ，连接 A′ B 交直线 n 于点Q，过点 Q作 PQ⊥n，交直线m于点 P，线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小 .理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′ =PA，当 B、 Q、 A′三点共线时，QA′ +BQ最小，即AP+BQ最小， PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小 .6.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 两侧，长度为a(a为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析： PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A 沿着平行于l 的方向，向右移至A′，使AA′=PQ=a,连接 A′B 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a（ P 在 Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即 A′B+a理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′，当 A′、 Q、 B 三点共线时， QA′+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小 .7.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 的同侧，长度a(a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形 APQB周长最小分析： AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A 点关于 l 的对称点，转化为上述模型3解：作 A 点关于 l 的对称点A′，将点 A′沿着平行于l的方向，向右移至A′′，使 A′A′′=PQ=a，连接 A′B交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（ P 在 Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A′B+AB+PQ，即 A′′B+AB+a典型例题 2-1如图，在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 EN⊥ AB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；∵ AB=10， BC=5，∴ AC=AB2BC2=55，等面积法求得AC边上的高为10 5=25，∴BE=45，5 5易知△ ABC∽△ ENB，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN的最小值为 8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解 .典型例题 2-2如图，∠ AOB=60°，点 P 是∠ AOB内的定点且 OP=，点M、N分别是射线 OA、OB上异于点O的动点，则△ PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．3【分析】符合拓展模型 3 的特征；作P 点分别关于OA、OB的对称点C、 D，连接 CD分别交OA、 OB 于M、 N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作 P 点分别关于OA、 OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB于 M、 N，如图，则MP=MC，NP=ND， OP=OD=OC= ，∠ BOP=∠ BOD，∠ AOP=∠ AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠ BOP+∠ BOD+∠AOP+∠ AOC=2∠AOB=120°，∴此时△ PMN周长最小，作 OH⊥CD于 H，则 CH=DH，∵∠ OCH=30°，∴ OH= OC=，CH= OH= ，∴ CD=2CH=3．即△ PMN周长的最小值是3；故选： D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为 120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题 2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点 O为原点， OC所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D， AD=2， OC=6，∠ A=60°，线段 EF 所在的直线为 OD的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点， PM⊥ x 轴于点 M点，点 E 与 E′关于 x 轴对称，连接 BP、 E′ M．（1）请直接写出点 A 坐标为，点B坐标为；（2）当 BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P 的坐标 .【分析】（ 1）解直角三角形求出OD， BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形 OPME′是平行四边形，可得 OP=EM，PM是定值， PB+ME′=OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，此时 P 点为直线OB与EF 的交点，结合OB的解析式可得P 点坐标；【解答】（ 1）在 Rt △ ADO中，∵∠ A=60°， AD=2，∴ OD=2?tan60 ° =2，∴ A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，DB=6 2=4 B 42（2）如图，连接 OP．∵ EF 垂直平分线段 OD，PM⊥ OC，∴∠ PEO=∠ EOM=∠ PMO=90°，∴四边形 OMPE是矩形，∴ PM=OE= ，∵ OE=OE′，∴ PM=OE′， PM∥OE′，∴四边形 OPME′是平行四边形 ,∴OP=EM，∵ PM是定值，∴ PB+ME′ =OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，∴当 O、 P、 B 共线时， BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴ P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题 2-4如图所示，在平面直角坐标系中， Rt △ AOB的顶点坐标分别为A（﹣ 2， 0），O（ 0， 0）， B（ 0，4），把△ AOB绕点 O按顺时针方向旋转 90°，得到△ COD．（1）求 C、 D 两点的坐标；（2）求经过 A、 B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点E、 F（点 E 在点 F的上方），且 EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出 E、F 两点的坐标．【分析】符合拓展模型7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、 F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F 坐标 .【解答】（ 1）由旋转的性质可知：OC=OA=2， OD=OB=4,∴ C点的坐标是（ 0， 2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得16a+4b+c=0c=4解得 a=-，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-2；（3）只需 AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1，将点 A 向上平移至A1（﹣ 2， 1），则 AF=A1E，作 A1关于对称轴x=1 的对称点A2（ 4， 1），连接 A2C，A2C与对称轴交于点E，E 为所求，可求得A2C 的解析式为 y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,) ，点 F 的坐标为 (1,) ．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练 2-1几何模型：条件：如图1， A， B 是直线 l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB的值最小．方法：作点 A 关于直线l 的对称点A’，连接 A’ B 交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明）模型应用：（ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点A（ 0，﹣ 1）和 B（ 2，﹣ 1）， P 为 x 轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图 3，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC对称．连接 ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是．（ 3）如图 4，在菱形ABCD中， AB=10，∠ DAB=60°， P 是对角线AC上一动点， E， F 分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（ 4）如图 5，在菱形ABCD中， AB=6，∠ B=60°，点AG， AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是G是边．CD边的中点，点E． F 分别是变式训练 2-2如图，矩形 ABCD中， AD=15， AB=10， E 为 AB边上一点，且DE=2AE，连接 CE与对角线 BD交于 F；若 P、 Q分别为 AB 边和BC边上的动点，连接 EP、 PQ和 QF；则四边形 EPQF周长的最小值是 ___________.变式训练 2-3如图，已知直线 l∥ l， l 、l2之间的距离为8，点 P 到直线 l的1211距离为 6，点 Q到直线 l 2的距离为 4， PQ=4 ，在直线 l 1上有一动点 A，直线l 2上有一动点B，满足AB⊥l 2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练 2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥ BC，交 OA于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E和 F．（1）求经过A、 B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、 Q两点的坐标．中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A 点坐标为（0，3）， B 点坐标为（ 6， 5），则 A、 B 两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形 ABOC的顶点 A 的坐标为（﹣ 4， 5）， D是 OB的中点， E 是 OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E 的坐标是（）A．（ 0，）B．（ 0，）C．（ 0， 2）D．（ 0，）3. 如图，在矩形ABCD中， AB=5， AD=3，动点P 满足S△PAB=1 S 矩形ABCD，则点P 到A、 B 两点距3离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C． 5D．4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（， 3）， P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则△ PMF周长的最小值是（）A．3B．4C． 5D．65.如图，点 A（ a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C． D ．6.如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=4，D、E 分别是 AB、BC边上的动点，则 AE+DE的最小值为（）A．B．C．5D．7. 如图， Rt△ ABC中，∠BAC=90°， AB=3， AC=6，点D， E 分别是边BC， AC 上的动点，则 DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，EG是腰 AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ ABC=120°， M 是上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（BC边的一个三等分点，）P 是对角线ACA．B．C．D．10.如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8， AD平分∠ CAB交 BC于 D 点， E， F 分别是 AD， AC上的动点，则 CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（ x＞0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC的两边 AB，BC分别相交于 M，N 两点．△ OMN的面积为10．若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是（）A． 6B． 10C．2D．212. 如图，△ ABC中， AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB翻折得到△ ABD，则四边形 ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、 DB 上的任意点，则PE+PF的最小值是．13. 如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交x 轴于 C、 D 两点，连接 AC、 BC，已知 A（ 0，3）， C（﹣ 3， 0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 |MB﹣ MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点 P 作 PQ⊥ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， AB＞ CD， AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（ 1）的条件下，①证明： AE⊥ DE；②若 CD=2， AB=4，点 M，N 分别是 AE， AB 上的动点，求B M+MN的最小值．15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c （ a≠ 0）经过点A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）， C（ 0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接 AC、 BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当（3）在（ 2）问的条件下，过点 C 作直线 l ∥ x 轴，动点S△NBC=S△ABC时，求 N点的坐标；P（ m，3）在直线 l 上，动点 Q（ m，0）在 x 轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m为何值时， PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16. 如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点C，过 A， C 两点的二次函数2y=ax +4x+c的图象交 x 轴于另一点 B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 ND⊥ x 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND 长度的最大值；（3）若点 H为二次函数 y=ax2+4x+c 图象的顶点，点M（ 4，m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点F， E，使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F，E 的坐标．17. 如图 1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A， B 两点，与 y轴交于点C．（1）若抛物线过点 T（ 1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，在（ 1）的条件下，点 P 的坐标为（﹣ 1，1），点 Q（6， t ）是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有M、N 两点，且 MN=2，问 MN在 x 轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18. 如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）两点，与x 轴另一交点为 B．已知 M（ 0， 1）， E（a， 0）， F（a+1， 0）， P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△ PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19. 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），可通过构造直角三角形利用图1 得到结论：P1P2= 他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x，y）P 的坐标公式：x=， y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（ 2）①已知点M（ 2，﹣ 1）， N（﹣ 3， 5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（ 2，2），B（﹣ 2，0），C（ 3，﹣ 1）， D为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（ 2， n）在函数y=x（ x≥ 0）的图象OLx 轴正半轴夹角的平与E、 F，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线 y=kx+b （ k、 b 为常数）分别与 x 轴、 y 轴交于点 A（﹣ 4，0）、B（ 0，3），抛物线 y=﹣ x2+2x+1 与 y 轴交于点 C．（1）求直线y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P（ x， y）是抛物线y=﹣ x2+2x+1 上的任意一点，设点P 到直线 AB 的距离为d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y= ﹣ x2 +2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中， OA=6，以 OA为边长作等边三角形 ABC，使得 BC∥ OA，且点B、C 落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC的方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时另一动点 Q从 O点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单位的速度运动，当点 P 运动到 A 点时， P、 Q都同时停止运动，在 P、Q的运动过程中，是否存在时间 t ，使得 PQ⊥ AB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）在 BC边上取两点 E、 F，使 BE=EF=1个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得四边形 EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色： 1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

最值系列之将军饮马 - 解析

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

专题3.2 将军饮马最值问题(强化)(解析版)

专题3.2 将军饮马最值问题【例题精讲】【例1】如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ABCD的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出ABCD关于直线MN的对称图形；（2）求ABCD的面积；（3）在直线MN上取一点P，使得AP CP+最小（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，DEFD即为所求．（2）111535131427222ABCSD=´-´´-´´-´´=．ABC\D的面积为7．（3）如图，点P即为所求．【题组训练】1．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C ．（1）在图中画出ABC D 绕原点O 逆时针旋转90°后的△111A B C ；（2）请画出ABC D 关于原点对称的△111A B C ；（3）在x 轴上求作一点P ，使PAB D 的周长最小，请画出PAB D ，并写出点P 的坐标为　(2,0)　．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）如图，△222A B C 为所作；（3）如图，PAB D 为所作，P 点坐标为(2,0)．2．ABCD在网格中的位置如图所示．（1）请画出ABCD绕着点O逆时针旋转90°后得到的△111A B C；（2）若网格中每一个小正方形的边长为1，请求出ABCD的面积；（3）在MN上找一点P，使PA PC+最小（不写法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，△111A B C为所作；（2）ABCD的面积11133122331 3.5222=´-´´-´´-´´=；（3）如图，点P为所作．3．如图所示．（1）作出ABCD关于y轴对称的图形△111A B C；（2）在x轴上确定一点P，使得PA PC+最小；（3）求出ABCD的面积．【解答】解：（1）如图，△111A B C即为所求．（2）如图，点P即为所求．（3）1117 332113322222 ABCSD=´-´´-´´-´´=．ABC\D的面积为72．4．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ABCD的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图．（1）作出ABCD关于直线MN的对称图形；（2）在网格中建立直角坐标系，使点A坐标为(1,3)-；（3）在直线MN上取一点P，使得AP CP+最小．【解答】解：（1）如图所示，△A B C（2）如图所示；（3）如图所示，连接B C¢，交MN于点P，则点P即为所求．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，(1,2)B，(2,1)A，(3,1)A B C；（1）在图中作出ABCD关于x轴的对称图形△111（2）求ABCD的面积；+的最小值和点P的坐标．（3）若在x轴上存在点P，使AP BP+最小，求AP BP【解答】解：（1）△111A B C 即为所求．（2）1119533321522222ABC S D =´-´´-´´-´´=．（3）连接1A B ，与x 轴交于点P ，则此时AP BP +最小，最小值即为1A B 的长，1A B \==，AP BP \+．设直线1A B 的解析式为y kx b =+，代入点(3,1)B ，1(1,2)A -，得312k b k b +=ìí+=-î，解得3272k b ì=ïïíï=-ïî，\直线1A B 的解析式为3722y x =-，令0y =，得73x =，\点P 的坐标为7(3，0)．6．如图，已知ABC D 的三个顶点在格点上．（1）作出与ABC D 关于y 轴对称的图形△111A B C ；（2）直接写出点C 关于x 轴对称2C 的坐标：　(1,1)--　；（3）在y 轴上找一点P ，使得PAC D 周长最小．请在图中标出点P 的位置．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，（2）如图所示：2(1,1)C --，故答案为：(1,1)--；（3）如图所示：点P为所求，A，(4,2)B 7．在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：(0,4)都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．（1）画出线段AB关于x轴对称的线段EF；+最小；（2）在x轴上找一点P，使AP BPD关于y轴对称的△AP B¢¢．（3）连接AP，BP，画出APB【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）如图所示，△AP B¢¢即为所求．8．如图，在平面直角坐标系中，(3,4)A ，(1,2)B ，(5,1)C ．（1）作出ABC D 关于y 轴的对称图形△111A B C ，并标出点1A ，1B ，1C ；（2）写出下列点坐标：1(A 3-，4　)，1(B )，1(C )；（3）点P 是y 轴上一动点，当点P 的坐标是时，PA PB +的和最小．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）1(3,4)A -，1(1,2)B -，1(5,1)C -，故答案为：3-，4，1-，2，5-，1；（3）连接1A B 交y 轴于P ，1(3,4)A -Q ，(1,2)B ，\直线1A B 的解析式为1522y x =-+，令0x =，则52y =，\点P 的坐标是5(0,)2，故答案为：5(0,2．9．如图，在正方形网格上有一个ABC D （三个顶点均在格点上）．（1）作ABC D 关于直线HG 的轴对称图形△111A B C （不写作法）；（2）画出ABC D 中BC 边上的高AD ；（3）在HG 上画出点P ，使PB PC +最小．【解答】解：（1）如图．（2）如图．（3）如图．10．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(2,4)A ，(1,1)B ，(4,3)C ．（1）ABC D 的面积是 72　．（2）请画出ABC D 绕点B 顺时针旋转90°后的△11A BC ．（3）已知点(0,)P m 为y 轴上一点，当PA PB +取得最小值时，m 的值是．【解答】解：（1）ABC D 的面积为1117331321322222´-´´-´´-´´=．（2）如图，△11A BC 即为所求．（3）如图，作点A关于y轴的对称点A¢，连接A B¢，则与y轴的交点即为所求的点P．(2,4)AQ，(2,4)A¢\-，设直线A B¢的解析式为y kx b=+，将点(2,4)A¢-，(1,1)B代入，得241k bk b-+=ìí+=î，解得12k b =-ìí=î，\直线A B ¢的解析式为2y x =-+，令0x =，得2y =，\点P 的坐标为(0,2)，2m \=．故答案为：2．11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系xOy ．已知ABC D 的顶点的坐标分别为(2,0)A -，(1,3)B --，(3,1)C --．（1）以原点为对称中心画出与ABC D 成中心对称的图形，其中A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，写出点1B ，1C 的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 在x 轴上，连接1PB 、1PC ，当11PB PC +取得最小值时，求此时点P 的坐标．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作，点1B 的坐标(1,3)，点1C 的坐标(3,1)；（2）作1C 点关于x 轴的对称点C ¢，如图，则点C ¢的坐标为(3,1)-，1111PB PC PB PC B C +=+¢=¢Q ，\此时11PB PC +的值最小值，设直线1B C ¢的解析式为y kx b =+，把1(1,3)B ，(3,1)C ¢-代入得331k b k b +=ìí+=-î，解得25k b =-ìí=î，\直线1B C ¢的解析式为25y x =-+，当0y =时，250x -+=，解得52x =，\此时P 点坐标为5(2，0)．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点(1,5)A -，(3,1)B -．（1）将线段AB 绕点A 逆时针旋转90”，画出旋转后所得的线段AC ，并直接写出点C 的坐标为 (3,3)　；（2）在x 轴上找出一点D ，使ABD D 的周长最小，并直接写出点D 的坐标为．【解答】解：（1）如图，线段AC 即为所求，(3,3)C ．故答案为：(3,3)．（2）如图，点D 即为所求．设直线AB ¢的解析式为y kx b =+，(3,1)B ¢--Q ，(1,5)A -，\315k b k b -+=-ìí-+=î，解得38k b =ìí=î，\直线AB ¢的解析式为38y x =+，令0y =，得到83x =-，8(3D \-，0)．故答案为：8(3-，0)．13．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点ABC D （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）求△111A B C 的面积；（3）在DE 上画出点P ，使PB PC +最小．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图．（2）1111115231221132222A B C S =´-´´-´´-´´=V ．\△111A B C 的面积为52．（3）如图．14．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C ．（1）请画出ABC D 关于原点对称的△111A B C ；并写出点1A ，1B ，1C 的坐标．（2）若P 为x 轴上一点，要使PA PB +最小，试找出P 的位置并写出P 的坐标（写过程）．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；1A 的坐标为(1,1)--，1B 的坐标为(4,2)--，1C 的坐标为(3,4)--．（2）如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ¢，连接A B ¢，交x 轴于点P ，连接AP ，则PA PB +最小，此时点P 的坐标为(2,0)．。

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题

变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

中考专题系列之最值——将军饮马

中考专题系列之最值——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。