小结定积分的性质

小结定积分的性质

定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质

假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有

性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即

[()()]()b

b

b

a

a

a

f

x g x d x

f x d x

g x d x

±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰（k 为常

数）．

性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰．

这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则

()0b

a

f x dx ⎰

≥．

推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ⎰

⎰≤．

推论2

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ⎰

⎰≤．

性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则

()b

b b

a

a

a

mdx f x dx Mdx ⎰

⎰⎰≤≤．

证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()b

b b

a

a

a

mdx f x dx Mdx ⎰

⎰⎰≤≤．

即()b

b b

a

a

a

m

dx f x dx M dx ⎰

⎰⎰≤≤．

故()()()b

a

m b a f x dx M b a --⎰

≤

≤．

利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．

二、定积分性质的应用 例1 比较定积分

2

e x dx -⎰

和2

xdx -⎰的大小．

解：令()e x

f x x =-，[20]x ∈-，

， 则()0f x >， 故

2

()0f x dx ->⎰

，即0

2

(e )0x x dx -->⎰．

2

2

e x

dx xdx -->⎰

⎰，

从而

2

2

e x

dx xdx --<⎰

⎰．

例2 估计定积分

π

30

2

12sin dx x

+⎰

的值．

解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，

∴3

20sin 1x ≤≤，由此有32

22sin 3x +≤≤，32

1113

2

2sin x

+≤

≤， 于是由估值定理得

π302

π1π3

2

2sin dx x

+⎰≤≤

． 评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．