【最新整理】2020年中考数学复习专题训练：特殊三角形存在性问题(含解析)

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2020中考数学压轴专题：二次函数动点成特殊三角形问题(含答案)

2020中考数学压轴专题二次函数动点成特殊三角形问题（含答案）1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)134；【解法提示】∵二次函数y＝－13x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，∴b c=b c=--+⎧⎪⎨-++⎪⎩33016403，解得b=c=⎧⎪⎨⎪⎩134，(2)可能是，理由如下：∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°，∴∠DQO＝∠DCP，∴tan ∠DQO ＝AP PQ ＝tan ∠DCP ＝AO CO ＝34， ∵AP ＝t,∴PQ ＝43t ，由勾股定理得：AQ 2＝AP 2＋PQ 2，即(t ＋3)2＝t 2＋(43t )2，解得t ＝92或t ＝－ 98(舍去)，根据题意，点Q 在线段OB 上，∴0≤t ≤4，∴不存在这样的t 值满足题意，即△APQ 不可能是直角三角形；（3）假设存在点M 使得△PMQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，过P 作PE ⊥x 轴于E ，过M 作MN ⊥PE 交PE 的延长线于点N ，第1题解图②∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，在△PMN 和△QPE 中，∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩PMN=QPE PNM=PEQ MP=PQ ，∴△PMN ≌△QPE (AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO AC ＝35， sin ∠CAO ＝OC AC ＝45， ∴AE ＝35t ，PE ＝45t ， ∴MN ＝45t ，EN ＝EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－ 25t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15t －3， ∴点M 的坐标为(－15t －3，25t －3)，在x 轴下方， ∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13(15t ＋3)＋4＝25t －3，整理得t 2＋65t ＝225，解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052(舍)，综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052秒．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； (2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＋6b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6；(2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0，即(x ＋1)(x －6)＝0，∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)，∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝2＝49，AC 2＝(6－0)2＋2＝72，AB 2＝(－1－0)2＋2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ，∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ，∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ，将点M (3，－3)代入得，k ＝－1，即直线MP 的解析式为y ＝－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x y ＝x 2－5x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－10y 1＝10－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋10y 2＝－2－10， ∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC .(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵直线y＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，把点A (5，0)和C (8，4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝16b ＝－56， ∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ； ∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝OA P A ＝QA， ∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝103， ∵t <5，∴当运动时间为103秒时，P A ＝QA ； (3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52，设点M 的坐标为( 52，b )，利用点的坐标可求得AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝(52)2＋(b －10)2， MA 2＝(52)2＋b 2， ∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB ＝MA 时，即125＝(52)2＋b 2，解得b ＝±5192，即点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB ＝BM 时，即125＝(52)2＋(b －10)2，解得b ＝10±5192，即点M 的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；③当MB ＝MA 时，即(52)2＋(b －10)2＝(52)2＋b 2，解得b ＝5，此时点A 、M 、B 共线，故这样的点M 不存在．综上所述，存在点M ，使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)． 5. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；(3)点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第5题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C (0，4)，A (4，0)，∴c=a a c=⎧⎨-+⎩41680，解得a=c=⎧-⎪⎨⎪⎩124， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92可得抛物线的顶点坐标为N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C′N 交x 轴于点K ，则K 点即为所求点，第6题解图①设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把N ，C′两点坐标代入可得：k b=b=⎧+⎪⎨⎪-⎩924，解得k=b=⎧⎪⎨⎪-⎩1724， ∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，解得x ＝817，∴点K的坐标为(817，0)；(3)存在．要使△ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论：①DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DF A＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°.此时，点F的坐标为(2，2)；由－12x2＋x＋4＝2得，x1＝1＋5，x2＝1－ 5.此时，点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)；②FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M.第6题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3， ∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3得，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2. 而OF ＝OD ＝2<22，∴在AC 上不存在点F 使得OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或 (1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．7. 如图①，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；(3)如图②，当EC ∥x 轴时，点P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G ，使△AEG 是以AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，说明理由．第7题图解：(1)∵点A (－6，0)在抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b )＋8，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋8，令x ＝0，得y ＝8， ∴C (0，8);(2)设点E (t ，－13t 2－23t ＋8)，∴P (t ，0)，∵点D 为EP 的中点，∴DP ＝DE ，D (t ，－16t 2－13t ＋4)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (－6，0)，C (0，8)，代入得：k b=b=-+⎧⎨⎩608，解得k=b=⎧⎪⎨⎪⎩438，∴直线AC 的解析式为y ＝43x ＋8，∵点D 在直线AC 上， ∴43t ＋8＝－16t 2－13t ＋4，解得t 1＝－6(舍去)，t 2＝－4， ∴P (－4，0)， ∴AP ＝2，OP ＝4，∴S △ADP S △CDE ＝1212g g DP APDE OP ＝AP OP ＝12； (3)存在．如解图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，第7题解图①∵EC ∥x 轴， ∴EP ＝CO ＝8，把y ＝8代入y ＝－13x 2－23x ＋8，则8＝－13x 2－23x ＋8，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2， ∴P (－2，0)， ∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时， ∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠MEG ＝∠EAP ，又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°， ∴△EMG ∽△APE ， ∴EM AP ＝MG EP，设点G (m ，－13m 2－23m ＋8)(m ＞0)，则GN ＝MP ＝－13m 2－23m ＋8，∴EM ＝EP －MP ＝8－(－13m 2－23m ＋8)＝13m 2＋23m ，MG ＝PN ＝PO ＋ON ＝2＋m ， ∴13m 2＋23m 4＝2＋m 8，∴m ＝－2(舍去)或m ＝32，∴G (32，254)；(ⅱ)如解图②，当∠EAG ＝90°时，第7题解图②∵∠NAG ＋∠EAP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠NAG ＝∠AEP ， ∵∠APE ＝∠GNA ＝90°， ∴△GNA ∽△APE ， ∴GN AP ＝ANEP，设点G (n ，－13n 2－23n ＋8)(n ＞4)，∴GN ＝13n 2＋23n －8，AN ＝AO ＋ON ＝6＋n ，∴2128 334+-n n＝68+n，∴n＝－6(舍去)或n＝112，∴G(112，－234)，综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，－234)．8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．第8题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，∴将A 、D 两点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8； (2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D (6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x ， ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，即点E 的坐标为(3，－4)； (3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，第8题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，E （3，-4）在直线ME 上，∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5，令y ＝0，解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，第8题解图②∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，又∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8，E （3，-4）在直线CE 上，∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43， ∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0， ∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB ON， ∴－m 8＝86，解得m ＝－323. 综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形． 9. 如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，过点B 作直线BC ⊥x 轴，交直线y ＝－2x 于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标，并判断顶点D 是否在直线y ＝－2x 上；(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点P (点A 除外)，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎨⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1； (2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，抛物线的顶点D 的坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a)， ∴x D ＝－－232×13＝1， y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43， ∴D (1，－43)．把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2，∵－43≠－2， ∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.第9题解图∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得：y ＝－2×(－1)＝2，∴C (－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中得13x 2－23x －1＝2，解得x 1＝10＋1，x 2＝－10＋1.∴P 1(10＋1，2)，P 2(－10＋1，2)．10. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第10题图解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得， ⎩⎪⎨⎪⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55； (3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32， ∴点D 的坐标为(32，0)． ∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52，此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第10题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．。

【中考押题】2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题

y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。

初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)

特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。

2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③，由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．

特殊三角形的存在性(讲义及答案).

9. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4， sin∠BAC 3 ，E 是 AB 延长线上一点，连接并延长 EC，过 5 点 A 作 AD∥BC，交 EC 的延长线于点 D．则当△ACD 是等腰三角形时，BE 的长为______________．
4
10. 在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=CD=4，且 ∠B=60°，M 是 CD 上一动点，作 MN⊥CD，交 BC 于 N，将 ∠C 沿 MN 翻折，使点 C 落在射线 CD 上的点 E 处．当 △ANE 为等腰三角形时，CM 的长为_______________．
11. 如图，BC⊥y 轴，BC＜OA，点 A，点 C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，D 是线段 BC 上一点，BD= 1 OA= 2 ，AB=3， 4 ∠OAB=45°，E，F 分别是线段 OA，AB 上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．使△AEF 为等腰三角形，则线段 OE 的值为___________．
12. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 E 为 AB 上一点， AE= 2 3 ，点 F 在 AD 上，将△AEF 沿 EF 折叠，当折叠后点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 的垂直平分线上时，折痕 EF 的长为__________．
5
13. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点 E 是射线 DA 上一动点，把△CDE 沿 CE 折叠，其中点 D 的对应点为点 D′，若 CD′垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为 ___________．
3.Байду номын сангаас直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点：理论上三角形的三个顶点分别作为直角顶点进行分类（往往存在不变特征，分析排除不可能为直角顶点的情况），通常借助三等角模型，k1·k2=-1 或勾股定理等进行求解．

2020中考数学专题17—存在性问题之特殊三角形

2020中考专题17——存在性问题之特殊三角形姓名____________ . 【方法解读】特殊二和形存化件问题L婪足指寻找符介条件的点使之构成等腰二角形、江用三角形、全第一;角形等特殊二用形.解决此类问题的美犍在于恰当地分类4M避免M籽.【例题分析】例L如图，直线产3x-3交x轴例点A,交y轴J点B,过A, B两点的他物线交x例J另一点C(3, 0).(1)求点A,B的坐标.(2)求旭物线对应的函数表认式.(3)在附物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ皓笔腰三角形?若存在，求出符合条件的点Q的坐标: 若不存在.请说明毋山.例2.如凰tl知直线.kx 6与抛物线y』x'b乂，c相交十A, 3两点，口点A(l,⑷为抛物段的顶点, 点B 在x轴上.⑴求旭利线对应的函数及辽揖⑵任⑴中：次函数的第.拿限的图象上是否存在•点P,便△FOB与APOC全等?若存在，求出点P 的％标:若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上…点,HAABQ为直角三角形,求点Q的坐标.D.【巩固训练】1.（2019•止宾〉已刈抛物纹y = x'-l，j轴文于点A.。

宜纹/=代内为任总实数）出文于S , C两点.则下列结论不正确的是（）A.存在实数使得448C为等腰三角形民存在实数A ,使得&46C的内角中仃两角分别为3伊和60）C.任意实数A,伐得部为血角三角形D.存在实数4,使得M8c为等边三处形2. M图.在平行四边形ABCD中,AB 7 cm, BC 4 c0 NA-30' .点P从点A出发沿着AB边向燃B运劭, 速度为I cm/.连结印，若以运动时间为则当〔二 w时,AADP为等小」角形.3.（2019 •泰安）已知次函数】七公十）的图象。

反比例函数y =巴的图象大丁点T,与x他交丁x 点用 5.U）.若 08 二4 8, H.S^=y .（1）求反比例函数与一次函数的表达式，<2）苦点P为x粕上一点,是等股三角形.求点「的坐乐.1. （2D18・ F州）如图，池物线y = a/+bx-4经过,4（-3.0）.£（5.-4）两点, I j•地文于点C ,性接力&•4C. RC.（1）求抛物线的表达式，（2）求证，.48平分NO6（3）抛物线的对称轴卜.是否存在点M,使得M8W是以48为宜用边的汽角H角形，若存在，求山点M的坐标：苍不存在，请说刚理由.5.(2019•的卅)如图I.在平面直用坐标系中•点。

2020中考数学二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题(含答案)

2020中考数学二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题（含答案）1. 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（1）由抛物线22y ax bx =++过点(3,0)A -，(1,0)B ，则0932,0 2.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴二次函数的关系表达式为224233y x x =--+．（2）点1(2,1)Q -，2(1,1)Q --，3(2,3)Q ，4(3,1)Q ．2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A ，点(1,0)C -，如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点作轴，垂足为，∵ ； ∴；又∵；，∴ ∴，； ∴点的坐标为(3,1)-；（2）抛物线经过点(3,1)B -，则得到，解得， ∴抛物线解析式为；（3）方法一：①若以为直角边，点为直角顶点；则可以设直线交抛物线于点，由题意，直线的解析式为：1122y x =--，解得舍 ∴1(1,1)P -．过点作轴于点，在中，∴，∴为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，交抛物线于点，由题意，直线AF 的解析式为212,2.11222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得114,4.x y =-⎧⎨=⎩（舍）222,1.x y =⎧⎨=⎩ 过点2P 作2P N y ⊥轴于点N ，在2Rt AP △中，2AP =yxA (0,2)C (-1,0)BOB BD x ⊥D 90,BCD ACO ∠+∠=︒90ACO OAC ∠+∠=︒BCD CAO ∠=∠90BDC COA ∠=∠=︒CB AC =BCD CAO △≌△1BD OC ==2CD OA ==B 22y ax ax =+-1932a a =--12a =211222y x x =+-AC C BC 211222y x x =+-1P BC 211,2211 2.22y x y x x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩113,1.x y =-⎧⎨=⎩221,1x y =⎧⎨=-⎩1P 1PM x ⊥M 1Rt PMC △1CP =1CP AC =1ACP △AF BC ∥211222y x x =+-2P 12,2y x =-+2AP AC ∴=. 2ACP ∴△为等腰直角三角形.综上所述，在抛物线上存在点使是以为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形1ACP △，过点作，∵1=，，；∴1MPC DBC △≌△ ∴==2，∴==1，可求得点1(1,1)P -；经检验点1(1,1)P -在抛物线使得1ACP △是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，且使得，得到等腰直角三角形2A C P △，过点作，同理可证2AP N △≌CAO △；∴==2，==1，可求得点(2, 1)经检验点(2, 1)也在抛物线上，使得2ACP △也是等腰直角三角形．3. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形．（1）当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴1(3,0)K -，2(1,0)K ．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒，分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为3K ，4K ，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =分别与抛物线解析式联立，12(1,1)(2,1).P P -ACP △AC BC 1P 1PC BC =1P 1PM x ⊥轴CP BC 1MCP BCD ∠=∠190PMC BDC ∠=∠=︒CM CD 1PM BD 211222y x x =+-2AP CA ⊥2AP AC =2P 2P N y ⊥轴2NP OA AN OC 2P 2P 211222y x x =+-可得3K坐标为⎝⎭，4K坐标为⎝⎭．（2）当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，．综上所述，所求的点K 坐标为1(3,0)K -，2(1,0)K ，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭. 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．NN备用图（1）21212y x x =-+-；（2）M的坐标是(12)-、(12)+、(4,1)-、(2,3)-、(2,7)--．5. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C ．①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（0t >），同时将直线:3l y x =沿y 轴正方向平移t 个单位．平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B ．当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得''A B P △为以''A B 为直角边的等腰直角三角形?（1）证明：令，则．22=(2)8(2)a a a -+=+△． ∵，∴．∴>0△． ∴方程有两个不相等的实数根．∴抛物线与x 轴有两个交点．（2）①令，则，解方程，得． ∵A 在B 左侧，且，∴抛物线与x 轴的两个交点为(,0)A a -，(2,0)B ．∵抛物线与y 轴的交点为，∴(0,2)C a -． ∴．在中，，．可得．∵，∴． ∴抛物线的解析式为．②依题意，可得直线的解析式为，'(2,0)A t -，'(2,0)B t +，．∵为以为直角边的等腰直角三角形，∴当时，点的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --．∴．解得或．当时，点的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-．∴．解得或（不合题意，舍去）．综上所述，或．0y =2(2)20x a x a +--=0a >20a +>2(2)20x a x a +--=0y =2(2)20x a x a +--=122x x a ==-，0a >C 2AO a CO a ==，Rt AOC△222AO CO +=22(2)20a a +=2a =±0a >2a =24y x =-l '3y x t =+4A B AB ''==A B P ''△A B ''90PA B ''∠=°P 3(2)4t t -+=52t =12t =90PB A ''∠=°P 3(2)4t t ++=52t =-12t =-52t =12t =6. 如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．（1）抛物线解析式为2424455y x x =-+-，令0y =，即24244055x x -+-=，解得1x =或5x =，∴A (1, 0)，B (5, 0)．如答图1所示，分别延长AD 与EM ，交于点F ． ∵AD ⊥PC ，BE ⊥PC ，∴AD ∥BE ， ∴∠MAF =∠MBE ．在AMF △与BME △中， MAF MBE MA MB AMF BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)AMF BME △≌△，备用图∴ME MF =，即点M 为Rt EDF △斜边EF 的中点， ∴MD ME =，即MDE △是等腰三角形．（2）答：能．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，∴对称轴是直线3x =，M (3, 0)；令0x =，得4y =-，∴(0,4)C -．MDE △为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE ⊥EM ，由DE ⊥BE ，可知点E 、M 、B 在一条直线上，而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线PC 与y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM ⊥DM ，如答图2所示：设直线PC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ．在ADM △与NEM △中，135EMN DMA EM DM ADM NEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ADM NEM △≌△， ∴MN MA =．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，故对称轴是直线3x =，∴M (3, 0)，2MN MA ==，∴N (3, 2)．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点N (3, 2)，(0,4)C -在抛物线上， ∴324k b b +=⎧⎨=-⎩，解得2k =，4b =-，∴24y x =-．将24y x =-代入抛物线解析式得：242424455x x x -=-+-，解得：0x =或72x =，当0x =时，交点为点C ；当72x =时，243y x =-=．∴7,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为7,32⎛⎫⎪⎝⎭．（3）答：能．如答题3所示，设对称轴与直线PC 交于点N ．与（2）同理，可知若MDE △为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ． ∵MD ⊥ME ，MA ⊥MN ，∴∠DMN =∠EMB ．在DMN △与EMB △中， 45DMN EMB MD MB MDN MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)DMN EMB △≌△， ∴MN MB =． ∴(3,2)N -．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点(3,2)N -，(0,4)C -在抛物线上，∴324k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得23k =，4b =-，∴243y x =-．将243y x =-代入抛物线解析式得：2242444355x x x -=-+-，解得：0x =或316x =，当0x =时，交点为点C ；当316x =时，25439y x =-=-，∴315,69P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为315,69⎛⎫- ⎪⎝⎭．7. 在如图的直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒，而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =，∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==，∴点C 的坐标为(3,1)-（2）①∵抛物线2122y x ax =-++经过点(3,1)C -，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.②i ）当A 为直角顶点时，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==，则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形，如果点1P 在抛物线上，则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴， ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为(1,1)-，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件；ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △，作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为(2,1)--，经检验2P 点在抛物线上，因此存在点2P 满足条件．同理可得点3P 的坐标为(2,3)-，经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1(1,1)P -，2(2,1)P --两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．8. 如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN △是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴(1,0)A -、(0,4)C -把(1,0)A -、(0,4)C -代入243y x bx c =++得∴，解得 xyCAB O4034b c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩834b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ （2）设M 、N 的纵坐标为a ，由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：443y x =-，则4,4a M a --⎛⎫⎪⎝⎭，312,4a N a +⎛⎫⎪⎝⎭， ①当90PMN ∠=︒，4MN a =+，PM a =-，因为PMN △是等腰直角三角形，则4a a -=+，则2a =-，即P 点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90PNM ∠=︒，PN MN =，同上，2a =-，即P 点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；③当90MPN ∠=︒，作MN 的中点Q ，连接PQ ，则PQ a =-，又PM PN =， ∴PQ MN ⊥，则2MN PQ =，即：42a a +=-，解得：34a =-，即P 点的坐标为(23, 0)．248433y x x =--9. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =时，2211212y x x =-++=-++=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上，∴抛物线①、②有关联；（2）点C 是y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中的B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF CAH △≌△，∴，，点的坐标为(2,1c c +-，当点在抛物线211:(1)28C yx =+-上时，211(21)28c c -=++-，解得：．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中点，过点作轴的垂线，垂足为，同理可得：点的坐标为(2,1)c c --+，当点在抛物线211:(1)28C y x =+-上Oyx1CF AH ==2BF CH c ==+B B 1c ='B 'B y D 'B 'B时，211(21)28c c +=--+-，解得：．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点的坐标分别为：1(0,1)C，2(0,3C +，3(0,3C -.10. 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．存在符合条件的P 点，由(0,3)C ，(1,0)M -，∴CM①当CM CP =时，1(1,6)P -；②当MC MP =时，2(P-，4(1,P -；③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线，由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为1(1,6)P -，2(1,P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，4(1,P -．11. 已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．（1）请直接写出A 、B 的坐标：A 、B ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）如图，点D 的坐标为(2,0)，点(,)P mn 是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ． 3c =+3c =-C①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（）由，易知，2()CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-， 2()OC OA AB OA =-，可求， ∴(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C可设解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点(00)C ，代入，可求． ∴．（2）①，，提示：直线的解析式为设(,)E x y ，利用勾股定理和点(,)E x y 在直线BC 上，可得两个方程组分别可求和． ②过作x 轴的垂线，交于，易求的解析式为，且，故故，当时，，．x1OA =4OB =12a =-213222y x x =-++1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24855E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34E ⎛-⎝BC 122y x =-+()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩2E 3E D PC M PC 22n y x m -=+2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+52m =25=8CDP S 最大值△52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，12. 已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D . 若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．（1）用含b 的代数式表示m ，n 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由．（1）如图，作BE x ⊥轴，由题意可得(0,)A b ，,)(0b C - ∵抛物线的顶点(,)B m n 在2(0)y x b b =-+>上， ∴2n m b =-+，(,2)B m m b -+在矩形ABCD 中，OC OB =，∴22OC OB = 即：222(2)b m m b =+-+ ∴(54)0m m b -=∴10m =(舍去)，245m b =∴325n m b b =-+=-∴45m b =，35n b =-；（2）存在，有4个点：47,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，49,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，416,515b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，413,55b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得BCQ △为直角三角形？存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示：由(1,4)D -，(0,3)C 可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为(1,4)-由(3,0)B -，(0,3)C 易得，2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍）可得2Q 坐标为(2,5)-；设23(,23)Q a a a --+，所以22(1)(2)1BQ CQ k k a a ⋅=-+--=-，解得3Q，4Q 综上所述，Q 的坐标为1Q (1,4)-，2Q (2,5)-3Q ，4Q .14. 抛物线333842y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）当直线l 过点(4,0)E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.y CABxO（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为(4,0)20A B -、（，）. （2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即两个点M ；以AB 为直径的圆如果与直线l 相交，那么就有两个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了. 连结GM ，那么GM ⊥l ，在Rt EGM △中，3GM =，3GE =，∴4EM = 在1Rt EM A △中，AE =8，113tan 4M A M EA AE ∠==，∴16M A =∴点1M 的坐标为(4,6)-，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+根据对称性，直线l 还可以为334y x =+.15. 如图，经过x 轴上(1,0)A -、(3,0)B 两点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交y轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D ．（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若90BCD =︒，请确定抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使BDQ △为直角三角形?如果能，请求出Q 点坐标；如果不能，请说明理由．（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 则2223)(1)4(x a x a y a x --=--=.则点D 的坐标为(1,4)D a -，点C 的坐标为(0,3)C a -.（2）过点D 作轴于，如图1所示，则有.∴.∴. ∴，（舍去）.∴.抛物线的解析式为.DE y ⊥E DEC COB △∽△DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++（3）①如图2，若为，作轴于，轴于.可证. 有，点坐标2(,23)k k k -++，. 化简得，即(3)(23)0k k -+=.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. ②如图3，若为.延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为. DM 所在的直线方程为.则与的解为（舍），，得交点的坐标为.③若90BQD ∠=︒，容易证明此种情况不成立所以满足题意的点另有两个：.图2图2图1DBQ ∠90︒QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ =Q 242323k k k =---22390k k --=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BDQ ∠90︒DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM =12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。

2020年中考数学必考经典题讲练案-二次函数与特殊三角形存在型问题(解析版)【苏科版】

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题20二次函数与特殊三角形存在型问题【方法指导】解决二次函数中动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.对于直角三角形的动点和存在性问题，通常采用“两线一圆法”，常用的解决方案有：（1）与函数结合，常利用互相垂直的两直线的倾斜率的乘积为﹣1，求得一次函数的解析式再与二次函数联立方程组；（2）利用两点间的坐标公式以及勾股定理，得到一个一元二次或一元一次方程；（3）利用30°所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（4）将点的坐标转化为线段的长，利用全等或相似的知识来求解.对于等腰三角形的动点和存在性问题，通常采用“两圆一线法”常用的步骤有：先确定顶点，讨论底边和腰；寻找点的存在性，顶点在底边的线段垂直平分线上，底边两点的寻找可以利用画圆；求点的坐标，可以利用两点间的坐标公式以及勾股定理或全等三角形知识解决.【题型剖析】【类型1】二次函数与等腰三角形问题【例1】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC AQ =、AC CQ =、CQ AQ =三种情况，分别求解即可；（3）由2211sin 44)33PN PQ PQN m m m =∠=-+++-即可求解．【解析】解：（1）由二次函数交点式表达式得：22(3)(4)(12)12y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即：124a -=，解得：13a =-，则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)-、(4,0)、(0,4)，则5AC =，7AB =，42BC =45OBC OCB ∠=∠=︒，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+⋯①，同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+，设直线AC 的中点为3(2K -，2)，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34-，同理可得过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为：3748y x =-+⋯②， ①当AC AQ =时，如图1，则5AC AQ ==，设：QM MB n ==，则7AM n =-，由勾股定理得：22(7)25n n -+=，解得：3n =或4（舍去4)，故点(1,3)Q ；②当AC CQ =时，如图1，5CQ =，则25BQ BC CQ =-=，则852QM MB -= 故点52(2Q ，8522-； ③当CQ AQ =时，联立①②并解得：252x =（舍去）；故点Q 的坐标为：(1,3)Q 或52(852-；（3）设点211(,4)33P m m m -++，则点(,4)Q m m -+， OB OC =，45ABC OCB PQN ∴∠=∠=︒=∠，22211222sin 44)2)33PN PQ PQN m m m m =∠=-+++-=-+， 20-<，PN ∴有最大值，当2m =时，PN 22．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）求直线4y x =-+与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B 、C 坐标求得45OBC ∠=︒，又PE x ⊥轴于点E ，得到PEB ∆是等腰直角三角形，由2PB t =求得BE PE t ==，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据//MP CN 可证MPQ NCQ ∆∆∽，故有12MP MQ NC NQ ==，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰PDM ∆的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD MP =，则45MDP MPD ∠=∠=︒，故有90DMP ∠=︒，不合题意；②若DM DP =，则45DMP MPD ∠=∠=︒，进而得AE ME =，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP DP =，则PMD PDM ∠=∠，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得CFD PMD PDM CDF ∠=∠=∠=∠进而得CF CD =．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角CDG ∆，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF CD =，解方程即得到t 的值．【解析】解：（1）直线4y x =-+中，当0x =时，4y =(0,4)C ∴当40y x =-+=时，解得：4x =(4,0)B ∴抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为234y x x =-++（2）(4,0)B ，(0,4)C ，90BOC ∠=︒OB OC ∴=45OBC OCB ∴∠=∠=︒ME x ⊥轴于点E ，PB =90BEP ∴∠=︒Rt BEP ∴∆中，sin 2PE PBE PB ∠==BE PE t ∴=== 4M P x x OE OB BE t ∴===-=-，P y PE t ==点M 在抛物线上22(4)3(4)45M y t t t t ∴=--+-+=-+24M P MP y y t t ∴=-=-+PN y ⊥轴于点N90PNO NOE PEO ∴∠=∠=∠=︒∴四边形ONPE 是矩形ON PE t ∴==4NC OC ON t ∴=-=-//MP CNMPQ NCQ ∴∆∆∽ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=- 解得：112t =，24t =（点P 不与点C 重合，故舍去） t ∴的值为12（3）90PEB ∠=︒，BE PE =45BPE PBE ∴∠=∠=︒45MPD BPE ∴∠=∠=︒①若MD MP =，则45MDP MPD ∠=∠=︒90DMP ∴∠=︒，即//DM x 轴，与题意矛盾②若DM DP =，则45DMP MPD ∠=∠=︒90AEM ∠=︒AE ME ∴=2340y x x =-++=时，解得：11x =-，24x =(1,0)A ∴-由（2）得，4M x t =-，25M ME y t t ==-+4(1)5AE t t ∴=---=-255t t t ∴-=-+解得：11t =，25(04t t =<<，舍去）③若MP DP =，则PMD PDM ∠=∠如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG y ⊥轴于点GCFD PMD PDM CDF ∴∠=∠=∠=∠CF CD ∴=(1,0)A -，2(4,5)M t t t --+，设直线AM 解析式为y ax m =+∴20(4)5a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a t m t =⎧⎨=⎩∴直线:AM y tx t =+(0,)F t ∴4CF OC OF t ∴=-=-4tx t x +=-+，解得：41t x t -=+ 41D t DG x t -∴==+ 90CGD ∠=︒，45DCG ∠=︒CD ∴=4t ∴-=解得：1t =-综上所述，当PDM ∆是等腰三角形时，1t =或21t =-．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．【类型2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线24y ax bx =+-经过(3,0)A -，(5,4)B -两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将(3,0)A -，(5,4)B -代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取(2,0)D ，则AD AC =，连接BD ，接下来，证明BC BD =，然后依据SSS 可证明ABC ABD ∆≅∆，接下来，依据全等三角形的性质可得到CAB BAD ∠=∠；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM AB '⊥，作BM AB ⊥，分别交抛物线的对称轴与M '、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到1tan 2BAE ∠=，从而可得到tan 2M AE ∠'=或tan 2MBF ∠=，从而可得到FM 和M E '的长，故此可得到点M '和点M 的坐标．【解析】解：（1）将(3,0)A -，(5,4)B -代入得：934025544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：16a =，56b =-． ∴抛物线的解析式为215466y x x =--．（2）3AO =，4OC =，5AC ∴=．取(2,0)D ，则5AD AC ==．由两点间的距离公式可知22(52)(40)5BD =-+--．(0,4)C -，(5,4)B -，5BC ∴=．BD BC ∴=．在ABC ∆和ABD ∆中，AD AC =，AB AB =，BD BC =，ABC ABD ∴∆≅∆，CAB BAD ∴∠=∠，AB ∴平分CAO ∠；（3）如图所示：抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为52x =，则112AE =． (3,0)A -，(5,4)B -，1tan 2EAB ∴∠=． 90M AB ∠'=︒．tan 2M AE ∴∠'=．211M E AE ∴'==，5(2M ∴'，11)．同理：tan 2MBF ∠=．又52BF =， 5FM ∴=，5(2M ∴，9)-． ∴点M 的坐标为5(2，11)或5(2，9)-．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M E '的长是解题的关键．4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C ．（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标．【分析】（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y mx n =+，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小．把1x =-代入直线3y x =+得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设(1,)P t -，又因为(3,0)B -，(0,3)C ，所以可得218BC =，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．【解析】解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解之得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =--+对称轴为1x =-，且抛物线经过(1,0)A ，∴把(3,0)B -、(0,3)C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+；（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小．把1x =-代入直线3y x =+得，2y =， (1,2)M ∴-，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(1,2)-；（3）设(1,)P t -，又(3,0)B -，(0,3)C ，218BC ∴=，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=即：22184610t t t ++=-+解之得：2t =-； ②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=即：22186104t t t +-+=+解之得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=即：22461018t t t ++-+=解之得：1317t +=，2317t -=；综上所述P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+- 或317(1,)--．【类型3】二次函数与等腰直角三角形问题【例3】已知：如图，抛物线23y ax bx =++与坐标轴分别交于点A ，(3,0)B -，(1,0)C ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，PAB ∆的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作//PE x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点P 横坐标为t ，过点P 作//PF y 轴交AB 于点F ，求直线AB 解析式，即能用t 表示点F 坐标，进而表示PF 的长．把PAB ∆分成PAF ∆与PBF ∆求面积和，即得到PAB ∆面积与t 的函数关系，配方即得到t 为何值时，PAB ∆面积最大，进而求得此时点P 坐标．（3）设点P 横坐标为t ，即能用t 表示PD 的长．根据对称性可知点P 、E 关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t 表示点E 横坐标，进而用t 表示PE 的长（注意点P 、E 左右位置不确定，需分类讨论）．由于PDE ∆要成为等腰直角三角形，90DPE ∠=︒，所以PD PE =，把含t 的式子代入求值即得到点P 坐标．【解析】解：（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)B -，(1,0)C ∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为223y x x =--+（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交AB 于点F 0x =时，2233y x x =--+=(0,3)A ∴∴直线AB 解析式为3y x =+点P 在线段AB 上方抛物线上∴设(P t ，223)(30)t t t --+-<<(,3)F t t ∴+2223(3)3PF t t t t t ∴=--+-+=-- 2211133327(3)()2222228PAB PAF PBF S S S PF OH PF BH PF OB t t t ∆∆∆∴=+=+==--=-++∴点P 运动到坐标为3(2-，15)4，PAB ∆面积最大（3）存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形设(P t ，223)(30)t t t --+-<<，则(,3)D t t +2223(3)3PD t t t t t ∴=--+-+=-- 抛物线2223(1)4y x x x =--+=-++∴对称轴为直线1x =-//PE x 轴交抛物线于点EE P y y ∴=，即点E 、P 关于对称轴对称∴12E Px x +=- 22E P x x t ∴=--=-- |||22|E P PE x x t ∴=-=--PDE ∆为等腰直角三角形，90DPE ∠=︒ PD PE ∴=①当31t -<-时，22PE t =-- 2322t t t ∴--=--解得：11t =（舍去），22t =- (2,3)P ∴-②当10t -<<时，22PE t =+ 2322t t t ∴--=+解得：1t =2t =P ∴综上所述，点P 坐标为(2,3)-或时使PDE ∆为等腰直角三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去． 6．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-，即32a -=，即可求解；（2）APO CPO ODC ADCP S S S S ∆∆∆=+-四边形，即可求解；（3）分点N 在x 轴上方、点N 在x 轴下方两种情况，分别求解．【解析】解：（1）抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-，即32a -=，解得：23a =-，故抛物线的表达式为：224233y x x =--+，则点(0,2)C ，函数的对称轴为：1x =-；（2）连接OP ，设点224(,2)33P x x x --+，则111222APO CPO ODC P P ADCP S S S S S AO y OC x CO OD ∆∆∆==+-=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯四边形22124113(2)2()213223322x x x x x =⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯=--+， 10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174；（3）存在，理由：MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角时，点N 的位置如下图所示：①当点N 在x 轴上方时，点N 的位置为1N 、2N ， 1N 的情况(△11):M N O设点1N 的坐标为224(,2)33x x x --+，则11M E x =+，过点1N 作x 轴的垂线交x 轴于点F ，过点1M 作x 轴的平行线交1N F 于点E ， 11190FN O M N E ∠+∠=︒，111190M N E EM N ∠+∠=︒，111EM N FN O ∴∠=∠， 11190M EN N FO ∠=∠=︒，111ON M N =，∴△11M N E ≅△1()N OF AAS ，11M E N F ∴=，即：2241233x x x +=--+，解得：773x -±=（舍去负值），则点1773(N -+，373)-+； 2N 的情况(△22):M N O同理可得：点2173(N --，373)-+； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为3N 、4N ，同理可得：点3N 、4N 的坐标分别为：773(--，373)--、173(-+，373)--；综上，点N 的坐标为：773(-+，373)-+或173(--，373)-+或773(--，373)--或173(-+，373)--．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【达标检测】1．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点(2,5)A -，(1,0)B -，(3,0)C 的坐标代入2y ax bx c =++得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为(1,0)，2BH =，由翻折得4C B CB '==，求出C H '的长，可得60C BH ∠'=︒，求出DH 的长，则D 坐标可求；（3）由题意可知△C CB '为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C P '．证出BCQ ∆≅△C CP '，可得BP 垂直平分CC '，则D 点在直线BP 上，可求出直线BP 的解析式，②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解析】解：（1）由题意得：425,0930,a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的函数表达式为223y x x =--．（2）抛物线与x 轴交于(1,0)B -，(3,0)C ， 4BC ∴=，抛物线的对称轴为直线1x =，如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为(1,0)，2BH =，由翻折得4C B CB '==，在Rt BHC ∆'中，由勾股定理，得22224223C H C B BH '='-=-=∴点C '的坐标为(1，23)，23tan 3C H C BH BH '∠'===60C BH ∴∠'=︒，由翻折得1302DBH C BH ∠=∠'=︒，在Rt BHD ∆中，23tan 2tan30DH BH DBH =∠=︒=， ∴点D 的坐标为．（3）解：取（2）中的点C '，D ，连接CC '， BC BC '=，60C BC ∠'=︒，∴△C CB '为等边三角形．分类讨论如下：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C P '． PCQ ∆，△C CB '为等边三角形，CQ CP ∴=，BC C C ='，60PCQ C CB ∠=∠'=︒， BCQ C CP ∴∠=∠'， BCQ ∴∆≅△()C CP SAS '， BQ C P ∴='．点Q 在抛物线的对称轴上， BQ CQ ∴=， C P CQ CP ∴'==，又BC BC '=，BP ∴垂直平分CC '，由翻折可知BD 垂直平分CC '，∴点D 在直线BP 上，设直线BP 的函数表达式为y kx b =+，则0k b k b =-+⎧=+，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP 的函数表达式为y =+． ②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．PCQ ∆，△C CB '为等边三角形，CP CQ ∴=，BC CC ='，60CC B QCP C CB ∠'=∠=∠'=︒． BCP C CQ ∴∠=∠'， BCP ∴∆≅△()C CQ SAS '，CBP CC Q ∴∠=∠'， BC CC '='，C H BC '⊥，∴1302CC Q CC B ∠'=∠'=︒． 30CBP ∴∠=︒，设BP 与y 轴相交于点E ，在Rt BOE ∆中，33tan tan301OE OB CBP OB =∠=︒=⨯=∴点E 的坐标为3(0,．设直线BP 的函数表达式为y mx n =+，则03m n n =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得33m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BP 的函数表达式为33y x =．综上所述，直线BP 的函数表达式为33y =或33y x =．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．2．如图1，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线交y 轴于点(0,2)E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A 作BE 的平行线交抛物线于另一点D ，点P 是抛物线上位于线段AD 下方的一个动点，连结PA ，EA ，ED ，PD ，求四边形EAPD 面积的最大值；（3）如图3，连结AC ，将AOC ∆绕点O 逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A OC ''，在旋转过程中，直线OC '与直线BE 交于点Q ，若BOQ ∆为等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为ADE ∆的面积为定值，所以APD ∆的面积最大时，四边形EAPD 面积的最大，过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，当PG 的值最大时，APD ∆的面积最大，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解析】解：（1）(1,0)A -，(4,0)B 在抛物线22y ax bx =+-上，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =--．（2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，(4,0)B ，(0,2)E ，∴直线BE 的解析式为122y x =-+，//AD BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-+，代入(1,0)A -，可得12b =-，∴直线AD 的解析式为1122y x =--，设11(,)22G m m --，则213(,2)22P m m m --，则2211131()(2)(1)222222PG m m m m =-----=--+，∴当1x =时，PG 的值最大，最大值为2，由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=-⎩，(3,2)D ∴-，1124422D A ADP S PG x x ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=最大值，15252ADB S ∆=⨯⨯=，//AD BE ， 5ADE ADB S S ∆∆∴==，459ADB APDE ADP S S S ∆∆∴=+=+=四边形最大最大．（3）①如图31-中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．4OB =，2OE =， 25BE ∴=，4525OE OB OT BE ===， 85BT TQ ∴==， 1655BQ ∴=，可得12(5Q -，16)5； ②如图3中，当1BO BQ =时，185(4Q -，45)，当22OQ BQ =时，2(2,1)Q ，当3BO BQ =时，385(4Q +，45)-，综上所述，满足条件点点Q 坐标为12(5-，16)5或85(4-，45)或(2,1)或85(4+，45)-；【点评】本题考查二次函数综合题、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C -三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使POC ∆是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆面积最大，求出此时P 点坐标和PBC ∆的最大面积．【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC 的垂直平分线上，则可求得P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）过P 作PE x ⊥轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出PBC ∆的面积，利用二次函数的性质可求得PBC ∆面积的最大值及P 点的坐标．【解析】解：（1）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 三点坐标代入可得016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得134a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为234y x x =--；（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，PO PC ∴=，此时P 点即为满足条件的点，(0,4)C -， (0,2)D ∴-，P ∴点纵坐标为2-，代入抛物线解析式可得2342x x --=-，解得317x -=（小于0，舍去）或317x +=， ∴存在满足条件的P 点，其坐标为317(+，2)-；（3）点P 在抛物线上，∴可设2(,34)P t t t --，过P 作PE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，(4,0)B ，(0,4)C -，∴直线BC 解析式为4y x =-，(,4)F t t ∴-，22(4)(34)4PF t t t t t ∴=----=-+，2211111()(4)42(2)822222PBC PFC PFB S S S PF OE PF BE PF OE BE PF OB t t t ∆∆∆∴=+=+=+==-+⨯=--+，∴当2t =时，PBC S ∆最大值为8，此时2346t t --=-，∴当P 点坐标为(2,6)-时，PBC ∆的最大面积为8．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P 点的位置是解题的关键，在（3）中用P 点坐标表示出PBC ∆的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 4．如图，已知两直线1l ，2l 分别经过点(1,0)A ，点(3,0)B -，且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C ，当点C 的坐标为(0,3)时，恰好有12l l ⊥，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与1l 、2l 、x 轴分别交于点G 、E 、F ，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG 与DE 的数量关系？并说明理由；（3）若直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当MCG ∆为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++．将点A 、B 、C 的坐标代入，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程求出a 、b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式；（2）利用待定系数法分别求出直线1l 、直线2l 的解析式，再求出G 、D 、E 的坐标，计算得出23DG DE == （3）当MCG ∆为等腰三角形时，分三种情况：①GM GC =；②CM CG =；③MC MG =．【解析】解：（1）设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++．点(1,0)A ，点(3,0)B -，点3)C 在抛物线上， ∴09303a b c a b c c ⎧++=⎪-+=⎨⎪=⎩，解得3233a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的函数解析式为23233y x =+ （2）DG DE =．理由如下：设直线1l 的解析式为11y k x b =+，将(1,0)A ，3)C 代入，解得33y x =- 设直线2l 的解析式为22y k x b =+，将(3,0)B -，3)C 代入，解得33y =；抛物线与x 轴的交点为(1,0)A ，(3,0)B -，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，又点G 、D 、E 均在对称轴上，(1G ∴-，，(D -，(E -，DG ∴==，DE = DG DE ∴=；（3）若直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当MCG ∆为等腰三角形时，分三种情况： ①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点1M 、C ，点1M 与C 关于抛物线的对称轴对称，则1M 的坐标为(-；②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点2M 、3M ，点2M 与点A 重合，点A 、C 、G 在一条直线上，不能构成三角形，3M 与1M 重合；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点4M 、5M ，点4M 与点D 重合，点D 的坐标为(-，5M 与1M 重合；综上所述，满足条件的点M 只有两个，其坐标分别为(-，(-．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，有一定难度．利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键． 5．如图，抛物线212y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =--经过点A ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为m ． ①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点B 关于点C 的对称点B '，则平面内存在直线l ，使点M ，B ，B '到该直线的距离都相等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线:l y kx b =+的解析式．(k ，b 可用含m 的式子表示）【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，C 的坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM x ⊥轴可得出90PMC ∠≠︒，分90MPC ∠=︒及90PCM ∠=︒两种情况考虑：()i 当90MPC ∠=︒时，//PC x 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；()ii 当90PCM ∠=︒时，设PC 与x 轴交于点D ，易证AOC COD ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标．综上，此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B ，M 的坐标，结合点C 的坐标可得出点B '的坐标，根据点M ，B ，B '的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM ，B M '和BB '的解析式，利用平行线的性质可求出直线l 的解析式．【解析】解：（1）当0x =时，1222y x =--=-，∴点C 的坐标为(0,2)-；当0y =时，1202x --=，解得：4x =-，∴点A 的坐标为(4,0)-．将(4,0)A -，(0,2)C -代入212y ax x c =++，得：16202a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-．（2）①PM x ⊥轴，90PMC ∴∠≠︒，∴分两种情况考虑，如图1所示．()i 当90MPC ∠=︒时，//PC x 轴，∴点P 的纵坐标为2-．当2y =-时，2112242x x +-=-，解得：12x =-，20x =，∴点P 的坐标为(2,2)--；()ii 当90PCM ∠=︒时，设PC 与x 轴交于点D ． 90OAC OCA ∠+∠=︒，90OCA OCD ∠+∠=︒， OAC OCD ∴∠=∠．又90AOC COD ∠=∠=︒， AOC COD ∴∆∆∽，∴OD OCOC OA=，即224OD =， 1OD ∴=，∴点D 的坐标为(1,0)．设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(0,2)C -，(1,0)D 代入y kx b =+，得： 20b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为22y x =-．联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组，得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1102x y =⎧⎨=-⎩，22610x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为(6,10)．综上所述：当PCM ∆是直角三角形时，点P 的坐标为(2,2)--或(6,10)． ②当0y =时，2112042x x +-=，解得：14x =-，22x =，∴点B 的坐标为(2,0)．点C 的坐标为(0,2)-，点B ，B '关于点C 对称，∴点B '的坐标为(2,4)--．点P 的横坐标为(0m m >且2)m ≠，∴点M 的坐标为1(,2)2m m --．利用待定系数法可求出：直线BM 的解析式为44242m m y x m m ++=-+--，直线B M '的解析式为454242m m y x m m -++=-++，直线BB '的解析式为2y x =-．分三种情况考虑，如图2所示：当直线//l BM 且过点C 时，直线l 的解析式为4224m y x m +=---；当直线//l B M '且过点C 时，直线l 的解析式为4224m y x m -+=-+；当直线//l BB '且过线段CM 的中点1(2N m ，12)4m --时，直线l 的解析式为324y x m =--．综上所述：直线l 的解析式为4224m y x m +=---，4224m y x m -+=-+或324y x m =--．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分90MPC ∠=︒及90PCM ∠=︒两种情况求出点P 的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l 的解析式．6．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0,8)，点C 的坐标为(6,0)．抛物线249y x bx c=-++经过点A 、C ，与AB 交于点D ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ CP =，连接PQ ，设CP m =，CPQ ∆的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上，若存在点F ，使DFQ ∆为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线249y x bx c =-++，即可求得抛物线的解析式；（2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数； ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写．【解析】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得：438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为244893y x x =-++；（2）①8OA =，6OC =，2210AC OA OC ∴=+，过点Q 作QE BC ⊥与E 点，则3sin 5QE AB ACB QC AC ∠===，∴3105QE m =-， 3(10)5QE m ∴=-， 21133(10)322510S CP QE m m m m ∴==⨯-=-+； ②221133315(10)3(5)22510102S CP QE m m m m m ==⨯-=-+=--+， ∴当5m =时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使FDQ ∆为直角三角形，抛物线的解析式为244893y x x =-++的对称轴为32x =， D 的坐标为(3,8)，(3,4)Q ，当90FDQ ∠=︒时，13(2F ，8)，当90FQD ∠=︒时，则23(2F ，4)，当90DFQ ∠=︒时，设3(2F ，)n ，则222FD FQ DQ +=，即2299(8)(4)1644n n +-++-=，解得：76n =±， 33(2F ∴，76)+，43(2F ，76)-，满足条件的点F 共有四个，坐标分别为13(2F ，8)，23(2F ，4)，33(2F ，76)+，43(2F ，76)-．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．7．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴分别交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断BCD ∆的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移(0)t t >个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当AMN ∆为直角三角形时，求t 的值．【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由222BC BD CD +=可证出BCD ∆为直角三角形；（3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2AM 、2AN 、2MN 的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【解析】解：（1）将(1,0)A 、(3,0)B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为(2,1)-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为(0,3)．点B 的坐标为(3,0)，22(30)(03)32BC ∴=-+-=22(23)(10)2BD -+--22(20)(13)25CD -+--。

全国中考数学分类专题含讲解7-三角形四边形存在性问题

∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即
x0
4=
1 4
x02
x0
。
整理，得
x
2 0
8x0
+16=0
，解得
x
0 =4
。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。情况2，若∠AON是直角，则 OA 2+ON 2=AN 2 。
2
∵
OA2=x
02+
1 4
x
2 0
2x0
2
，ON2=42+x
∴此时存在点A（ 4+4 2，4 ），使∠AON是直角。
MD OD
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴ OD ND 。
8 x0 4 ∵OD=4，MD= 8 x0 ，ND= x0 ，∴ 4 x0 。
整理，得
x
2 0
8x0
+16=0
，解得
x
0 =4
。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
4
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1 ﹣ 7 ，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+ 7 ，﹣3），Q3（1﹣ 7 ， ﹣3）。
（3）点B作BB ⊥AC于点F，使B F=BF，则B 为点B关于直线AC 的对称点．连接B D交直线AC与点M，则点M为所求。
（2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称性点N坐标，从而求得MN的长，从而求得△ANO的面积。
（3）①根据正切函数定义，分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。 ②分∠ONA是直角，∠AON是直角，∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。当∠AON是直角时，还可在Rt△OMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解：

2020中考数学专题—存在性问题之特殊三角形

例 1.解:(1)∵直线 y=3x+3, ∴当 x=0 时,y=3,当 y=0 时,x=-1, ∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(0,3). (2)设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+bx+c,
参考答案
由题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3.
（3）∵抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3,配方,得 y=-(x-1)2+4,
(2)当 AP=AD 时,如图②,t=4.
(3)当 AD=DP 时,如图③,作 DF⊥AB 于 F.
在 Rt△ADF 中,AD=4,∠A=30°.∴AF= 3 AD=2 3 = 1 AP= 1 t,∴t=4 3 .
2
22
综上所述:t 的值为 4
3
或4或4
3.
3
①
②
③
3.解：（1）如图 1，过点 A 作 AD x 轴于 D ，
2
2
8
tan EAB 1 ． 2
M AB 90 ． tan M AE 2 ． M E 2AE 11 ， M (5 ，11) ． 2
同理： tan MBF 2 ．又 BF 5 ， FM 5 ， M (5 ， 9) ．
2
2
点 M 的坐标为 ( 5 ，11) 或 ( 5 ， 9) ．
12 ①求点 P 的坐标； ②设 M 为直线 AP 上一动点，连接 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上是否存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
6．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 、 BC 的长分别是一元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 (BC AB) ， OA 2OB ，边 CD 交 y 轴于点 E ，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED DA 向点 A 运动，运动的时间为 t(0 t 6) 秒，设 BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S ．（1）求点 D 的坐标；（2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。

2020年中考数学压轴题热点专练附解答：三角形问题

热点专题二角形问题【考点3】等腰三角形与等边三角形的判是与性质的应用【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019浙江中考真题）若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（）A . 1B . 2C . 3D . 8【答案】C 【解析】【分析】根据三角形三边关系可得 5 - 3 v a v 5+3,解不等式即可求解. 【详解】由三角形三边关系定理得： 5- 3v a v 5+3, 即 2v a v 8,由此可得，符合条件的只有选项 C ,故选C . 【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5-3v a v 5+3是解此题的关键，注意：三专题10三角形制题【考点1】三角形的基础知识【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【考点4】肓角三角形的性质【考点5】相似二角形的判定与性质的应用【考点6】锐角三角函数及其应用角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.【变式1-U （ 2019北京中考真题）如图，已知△ ABC ，通过测量、计算得△ ABC 的面积约为 ______ cm 2 （结果保留一位小数）【点睛】牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键.【变式1-2】（2019 山东中考真题）把一块含有 45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）.若 123，则 2【解析】【分析】过点C 作CD 丄AB 的延长线于点 D , 测量出AB , CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出 △ ABC 的面积. SABC1 -AB2 CD1-2.2 1.7 21.9 (cm 2).故答案为: 1.9.本题考查了三角形的面积,【答案】1.9 【详解】D ,如图所示.【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出 / A= / C=45，由三角形的外角性质得出/ AGB=68，再由平行线的性质即可得出/ 2的度数.【详解】T ABC是含有45角的直角三角板，••• A C 45 ,•/ 1 23 ,• AGB C 1 68 ,•/ EF P BD ,•- 2 AGB 68 ;故答案为68.【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等.【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】(2019 山东中考真题)在ABC中，BAC 90 , AB AC , AD BC于点D .(1)如图1,点M , N分别在AD , AB上，且BMN 90，当/ AMN 30 , AB 2时，求线段AM 的长；(2)如图2,点E , F分别在AB , AC上，且EDF 90，求证：BE AF ;(3)如图3,点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN 90，求证：AB AN2AM.【解析】【分析】(1) 根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD = BD = DC = ，求出/ MBD = 30 ° 股定理计算即可；(2) 证明△ BDE ◎△ ADF ，根据全等三角形的性质证明；(3) 过点 M 作ME // BC 交AB 的延长线于 E ,证明△ BME ◎△ AMN ，根据全等三角形的性质得到 AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论.【详解】(1)解: QBAC 90 , AB AC , AD BC ,AD BD DC ,ABCACB 45 , BADCAD 45 ,Q AB 2 ,AD BD DC.2,,BM 2DM ,解得，DM穿,(2)证明：Q AD BC , EDF 90 ,【答案】(1) AM2 乙3 ; (2)见解析；(3)见解析.3根据勾 BE =Q AMN 30 ,BMD 180 90 3060 ,BMD 30 ,由勾股定理得，BM2DM 2BD 2，即(2DM )2 DM 2 (、2)2 ,AM AD DM.2BDE ADF,在BDE和ADF中,B DAF{DB DABDE ADFBDE 4 ADF (ASA) BE AF ；(3)证明：过点M作ME // BC交AB的延长线于E ,AME 90 , 则AE 2AB，E 45ME MA,••• AME 90 , BMN 90 ,BME AMN ,在BME和AMN中，E MAN{ME MA ,BME AMNBME4 AMN (ASA),BE AN ,AB AN AB BE AE 2AM【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.【变式2-1】（2019贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB// CD，点E是BC的中点, 若AE 是BAD的平分线，试判断AB , AD , DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交DC 的延长线于点F ，易证 AEB ^ FEC 得到AB FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断.AB , AD , DC 之间的等量关系 __________ (2)问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB // CD , AF 与DC 的延长线交于点 F ，点E 是BC 的中点，若AE 是 BAF 的平分线，试探究 AB , AF , CF 之间的等量关系，并证明你的结论.【解析】【分析】AD DF ，再根据AAS 证得 CEF 也 BEA ，于是AB CF ,进一步即得结论；(2)延长AE 交DF 的延长线于点G ，如图②，先根据AAS 证明 AEB 也 GEC ，可得AB CG ，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得 FA FG ，进而得出结论•【详解】解：(1) AD AB DC .理由如下：如图 ①，•/ AE 是 BAD 的平分线，二 DAE BAE••• AB P DC , ••• F BAE ,二 DAF F ，二 AD DF .•••点E 是BC 的中点，•- CE BE , 又F BAE , AEB CEF•- CEF 也 BEA (AAS ), • AB CF . • AD CD CF CD AB . 故答案为：AD AB DC . (2) AB AF CF .理由如下：如图 ②，延长AE 交DF 的延长线于点 G .(1 )先根据角平分线的定义和平行线的性质证得理由详见解析••• AB P DC ,••• BAE G ,又 BE CE, AEB GEC ,•- AEB 也GEC (AAS ), • AB GC ,••• AE 是BAF 的平分线，•- BAG FAG,••• BAG G , • FAG G , • FA FG ,•/ CG CF FG , • AB AF CF .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键.【变式2-2】(2019广西中考真题)如图，AB AD ,BC DC，点E在AC 上.(1)求证：AC 平分BAD ; (2)求证：BE DE •【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1) 由题中条件易知：△ ABC ◎△ ADC，可得AC平分/ BAD ;(2) 利用(1)的结论，可得△ BAE ◎△ DAE，得出BE=DE .【详解】AB AD解：(1 )在ABC 与ADC 中，AC ACBC DC••• ABC也ADC SSS••• BAC DAC即AC平分BAD ;(2 )由(1) BAE DAEBA DA在BAE 与DAE 中，得BAE DAEAE AE• BAE也DAE SAS•- BE DE【点睛】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键.【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】(2019浙江中考真题)如图，在△ ABC中，AC < AB < BC .⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP，求证：？APC 2?B ;⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若？AQC 3? B，求DB的度数•【答案】(1)见解析；(2) / B=36 .【解析】【分析】(1 )根据垂直平分线的性质，得到PA=PB ,再由等腰三角形的性质得到 / PAB= / B，从而得到答案；(2)根据等腰三角形的性质得到 / BAQ= / BQA，设/ B=x，由题意得到等式 / AQC= / B+ / BAQ=3x，即可得到答案【详解】 (1)证明：因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,所以 / PAB= / B,所以 / APC= / PAB+ / B=2 / B.(2 )根据题意，得BQ=BA ,所以 / BAQ= / BQA ,设 / B=x ,所以 / AQC= / B+ / BAQ=3x ,所以/ BAQ= / BQA=2x ,在厶ABQ 中，x+2x+2x=180°,解得x=36° ,即 / B=36 .【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质•【变式3-1】(2019辽宁中考真题)如图，ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD AC ,连接AD •若AB 2，贝V AD的长为_______ .【答案】2.3【解析】【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出/ BAD=90°, / D=30°,解直角三角形即可求得.【详解】解：T ABC是等边三角形，B BAC ACB 60 ,••• CD AC ,CAD D ,ACB CAD D 60o,CAD D 30o，BAD90o,爲匚2「33故答案为2 3 •【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键.【变式3-2】（2019辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG ,得到BDE 60，BED 90，若DE 2，则FG 的长为____________________V【答案】3 ,3 •【解析】【分析】根据折叠的性质可得：FG是厶ABC的中位线，AC的长即为△ BDE的周长•在Rt△ BDE中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出BD与BE的长，从而可得AC的长，再根据三角形的中位线定理即得答案•【详解】解：T把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，••• AF BF , AE BE , BG CG , DC DB ,1•- FG AC ,2BDE 60 , BED 90 ,EBD 30 ，-DB 2DE 4,二 BE , DB 2—DE 2 一厂22^ 3，二 AEBE 2.3 , DC DB 4, 二 AC AE DE DC2 32 4 6 2.3 , A ••• FG —AC 3 .3 , 2故答案为：3. 3 •【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、 30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的性质得出FG 是厶ABC 的中位线，AC 的长即为△ BDE 的周长是解本题的关键•【考点4】直角三角形的性质【例4】（20—9 •宁夏中考真题）如图，在 Rt ABC 中， C 900，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画 — M,N 为圆心，大于2MN 的长为半径画弧，两弧交于点—【答案】丄• 2【解析】【分析】利用基本作图得 BD 平分 ABC ，再计算出 ABD CBD 30o ，所以 DA DB ，利用 BD 2CD 得弧，分别交AB, BC 于点M , N ，再分别以点作射线BP 交AC 于点D •若 A 30o ，则 SBCDS ABD到AD 2CD，然后根据三角形面积公式可得到S VBCD的值.S vABD【详解】解：由作法得BD平分ABC ,Z C 90°，A 30°,二ABC 60 ,二ABD CBD 30 ,二DA DB ,在Rt BCD 中，BD 2CD ,••• AD 2CD ,SBCD 1SABD21故答案为丄.2【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.【变式4-1】（2019黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC , ACB 90°, AB 10 , AC 6, 点D为BC 边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，贝U CD的长为________________________ .24【答案】3或24 7【解析】【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△ BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：Z DEB=90或Z BDE=90，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长【详解】分两种情况:①若DEB 90°，贝V AED 90° C , CD ED ,2472477AE AC 6, BE 10 6 4,设 CD DE x ，则 BD 8 x ,Q Rt BDE 中,DE 2 BE 2 BD 2x 2 42 (8 x)2 ,解得x 3,CD 3 ；②若 BDE 90°，则 CDE DEF C 90°, CDAFE EDB 90°, AEF B ,AEF ~ EBD , AF EFED BD ,设 CD x ，则 EF DF x , AF 6 x , BD 8 x ,DE , 四边形CDEF 是正方形，2472477解得xCD综上所述, 24CD 的长为3或24故答案为：3或•7【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形【变式4-2】(2019 河北中考真题)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A, B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)•笔直铁路经过A，B两地.(1) _____________________ A, B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路I,并在I上建一个维修站D，使D到A , C的距离相等，则C,【解析】【分析】(1 )由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x,根据勾股定理即可求出x的值.【详解】(1 )由A、B两点的纵坐标相同可知：AB // x轴，••• AB=12 -( - 8) =20；(2)过点C作I丄AB于点E，连接AC,作AC的垂直平分线交直线I于点D，由(1)可知：CE=1-(-17) =18, AE=12,设CD=x, • AD=CD=x,由勾股定理可知：x2= (18 - x) 2+122, •解得：x=13, • CD=13 .【点睛】COM故答案为：(1) 20 ; (2) 13.本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型.【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】(2019 四川中考真题)如图，ABD BCD 90 , DB平分/ ADC ,过点B作BM || CD交(1)求证：BD2 AD CD ; (2)若CD 6, AD 8，求MN 的长.4 L【答案】(1)见解析；(2) MN \7.5【解析】【分析】(1 )通过证明ABD s BCD，可得匹-BD，可得结论；BD CD(2)由平行线的性质可证MBD= BDC,即可证AM = MD = MB=4，由BD2= AD CD和勾股定理可求MC的长，通过证明MNB s CND，可得型空 -，即可求MN的长.CD CN 3【详解】证明：(1) •/ DB平分ADC ,ADB= CDB，且ABD= BCD=90 ,ABD s BCDAD BDBD CD2BD =AD CD(2) Q BM //CDMBD= BDCADB= MBD，且ABD=90BM = MD, MAB= MBABM = MD = AM =42Q BD = AD CD ，且 CD =6, AD =8, BD 2=48 ,BC 2= BD - CD 2=12MC 2= MB 2 BC 2= 28MC =2.7Q BM / /CDMNB s CNDBM MN 2 口一且 MC 2、7CD CN 3MN 4V7 考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键.【变式5-1】（2019全国初三课时练习）如图，在 △ ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且/ APD= / B,(1) 求证：AC?CD=CP?BP ;(2 )若 AB=10 , BC=12，当 PD // AB 时，求 BP 的长.【解析】 AB=AC 即可得到 AC?CD=CP?BP ；(2) 25 3 （2）易证/ APD= / B= / C ,从而可证到 △ ABPPCD ，即可得到 BP AB CD CP ，即 AB?CD=CP?BP ，由【点睛】 S【答案】（1）证明见解析;(2) 由PD // AB 可得/ APD= / BAP ，即可得到/ BAP= / C ,从而可证到 △ BAPBCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长.解：(1)•/ AB=AC ,:丄 B= / C .•••/ APD= / B , •••/ APD= / B= / C .•••/ APC= / BAP+ / B , / APC= / APD+ / DPC ,•••/ BAP= / DPC ,• △ ABPPCD ,• Bp AB"CD CP ，• AB?CD=CP?BP .•/ AB=AC ,• AC?CD=CP?BP ；(2) •/ PD // AB , APD= / BAP .•••/ APD= / C , BAP= / C . • △ BAP BCA ,•BA BP BC BA .•/ AB=10 , BC=12 ,• BP= 25 .等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明 AC?CD=CP?BP 转化为证明 AB?CD=CP?BP 是解决第（1）小题的关键，证到 / BAP= / C 进而得到△ BAPBCA 是解决第（2）小题的关键. 【变式5-2】（2019 -陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心 ”的唐代帝王风范（如图①）•小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆 CD ，此时，小花测得标杆 CD 的影长CE = 2米，CD = 2米；然后，小风从 C 点沿BC 方向走了 5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ,接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端 A ，标1012 BP 10点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM = 0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM = 1.5米，FG = 2米.如图②，已知AB丄BM , CD丄BM , FG丄BM , HM丄BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB .【答案】紫云楼的高AB为39米.【解析】【分析】根据已知条件得到AB = BC,过H作HN丄AB于N，交FG于P,设AB= BC = x,贝U HN = BM = x+5.4+0.6=x+6, AN = x- 1.5, FP = 0.5, PH = GM = 0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解：•/ CD 丄BM , FG 丄BM , CE= 2, CD = 2,••• AB = BC,过H作HN丄AB于N,交FG于P,设AB= BC = x,贝V HN = BM = x+5.4+0.6 = x+6,AN = x- 1.5, FP = 0.5, PH = GM = 0.6,•••/ ANH = Z FPH = 90° / AHN = Z FHP ,•△ ANH FPH ,AN NH x 1.5 x 6•,即—PF PH 0.5 0.6•- x= 39 , ••紫云楼的高AB为39 米.在厶 ACB 中，/ ACB = 90° / A = 60° AC = 10, •••/ ABC = 30° BC = 10Xtan60 °= 10 亦, •/ AB // CF,本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键. 【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019 •贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好•将一对直角三角板如图放置，点的延长线上，点 B 在 ED 上，AB // CF ，/ F = Z ACB = 90° / E = 45° / A = 60° AC = 10,C 在FD 则CD 的长【解析】【分过点B 作BM 丄FD 于点M ,根据题意可求出 BC 的长度，然后在△ EFD 中可求出/ EDF = 45°, 答案• 【详解】进而可得出•••/ BCM= / ABC=30 ,_ i•- BM = BC^ sin30 = 10 3 = 5宀.；；32 ，CM = BC X cos30 = 15,在厶 EFD 中，/ F = 90 ° , / E = 45°,•••/ EDF = 45°• • MD = BM = 5 3 , • - CD = CM - MD = 15 - 5 3, 故答案是：15 - 5 .「3 . 【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键【变式6-1】（2019 山东中考真题）自开展全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡 AB 200米，坡度为1: 3 ;将斜坡AB 的高度AE 降低AC 20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ,其坡度为1: 4 •求【解析】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 AE 的长，进而得到 CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到 ED 的长,最后用勾股定理即可求得 CD 的长. 【详解】二tan ABE•/ / AEB 90 , AB200 ,坡度为 1:4 ,斜坡CD 的长.（结果保留根号）【答案】斜坡CD 的长是80,17 米.••• ABE 30 ,1•- AE —AB 100 ,2••• AC 20,•- CE 80 ,CED 90，斜坡CD的坡度为1:4 ,CEDE80ED解得，ED 320 ,• CD 802320280 17 米，答：斜坡CD的长是80., 17 米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.【变式6-2】(2019 海南中考真题)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A 的北偏西60方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空：BAC ________ 度，C ________ 度；(2)求观测站B到AC的距离BP (结果保留根号).【答案】(1) 30, 45; (2) ( 5.,3 —5)海里【解析】【分析】（1）由题意得：BAC 90 60 30 , ABC 90 15 105 ,由三角形内角和定理即可得出的度数；(2)证出BCP是等腰直角三角形, 得出BP=PC，求出PA,3BP，由题意得出BP . 3BP 10, 解得BP535即可.【详解】解：由题意得BAC 906030 , ABC9015 105 ,（1）C180BAC ABC45 ；故答案为30, 45;（2）Q BP AC，BPA BPC 90，Q C 45，BCP是等腰直角三角形,BP PC ,Q BAC 30 ,PA、3BP ,Q PA PC AC,BP、3BP 10,解得：BP 5、、3 5 ,答：观测站B到AC的距离BP为（5 ■■一3 5）海里.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键.【达标训练】1 . （2019河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（【答案】C【解析】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断.【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心.故选c.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形的外心.2. （2019江苏中考真题）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n,则满足条件的n的值有（）A . 4个B. 5个 C . 6个 D . 7个【答案】D【解析】【分析】分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案.【详解】■/ n+2<n+8 ,.•.分n+8最大与3n最大两种情况，n 2 3n >n 8当n+8取大时， n 8 3n <n 2,n 8 3n解得：2<n W4,又••• n 为正整数，••• n=3, 4;n2 n 8>3n当3n 取大时，3n n 8V n 23n n 8解得：4W *10又••• n 为正整数， ••• n=4, 5, 6, 7, 8, 9,综上：n 的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能，故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键 3. （ 2019浙江中考真题）如图，已知在四边形 ABCD 中,【答案】B 【解析】【分析】过D 作DE 丄AB 交BA 的延长线于E ,根据角平分线的性质得到 DE=CD=4 ,根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】如图，过D 作DE 丄AB 交BA 的延长线于E ,BCD 90，BD 平分 ABC ，AB 6，D . 42A . 24B . 30 ABCD 的面积是（）•/ BD 平分/ ABC ，/ BCD=90 , ••• DE=CD=4 ,•四边形ABCD 的面积 SVABDSBCD-AB DE 2-BC CD -64 2 21 -9 4 302故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.4. （ 2019湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ )【解析】【分析】作线段BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点. 【详解】作线段BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点. 由此可知：选项 A 符合条件，故选A . 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图.5. （ 2019 广东中考真题）如图，矩形 ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线 EF 分别交BC , AD 于点E , F , 若BE=3 , AF=5，则AC 的长为（）1//—PA . 4.5 B. 4.3 C. 10 D. 8【答案】A【解析】【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC , AE=CE，证明△AOF COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可.【详解】解：如图，连结AE ,设AC交EF于O,依题意，有AO = OC,Z AOF = Z COE,/ OAF = Z OCE ,所以，A OAFOCE (ASA ),所以，EC= AF = 5,因为EF为线段AC的中垂线，所以，EA = EC = 5,又BE = 3，由勾股定理，得：AB = 4,所以，AC = . AB2BC2= ,16 (3+5)2= 4.5【点睛】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键6. ( 2019湖南中考真题)已知M、N是线段AB上的两点，AM = MN = 2, NB = 1 ,以点A为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC，则A ABC 一定是() A •锐角三角形B.直角三角形 C •钝角三角形 D •等腰三角形【答案】B【解析】【分析】依据作图即可得到AC = AN = 4, BC = BM = 3, AB = 2+2+1 = 5,进而得到AC2+BC2= AB2,即可得出A ABC是直角三角形.【详解】如图所示，AC = AN = 4, BC = BM = 3, AB = 2+2+1 = 5,••• AC2+BC2= AB 2,•••△ ABC是直角三角形，且/ ACB = 90°【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a, b, c满足a2+b2= c2,那么这个三角形就是直角三角形.7. （2019黑龙江中考真题）如图，在△ABC中，BE是/ ABC的平分线，CE是外角/ ACM的平分线，BE 与CE相交于点E，若/ A=60°,则/ BEC是（）A. 15 °B. 30 °C. 45 °D. 60 °【答案】B【解析】【分析】1 1根据角平分线的定义得到/ EBM= —/ ABC、/ ECM= —/ ACM，根据三角形的外角性质计算即可.2 2【详解】解：••• BE 是/ ABC 的平分线， 1 •••/ EBM= — / ABC ,2 •/ CE 是外角/ ACM 的平分线， 1 •••/ ECM= _ / ACM ,21 1则/ BEC= / ECM- / EBM= — x ( / ACM- / ABC ) =— / A=30° ,22故选：B . 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.【分析】相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【详解】解：Q C 90 , AB 5, BC 4,AC ・AB 2 BC 23，Q PQ / AB ,8. （ 2019海南中考真题）如图，在 Rt ABC 中,C 90 , AB 5 , BC 4 .点P 是边AC 上一动点,过点P 作PQ //AB 交BC 于点Q , D 为线段PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（13 【答案】B 【解析】1325C.——1332 13根据勾股定理求出 AC ,根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBD BDQ ，得到 QB=QD ，根据A .QBD BDQ , QB QD , QP 2QB , Q PQ// AB ,CPQ : CAB ,【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.BC , CD ，贝U A 的度数是【答案】B 【解析】【分析】【详解】解：连接AC 并延长交EF 于点M .ABD BDQ ，又 ABD QBD ,CP CQ PQ ，即 CP CA CB AB 34 QB 2QB 45解得，CPAP CA2413，15CP 13，9. （ 2019辽宁中考真题）如图，在 △ CEF 中,E 80 ,50 , AB P CF , AD PCE ，连接B . 50 ° 55 ° D . 80 °连接AC 并延长交EF 于点由平行线的性质得4，再由等量代换得BAD 3 4 1 FCE ,先求出FCE 即可求出A . 45 °Q AB PCF ,Q AD PCE【解析】【分析】根据等边三角形和正方形的性质对①进行判断，根据相似三角形对②进行判断，根据三角形的性质对③进行判断，由三角形面积公式对④进行判断BAD 3 4 1 2FCE ,FCE 180E F180 80 BADFCE 50 ,B .5050 ,【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型. 10. （2019四川中考真题）如图，四边形 ABCD 是边长为1的正方形, 延长交CB 的延长线于点 H ，连接BD 交PC 于点Q ,下列结论： BPC 是等边三角形，连接 DP 并① BPD 135 :② BDP s HDB :③ DQ : BQ 1: 2 :④ S BDP D .①②④故选: 【答案】D【详解】ABCD是正方形，PCB CPB60 , PCDCPD CDP75 ,则BPD BPC CPD 135CBD CDB45 ,DBP DPB135 ,又••PDBBDH , BDP s HDB , 故②正确；如图，过点Q作QE CD 于E, ，故①正确;解：••• PBC是等边三角形，四边形30 , BC PC CD ,DCB设QE DE x，则QD .2x , CQ 2QE 2x ,3x ,由CE DE CD 知x 、3x 1，解得x2xBDBD DQ则DQ : BQ 2 3^2 61: 2，故③错误;CDP 75 , CDQ 45 ,PDQ 30 ,又 CPD 75,DPQ DQP 75 ,DP DQ二S BDP1BDgPDsin BDP 1. 2 — 2 1且」，故④正确;2 2 2 2 4故选：D.【点睛】本题考查等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式11. （2019辽宁中考真题）如图，AD是A ABC的外角/ EAC的平分线，AD // BC ,Z B = 32 °则/ C的度数是（）A . 64 °B. 32 °C. 30 °D. 40 °【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出/ EAD，根据角平分线的定义得到/ EAC=2 / EAD=64，根据三角形的外角性质计算即可.【详解】解：••• AD // BC, •••/ EAD= / B=32° ,••• AD是△ABC的外角/ EAC的平分线，.•./ EAC=2 / EAD=64 ,•••/ EAC是△ABC的外角，•••/ C=Z EAC- / B=64° -32 °=32° ,故选：B.【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.12. （2019青海中考真题）如图，AD//BE//CF，直线h、J与这三条平行线分别交于点A、B、C和点DE=1.2，贝U DF的长为（D. 5.2【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.【详解】解：Q AD //BE//CF ,AB DE 1 1.2，即一BC EF 3 EFEF = 3.6 ,DF = EF DE = 3.6 1.2 = 4.8 , 故选：B .【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.13. （2019辽宁中考真题）如图，在△ABC中，/ C = 90 ° DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分/ BAC .若【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD = BD，再根据等边对等角的性质求出/ DAB =Z B,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出/ B = 30°再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可.【详解】解：••• AD 平分/ BAC，且DE 丄AB，/ C= 90°••• CD = DE = 1,•/ DE是AB的垂直平分线，••• AD = BD ,•••/ B=Z DAB ,•••/ DAB =Z CAD ,•••/ CAD =Z DAB =Z B ,•••/ C= 90°•••/ CAD+ / DAB+ / B = 90°•••/ B= 30°••• BD = 2DE = 2,••• BC = BD+CD = 1+2 = 3,故答案为：3.【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30。

2020年中考数学压轴题专题1 直角三角形的存在性问题学案(原版+解析)

专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。

这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n 上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF△x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH△x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m ≠0）与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB 经过点（0，4），与抛物线y =14x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是2-．(1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．(2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y 轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线，交BC 于点F ，若S △BOD ＝4S △EBF ，求点E 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△BPD 是以BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)写出点A 、B 、C 的坐标；(2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213222y x x =-++的图象相交于点D ，E ．①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值；①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将BOD 在直线DB 上平移，平移后的三角形记为PMN ，直线MP 交抛物线于Q ，当1PQ =时，求点P 的坐标．6．如图，二次函数2142y x bx =+-的图象与x 轴相交于点()2,0A -，B ，其顶点是C ．(1)b =______；(2)若点D 是第三象限抛物线上的一点，连接BD ，且1tan 2OBD ∠=．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(),0k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．7．在平面直角坐标系中，抛物线212C y mx x =++：和222C y nx x =++：的开口都向下1C ，2C 与y 轴相交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与1C 相交于点B ，与2C 相交于点C ，点C 在线段AB 上（点C 不与点B 重合）．(1)点A 的坐标是________；(2)如图，抛物线1C 的顶点为P ，AC 的中点为Q ．若12m =-，45PQB ∠=︒求n 的值；(3)直线1x =与1C 相交于点D ，与2C 相交于点E ，当四边形CDBE 是轴对称图形时，求n 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．8．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于两点(10)A -，和(40)B ，，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．(1)求抛物线的解析式；(2)N 是抛物线对称轴上一点，当三角形BCN 为等腰三角形时，求N 点的坐标．(3)点D 是ABC 边上一点，连接OD ，将线段OD 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到线段OE ，若点E 落在抛物线上，求出此时点E 的坐标；(4)点M 在线段AB 上（与A ，B 不重合），点N 在线段BC 上（与B ，C 不重合），是否存在以C ，M ，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过()2,0A -，()4,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在点M ，使ACM △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点(),0P t 为线段AB 上一动点（不与,A B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连接AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；(3)点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD △与CAB △相似时，求点P 的坐标．11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG 的内心为I ，连接AI 、OI ，请直接写出AIO ∠的度数和CI 长度的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)顶点D 的坐标为；(2)过点C 作CF x ∥轴交抛物线于点F ，点P 在抛物线上PCF ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点G 是一次函数y x =-图像上一点，点Q 是抛物线2=23y x x --上一点，BGQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q 的横坐标为．13．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点E 在直线BC 上，过点E 作ED x ⊥轴于点()1,0D ，将BDE △沿DE 所在直线翻折，使点B 恰好落在抛物线上的点A 处．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC ，求ACE △的面积；(3)抛物线上是否存在一点P ，使CBA PAB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2338y x bx =-++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数关系式； (2)当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；(3)如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点()()()104002A B C -，，，，，，点D 是点C 关于原点的对称点，连接BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为()0m ，，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； (3)是否存在点P ，使BDP △是不以BD 为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)，(1,0)-和()0,2 (2)①2912m =-；①存在，m 的值为4-，-2，-1或32．(1)22y x x =-++ (2)()1,2(3)存在，点Q 的坐标为1010,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或(1,1)3．(1)223y x x =--+ (2)BC 的函数表达式为3y x(3)()1,2M -(4)P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．(1)21262y x x =-++；(2)①2132PD m m =-+，①存在，最大值为272；(3)存在，()0,6P 或()4,6或321,321或 113,1135．(1)22y x x =-++ (2)()1,1或()1,1--或()3,3或()3,3--6．(1)1- (2)3k ≤-(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．(1)()0,2 (2)1n =-(3)当直线CB 是对称轴时()210n m m =---<<；当直线DE 是对称轴时111212n m m ⎛⎫=--<<- ⎪+⎝⎭；当BFE ∠的平分线所在直线为对称轴时()110n m m=-<<8．(1)213222y x x =-++(2)符合条件的N 点的坐标为23255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32552⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或302⎛⎫⎪⎝⎭，； (3)141212 00E ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()202E ，； (4)点N 的坐标为：(21)，或4855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或52 34⎛⎫⎪⎝⎭，．9．(1)233384y x x =-++(2)符合条件的点M 的坐标有：50,6⎛⎫⎪⎝⎭()0,313+ ()0,3- ()0,313-(3)22336(04)8336(20)4t t t S t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩10．(1)243y x x =-+ ()2,1D - (2)12(3)(22)，或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)223y x x =-++(2)点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM △为直角三角形(3)135AIO ∠=︒，CI 最小值为310322-12．(1)(1,4)-；(2)532(,)39P -或720(,)39-；(3)103(1,)22--或315(,)24-或103(1,)22+-．13．(1)2142y x x =-- (2)3(3)()6,8或()2,4-14．(1)抛物线解析式为233384y x x =-++；直线BC 的解析式为334y x =-+(2)点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，(3)41255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．(1)213222y x x =-++(2)2(3)()10-，或()818-，或()32，。

二次函数中特殊三角形存在性问题(解析版)(北师大版)

专题05二次函数中特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一点，且ΔΔ2PAC DAC S S =(3)M 为抛物线对称轴上一点，是否存在以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，的坐标，若不存在，请说明理由．1（3）点A与点B关于对称轴②如图，以点B 为圆心，BC BCM 为等腰三角形．在Rt BEM 中，BM BC =∴22(210)42EM =-=∴此时点M 的坐标为(2,-2③如图，作线段BC 的垂直平分线，与时MB MC =，BCM 为等腰三角形．∴综上所述：点Ｍ的坐标为【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画【变式训练1】．如图，已知直线两点，且与x轴的另一个交点为(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为坐标；点D 的横坐标为m ，248433D m m m ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭，248433DF m m ∴=--+∴点P 点B 关于y 轴对称，PC BC ∴=，此题PBC 是等腰三角形，延长BC 交直线=1x -于点90P PB '∠=︒ ，90CP P CBP '∴∠+∠=︒，CBP CPB ∠=∠ ，221BP BC = ，()221117r ∴++=，解得：113r =，2r =-()113P ∴-，，如图4，2BP BC =，且点设直线=1x -与x 轴交于点(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求(3)直线x m =（不经过点的值．【答案】(1)25y x x =-+设()2,54P t t t -+，则D ()(245PD t t ∴=-+-- BCP PDB PDC S S S =+△△△11S PD OB ∴=⨯=(1)求m 的值及这个二次函数的关系式：(2)求ABC 的面积；(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点写出符合条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1m =，221y x x =++(2)3(1)若直线y mx n =+经过B ，(2)在抛物线的对称轴=1x -上找一点(3)设点P 为抛物线的对称轴【答案】(1)3y x =+，y =-(2)2()1,M -综上，P 点的坐标为(1,1)-，(-【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键．类型二、直角三角形存在性问题例．如图，已知抛物线2y ax =(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出直线AC 的解析式和点(3)在线段AD 下方的抛物线上求一点(4)在抛物线的对称轴上是否存在点不存在，请说明理由．设215266E x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，其中所以2111226PE x x ⎛=-+- ⎝所以1S S S 2AED AEP PED =+=⨯ 因为203-<，开口向下，所以S AED 有最大值，最大值为把1x =代入21566y x x =-此时813E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（4）解：存在，如图(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．∥则：CD PN∠=∠∴CDO PNF由题意可得OB OC =，OC BC'⊥∴1452BOF BOC ∠=∠=︒，45D FC OFE ''∠=∠=︒数的性质求出最大值即可得答案；（3）设()P 3m -，，分ACP 90∠=︒时，CAP 90∠=︒时，APC 90∠=︒时，三种情况讨论，利用勾股定理求出m 的值即可得答案.【详解】（1）把()()A 7,0,B 1,0-两点坐标代入2y x bx c=-++得497010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：67b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线方程为：2y x 6x 7=--+，顶点坐标()M 316-，，（2）如图1，设矩形EMDF 的周长为l ，()2E x x 6x 7，--+，∴2EH x 6x 7=--+，∵A （-7，0），B （1，0），∴抛物线对称轴为直线x=-3，①当7x 3-<<-时，EF 3x =--，()l 2EH EF =+，=()22x 6x 73x --+--=()22x 7x 4--+=()22x 7x 4-+-2(1)求点B的坐标；(2)分别求出直线(3)在抛物线的对称轴上是否存在点出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、等腰直角三角形存在性问题（1）点P的坐标为（2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当为．2,4(1,1【答案】()【分析】（1）由题意可得点A∴112122EP CP==⨯=．当BPM△是等腰直角三角形时，且只有以点∴PM MB=，∵PME DMB DMB∠+∠=∠+∴PME MBD∠=∠，(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、设()2,43P m m m -+，过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形，∴2MN OH ==，OM NH =∵PM m =，∴2PN MN PM m =-=-，∵POF 为等腰直角三角形，则∴90MPO FPN ∠+∠=︒，∵90MPO MOP ∠+∠=︒，过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形，∴2MN OH ==，OM NH =∵PM m =，∴2PN MN PM m =-=-，同上可得(AAS MOP PNF △≌△∴OM PN =，∴2432m m m -+=-，过点P 作PM x ⊥轴于点M ∴四边形MHFN 为矩形，∴FN HM OM OH m ==-=-∵POF 为等腰直角三角形，则∴90MPO FPN ∠+∠=︒，∵90MPO MOP ∠+∠=︒，∴∴()AAS MOP PNF △≌△，∴∴2432m m m -+-=-，解得：35+过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点(1)直接写出抛物线1C (2)如图，点A 在抛物线求点A 的坐标．【答案】(1)(1:C y x =-设点A ()()2,26m m --，则 OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，AB AO ∴=，∴()HL ABD AOC ≌，BD AC ∴=，2m ∴-=(1)求该抛物线的解析式及顶点Q 的坐标．(2)连结CQ ，判断线段CQ 与线段AE 有何关系，请说明理由．(3)如图2．若点P 是直线AD 上方的抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为①连结PA 、PD ，当m 为何值时，12PAD DAB S S =△△．②在直线AD 上是否存在一点H 使PQH 为等腰直角三角形，若存在请求出∵3OB OC AO ==，∴3OB =，1OA =，∴()3,0B ，()1,0A -，设抛物线解析式为2y ax bx c =++，∴30930c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++，∵()222314y x x x =-++=--+，∴顶点()1,4Q ；（2）解：过点Q 作QG OB ⊥与点G ，过点C 作CM QG ⊥于点M ，交AD 于点N ，则1CM OG ==，4QG =，∵4MG OC ==，∴1QM QG MG =-=，∴1CM QM ==，又90CMQ ∠=︒，∴45CQM QCM ∠=∠=︒，对于1y x =+，令0x =，则1y =，∴()0,1E ，又()1,0A -，则3DF =，设()2,23P m m m -++∴223PK m m =-++当12PAD DAB S S =△△时，∵90GQP QPG ∠+∠=︒，90QPG HPM ∠+∠=︒，∴HPM GQP ∠=∠，又90HMP PGQ ∠=∠=︒，PH PQ =，∴PHM QPG ≌ ，∴PG MH =，GQ PM =，∴()2423m m t m --++=-，21231m m m t -=-++--，解得0m =或2m =（舍去）；Ⅱ、当90PQH ∠=︒时，如图，当QP QH =时，则点P 、H 关于抛物线的对称轴对称，即PH 垂直于抛物线的对称轴，∴PH x ∥轴，∴45QHP QPH ∠=∠=︒，同Ⅰ可得0m =或2m =（舍去）；Ⅲ、当90QHP ∠=︒时，点P 在AD 的下方，与题意不符．综上，m 的值为0．【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．(1)求抛物线解析式；(2)点Q 是抛物线上一动点，且满足23ABQ ABC S S = ，求Q (3)P 是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP 为斜边作等腰直角三角形，图形并求出P 点坐标．【答案】(1)223y x x =+-；(2)点Q 的坐标为()16,2-+或()16,2--或(12,-+-(3)(2,3)--或()4,5-．①点P 在第三象限时，抛物线223y x x =+-的对称轴为直线=1x -，∴2AQ =，过点P 作PG DM ⊥于G ，∴90PGM MQA ∠=∠=︒，90MPG PMG ∴∠+∠=︒，∵90AMP ∠=︒，∴90PMG AMQ ∠+∠=︒，∴MPG AMQ ∠=∠，在PGM △和MQA △中，90PGM MQA MPG AMQ MP MA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS PGM MQA ≌，∴2MG AQ ==，PG QM =，设()1,(0)M m m -<，∴QM m =-，∴PG m =-，2QG QM MG m =+=-，∴()1,2P m m --，点P 在抛物线223y x x =+-上，∴()2(1)2132m m m -+--=-，12m ∴-=-或11(m -=舍)，()2,3P ∴--．②当点P 在第二象限时，同①的方法得，()4,5P -；综上所述，点P 的坐标为()2,3--或()4,5-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，会利用数形结合的思想及方程的思想方法解决数学问题是关键．。

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。

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