应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲
应用随机过程教学大纲
（试行）
课程编号：280020 适用专业：统计学
学时数：48 学分数： 2.5
执笔人：黄建文审核人：
系别：数学教研室：统计学教研室
编印日期：二〇一五年七月
课程名称：应用随机过程
课程编码：
学分：2.5
总学时：48
课堂教学学时：32
实践学时：16
适用专业：统计学
先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）
一、课程的性质与目标：
（一）该课程的性质
《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。

它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。

（二）该课程的教学目标
（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和
知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。

（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。

着重基本思想及方法的培养和应用。

（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学进程安排
课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。

三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】
通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】
随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。

其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤⎧
⎪
=<<⎨⎪≥⎩
，
（1）求常数A ；（2
）求(1/22)P X ≤<；（3）求X 的概率密度函数()f x . 2. 已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为
,
0(,)0,
y e x y
f x y -⎧<<=⎨
⎩其它
，
（1）求概率(1)P X Y +≤；
（2）分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘密度函数()()X Y f x f y 、 ,并判断,X Y 是否独立。

3.已知一母鸡所下蛋的个数X 服从参数为λ的泊松分布，即X 的分布律为
(),0,1,2,!
k e P X k k k λ
λ-==
=，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p .证明：这只母鸡后代（小
鸡）的个数Y 服从参数为p λ的泊松分布，即
()
()(),0,1,2
!
r p p P Y r e r r λλ-===.
4.玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。

现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。

（结果保留3个有效数字）
5. 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为
22(),01
()3
0,x
x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩
其它， （1） 求概率(01/2)P X <<；（2）求1
()E X .
完成方式：独立
第二章 随机过程的基本概念和基本类型 【教学目标】
通过本章学习，使学生理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，理解并掌握随机过程的有限维分布函数族和数字特征，了解随机过程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质。

【教学内容和要求】
本章主要内容包括随机过程的基本概念和例子；随机过程的有限维分布函数族和数字特征；随机过程的分类和几种典型随机过程及其性质的介绍。

其中随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理是本章的重点和难点。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.设{(),}X t t T ∈是一、二阶矩存在的随机过程.试证明它是宽平稳的当且仅当[()]E X s 与
[()()]E X s X s t +都不依赖于s.
2.设12,Z Z 是独立同分布的随机变量，服从均值为0，λ为实数，方差为2σ的正态分布.求过程
{(),}X t t T ∈，其中12()cos sin X t Z t Z t λλ=+的均值函数和方差函数.它是宽平稳的吗？
3.试证，若01,,Z Z 为独立同分布随机变量，定义01n n X Z Z Z =+++，则{,0}n X n ≥是独立
增量过程.
4.已知随机过程{(),}X t t T ∈的均值函数()X t μ和协方差函数12(,)x t t γ，设()t ϕ是一个非随机的函数，试求随机过程{()()()}Y t X t t ϕ=+的均值函数和协方差函数.
完成方式：独立 第三章
Poisson 过程
【教学目标】
通过本章的学习，使学生了解计数过程，理解掌握Possion 过程的定义与基本性质，了解泊松过程的实际背景，熟悉它的若干推广及应用。

【教学内容和要求】
本章主要讲解Possion 过程的定义及性质，与Possion 过程相联系的若干分布， Possion 过程的若干推广和应用。

其中Possion 过程理解、应用是本章的重点；Possion 过程两个定义的等价性是本章的难点。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.设N 1(t )和N 2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的齐次泊松过程, 1) 证明 X (t )=N 1(t ) +N 2(t ), t >0, 是强度为λ1+λ2的泊松过程. 2) 证明 X (t )=N 1(t ) －N 2(t )，t >0,不是泊松过程.
2.(){,0}X t t ≥是具有参数为λ的泊松过程，S 是相邻事件发生的时间间隔。

证明：
1212{}{}P S s s S s P S s >+>=>.
3.(){,0}X t t ≥是具有参数为λ的泊松过程，n W 是第n 个事件发生的时间，证明：
4.{N ( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,ξn ,n=1,2, …相互独立且同为参数为p 的（0-1）分布，证明()
1()N t n n X t ξ==∑是参数为λp 的泊松过程过程.
完成方式：独立 第四章 更新过程 【教学目标】
通过本章的学习，使学生掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，熟悉更新定理及其应用，了解更新过程的若干推广及应用。

【教学内容和要求】
本章主要内容包括更新过程定义及若干分布，更新方程、更新定理及更新理论的应用，更新过程的若干推广。

其中更新过程理解及应用是本章的重点；更新定理及应用是本章的难点。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.判断下列命题是否正确 （1）();n N t n T t <⇔> （2）();n N t n T t ≤⇔≥ （3）().n N t n T t >⇔<
2.对于Poisson 过程,验证定理4.1.
3.
设
{1}1/3,{2}2/3,
i i P X P X ====计算{(1)P N k P N
==和{(1)},{(2)},{(3)}.P N k P N k P N k ===
完成方式：独立 第五章 Markov 链 【教学目标】
本章是本课程的重点，通过教学要使学生掌握离散时间Markov链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，极限分布和平稳分布，熟悉马尔可夫链的应用，了解连续时间的Markov 链的定义及应用。

【教学内容和要求】
本章主要内容包括离散时间Markov链的定义、例子及应用，转移概率及其计算，C-K方程，Markov链状态的分类及性质，常返性的判断，Markov链的极限情况和平稳Markov链的有关性质，连续时间Markov链及性质。

其中Markov链的定义，转移概率及其渐近性质是本章的重点；常返性的判别及性质，()n ij p的渐近性质与平稳分布是本章的难点。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.假设一个修鞋匠有四把椅子, 其中一把椅子为修鞋时顾客使用, 另外三把椅子共顾客等待使用. 当三把椅子全都被使用时, 新到的顾客将会去其他地方寻找服务. 假设该修鞋匠服务每一位顾客恰好都是10分钟.
完成方式：独立
2.考虑一个三状态的Markov链{X n}, 其转移概率矩阵为:
其中p, q, r>0, p+q+r=1. 这一Markov链从状态1出发, 一旦进入状态0或2就被吸收了. 求:
(1) 过程从状态1出发被状态0吸收的概率;
(2) 需要多长时间过程会进入吸收状态.
完成方式：独立
3.某市场上只有A, B, C三种啤酒. A种啤酒改变广告方式后经市场调查发现: 买啤酒的顾客每两个月平均转移率如下:
设A, B, C三种啤酒的目前市场份额为25%, 40%, 35%, 求半年后A种啤酒的市场份额.
完成方式：独立
第六章 鞅 【教学目标】
通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】
基本概念，鞅的停时定理，停时定理、Doob 极大不等式、停时定理的应用—关于期权值的界，一致可积性，鞅收敛定理，连续鞅。

理解鞅的基本概念（包括上鞅和下鞅）；掌握停时的概念、Doob 极大不等式、鞅的停时定理及其应用——期权值的界；了解一致可积性；理解鞅收敛定理；掌握连续鞅的定义积相关性质。

【课外阅读资料】
《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】
1.考虑一个掷骰子的试验.设甲乙两人同时掷骰子，以X 记甲掷出的点数，Y 表示甲乙二人掷出的点数之和，给出不同Y 值下的所有E(X|Y)(y)值.
完成方式：独立 2.设12,,
X X 是独立同分布随机变量，令()()i tX m t E e =，固定t 并假定()m t <∞，令
010,n n S S X X ==+
+，0.n ∀>证明{(),}n tS n n M m t e -=是关于12,,
X X 的鞅.
完成方式：独立
3.令01,,X X 表示分支过程各代的个体数，01,X =任意一个个体生育后代的分布有均值μ.证
明{}n n n M X μ-=是一个关于01,,
X X 的鞅.
完成方式：独立
四、学习过程记录和考核要求
1.本课程考试采用开卷方式，总成绩包括卷面成绩和平时成绩。

其中，卷面成绩占50%，平时成绩占50%。

平时成绩由任课老师根据每个学生的课后作业、考勤情况综合评定。

2.本门课程共有5次课后作业，需及时批改并记录成绩。

3.本门课程每周上1.5次课（3学时），记录委员负责记录迟到、早退、缺课、请假出勤情况并及时向全班同学通报。

五、该课程的考核标准 （一）考核方式：考查、笔试 （二）考核基本内容：
（三）试卷题型：试题分填空、单项选择、判断和解答（解答题含计算、应用与证明）四种题型，小题总数控制在20-22个，总分100分。

（四）成绩评定：平时成绩占50%，期末考试成绩占50%。

六、主要参考书
1．林元烈、《应用随机过程》、清华大学出版社、2002
2．王梓坤、《随机过程通论（上，下卷）》、北京师范大学出版社、1996
遵义师范学院
××专业（方向）《XXXX》课程实验教学大纲
课程名称：（宋体小四号1.5倍行距不加粗）
课程编码：（宋体小四号1.5倍行距不加粗）
学分：（宋体小四号1.5倍行距不加粗）
学时：（宋体小四号1.5倍行距不加粗）
适用专业（专业类）：（宋体小四号 1.5倍行距）
一、课程教学目标
内容（宋体小四号 1.5倍行距不加粗）
写明本课程在课程体系中的地位、作用。

表述学生知识、技能和能力要求达到的具体目标。

二、实验项目与学时分配
三、课程的基本内容
内容（宋体小四号 1.5倍行距不加粗）
应明确每个实验项目要求学生应掌握的理论知识，应训练的基本操作及要求学会使用的仪器设备等内容。

实验一：（名称）XXXX
1．实验要求与目的：
2．实验内容：
实验二：（名称）XXXX
1．实验要求与目的：
2．实验内容：
……
四、考核标准
（一）考核方式：（内容宋体小四号 1.5倍行距不加粗）。

明确写出期末考核方式（考试、考查，考试考查均需说明是否为笔试、笔试+技能、技能或实践作业等）
（二）考核基本内容：
（内容宋体小四号 1.5倍行距）明确写出考核的基本知识、基本能力点、操作等。

五、课程参考书、指导书
内容（宋体小四号 1.5倍行距不加粗）
注明：作者、书名、出版社、出版年
1．……
2．……
……。