直线与方程讲义

直线与方程

【考点审视】

关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与

到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，

也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。

考查通常分为三个层次：

层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；

层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；

层次三：考查直线与其它知识的综合。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【疑难点拔】

直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，

【知识网络】

一、回顾与复习：

思考1倾斜角（O°WaV 180°），斜率（a =90°时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与X、y轴的交点（a, 0）, （0, b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”,可正可负）。

知识点梳理:

1•倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 2.斜率：k tan

y 2 y i x 2 %

斜率k 与倾斜角

之间的关系:

a 0 k tan0 0 0 a 90 k ta na 0 a 90

tana （不存在）k 不存在

90 a 180 k ta na 0

又回到原来的位置，那么直线

I 的斜率是 1

1

B 3

C .-

3 3

I 直线x=3的倾斜角是（

直线的方程：

（1） 点斜式：已知直线过点（x °,y 0）斜率为k ，则直线方程为y y k （x x °）,它不包括垂 直于x 轴的直线。

（2） 斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b ,它不包括垂 直于

x 轴的直线。

（x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。） y 。，当斜率k 不存在时，则其方程

为x x ° ；（ 4）与直线I: Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By G 0 ；（ 5）与直 线I :

Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C 1 0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

00 1800

如果直线I 沿x 轴负方向平移3个单位再沿

y 轴正方向平移1个单位后,

变式训练

A.0

B.

C.

D. 不存在

2、直线x

（A ） 30 3 = 0的倾斜角是（

（B ）45 ° （ C ） 60°

） （D ）

（3）两点式：已知直线经过R （x 1,y 1）、F 2（X 2,y 2）两点，则直线方程为 y y 1

y 2 y 1

x x 1 x 2 x 1

它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为 —

a

它不包括垂

直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0 （A,B 不同时为0）的形式。 注

意：设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为

知直线横截距x °，常设其方程为x my x °（它不适用于斜率为

0的直线）； y （3

kx b ；

（ 2）

例下列说法的正确的是（）

A 经过定点P0 x0, y0的直线都可以用方程yy 0 k x x0表示

B 经过定点AO, b的直线都可以用方程y kx b表示

C不经过原点的直线都可以用方程-1表示

a b

D经过任意两个不同的点R x i，y i、P2 X2，y2的直线都可以用方程

y y1 X21 x x 治y21 y 表示

变式训练1若动点P到点F(1,1)和直线3x y 4 0的距离相等，则点P的轨迹方程为( )

A 3x y 6 0

B x 3y 2 0

C x 3y 2 0

D 3x y 2 0

2一直线过点M( 3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 ____________

3若方程x2 my2 2x 2y 0表示两条直线，则m的取值是 __________________________________ 4.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是( )

J 1 1

A. 2,-

B. 2,

C. , 3

D. — 2, - 3

3 3 2

5.直线过点(—3, — 2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为( )

(A) 2x—3y = 0; ( B) x+ y + 5= 0;

(C) 2x—3y = 0 或x+ y+ 5 = 0 ( D) x+ y + 5 或x —y+ 5= 0

思考2:两直线平行与垂直

3.两直线平行与垂直的判定：

①两直线平行的判定：

(1)

// 2k 1=k2且b1 b2或两条直线的斜率都不存在。

1

(2)

1 //

2 AB2 A2B1 0 且B1C2 B2C1 0

②两直线垂直的判定：

(1)1丄2 k 1 • k2=— 1或一条直线斜率为 0,另一条直线斜率不存在。

(2) 1 // 2 A A2 B1B2 0