中南大学 研究生考试 数学分析 近2年真题

四、（共 20 分，每题 10 分） （1）求积分 0 ln
1
1 dx; 1 x
（2）求曲面 az x 2 y 2 (a 0) ，和 z x 2 y 2 所围成的体积；
1
学而时习之 五、（共 12 分，每题 6 分） 设I
n 1
n p cos 1 n
n 2 , (q 0) q
（1）求偏导 f 和 f ； （2）讨论函数 f 和 f 在原点（0,0）的连续性； （3）讨论 f ( x, y ) 在原点（0，0）的可微性；
1 x 1 y
1 x
1 y
四、 （共 30 分，每题 15 分） （1）求 f ( x) ln(2 x 2 ) 在 x 0 处的幂级数展开式及其收敛半径； （2） 计算三重积分 I ( x 2 y 2 )dxdydz, 其中 V 是曲面 x 2 y 2 z 与平
x （-1,1)
2013 年中南大学研究生考试--数学分析
一、 （共 27 分，每题 9 分）求下列极限
（1） nlim n n n
1
3 x 2 x (cos t ) 2 dt x （2） lim 0 n 0
（3）设 f ( x) 在 0,1 上可积，且 0 f ( x)dx 1, 求 nlim
（1）求 I 的条件收敛域； （2）求 I 的绝对收敛域；
六、 （10 分） 证明：积分 F (a) 0 e ( x a ) dx 是参数 a 的连续函数；
2

七、 （8 分）
（ - ， ） 设定义于 上的函数 f ( x) 存在三阶的导函数 f 3 ( x) ，且
f (1) 0, f (1) 1, f ' (0) 0, 证明： sup f 3 ( x) 3
V
面 Z=4 所围的区域；
五、 （12 分）计算下列曲面积分
I x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy ，其中，S: x 2 y 2 z 2 a 2 ，积分是沿曲面
s
S 的外侧；
3
学而时习之 六、 （共 15 分，每题 5 分）设 I 0 （1）求 I 关于 P 的收敛性； （2）在上述收敛域中 I 是否一致收敛； （3）讨论 I 的条件收敛性和绝对收敛性；
学而时习之
2014 年中南大学研究生考试--数学分析
一、 （共 18 分，每题 6 分）求下列极限 （1） lim
xn xn , ( x 0); n x n x n
x
x 1 ; （2） nlim x 1
（3） Alim
1 A sin x dx; A 0
4

sin x q dx(q 0) xp
七、 （共 8 分，每题 4 分） 设 an 0 ， an 发散，记 sn a1 an ,
n 1
a 证明： （1） n 发散； n 1 sn

（2）
an 2 收敛； n 1 sn

八、（8 分） 设定义于 , 的实值函数 f ( x) 在 x 0 右连续，且对任何实数 x, y 都满足 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 证明： f ( x) ax （ a 为常数）
二、 （共 16 分，每题 8 分） 设函数 f ( x) sin , x (0,1)
x

（1）证明 f ( x) 连续； （2） f ( x) 是否连续？（说明理由）
三、 （共 16 分，每题 8 分） （1）设 u e ax by ，求 n 阶全微分 d nu ；
2z 2z u u （2）设 x e cos , y e sin ，变换一下方程 2 2 0 。 x y
1
1 n 2k 1 f( ) n k 1 2n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
学而时习之 二、（共 24 分，每题 12 分）设函数 f ( x) 在 a, 上连续， （1）证明：若 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在 a, 上一致连续； n （2）上述逆命题是否存在？
1 2 2 , x2 y2 0 ( x y ) sin 2 2 三、 （共 27 分，每题 9 分）设 f ( x, y ) x y 2 0, x y 2 0