第4讲 2-3几何组成分析 习题课
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行→不变体系。
Structural Mechanics
练习6：
§ 2.4 几何组成分析举例
A
B
C
D
E
F
J
G HI
二次超静定静定
如何将此二次超静定静定体系,变成静定结构?
Structural Mechanics
练习7：
§ 2.4 几何组成分析举例
O
瞬变
O II
I
练习8：
§ 2.4 几何组成分析举例
D J
D E (1,2)
II
III
(2,3)
E(1,3)
本题还可以将三 铰三角形ADJ、
H
I H
CEJ分别视为刚片
II、III
F
G
F
G
习题2-3b
2-3b：只须分析体系内部是否几何不变。去掉三对二元体 只须分析下半部分的几何性质。在三铰三角形FDH上加二对 二元体视为刚片I，三刚片和三铰如图所示，三铰共线，不满 足刚片规则，该体系是瞬变体系。
A
B
C
D H
E
F
A(1,2) B II
C(2,3) III
E
F(1,3)
G
D
G
H
I
习题2-7a
2-7a：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片， 以及取刚片间链杆形成的虚铰和实铰如图所示，三铰共线， 故该体系不满足三刚片规则，是瞬变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
E
B
C
(1,2) II
E
(1,3) D
III
习题2-6a
2-6a：支承链杆多于三根， 把大地看成一个刚片。取 刚片，以及用刚片间链杆 形成的虚铰如图所示，其 (1,2) 中I、II由无穷远虚铰相链， 但形成该虚铰的链杆不与 另外两虚铰的连线平行， 故该体系满足三刚片规则， 是无多余约束的几何不变 体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
B
C
J (1,3)
K
M
(1,2) II F
E
(2,3) III
A
N
G D
H
D
L
习题2-9b
I
2-9b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。AB、LM是
悬臂梁，可以将其与大地看成一个新刚片。三固定支座、二元
体BCD、MKL本质上是加在这个新刚片上的二元体。取刚片，
第四讲的目录
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis
§ 2.4 几何组成分析举例
习题课
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
一、虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
1
I
II
O12
2
III
一个无穷远处铰： 形成 无穷远处虚铰的链杆与另 外两个铰的连线不平行→几 何不变体系。
C
E
G
D(1,2)
A
B
II
IF
H
C
E
G
习题2-4d
2-4d：支承链杆多于三根，把大地和固定铰支座看成刚片I。 去掉一对二元体只须分析左部分的几何性质。几何不变的三 铰三角形BCD，与三铰三角形DEG采用一个铰D和不通过此铰 的链杆CE联结形成一个大的新刚片II，；两刚片通过三根既 不交于一点也不相互平行的链杆联结，满足两刚片规则。该 体系有无多余约束的几何不变体系。
1 2
I
O12
平行
II 等长
一铰无穷远
几何常变体系
III
O13
O23
一个无穷远处铰： 形成无穷
远处虚铰的链杆与另外两个铰的
连线平行且等长→常变体系。
§ 2.4 几何组成分析举例
一铰无穷远
Structural Mechanics
O2 (2,3)
E
E III
A
D
D
A
O1(1,3)
B
C
B
II (1,2)
B
C
E
A D
F G
A D
(2,3) (1,3)
C
E
III
(1,2) G
F
II
Structural Mechanics
H
IH
习题2-8b
2-8b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。由于ABCD 是无多余约束的铰结体系，且只有三处与外界相联，故可以视 为铰结三角形ACD。取刚片，以及刚片间链杆形成的虚铰如图 所示，故该体系满足三刚片规则，是几何不变体系。
BB
EE
GG
C
II
B
F O(2,3)
G
E
III
AA
DD
测验 几何组成分析
HH 题7-1(12)图
A(1,2)
I
瞬变
D(1,3)
作业：2-3ab、4cd；2-5ab 、 6ab、7ab 、8ab、9b
几何组成分析习题评讲：
B
D
G
Structural Mechanics
A B
C
F
E B
D
G
D
G
I
II
I
II
I
Structural Mechanics
不变
(1,2)
II
I
(2,3)
(1,3)
III
练习9：
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
II
I
不变
I
III
（2，3）
II
（1，2）
（1，3）
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
CC
FF
III
Structural Mechanics
A
A
G
G
I
习题2-8a
2-8a：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片，以 及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，其中I、III由无穷远虚铰相 链，但形成该虚铰的链杆不与另外两虚铰的连线平行，故该体 系满足三刚片规则，是无多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
H 析体系内部是否几何不变。三 铰三角形ABC上增加两对二元 体后视为刚片I，三铰三角形 HFG上增加一对二元体后视为 刚片II。两刚片采用一个铰D 和不通过此铰的链杆3联结，
满足两刚片规则。该体系有无
多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
Structural Mechanics
A
B
F
H
规则，该体系是无多余约束的
习题2-3a
几何不变体系。
方法二： 支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须
分析体系内部是否几何不变。去掉五对二元体，得到几何不
变的三铰三角形ABC。满足二元体规则，该体系是无多余约
束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
B
B
A
A C
C
Structural Mechanics
II
A
C
FFra Baidu bibliotek
E
A
C
F
E
方法一
方法二
题2-5(a)图
2-5a：支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须分 析分析桁架本身是否几何不变。取刚片如图所示，两刚片通
过B铰和链杆CF联结，满足两刚片规则。该体系有二个多余 约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
Structural Mechanics
(c) 三铰无穷远情况
(1,(21),2)
(1,(21),2)
I I II II III III (1,(31),3)
(2,(32),3)
III III I I II II
(1,(31),3)
(2,(32),3)
瞬变 三铰无穷远→瞬变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
C
I
瞬变(ACDE为各边中点)
一个无穷远处铰： 形成无穷远处虚铰的链杆与另
外两个铰的连线平行且等长→常变体系。
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
(b) 两铰无穷远情况
I III
O13
O12
四 杆 不 全 平 行
O23
几何不变体系
Structural Mechanics
F B
E
C
习题2-5b
D
II
F A
I
B
A
E
C
2-5b：支承约束多于三个。把悬臂刚架和大地看成刚片I， DFE为刚片II。两刚片通过D铰和链杆BF联结，满足两刚片规 则。该体系有三个多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
A (1,3)
D
I
II
C
B
(2,3)
总结虚铰无穷远
(1)一无穷远处：虚外铰两的个链铰杆的与连另线
不变体系
平行不等长 瞬变体系
常变体系 不变体系
(2)两无穷远处：虚铰的四根链杆 两两平行不等长 瞬变体系
(3)三铰无穷远→瞬变体系
常变体系
练习1：
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
加减二元体
Structural Mechanics
练习2：
§ 2.4 几何组成分析举例
C
E
A
DF
B
G
H
C
E
瞬变
A I D F II
B
G
III
(2,3)
H (1,3)
Structural Mechanics
练习3：
§ 2.4 几何组成分析举例
(1,2)
(1,3) 不变
II (2,3) III
I
§ 2.4 几何组成分析举例
练习4：
F
E
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
AA B B
DD
FF
HH
AA
(1,2()1,2)
B B II II D D I I F F
H HA
Structural Mechanics
HA
CC
EE
GG
习习题题2-24-c4c
(1,2)
B II
D1 F
I 2
3
C
E
G
方法二
33
CC
EE
GG
方方法法一一
2-4c：支承链杆只有三根。可 以去除三根支承链杆，只须分
感谢下 载
B
C (2,3)
III
Structural Mechanics
G
A
G
A
I
I
习题2-7b
2-7b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片， 以及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，故该体系满足三刚片 规则，是几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D E B
F C
E (1,2)
B
II
D
(2,3)
F (1,3) C
Structural Mechanics
第四讲的教学内容、要求、重难点
教学内容：
铰无穷远的探讨，几何组成分析举例，复习组成规 则、几何组成与静定性的关系
教学要求：
1、 了解铰无穷远与几何性质的关系； 2、深刻理解组成规则；
3、熟练掌握几何组成分析的方法、技巧。
重点：几何组成分析 难点：刚片的选取
Structural Mechanics
A
(2,3)
I
(1,3)
B
III
习题2-6b
2-6b：支承链杆多于三根， D 把大地看成一个刚片。取
刚片如图所示，刚片间链 II (1,2) 杆形成的虚铰如图所示，
其中I、II由无穷远虚铰相
C
链，另外两个虚铰重合， 故该体系不满足三刚片规 则，是瞬变体系。
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
以及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，故该体系满足三刚片规
则，是几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
2-3a：方法一：支承链杆只有
A
BA
B 三根。可以去除三根支承链杆
只须分析体系内部是否几何不
C
C
变。取ABC刚片如图所示，刚
片上加五对二元体不会改变其
几何不变的性质。满足二元体
A
B
I F(1,2)
C
(1,3) E
不变
II
III
A
B
C
(2,3)
§ 2.4 几何组成分析举例
练习5： A
B
A(2,3)
D
B
II
III D
Structural Mechanics
C
E
A
B
D
F
不变
I
C
E
O1
1
瞬变
2C
E
3
4
O1
I
O2
G
两铰无穷远→瞬变体系。
形成无穷远处虚铰的链 H 杆与另外两个铰的连线不平
几何不变体系
O13
O23
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
1 II
2
III
O13
O23
O12
平 行 但 不 等 长
几何瞬变体系
一铰无穷远
一个无穷远处 铰： 形成无穷远处 虚铰的链杆与另外 两个铰的连线平行 →瞬变体系。
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
I
II
III
O12
四杆 平行 不等 长
两铰无穷远
O13
O23
几何瞬变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
I III
O12
II
四
杆
平
行
等
长
两铰无穷远
O13
O23
几何常变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
练习6：
§ 2.4 几何组成分析举例
A
B
C
D
E
F
J
G HI
二次超静定静定
如何将此二次超静定静定体系,变成静定结构?
Structural Mechanics
练习7：
§ 2.4 几何组成分析举例
O
瞬变
O II
I
练习8：
§ 2.4 几何组成分析举例
D J
D E (1,2)
II
III
(2,3)
E(1,3)
本题还可以将三 铰三角形ADJ、
H
I H
CEJ分别视为刚片
II、III
F
G
F
G
习题2-3b
2-3b：只须分析体系内部是否几何不变。去掉三对二元体 只须分析下半部分的几何性质。在三铰三角形FDH上加二对 二元体视为刚片I，三刚片和三铰如图所示，三铰共线，不满 足刚片规则，该体系是瞬变体系。
A
B
C
D H
E
F
A(1,2) B II
C(2,3) III
E
F(1,3)
G
D
G
H
I
习题2-7a
2-7a：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片， 以及取刚片间链杆形成的虚铰和实铰如图所示，三铰共线， 故该体系不满足三刚片规则，是瞬变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
E
B
C
(1,2) II
E
(1,3) D
III
习题2-6a
2-6a：支承链杆多于三根， 把大地看成一个刚片。取 刚片，以及用刚片间链杆 形成的虚铰如图所示，其 (1,2) 中I、II由无穷远虚铰相链， 但形成该虚铰的链杆不与 另外两虚铰的连线平行， 故该体系满足三刚片规则， 是无多余约束的几何不变 体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
B
C
J (1,3)
K
M
(1,2) II F
E
(2,3) III
A
N
G D
H
D
L
习题2-9b
I
2-9b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。AB、LM是
悬臂梁，可以将其与大地看成一个新刚片。三固定支座、二元
体BCD、MKL本质上是加在这个新刚片上的二元体。取刚片，
第四讲的目录
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis
§ 2.4 几何组成分析举例
习题课
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
一、虚铰在无穷远处的讨论
(a) 一铰无穷远情况
1
I
II
O12
2
III
一个无穷远处铰： 形成 无穷远处虚铰的链杆与另 外两个铰的连线不平行→几 何不变体系。
C
E
G
D(1,2)
A
B
II
IF
H
C
E
G
习题2-4d
2-4d：支承链杆多于三根，把大地和固定铰支座看成刚片I。 去掉一对二元体只须分析左部分的几何性质。几何不变的三 铰三角形BCD，与三铰三角形DEG采用一个铰D和不通过此铰 的链杆CE联结形成一个大的新刚片II，；两刚片通过三根既 不交于一点也不相互平行的链杆联结，满足两刚片规则。该 体系有无多余约束的几何不变体系。
1 2
I
O12
平行
II 等长
一铰无穷远
几何常变体系
III
O13
O23
一个无穷远处铰： 形成无穷
远处虚铰的链杆与另外两个铰的
连线平行且等长→常变体系。
§ 2.4 几何组成分析举例
一铰无穷远
Structural Mechanics
O2 (2,3)
E
E III
A
D
D
A
O1(1,3)
B
C
B
II (1,2)
B
C
E
A D
F G
A D
(2,3) (1,3)
C
E
III
(1,2) G
F
II
Structural Mechanics
H
IH
习题2-8b
2-8b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。由于ABCD 是无多余约束的铰结体系，且只有三处与外界相联，故可以视 为铰结三角形ACD。取刚片，以及刚片间链杆形成的虚铰如图 所示，故该体系满足三刚片规则，是几何不变体系。
BB
EE
GG
C
II
B
F O(2,3)
G
E
III
AA
DD
测验 几何组成分析
HH 题7-1(12)图
A(1,2)
I
瞬变
D(1,3)
作业：2-3ab、4cd；2-5ab 、 6ab、7ab 、8ab、9b
几何组成分析习题评讲：
B
D
G
Structural Mechanics
A B
C
F
E B
D
G
D
G
I
II
I
II
I
Structural Mechanics
不变
(1,2)
II
I
(2,3)
(1,3)
III
练习9：
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
II
I
不变
I
III
（2，3）
II
（1，2）
（1，3）
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
CC
FF
III
Structural Mechanics
A
A
G
G
I
习题2-8a
2-8a：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片，以 及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，其中I、III由无穷远虚铰相 链，但形成该虚铰的链杆不与另外两虚铰的连线平行，故该体 系满足三刚片规则，是无多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
H 析体系内部是否几何不变。三 铰三角形ABC上增加两对二元 体后视为刚片I，三铰三角形 HFG上增加一对二元体后视为 刚片II。两刚片采用一个铰D 和不通过此铰的链杆3联结，
满足两刚片规则。该体系有无
多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
Structural Mechanics
A
B
F
H
规则，该体系是无多余约束的
习题2-3a
几何不变体系。
方法二： 支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须
分析体系内部是否几何不变。去掉五对二元体，得到几何不
变的三铰三角形ABC。满足二元体规则，该体系是无多余约
束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
B
B
A
A C
C
Structural Mechanics
II
A
C
FFra Baidu bibliotek
E
A
C
F
E
方法一
方法二
题2-5(a)图
2-5a：支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须分 析分析桁架本身是否几何不变。取刚片如图所示，两刚片通
过B铰和链杆CF联结，满足两刚片规则。该体系有二个多余 约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D
Structural Mechanics
(c) 三铰无穷远情况
(1,(21),2)
(1,(21),2)
I I II II III III (1,(31),3)
(2,(32),3)
III III I I II II
(1,(31),3)
(2,(32),3)
瞬变 三铰无穷远→瞬变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
C
I
瞬变(ACDE为各边中点)
一个无穷远处铰： 形成无穷远处虚铰的链杆与另
外两个铰的连线平行且等长→常变体系。
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
(b) 两铰无穷远情况
I III
O13
O12
四 杆 不 全 平 行
O23
几何不变体系
Structural Mechanics
F B
E
C
习题2-5b
D
II
F A
I
B
A
E
C
2-5b：支承约束多于三个。把悬臂刚架和大地看成刚片I， DFE为刚片II。两刚片通过D铰和链杆BF联结，满足两刚片规 则。该体系有三个多余约束的几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
A (1,3)
D
I
II
C
B
(2,3)
总结虚铰无穷远
(1)一无穷远处：虚外铰两的个链铰杆的与连另线
不变体系
平行不等长 瞬变体系
常变体系 不变体系
(2)两无穷远处：虚铰的四根链杆 两两平行不等长 瞬变体系
(3)三铰无穷远→瞬变体系
常变体系
练习1：
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
加减二元体
Structural Mechanics
练习2：
§ 2.4 几何组成分析举例
C
E
A
DF
B
G
H
C
E
瞬变
A I D F II
B
G
III
(2,3)
H (1,3)
Structural Mechanics
练习3：
§ 2.4 几何组成分析举例
(1,2)
(1,3) 不变
II (2,3) III
I
§ 2.4 几何组成分析举例
练习4：
F
E
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
AA B B
DD
FF
HH
AA
(1,2()1,2)
B B II II D D I I F F
H HA
Structural Mechanics
HA
CC
EE
GG
习习题题2-24-c4c
(1,2)
B II
D1 F
I 2
3
C
E
G
方法二
33
CC
EE
GG
方方法法一一
2-4c：支承链杆只有三根。可 以去除三根支承链杆，只须分
感谢下 载
B
C (2,3)
III
Structural Mechanics
G
A
G
A
I
I
习题2-7b
2-7b：支承链杆多于三根，把大地看成一个刚片。取刚片， 以及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，故该体系满足三刚片 规则，是几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
D E B
F C
E (1,2)
B
II
D
(2,3)
F (1,3) C
Structural Mechanics
第四讲的教学内容、要求、重难点
教学内容：
铰无穷远的探讨，几何组成分析举例，复习组成规 则、几何组成与静定性的关系
教学要求：
1、 了解铰无穷远与几何性质的关系； 2、深刻理解组成规则；
3、熟练掌握几何组成分析的方法、技巧。
重点：几何组成分析 难点：刚片的选取
Structural Mechanics
A
(2,3)
I
(1,3)
B
III
习题2-6b
2-6b：支承链杆多于三根， D 把大地看成一个刚片。取
刚片如图所示，刚片间链 II (1,2) 杆形成的虚铰如图所示，
其中I、II由无穷远虚铰相
C
链，另外两个虚铰重合， 故该体系不满足三刚片规 则，是瞬变体系。
Structural Mechanics
几何组成分析习题评讲：
以及刚片间链杆形成的虚铰如图所示，故该体系满足三刚片规
则，是几何不变体系。
几何组成分析习题评讲：
Structural Mechanics
2-3a：方法一：支承链杆只有
A
BA
B 三根。可以去除三根支承链杆
只须分析体系内部是否几何不
C
C
变。取ABC刚片如图所示，刚
片上加五对二元体不会改变其
几何不变的性质。满足二元体
A
B
I F(1,2)
C
(1,3) E
不变
II
III
A
B
C
(2,3)
§ 2.4 几何组成分析举例
练习5： A
B
A(2,3)
D
B
II
III D
Structural Mechanics
C
E
A
B
D
F
不变
I
C
E
O1
1
瞬变
2C
E
3
4
O1
I
O2
G
两铰无穷远→瞬变体系。
形成无穷远处虚铰的链 H 杆与另外两个铰的连线不平
几何不变体系
O13
O23
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
1 II
2
III
O13
O23
O12
平 行 但 不 等 长
几何瞬变体系
一铰无穷远
一个无穷远处 铰： 形成无穷远处 虚铰的链杆与另外 两个铰的连线平行 →瞬变体系。
§ 2.4 几何组成分析举例
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
I
II
III
O12
四杆 平行 不等 长
两铰无穷远
O13
O23
几何瞬变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例
I III
O12
II
四
杆
平
行
等
长
两铰无穷远
O13
O23
几何常变体系
Structural Mechanics
§ 2.4 几何组成分析举例