盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(理)

盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试

高二年级数学（理科）试题 2014.1

命题人：蔡广军 盛维清 审核人：徐瑢

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．

一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．“若1x >，则2

230x x -+>”的逆命题是 ▲ . 2．i 是虚数单位,复数(1)(1)i i -⋅+= ▲ .

3．抛物线2

x ay =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ .

4．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = ▲ ． 5. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ▲ ．6. 已知平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为

2(2,0,1)n =-，若平面α与β所成二面角为θ，则

cos θ= ▲ .

7．曲线ln y x =上在点(1,0)P 处的切线方程为 ▲ .

8．试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2

2R ”，猜测关于球的相应命题是“半径为R 的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值 为 ▲ ”.

9. 长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值 为 ▲ .

10. 复数z 满足341(z i i -+=是虚数单位)，则z 的最大值为 ▲ .

11. 已知函数24362)(2

3

-++=x ax x x f 在2x =处有极值，则该函数的极小值为 ▲ .

12. 已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2

2，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭

圆于,A B 两点，且斜率存在分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ .

13. 如图，双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两顶点为1A 、2A ，虚轴

两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ，若以12A A 为直径的圆内切于 菱形1122F B F B ，切点分别为A 、B 、C 、D ，则双曲线的离心 率e ＝ ▲ .

14. 已知1a >，若322

()23(1)64f x x a x a x a =-++≥-在[0,2]x a ∈上恒成立，则实数

a 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题12分）

已知抛物线2

2y px =(0p >)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .

(1) 求抛物线方程；

(2) 过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．

16．（本小题12分）

如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点．

求：（1）

1D E 与平面1BC D 所成角的正弦值；

（2）二面角1D BC C --的余弦值． 17．（本小题13分）

已知数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-（*n N ∈）．

（1）计算数列{}n a 的前4项； （2）猜想n a 并用数学归纳法证明之．

18．（本小题13分）

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与

年产量t （吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．

（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2

0.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格

s 是多少？

19．（本小题15分）

如图,椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,

离心率1

2

e =

.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点A 在x 轴上方，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；

（2）当1AF 、12F F 、2AF 成等比数列时，求直线AB 的方程；

（3）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点

M 的坐标；若不存在,说明理由.

20．（本小题15分）

已知函数()(01)x

f x a a a =>≠且．

（1）当e a =时，),0()(2

R x m mx x g ∈>=，

①求)()()(x g x f x H =的单调增区间；

②当[2,4]x ∈-时，讨论曲线)(x f y =与)(x g y =的交点个数．

（2）若B A ,是曲线)(x f y =上不同的两点，点C 是弦AB 的中点，过点C 作x 轴的垂线交曲线)(x f y =于点D ，D k 是曲线)(x f y =在点D 处的切线的斜率，试比较D k 与AB k 的大小．

盐城中学2013－2014高二年级期末考试

数学(理科)答题纸2014、1

一、填空题(14×5＝70分)

1、若2

230x x -+>，则

1x >

2、2

3、(0,1)-

4、110

5、5

6

7、10x y --=

8