盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(理)
盐城市2013-2014学年高二下学期期末数学理科复习试题
盐城市2013-2014学年高二下学期期末数学理科复习试题此篇高二下学期期末数学理科复习试题由市教研室命制，本站小编收集整理。
注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.4.第19、20题，请四星高中学生选做(A),三星高中与普通高中学生选做(B)，否则不给分.参考公式：样本数据，，，的方差( 为样本平均数)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. ，的否定是▲ .2.已知复数满足(其中i为虚数单位)，则= ▲ .3.某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为▲ .4.已知向量，，若，则▲ .5.有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为▲ .6.甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.89.910.210.1乙9.7101010.3其中产量比较稳定的水稻品种是▲ .7.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率为▲ .8.执行右边的程序框图,若，则输出的▲ .9.观察下列不等式：，由此猜想第个不等式为▲ .10.若，则的值为▲ .11.某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为▲ .(用数字作答)12.若函数的定义域为，则实数的取值范围是▲ .13.已知的三个顶点都在抛物线上，且斜边∥轴，则斜边上的高等于▲ .14.已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.则与的面积之比为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在棱长为的正方体中, 分别为的中点.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的余弦值.第15题图16.(本小题满分14分)由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为.已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元.(1)求生产3件产品恰有2件正品的概率;(2)设2件产品的利润和(单位：万元)为，求的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)已知，.(1) 若，求中含项的系数;(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：.18.(本小题满分16分)为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域( 米，米)内修建一座过街天桥，天桥的高与均为米，，的造价均为每米1万元，的造价为每米2万元，设与所成的角为，天桥的总造价(由五段构成，与忽略不计)为万元.(1)试用表示的长;(2)求关于的函数关系式;(3)求的最小值及相应的角.第18题图19.(本小题满分16分)(A)(四星高中学生做)第19题图yxOF1F2··已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明：直线与直线的斜率之积是定值;(3)点P的纵坐标为，过作动直线与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点，满足，试证明点恒在一定直线上.(B)(三星高中及普通高中学生做)已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明：直线与直线的斜率之积是定值;(3)证明：直线与椭圆E只有一个公共点.20.(本小题满分16分)(A)(四星高中学生做)设函数，.(1)记，若，求的单调递增区间;(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围;(3)若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.(B)(三星高中及普通高中学生做)设函数，.(1)记，若，求的单调递增区间;(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围;(3)若，对任意的，不等式恒成立.求的值.数学(理)答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1. 2. 3.600 4.0或2 5. 6.甲7. 8.5 9. 10. (或128) 11.48 12.13. 14.8二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15.解：(1)建立坐标系. , , , ，所以，故直线与所成角的余弦值为.…………………………………………………… 7分(2)平面的一个法向量为设平面的一个法向量为,因为, 所以,令,则由图知二面角为锐二面角, 其余弦值为. ………………………………… 14分16.解：(1)设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布(3，)，所以P(X=2)= = ;………………………………………………………… 6分(2) 的取值有12、4、-4.则P(X=12)= ，P(X=4)= ，P(X=-4)= ，E( )=12 +4 -4 =10(万元). (14)分17(1) 解：g(x)中含x2项的系数为C+2C+3C=1+10+45=56…………… 7分(2) 证明：由题意，pn=2n-1.①当n=1时，p1(a1+1)=a1+1，成立;…………………………………………… 9分②假设当n=k时，成立，当n=k+1时，又因为所以所以时，综合①②可知，…………………………… 14分18.解：(1)由题意可知，故有，所以在中……………………………………………………………………………………6分(2) .………………………………………………………………… 11分(3)设(其中，则.令得，即，得.列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有.答：排管的最小费用为万元，相应的角.…………………………… 16分19.解：(1)由题，，又因为从而得，所以椭圆E：……………………………………………………………………… 4分(2)设，，因为，所以，所以又因为且代入化简得……10分(A)(四星高中学生做)(3)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点，点，则，.∵，∴设，则，∴，整理得，，∴从而，∴，所以点恒在直线上.………………………………………………… 16分(B)(三星高中及普通高中学生做)解：(1)(2)同(A)(3)由(2)知，直线的方程为，即，由得，化简得: ，解得，所以直线与椭圆只有一个交点.……………………………………… 16分20.解：(1)当时，，此时，由得，又，则.所以的单调递增区间为.…………………… 4分(2)不等式即为，则，由知，因而，设，由，且当时，，从而，.由不等式有解，知……………………… 10分(A)(四星高中学生做)(3)不等式等价于，整理为,设，则由题意可知只需在上存在一点，使得. ，因为所以令得.………………………………………… 12分①若，即时，令，解得.②若，即时，在处取得最小值，令，即，所以考察式子，因为，所以左端大于1，而右端小于1，所以不成立③当，即时，在上单调递减，只需，得，又因为，所以，.综上所述，或.………………………………………………………………… 16分(B)(三星高中及普通高中学生做)解：(1)(2)同(A)(3)当，.由恒成立知，恒成立，设.由题意知，故当时函数单调递增，则恒成立，因此，恒成立，记，由，知函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以，又，所以.…………… 16分感谢耿吉祥老师提供此篇高二下学期期末数学理科复习试题。
江苏省盐城中学09-10学年度高二下学期期末考试(数学理)
江苏省盐城中学2009—2010学年度高二下学期期末考试数学试题（理科）试卷说明： 本场考试120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横．．．．．．．线上．．） 1．集合},02|{2Z x x x x A ∈≤-+=，则集合A 中所有元素之积为 ． 2．设复数z 满足z （2-3i ）=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______ __． 3．曲线C ：()sin 1x f x e x =++在0x =处的切线方程为 ．4．矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值是__________．5．椭圆的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），则它的离心率为 ．6．在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 ．7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________． 8．()1021x-的展开式中第4r 项和第2r +项的二次项系数相等，则r =______．9．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ξ=8．9，则y 的值为 ．10．甲、乙等5名游客组团跟随旅游公司出去旅游，这5人被公司随机分配到某城市的A 、B 、C 、D 四个风景区观光，每个风景区至少有一名游客，则甲、乙两人不同在一个风景区观光的方案有__________种．（用数字作答）11．一种报警器的可靠性为90％，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 ．12．若0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式6(展开式中2x 项的系数为 ___．13．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ． 14．已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为 ． 二、解答题（本大题计80分）15．（本题满分12分） 在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积．16．（本题满分12分）直线2x a y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，a 为常数且0>a ）被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，方程为θρcos 2a =的曲线所截，求截得的弦长．17．（本小题满分14分）在二项式12()(0,0,0,0)mn ax bx a b m n +>>≠≠中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项． （1）求它是第几项； （2）求ba的范围．18．（本题满分14分） 已知1S 为直线0x =，24y t =-及24y x =-所围成的面积，2S 为直线2x =，24y t =-及24y x =-所围成图形的面积（t 为常数）． （1）若t =2S ；（2）若(0,2)t ∈，求12S S +的最大值．19．（本题满分14分） 口袋中有)(*N ∈n n 个白球和3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求： （1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．20．（本题满分14分） 设函数432()2f x x ax x b a b =+++∈R ，，．（Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在x =0处有极值，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任何[2,2]()1[10]a f x x ∈-∈-≤，不等式在，上恒成立，求b 的取值范围．参考答案一、填空题（5×14＝70分）1．0 2．23．22+=x y 4．2或35．4/5 6．(1,)2π7．53=p 8．29．0．4 10．21611．99% 12．192-13．3/7 14． ()(),11,-∞-+∞二、解答题（计80分）15．（本题满分12分）在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积．解。
江苏省盐城中学高二数学下学期期末考试 理 苏教版【会员独享】
江苏省盐城中学2010—2011学年度第二学期期末考试高二年级数学（理科）试题填空题（共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上．．．．．．．．．） 1.若全集U R =，集合{01}A x x x =≤≥或，则U C A = ． 2.命题“,tan()tan .x R x x ∀∈-=”的否定是 ．3.甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8,0.7.若两人同时独立射击一次，他们都击中靶的概率为 .4.若“23x -<<”是“2x a -<<”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .5.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N的极坐标分别为5(4,))63ππ，则OMN∆的面积为 .6.若常数0t >，则函数2212)(x tx t x f --=的定义域为 .7.若递增的一次函数()f x 满足[()]43f f x x =+,则()f x = .8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ= . 9.函数23()1x f x x +=+图象的对称中心的坐标为 . 10.已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(21)()3f x f -<的x 取值范围为 . 11.设函数,11,(),1 1.x x x f x x x ⎧≤-≥⎪=⎨-<<⎪⎩或，则()f x 的值域为 .12.已知奇函数()y f x =的图象关于直线2-=x 对称，当]2,0[∈x 时，x x f 2)(=，则)9(-f = .13.函数12-=x y 的图象和函数k x y +=的图象恰有三个交点，则k 的值是 .14.设N m ∈，若函数10102)(+---=m x m x x f 存在整数零点，则m 的所以可能取值为 .二、解答题（共80分，第15，16，17题各12分，第18题14分，第19，20题各15分）15．（Ⅰ）把点M (的直角坐标化为极坐标；（Ⅱ）求圆心在极轴上,且过极点和点)6D π的圆的极坐标方程.16.已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-.求矩阵M .17.已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）将1C ，2C 的方程化为普通方程； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:270C x y--=距离的最小值.18. 某民营企业生产,A B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲乙（Ⅰ）分别将,A B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?19.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准如下：每车每次租若不超过两小时，则免费；超过两小时的部分为每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）. 甲、乙独立来该租车点租车骑游，各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ.20. 已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ,mx x g =)(,设集合M ={m x R ∀∈，)(x f 与)(x g 的值中至少有一个为正数}.（Ⅰ）试判断实数0是否在集合M 中,并给出理由； （Ⅱ）求集合M .江苏省盐城中学高二年级期末考试 数学答案（理科）（2011.07）一、填空题(14×5＝70分)二、解答题（共80分） 15.（本小题共12分）解：（Ⅰ）7)6π或()6π-.（Ⅱ）∵)6D π∴圆的直径为4，故，所求圆的极坐标方程为4cos ρθ=.16.（本小题共12分）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1188118a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故88a b c d +=⎧⎨+=⎩ 1224a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2224a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩ 联立以上方程组解得6,2,4,4a b c d ====，故6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.17.（本小题共12分）解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=. （Ⅱ）当2t π=时，(4,4),(8cos ,3sin )P Q θθ-，故3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3C 为直线270x y --=，M 到3C 的距离|4cos 3sin 13|5d θθ=--，从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d .18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g 从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25max ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元.19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元.设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=.（Ⅱ）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=分布列ξ0 2 4 6 8P18 516 516 316 116故，5591784822E ξ=+++=.20.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）0m =时，()81,()0f x x g x =-+=，()f x 的值不恒为0.∴ 0M ∉.（Ⅱ）①当0m >时，()g x mx =在(0,)x ∈+∞时恒为正， ∴2()22(4)10f x mx m x =--+>对0x ≤恒成立.∴24(4)80,40,2m m m ⎧∆=--≥⎪⎨-≥⎪⎩ 或0∆<，解得 08m <<.②当0m <时，()g x mx =在(,0)x ∈-∞时恒为正，∴2()22(4)10f x mx m x =--+>对0x ≥恒成立.∵()f x 的图象开口向下且过点(0,1)， ∴m φ∈.综上，m 的取值范围是(0,8).。
江苏省盐城中学2013-2014学年高一下学期期末考试 数学 Word版含答案
江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试高一年级数学试题命题人：胥容华 朱丽丽 审题人：张万森一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.0600cos 的值是 ．2.化简=--+CD AC BD AB .3.函数()21log 3y x x=++的定义域是 ． 4.函数tan()23y x ππ=-的最小正周期是 . 5.若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于第 象限. 6.函数()1cos (),f x x x R =-∈取最大值时x 的值是 . 7.若函数-=3)(x x f 2)21(-x 的零点),)(1,(0Z n n n x ∈+∈则=n _________.8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 . 9.为了得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移个___长度单位. 10.若1,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为 ．11.已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ． 12.设,0>ϖ若函数x x f ϖsin 2)(=在]4,3[ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________. 13.如图，在△ABC 中，2,=⊥AB AD14.在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x C的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且4sin 5θ=. （1）求B 点坐标； （2）求sin()2sin()22cos()ππθθπθ++--的值.16.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=． （1）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k ；（2）若向量d 满足//d c ，且34d =，求向量d ．17．已知函数2()2sin 1f x x x θ=+⋅-（θ为常数），1[]2x ∈． （1）若()f x在1[]2x ∈上是单调增函数，求θ的取值范围；（2）当θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．18. 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且O P P B λ=，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.19.已知函数()sin()f x A x h ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内，当12x π=时，y 取得最大值6，当712x π=时，y 取得最小值0. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间与对称中心坐标； （3）当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()1y mf x =-的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．20. 定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.已知函数xx a x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41211)(，11log )(21--=x ax x g .（1）若函数)(x g 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成的集合； （3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.二、解答题18d=）(42,，则(14,),(8,OP y PB ==--OP PB λ=，得(14,(8,3)y λ=---，解得λ点(14,7)P -。
【解析版】盐城市2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题
2012-2013学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．考点：命题的否定．专题：综合题．分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．2．（5分）已知复数z满足z=i（2﹣i）（其中i为虚数单位），则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：先由复数的乘法运算对z进行化简，再代入公式求出复数的模．解答：解：由题意得z=i（2﹣i）=2i﹣i2=1+2i，则|z|==，故答案为：．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数模的公式，属于基础题．3．（5分）某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为600．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出样本中的男生数目，然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数．解答：解：在样本中，由于女生抽了80人，所以男生为120，所以男生在样本中的比例为，所以该校的男生数为人．故答案为：600．点评：本题的考点是分层抽样的应用．4．（5分）已知向量，，若，则λ=0或2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量垂直的性质可得=2λ+0﹣λ2=0，与哦刺球的λ的值．解答：解：已知向量，，若，则=2λ+0﹣λ2=0，解得λ=0，或λ=2，故答案为0或2．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（5分）有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法有种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•种，由此求得恰有1件次品的概率．解答：解：所有的选法有=15种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•=8种，故从中任选2件，恰有1件次品的概率为，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.8 9.9 10.2 10.1乙9.7 10 10 10.3其中产量比较稳定的水稻品种是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先做出两个品种的平均产量，结果平均数相同，再分别求出两个品种的产量的方差，得到甲的方差小于乙的方差，得到结论．解答：解：甲的平均数是=10乙的平均数是=10，两个品种的平均数相同，甲的方差是乙的方差是=0.045∴甲的方差小于乙的方差，即甲的产量比较稳定．故答案为：甲点评：本题考查方差和平均数，对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差，以观察两组数据的性质特点．7．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于a，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴∴b=a，∴e=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c 的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．8．（5分）（2013•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．9．（5分）（2008•江苏二模）观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N*）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．10．（5分）若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为128．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在所给的等式中，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8；再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），从而求得a0+a2+a4+a6+a8 的值．解答：解：∵，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8．再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），∴a0+a2+a4+a6+a8 =27=128，故答案为128．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．11．（5分）某停车场内有序号为1，2，3，4，5的五个车位顺次排成一排，现在A，B，C，D四辆车需要停放，若A，B两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为48．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：第一步：先把AB两车看成一个整体进行停放，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的停放车的方法．解答：解：第一步：把AB两车看成一个整体，有2种方法，再选取序号为12、或23、或34、或45的停车位，放上、AB两车，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理，所有的停放车的方法共有8×6=48种，故答案为48．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析： f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．解答：解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于2p．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由斜边AB∥y轴及抛物线的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，高CD为AB一半，求出点A 坐标即可．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，所以斜边上的高CD是AB的一半，假设斜边是x=a，则有A（，），代入y2=2px得a=4p，所以CD==2p，故答案为：2p．点评：本题的考点是抛物线的应用，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．解答：解：由题意设点P（x0，x0+），则B（0，x0+），又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1，故方程为y﹣（x0+）=﹣（x﹣x0）和方程y=x联立可得x=y=x0+，故点A（x0+，x0+），故△ABP的面积S=|x0||x0+﹣（x0+）|=|x0|||=a，解得a=2，又因为f（x）=x+，所以f′（x）=1﹣，故切线率为k=1﹣，故切线的方程为y﹣（x0+）=（1﹣）（x﹣x0），令x=0，可得y=，故点N（0，），联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），故△OMN的面积为•|||2x0|=2a，则△OMN与△ABP的面积之比为8．故答案为：8．点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．二、解答题：本大题共8小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；（2）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，得到与的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF所成角的余弦值；（2）利用线面垂直的性质求出平面ABCD与平面AEF的一个法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．解答：解：（1）建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），∴，．∴，故直线EC与AF所成角的余弦值为．（2）平面ABCD的一个法向量为．设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，∴．由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦值的方法是解题的关键．16．（14分）由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为．已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元．（1）求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），由此可求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），所以P（X=2）==；…（6分）（2）ξ的取值有12、4、﹣4，则P（X=12）=，P（X=4）=，P（X=﹣4）=，ξ的分布列为ξ12 4 ﹣4PE（ξ）=12×+4×﹣4×=10（万元）．…（14分）点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．17．（14分）已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．考点：数学归纳法；二项式定理的应用．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．解答：（1）解：g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=+2+3，∴g（x）中含x2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n=2n﹣1．（5分）①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；②假设当n=k时，p k（a1a2…a k+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a k）成立，当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k﹣1（a1a2…a k+1）（1+a k+1）=2k﹣1（a1a2…a k a k+1+a1a2…a k+a k+1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1﹣1）≥a k+1﹣1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）点评：本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．18．（16分）为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC 的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．（1）试用α表示GH的长；（2）求W关于α的函数关系式；（3）求W的最小值及相应的角α．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）（2）==．…（11分）（3）设（其中，则．令f'（α）=0得1﹣2sinα=0，即，得．列表αf'（α）+ 0 ﹣f（α）单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．答：排管的最小费用为万元，相应的角．…（16分）点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．设，则，可得（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），即可证明6x+9y为定值．解答：解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．解答：解：：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，，，∴．∴直线PQ的方程为，即，联立得，∵，．∴化简得：，又△=0，解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．21．（16分）设函数f（x）=alnx，．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x 的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）原不等式等价于，整理得，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=，然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e ﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）不等式等价于，整理得，设，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．…（12分）①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得考察式子，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得，又因为，所以．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．22．设函数f（x）=alnx，g（x）=x2．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x 的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，因此设，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f （x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．。
江苏省盐城市悦达中学高二数学理下学期期末试题含解析
江苏省盐城市悦达中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（）A B C D参考答案：B2. 设a,b为实数，若复数，则A. B.C. D.参考答案：A【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1,－1)处标2，点(0,－1)处标3，点(－1,－1)处标4，点(－1,0)点标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则格点坐标(22,23)的标签为（）A. 2109B. 2107C. 2207D. 2209参考答案：C【分析】根据条件，寻找计算的规律，归纳处其中奇数平方坐标的位置出现的规律，再按图象的规律，即可求解。
【详解】由题意，观察图象的点可得处标，即；点处标，即；点处标，即，由此推断，点处标，当时，点处标，所以点位于点向左移动两格，所以点处标，故选C。
【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键在于从特殊的数据入手，找出规律总结所要的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。
4. 在等差数列中，已知，则等（）A .40 B.42 C.43 D.45参考答案：B5. 下列命题是真命题的是（）（1）若，则（2）若，则（3）函数有且仅有一个零点（4）数列的前项和，则数列为等差数列A．（1）（2）B．（2）（3） C. （2）（4）D．（3）（4）参考答案：B（1）错，特别，（2）对，三角函数线判断，（3）对，，在处取得最小值（4）错，前项和含有常数项是等差数列，故选B．6. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∩B=( )A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{﹣2，0，1，2}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可．解答：解：由集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣2，1，2}，得A∩B={1，2}故选C．点评：此题考查了两集合交集的求法，是一道基础题．7. 方程所表示的曲线的图形是（）参考答案：D8. 三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是A. B.C. D.参考答案：B略9. 双曲线y =( k > 0 )的离心率用e = f ( k )来表示，则f ( k )（）（A）在( 0，+ ∞ )上是增函数（B）在( 0，+ ∞ )上是减函数（C）在( 0，1 )上是增函数，在( 1，+ ∞ )上是减函数（D）是常数参考答案：D10. 圆的周长是（）A． B． C．． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面区域如图，,,,在平面区域内取得最大值时的最优解有无数多个，则参考答案：12. 下列说法：①“，使>3”的否定是“，使3”；②函数的最小正周期是；③“在中，若，则”的逆命题是真命题；④“”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是（只填序号）.参考答案：①②③13. 直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN所成的角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MN OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14. 如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．参考答案：15. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=2，BC=1，PA=3，AD=4，PA⊥底面ABCD，E是PD上一点，且CE∥平面PAB，则三棱锥C﹣ABE的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过点C作CF⊥AD于F，过F作EF⊥AD交PD于E，则EF⊥平面ABCD，三棱锥C﹣ABE的体积V C﹣ABE=V E﹣ABC，由此能求出结果．【解答】解：过点C作CF⊥AD于F，过F作EF⊥AD交PD于E，则EF⊥平面ABCD，∵PA⊥底面ABCD，∴EF∥PA，∵BA⊥AD，CF⊥AD，∴AB∥FC，∵PA∩AB=A，EF∩FC=F，PA，AB?平面PAB，EF，FC?平面EFC，∴平面PAB∥平面EFC，∵CE?平面EFC，∴CE∥平面PAB，∴EF=PA=，∴三棱锥C﹣ABE的体积V C﹣ABE=V E﹣ABC==．故答案为：．16. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则|a+bi|= ．参考答案：【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数相等可得a，b，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，a+i=2﹣bi，∴a=2，1=﹣b，即a=2，b=﹣1．则|a+bi|=|2﹣i|==．故答案为：．17. 已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省盐城市2013-2014学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
四星高中使用2013/2014学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题【试卷综评】本试卷无论是试题的类型，还是试题的表达方式，都可以看出出题者的别具匠心。
试卷从检测学生的学习能力入手，细致、灵活地来考查基本的数学知识。
打破了学生的习惯思维，能测试学生思维的多角度性和灵活性。
试卷体现了以下特点。
选择现实鲜活的素材。
将一些与生活实际息息相关的素材改编成有新意的试题，引发学生发现并解决实际问题。
创设自主选择的平台。
命题时不仅选择新的背景材料，又适当改变题目结构的程式化，为学生提供更多的自主探究的机会。
感受时代跳动的脉搏。
有些题目素材来源于生活实际的真实数据，让学生体会到数学在生活中的应用。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是 ▲ ． 【知识点】命题的否定’【答案解析】2,20x R x x ∀∈-->解析 ：解：∵命题“x R ∃∈，022≤--x x ”是特称命题,∴否定命题为：2,20x R x x ∀∈-->. 故答案为：2,20x R x x ∀∈-->．【思路点拨】由于命题是一个特称命题，故其否定是全称命题，根据特称命题的否定的格式即可.2．设复数满足3iz i =-+（i 为虚数单位），则的实部为 ▲ ．13i =+,则z 的实部为1.故答案为：1．【思路点拨】由3iz i =-+，两边除以i ，按照复数除法运算法则化简计算． 3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．4．“2>x ”是“042>-x ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】充分不必要解析 ：解：由042>-x ，得x ＞2或x ＜-2．即q ：x ＞2或x＜-2．∴2>x 是042>-x 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【思路点拨】求出042>-x 成立的条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．的值为 ▲ ．【知识点】伪代码.【答案解析】21解析 ：解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环 故答案为：21【思路点拨】第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0)，且它的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．【知识点】抛物线、双曲线方程.第6题【答案解析】2213y x -=解析 ：解：抛物线28y x =的焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的右焦点F （2，0），所以224a b +=，221y b＝1，即21a =，23b =. ∴双曲线的方程为2213y x -=. 故答案为：2213y x -=． 【思路点拨】求出抛物线28y x =的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．8．已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内，则y x z +=2 的最大值为▲ ．【知识点】简单线性规划．【答案解析】6解析:解：P （x ，y ）在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，如图：所以z=2x+y 的经过A 即y xx 2ìïíïî＝＝的交点（2，2）时取得最大值：2×2+2=6．故答案为：6．【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可．9．已知322322=+，833833=+，15441544=+，….，类比这些等式，若=,a b 均为正实数），则a b += ▲ ．322=，833833=+，15441544=+()1n +则第5个等式中：a=6，b=a 2-1=35,a+b=41． 故答案为：41．【思路点拨】根据观察所给的等式，归纳出第n 个式子，即可写出结果． 10．（理科学生做）已知nxx )2(3-展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．【知识点】二项式定理.【答案解析】80-解析 ：解：因为展开式中所有项的二项式系数和为：012...232n nn n n n C C C C ++++==，解得5n =，由二项式展开式515rrrr T C-+骣琪=-琪桫整理得：()52352r rrr C x---，所以5023r r--=，故3r =，则其展开式中的常数项为：()335280C -=-.故答案为：80-.【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出n ，然后欲求展开式中的常数项，则令x 的指数5023r r--=可求得结果. （文科学生做）已知平面向量,a b 满足||2=a ，||2=b ，|2|5+=a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ ．夹角． ,a b 的夹角为；因为|2|5+=a b ，平方变形得：224425a b a b ++?，解得：54a b?，所以5cos 16a b a b q ×==×.故答案为：516. 【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可. 11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答） 【知识点】排列组合及简单计数问题.【答案解析】55 解析 ：解：从8名学生中选出4人，共有4870C =种选法， 其中甲乙同时参加的有2615C =种选法，所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种， 故答案为55．【思路点拨】所有选法共有48C 种，减去甲乙同时参加的情况26C 种即可.（文科学生做）设函数2()x x e ae f x x -+=是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ．【知识点】奇函数的定义.【答案解析】1-解析 ：解：因为函数2()x x e ae f x x -+=，所以2()()x xe aef x x -+-=-，又因为函数是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即220()x x x xe ae e ae x x --+++=-，解得1a =-， 故答案为：1-.【思路点拨】利用奇函数的定义()()0f x f x +-=解方程即可. 12．设正实数,,x y z 满足22390x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，xy的值为 ▲ ．【知识点】基本不等式.【答案解析】3解析 ：解：因为,,x y z 为正实数，且22390x xy y z -+-=,则2239z x xy y =-+，所以221193933xy xy x y z x xy y y x==≤=-++-，当且仅当3x y =时等号成立，此时xy=3. 故答案为3.【思路点拨】把原式整理代入xyz并判断出等号成立的条件即可.13．若函数()(1)x f x mx e =-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题.【答案解析】[)1,+∞解析 ：解：因为()(1)xf x mx e =-在(0,)+∞上单调递增，即()()10x f x e mx m ¢=+->在(0,)+∞上恒成立，令()1g x mx m =+-，即()10g x mx m =+->在(0,)+∞上恒成立，故(0)0g ³，则1m ³.故答案为：[)1,+∞.【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题，然后求解即可. 14．设点P 为函数ax x x f 221)(2+=与2()3ln 2g x a x b =+)0(>a 图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为 ▲ ．【知识点】导数的几何意义；利用导数求最大值.【答案解析】3243e 解析 ：解：设点P 坐标为()00,x y ，则有20002001223ln 2y x ax y a x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，因为以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，所以00()()k f x g x ''==，即20032,a x a x +=0,x a ∴=或03x a =-由)0(>a ，故0x a =，此时2052a y =；所以点P 坐标为25,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入2()3ln 2g x a x b =+整理得：2253ln 42a ab a =-，()532ln 3ln 22b a a a a a a a '∴=-+=-，令0b '=，即3ln 0a a a -=，得13a e =，可判断当13a e =时有极大值也是最大值，2211331233533ln 424e e b e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-=，故答案为：3243e .【思路点拨】设点P 坐标为()00,x y 满足两个函数解析式成立，再借助于斜率相同可解得a ，代入函数()g x ，最后利用导数求最大值即可.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望.【知识点】n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率；分布列；期望. 【答案解析】（1）38（2）32解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是O 型血的概率为12， …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313()28P C ==. …………6分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3， …………8分∴03311(0)()28P C ξ===， 13313(1)()28P C ξ===， 23313(2)()28P C ξ===， 33311(3)()28P C ξ===， …………12分∴3()2E ξ=. …………14分【思路点拨】（1）代入n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式即可；（2）根据n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式依次求出ξ为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.（文科学生做）设函数22()28(0)f x x ax a a =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A .（1）当1a =时，求集合A ；（2）若(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围. 【知识点】一元二次不等式的解法；集合间的关系.【答案解析】（1）{}|24x x-＃（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析 ：解：（1）当1=a 时，82)(2--=x x x f ，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x ， ……5分{}42|≤≤-=∴x x A 集合. …………6 分（2） 08222≤--a ax x ，∴0)2)(4(≤+-a x a x ，又0>a ，a x a 42≤≤-∴，∴[]2,4A a a =-. …………9分又()1,1A -⊆，⎩⎨⎧≤-≥-∴aa 4121，解得21≥a ，∴实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. …14分【思路点拨】（1）当1=a 时直接解不等式0822≤--x x 即可；（2）利用已知条件(1,1)A -⊆列不等式组即可解出范围.16．（本小题满分14分）（理科学生做）设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+.（1）求234,,a a a ；（2）先猜想出{}n a 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想. 【知识点】数学归纳法；归纳推理．【答案解析】（1）2345,7,a a a ===9;（2）21n a n =+，证明见解析.解析 ：解：（1）由条件2122n n n a a na +=-+，依次得2211225a a a =-+=，2322427a a a =-+=，2433629a a a =-+=， …………6分 （2）由（1），猜想21n a n =+. …………7分 下用数学归纳法证明之：①当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立； ………8分 ②假设当n k =时，猜想成立，即有21k a k =+， …………9分 则当1n k =+时，有2122(2)2(21)122(1)1k k k k k a a ka a a k k k +=-+=-+=+⋅+=++， 即当1n k =+时猜想也成立， …………13分 综合①②知，数列{}n a 通项公式为21n a n =+. …………14分【思路点拨】（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a 2，a 3，a 4； （2）利用（1）猜想数列{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可.（文科学生做）在Rt ABC ∆中，2BAC π∠=，6AB AC ==，设(0)BD BC λλ=>u u u r u u u r.（1）当2λ=时，求AB AD ⋅uu u r uuu r的值；（2）若18AC AD ⋅=uuu r uuu r，求λ的值.【知识点】向量的数量积；向量的数量积运算.【答案解析】（1）-36（2）21=λ 解析 ：解：（1）当2=λ时，2=，所以-=-+=+=+=2)(22， …………3分∴363602)2(2-=-=-⋅=-⋅=⋅. …………7分（2）因为()()()[]AC AD AC AB BD AC AB BC AC AB AC AB λλ⋅=⋅+=⋅+=⋅+- ()λλλλλ36)1()1(2=⋅-+=-+⋅=， …………12分∴1836=λ，解得21=λ. …………14分 【思路点拨】（1）当2=λ时，2=，利用向量的数量积公式计算即可；（2）先计算出AC AD ⋅uu u r uuu r，然后解方程即可. 17．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值. 【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.ABCA 1B 1C 1E D 第17题【答案解析】（1）6π（2）33 解析 ：解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分（1）因为1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)AD =--，所以111111cos ,22BC A D BC A D BC A D⋅===-⋅， …………7分 ∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. …………8分 （2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由10CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,∴可取(1,1,1)e =--，…………10分又 1(2,2,1)A E =--，所以111cos ,||.||3A E e A E e A E e ⋅===， ……13分∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33. …………14分 【思路点拨】（1）分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则由题意可得1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)AD =--，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可. （文科学生做）设函数2()(2)1x af x a x +=≠+. （1）用反证法证明：函数()f x 不可能为偶函数；（2）求证：函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >.【知识点】反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【答案解析】（1）见解析（2）见解析解析 ：解：(1)假设函数()f x 是偶函数， …………2分则(2)(2)f f -=，即4413a a-++=-，解得2a =， …………4分 这与2a ≠矛盾，所以函数()f x 不可能是偶函数. …………6分(2)因为2()1x a f x x +=+，所以22()(1)a f x x -'=+. …………8分 ①充分性：当2a >时，22()0(1)af x x -'=<+， 所以函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； …………10分 ②必要性：当函数()f x 在(,1)-∞-单调递减时，有22()0(1)af x x -'=≤+，即2a ≥，又2a ≠，所以2a >. …………13分 综合①②知，原命题成立. …………14分【思路点拨】（1）假设函数f （x ）为偶函数，则f （-x ）=f （x ），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论． 18又若点,P H 重合，则tan θ=3πθ=，所以(0,)3πθ∈，从而93tan cos L θθ=+，(0,)3πθ∈. …………7分 （2）由（1）知93sin 3tan 3cos cos L θθθθ-=+=⋅， 所以23sin 13cos L θθ-'=⋅，当0L '=时，1sin 3θ=， …………11分令01sin 3θ=，0(0,)3πθ∈，当0(,)3πθθ∈时，0L '>；当0(0,)θθ∈时，0L '<；所以函数L 在0(0,)θ上单调递减，在0(,)3πθ上单调递增， …………15分所以当0θθ=，即1sin 3θ=时，L 有最小值，此时用料最省. …………16分 【思路点拨】（1）通过图形分别求出的值,,,?PH HA HB HC ，然后写出解析式并注明定义域即可；（2）利用导数结合单调性即可求出最值. 19．（本小题满分16分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中2b =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D BP PD λ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=（1）求椭圆E 的离心率； （2）求a 与b 的值； B第18题（3）当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此定值； 若不是，请说明理由.【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；根与系数的关系.【答案解析】（1）1 2（2）2,a b ==（3）34AB k =-为定值. 解析 ：解：（1）因为b =，所以2234b a =，得22234a c a -=，即2214a c =，所以离心率12c e a ==. ………4分（2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ=，得12512(,)77a A -， ………7分 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==. ………10分 （3）法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得13131111x x y y λλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩， ………12分又椭圆的方程为22143x y +=，所以由222233111,14343x y x y +=+=， 得22113412x y += ①， 且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++= ②， 由②得，221111212[3(1)4(1)][3(1)4(1)]5x y x y λλ-+-+-+-=，即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y x y x y λλ++-++-+=， 结合①，得211191453422x y λλλ+-+=+， ………14分同理，有222191453422x y λλλ+-+=+，所以11223434x y x y +=+，从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. ………16分法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，……12分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， ……14分同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=， 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值. ………16分 【思路点拨】（1）根据椭圆的性质求出a ，c 的关系式即可；（2）由AP PC λ=得12512(,)77a A -代入到椭圆方程中即可得结果；（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得到点坐标间的关系，再将将,A B 坐标代入椭圆方程后两式相减，再利用AB CD k k =即可.20．（本小题满分16分） 设函数32()3f x x x ax =-+()a R ∈. （1）当9-=a 时，求函数()f x 的极大值；（2）若函数()f x 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围； （3）设()|()|g x f x =，当0a >时，求函数()g x 的单调减区间． 【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间. 【答案解析】（1）极大值为5.（2）5(ln 2,2)4+;（3）①当3a ≥时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞；②当934a <≤时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(1-；③当904a <<时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(12-,(1+．解当9a =-时，由2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+=0，得3x =或x =列表如下：所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值为5. ………4分（2）由()ln f x x x =-，得323ln x x ax x x -+=-，即23ln a x x x =-+-， ………6分 令2()3ln h x x x x =-+-，则12(1)(21)()23x x h x x x x---'=-+-=， x(,1)-∞-－1 (1,3)- 3 (3,)+∞ ()f x '＋ 0 － 0 ＋ ()f x递增极大递减极小递增列表，得x1(0,)2121(,1)21(1,)+∞ ()f x '－0 ＋－()f x递减极小值5ln 24+递增极大值2递减………8分 由题意知，方程()a h x =有三个不同的根，故a 的取值范围是5(ln 2,2)4+. ………10分（3）因为()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 所以当3a ≥时，()f x 在R 上单调递增； 当03a <<时，()0f x '=的两根为1±0111<-< 所以此时()f x在(,1-∞上递增，在(1+上递减，在(1)++∞上递增； ………12分 令()0f x =，得0x =，或230x x a -+= （），当94a ≥时，方程（）无实根或有相等实根；当904a <<时，方程（）有两根32±………13分 从而①当3a ≥时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞； ………14分②当934a <≤时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(1+； ……15分③当904a <<时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(12-, 3(12+． ………16分【思路点拨】（1）当9a =-时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；（2）原式变型为23ln a x x x =-+-，令2()3ln h x x x x =-+-，然后通过列表找到a 的取值范围；（3）对a 进行分类讨论即可.。
2013-2014学年江苏省盐城中学高二(下)周练数学试卷(2)
2013-2014学年江苏省盐城中学高二（下）周练数学试卷（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共13小题，共65.0分)1.高二某班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______ ．【答案】17【解析】解：48人中抽取样本容量为4的样本，则样本组距为48÷4=12，则5+12=17，故另外一个同学的学号为17，故答案为：17根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论．本题主要考查系统抽样的定义，求出组距是解决本题的关键．2.集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是______ ．【答案】【解析】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数有2×3=6种，其两数之和为4的情况有两种：2+2，1+3，∴这两数之和等于4的概率p==．故答案为：．利用古典概型概率计算公式求解．本题考查概率的计算，解题时要认真审题，是基础题．3.在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= ______ ．【答案】3【解析】解：如图区间长度是6，区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．4.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为______ ．【答案】【解析】解：由题意得：=（115+125+132+128+125）=125，∴数据的方差S2=[（115-125）2+（125-125）2+（132-125）2+（128-125）2+（125-125）2]=．故答案为：先由平均数的公式计算出这组数据的平均值，再根据方差的公式计算．此题主要考查了方差的定义以及平均数的求法，正确记忆方差公式，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]，是解决问题的关键．5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______ ．【答案】【解析】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况共有8种结果，求比值得到结果．本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．6.若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于a的概率为______ ．【答案】【解析】解：由由题意可得正方形的体积为a3，与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为，则点P到点A的距离小于等于a的概率为：故答案为：由题意可得，点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．8.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是______ ．【答案】5【解析】解：由图知运算规则是对S=2S+1，故第一次进入循环体后S=2×1+1=3，第二次进入循环体后S=2×3+1=7，第三次进入循环体后S=2×7+1=15，第四次进入循环体后S=2×15+1=31，第五次进入循环体后S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A=5故判断框中M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次故答案为5．由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过次运算后输出的结果是63，故应填5本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题．是算法中一种常见的题型．9.若f（x）=x2-2x-4lnx，则f′（x）＞0的解集为______ ．【答案】（2，+∞）【解析】解：要使函数有意义，则x＞0，∵f（x）=x2-2x-4lnx，∴f′（x）=2x-2=，若f′（x）＞0，则=＞0，即x2-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1（舍去），故不等式f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．先求函数定义域，然后求函数的导数，解不等式即可．本题主要考查导数的基本计算和导数不等式的求解，先求出函数的定义域是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的导数公式．10.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ______ ． 【答案】【解析】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ， ∵点A 为椭圆 ：上的点，∴2a =4，b =1，c = ；∴|AF 1|+|AF 2|=2a =4，即x +y =4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形， ∴ ， 即x 2+y 2=（2c ）2=12，②由①②得， 解得x =2- ，y =2+ ，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′， 则2a ′=|AF 2|-|AF 1|=y -x =2 ，2c ′=2 ， ∴C 2的离心率是e = ′′=．故答案为：．设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，利用椭圆的定义，四边形AF 1BF 2为矩形，可求出x ，y 的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．11.已知椭圆＞ ， ＞ 的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得csin ∠PF 1F 2=asin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围是 ______ ． 【答案】＜ ＜【解析】解：∵△PF 1F 2中，由正弦定理得 ∠=∠， ∴= ∠∠．又∵csin ∠PF 1F 2=asin ∠PF 2F 1，∴ ∠∠==e （e 为椭圆的离心率），由此可得=e ，作出椭圆的左准线l ，设P 在l 上的射影为点Q ，连结PQ ，由椭圆的第二定义，得，因此|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），可得|PQ|=x+，∴|PF2|=x+，|PF1|=e|PF2|=e（x+）．由椭圆的第一定义，得|PF2|+|PF1|=2a，即（1+e）（x+）=2a，解得x=-=．∵P（x，y）为椭圆上一点，满足-a＜x＜a，∴-a＜＜a，即-1＜＜1，解之得e＜或e＞∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴该椭圆离心率的取值范围是＜＜．故答案为：＜＜根据正弦定理与题中等式，算出=e（e是椭圆的离心率）．作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得，所以|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），将|PF1|、|PF2|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF2|+|PF1|=2a解出x=．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围．本题给出椭圆上点P满足到左、右焦点的距离之比等于离心率e，求离心率的取值范围．着重考查了正弦定理、椭圆的定义与简单几何性质和不等式的解法等知识，属于中档题．12.已知三次函数＜在R上单调递增，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2-4ac≤0．∴=≥=，令t=（t＞1），∴≥=+[3（t-1）+]≥，（当且仅当t=+1时取“=”）故答案为：．由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2-4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．13.设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组＞＜，那么m2+n2的取值范围是______ ．【答案】（13，49）【解析】解：由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，则-f（n2-8n）=f（2-n2+8n），即有f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0，即为f（m2-6m+23）＜f（2-n2+8n），由于f（x）是定义在R上的增函数，则m2-6m+23＜2-n2+8n，即有（m-3）2+（n-4）2＜4，又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，由于m2+n2表示点（m，n）与原点的距离d的平方，由图象可得d∈（|OA|，|OB|），即d∈（，7）．即有m2+n2的取值范围是（13，49）．故答案为：（13，49）．由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，则-f（n2-8n）=f（2-n2+8n），则原不等式组可化为f（m2-6m+23）＜f（2-n2+8n），且m＞3，再由单调性可得（m-3）2+（n-4）2＜4，又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，由于m2+n2表示点（m，n）与原点的距离d的平方，通过图象观察即可得到取值范围．本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及应用，考查不等式组表示的平面区域，考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的思想方法，属于中档题．二、解答题(本大题共5小题，共60.0分)14.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．15.某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N*）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）=，＜且，且（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）【答案】解：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39；当x≥2时，f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（41-2x）-（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）．∴f（x）=-3x2+42x（x≤12且x∈N*）；（2）设月利润为h（x），则h（x）=q（x）g（x）=，且，且，∴h′（x）=，且，且．∴当1≤x≤6时，h′（x）≥0，当6＜x＜7时，h′（x）＜0，∴h（x）在x∈[1，6]上单调递增，在（6，7）上单调递减，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h（x）max=h（6）=30e6≈12090；∵当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，∴h（x）在x∈[7，8]上单调递增，在（8，12）上单调递减，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h（x）max=h（8）≈2987＜12090．综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元．【解析】（1）由P（x）=x（x+1）（41-2x）取x=1求出f（1），再结合f（x）=P（x）-P（x-1）求得x≥2时的f（x），则第x月的需求量f（x）的表达式可求；（2）设月利润为h（x），由h（x）=q（x）g（x）求得h（x）的解析式，分别求导后利用单调性求得函数在不同区间内的最大值，比较后得答案．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，训练了数学建模思想方法，是中档题．16.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线AP与直线x=2交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．【答案】（1）解：由题意可设椭圆C方程为：+=1（a＞b＞0），则因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2，所以，所以a=2，b=，所以椭圆C的方程为．…（6分）（2）证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=．所以x0=，y0=．…（10分）因为点F坐标为（1，0），当k=±时，点P的坐标为（1，±），点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-2k）2=1与直线PF相切．…（11分）当k≠±时，则直线PF的斜率=．所以直线PF的方程为y=（x-1）．…（13分）点E到直线PF的距离d==2|k|．…（15分）又因为|BD|=4|k|，所以d=|BD|．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，以BD为直径的圆与直线PF相切．…（16分）【解析】（1）设椭圆C方程，利用右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）设直线AP的方程，可得D的坐标，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出P 的坐标，分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数′，′，＜′，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．【答案】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2-2x+1≤2a（1-x），又因为-2≤x≤-1，所以在x∈[-2，-1]时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2-2|x+a|+1-a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a．①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a；②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．（3）因为f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，′，′，＜′①若，则x∈[2，4]时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若＜，则x∈[2，4]时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当＜时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a2，当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若＜，则x∈[2，4]时，，，，，当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．因为＜，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，，，＜＜，＜，．【解析】（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2-2x+1≤2a（1-x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1-a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，′，′，＜′，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈[2，4]时的最小值．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．18.如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的上、下两个顶点为A，B，直线l：y=-2，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，若椭圆的离心率为，且过点A（0，1）．（1）求k1•k2的值及线段MN的最小值；（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．【答案】解：（1）因为e==，b=1，又a2-b2=c2，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为+y2=1．设椭圆上点P（x0，y0），有+y02=1，所以k1•k2===-．因为M，N在直线l：y=-2上，设M（x1，-2），N（x2，-2），由方程知+y2=1知，A（0，1），B（0，-1），所以K BM•k AN==，又由上面知k AN•k BM=k1•k2=-，所以x1x2=-12，不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+≥2=4，所以当且仅当x2=-x1=2时，MN取得最小值4．（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），则以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，即x2+（y+2）2-12-（x1+x2）x=0，若圆过定点，则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解得x=0，y=-2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点（0，-2±2）．【解析】（1）由题意可知e==，b=1，又a2-b2=c2，解出a，b得到椭圆方程，设椭圆上点P（x0，y0），代入椭圆方程，再由斜率公式，即可得到k1•k2的值，设M（x1，-2），N（x2，-2），求出x1x2=-12，再由基本不等式求出MN=|x1-x2|的最小值；（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），则以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，化简整理，若圆过定点，则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解出即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，圆的方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，以及恒过定点问题，运算和化简能力，属于中档题．。
江苏省盐城市2014-2015学年高二下学期期末考试数学答案试卷
2014/2015学年度第二学期高二年级期终考试数 学 答 案一、填空题：1 2．(,0),34x x x ∀∈-∞≥都有3． 40 4．125． 14 6．()1,+∞7． 48．221312x y -=9．1()3AG AB AC AD =++u u u ru u ur u u u r u u u r10．（理科）1（文科）56π11．（理科）24 （文科）充要12．7+13． 2,13⎛⎫⎪⎝⎭14．1(2e 二、解答题：15．（理科）解：（1）随机任取2条网线共有10种不同的情况．21324336,(6)1010P x ++=+=∴===Q ，...................................................................................2'4347,(7)10P x +=∴==Q ，............................................................................................................4'1448,(8)10P x +=∴==Q ，............................................................................................................6'34184(6)101010105P x ∴≥=++==．...............................................................................................8' （2）21235,(5)105P x +====Q ，..............................................................................................10' ∴线路通过信息量的数学期望是1341()5678 6.45101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................................................................................13'答：（1）线路信息畅通的概率是45； （2）线路通过信息量的数学期望是6.4．..................14'15．（文科）解：非q 为假命题，则q 为真命题；...................................................................................3'p q且为假命题，则p 为假命题，......................................................................................................6'即12,x x Z -<∈且，得212x -<-<，解得13,x x Z -<<∈，.....................................................................................................................12'0,1,2x ∴=或． .............................................................................................................................14' 16．（理科）解：（1）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ， (2,4,0)C ，(1,2,1)M ，......................................................................................................................2' (1,2,1),(0,4,2)AM PD ==-u u u u r u u u rQ ，cos ,AM PD AM PD AM PD ⋅∴<>===u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ， ∴异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为． .........................................................................7' （2）设BPC 平面的法向量为(,,)x y z =m ，(0,4,0),(2,0,2)BC BP ==-u u u r u u u rQ ，并且,BC BP ⊥⊥u u u r u u u r m m ，40220y x z =⎧∴⎨-+=⎩，令1x =得1z =，0y =， ∴MBD 平面的一个法向量为(1,0,1)=m ．......................................................................................9' 设DPC 平面的法向量为(,,)a b c =n ，(2,0,0),(0,4,2)DC DP ==-u u u r u u u rQ ，并且,DC DP ⊥⊥u u u r u u u r n n ，20420a b c =⎧∴⎨-+=⎩，令1b =得2c =，0a =， ∴MBD 平面的一个法向量为(0,1,2)=n ． .....................................................................................11' ∴cos ,⋅<>===⋅m n m n |m |n ，.......................................................................................13' ∴二面角B PCD --的余弦值为．.........................................................................................14'16．（文科）解：（1）22()cos sin cos 12cos 21f x x x x x x x =-++=++=2sin(2)16x π++． ..........................................................................................5'因此()f x 的最小正周期为π，最小值为1-．..................................................................................7' （2）由()2f α=得2sin(2)16πα++=2，即1sin(2)62πα+=．......................................................9'而由,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得272,636παππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．故5266παπ+=，解得3πα=．....................................................................................................14'17．（理科）解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +； 当3n =时，132n -⋅=23n +； 当4n =时，132n -⋅>23n +； 当5n =时，132n -⋅>23n +；..............................................................................................................5'猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．.................................................................................................7'证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立； 假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立， 则1n k =+时，左式=32k ⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（），因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0，所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立. 综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．..........................................................................................14'17．（文科）证明：假设12x y +<和12yx+<都不成立，即12x y +≥， 12yx+≥..............................2'又Q ,x y 都是正数，∴12x y +≥，12y x +≥两式相加得到2()2()x y x y ++≥+，. ............................................................................................8' 2x y ∴+≤． 与已知2x y +>矛盾，所以假设不成立，...........................................................................................12' 即12xy+<和12yx+<中至少有一个成立．......................................................................................14'18．解（1）①当MN 在三角形区域内滑动时即x ∈//,MN AB ABC ∆是等腰三角形，060MNC ∠= 连接EC 交MN 于P 点，则PC=x ，，MN = ABC ∆的面积1()||)2S f x MN x ==2x x =+.....................................................................................4'②当MN在半圆形区域滑动即1)x ∈时MN =..........................................................................................................................6' 所以2()(1)x x x S f x x x ⎧+∈⎪==⎨⎪∈+⎩......................................................8'（2）x ∈时，2()S f x x x ==+的对称轴为x =所以2max ()f x f ==+=................................................................................11'1)x ∈+时，()(f x x =-12≤=当且仅当1)x =取等号，..................................................................................15'又12>所以三角形EMN 的面积最大值为12...............................................................................16' 19．解：记c =．（1）当点P 在椭圆的短轴端点位置时，12PF F ∆则有a =，得e =． ......................4' （2）点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，得2200221x y a b+=．把00(,)x y 代入方程00221x y x y a b +=，得2200221x y a b+=，所以点00(,)P x y 在直线00221x y x y a b+=上，...............................................................................6'联列方程组2222002211x y a b x y x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得222220020a x a x x a x -+=， 解得0x x =，即方程组只有唯一解． 所以，直线00221x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程．......................................................10'（3）由题可设11(,)S x y 、22(,)T x y 、23(,)a R y c．由（2）结论可知，切线SR 的方程为11221x y x y a b +=① 切线TR的方程为22221x y x y a b +=②.....................................................12'把23(,)a R y c分别代入方程①、②，可得11321x y y c b +=③ 和22321x y y c b +=④ 由③、④两式，消去3y ，可得1221x c y x c y -=-()()，即有12210)0)x c y x c y --=--()(()(，所以，点11(,)S x y 、22(,)T x y 、2(,0)F c 三点共线， 所以，直线ST经过定点，定点坐标为（图2）2F ．..........................................................16'20．解：（1）若2t =，则329()612f x x x x =-++， 所以，2'()396f x x x =-+，令'()0f x =，得1,2x =；令'()0f x <，得12x <<，所以，()f x 在区间（1，2）内递减，在区间（－∞，1）,（2，+∞）内递增，得()f x 的极大值为7(1)2f =．............................................................................................................4' （2）函数323(1)()312t f x x x tx +=-++． 得2'()33(1)33(1)()f x x t x t x x t =-++=--，0t >．令'()0f x =，得1,x t =；....................................................................................................................6'①当2t ≥时，可以判定()f x 在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减，此时，不存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值；②当12t <<时，可以判定()f x 在区间（0，1）、（t ，2）内递增，在区间（1，t ）内递减，欲存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值， 则必须有()(0)f t f ≤，即3223(1)3112t t t t +-++≤，解得3t ≥，不合题意，舍去． ③当01t <<时，可以判定()f x 在区间（0， t ）、（1，2）内递增，在区间（t ，1）内递减，欲存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值， 则必须有(1)(0)f f ≤，即3112t +≤，解得13t ≤，所以，103t <≤． ④当1t =时，可以判定()f x 在区间（0，2）内递增， 不存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值． 综上所述，得t的取值范围为1(0,]3．...........................................................................................10' （3）若()xf x xe m ≤-（e 为自然对数的底数）对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，即 3223(1)3(1)31[3]122x x t t m xe x x tx x e x x t ++≤-+--=-+--对任意的0x ≥恒成立，.....11'令23()32(1)x g x t e x x t +-+-=，由于m 的最大值为1－，所以23((30)1)2x t e x x t g x +-+-≥=恒成立．...............................................................................12'由(0)130g t =-≥可得103t <≤，当103t <≤时，3(1)2'()2x g x t e x =+-+， 再设3(1))2'(2()x h x g x t e x +=+=-，得'()20x h x e =-=，解得ln 2x =．()h x 在区间（0，ln 2）内递减，在区间（ln 2，+∞）内递增，()h x 的最小值为3(1)(ln 2)22ln 22t h +=+-，可以判定(ln 2)0h >，即'()0g x >，所以()g x 在区间[0，+∞）内递增，则有()g x 在区间[0，+∞）内的最小值(0)130g t =-≥，得13t ≤． 所以，t的取值范围是1(0,]3．.....................................................................................................16'。
【数学】江苏省盐城市盐城中学2013-2014学年高二上学期期中考试(文)
江苏省盐城中学2013-2014学年高二上学期期中考试试卷数学（文）（2013.11）试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是 ▲ . 2．抛物线24x y =的焦点坐标是 ▲ . 3．若()22x x f =，则()1f '-等于 ▲ .4．双曲线2214y x -=的渐近线方程为 ▲ ． 5. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 ▲ 条件．（填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个） 6. 函数28ln y x x =-的单调递减区间为 ▲ .7．设x ，y R ∈且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ▲ .8．设集合{}2230A x x x =--<，{}21xB x =>，则AB = ▲ .9. 若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是 ▲ ．10. 已知正数y x ,满足21x y +=，则21x y+的最小值为 ▲ . 11. P 为椭圆14522=+y x 上的点，21,F F 是其两个焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是 ▲ ．12. 已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =-，则函数2()()g x x f x =+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为 ▲ .13. 过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ，若12k =，则椭圆的离心率e 的值为 ▲ . 14.已知函数2()(,)f x x b x c b c R =++∈，若b 、c 满足214b c ≥+，且22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题12分）已知命题p ：任意x R ∈，21x a +≥，命题q ：函数2()21f x x ax =-+在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围．16．（本小题12分）已知顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线过点. （1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线与直线2y x =-交于A 、B 两点，求证：1OA OB k k ⋅=-.17．（本小题13分）已知函数()a x x x x f +++-=9323． （1）求()x f 的单调递减区间；（2）若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（本小题13分）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q （单位：件）与零售价P （单位：元）有如下关系：28300170Q P P =--，问该商品零售价定为多少元时毛利润L 最大，并求出最大毛利润．（毛利润=销售收入-进货支出）19．（本小题15分）已知圆224O x y +=：，若焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+= 过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A 、B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，（Ⅰ）设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 长； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题15分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈． （1）当1x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值；（2）当102a <<时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最大值； （3）当1a =-时，关于x 的方程22()mf x x =(0)m >有唯一实数解，求实数m 的值．盐城中学2013－2014高二年级期中考试 数学（文科）答题案 2013、11一、填空题(14×5＝70分)二、解答题（共90分） 15、（12分）解：（1）当p 为真命题时有12-≥a x ，所以01≤-a ，即实数a 的取值范围]1,(-∞． （2）当q 为真命题时有1-≥a ，结合（1）取交集有实数a 的取值范围]1,1[-. 16、（12分）解：设抛物线的标准方程为：px y 22=， 因为抛物线过点)6,3(， 所以326⋅=p ， 解得1=p ，所以抛物线的标准方程为：x y 22=．（2）设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，由题意知：x y 22=，2-=x y ，消去y 得: 0462=+-x x ，根据韦达定理知：4,62121==+x x x x ， 所以，1212121212(4)(4)4()1644424161.4OA OB y y x x x x x x k k x x ---++⋅===-+==-17、（13分）解：（1）963)(2'++-=x x x f ， 令0)('<x f 得：13-<>x x 或，所以函数)(x f 的单调递减区间为)1,(),,3(--∞+∞，（2）结合（1）知函数)(x f 在)1,2(--单调递减，在)2,1(-单调递增， 而a f a f +=<+=-22)2(2)2(， 所以2022)(max =+=a x f ，2-=∴a ，所以75)1()(min -=-=-=a f x f .18、（13分） 解：由题意知()20(20)L P P Q Q Q P =-=-232(8300170)(20)15011700166000P P P P P P =---=--+- 2()330011700L P P P '∴=--+．令()0L P '=，得30P =或130P =-（舍）． 此时(30)23000L =．因为在30P =附近的左侧()0L P '>，右侧()0L P '<，(30)L ∴是极大值．根据实际意义知，(30)L 是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元. 19、（15分）解：（1）由题意得，12b a =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-，又圆O ：224x y +=，故点O 到直线1l的距离d =，所以AB == （3）因为21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 由2244x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ，整理得22(4)80k x kx ++=，故0284k x k =-+，所以24PC k =+设ABC ∆的面积为S，则12S AB PC =⋅=，所以32S =≤=当且仅当2k =±. 20、（15分）解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，所以1()f x a x'=-．因为当1x =时，函数()f x 取得极值，所以(1)10f a '=-=，所以1a =．经检验，1a =符合题意．(2)11()0ax f x a x x x -'=-=>，，令()0f x '=得1x a=，因为102a <<，所以12a>，即()f x 在[1，2]上单调递增， 所以2x =时，()f x 取最大值(2)ln 22f a =-． （3）因为方程22()mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设2()2ln 2g x x m x mx =--，则2222()x mx mg x x--'=，令()0g x '=，因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），2x = 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 上单调递减， 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上单调递增，所以当2x x =时，()g x 取最小值2()g x ，则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩ 即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=（*），设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解．因为(1)0h =，所以方程（*）的解为21x =，1=，解得m =.。
江苏省盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(理) Word版含答案
江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试高二年级数学（理科）试题 2014.1命题人：蔡广军 盛维清 审核人：徐瑢试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1．“若1x >，则2230x x -+>”的逆命题是 ▲ . 2．i 是虚数单位,复数(1)(1)i i -⋅+= ▲ .3．抛物线2x ay =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ . 4．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = ▲ ． 5. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ▲．6. 已知平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-，若平面α与β所成二面角为θ，则cos θ= ▲ .7．曲线ln y x =上在点(1,0)P 处的切线方程为 ▲ .8．试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”，猜测关于球的相应命题是“半径为R 的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值 为 ▲ ”.9. 长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值 为 ▲ .10. 复数z 满足341(z i i -+=是虚数单位)，则z 的最大值为 ▲ .11. 已知函数24362)(23-++=x ax x x f 在2x =处有极值，则该函数的极小值为 ▲ .12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率存在分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ .13. 如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A 、2A ，虚轴两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ，若以12A A 为直径的圆内切于 菱形1122F B F B ，切点分别为A 、B 、C 、D ，则双曲线的离心 率e ＝ ▲ .14. 已知1a >，若322()23(1)64f x x a x ax a =-++≥-在[0,2]x a ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题12分）已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1) 求抛物线方程；(2) 过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．16．（本小题12分）如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点． 求：（1）1D E 与平面1BC D 所成角的正弦值；（2）二面角1D BC C --的余弦值．17．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-（*n N ∈）．（1）计算数列{}n a 的前4项； （2）猜想n a 并用数学归纳法证明之．18．（本小题13分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题15分）如图,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点A 在x 轴上方，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）当1AF 、12F F 、2AF 成等比数列时，求直线AB 的方程；（3）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由.20．（本小题15分）已知函数()(01)x f x a a a =>≠且．（1）当e a =时，),0()(2R x m mx x g ∈>=，①求)()()(x g x f x H =的单调增区间；②当[2,4]x ∈-时，讨论曲线)(x f y =与)(x g y =的交点个数．（2）若B A ,是曲线)(x f y =上不同的两点，点C 是弦AB 的中点，过点C 作x 轴的垂线交曲线)(x f y =于点D ，D k 是曲线)(x f y =在点D 处的切线的斜率，试比较D k 与AB k 的大小．盐城中学2013－2014高二年级期末考试数学(理科)答题纸2014、1一、填空题(14×5＝70分)1、若2230x x -+>，则1x >2、23、(0,1)-4、1105、567、10x y --= 89、0 10、6 11、3 12、12-1314、(1,7](,1)-∞-二、解答题（共90分）(0,2,0)，1(2,0,2)A ，B (2AC =-，(212)D E =-，，，(02AB =，，1(00BB =，，（1） 不难证明AC 为平面1BC D 的法向量，1113cos 9AC AB AC D E AC D E ==，D E ∴与平面D 所成的角的余弦值为）AC AB ，分别为平面1113cos 3AC AB AC AB AC AB ==，∴二面角D C -的余弦值为①当1a >时，1ta >，ln 0a >，则()(ln )(2)0t t L t a a a -'=+->，所以()L t 在(0,)+∞递增，则()(0)0L t L >=，又因为122210x x a x x +>-，所以1221122222121[()ln ]0x x x x x x a a a x x a x x +--⋅--->-，，所以0A B D k k ->；②当01a <<时，01t a <<，ln 0a <则()ln (2)0t t L t a a a -'=+-<，所以()L t 在(0,)+∞递减，则()(0)0L t L <=又因为212210x x ax x +>-，所以2121122222121[()ln ]0x x x x x x aa a x x a x x +-----<-，所以0AB D k k -< 综上：当1a >时AB D k k >；当01a <<时AB D k k <．。
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盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试
高二年级数学（理科）试题 2014.1
命题人：蔡广军 盛维清 审核人：徐瑢
试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．
一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．“若1x >，则2
230x x -+>”的逆命题是 ▲ . 2．i 是虚数单位,复数(1)(1)i i -⋅+= ▲ .
3．抛物线2
x ay =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ .
4．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = ▲ ． 5. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ▲ ．6. 已知平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为
2(2,0,1)n =-，若平面α与β所成二面角为θ，则
cos θ= ▲ .
7．曲线ln y x =上在点(1,0)P 处的切线方程为 ▲ .
8．试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2
2R ”，猜测关于球的相应命题是“半径为R 的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值 为 ▲ ”.
9. 长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值 为 ▲ .
10. 复数z 满足341(z i i -+=是虚数单位)，则z 的最大值为 ▲ .
11. 已知函数24362)(2
3
-++=x ax x x f 在2x =处有极值，则该函数的极小值为 ▲ .
12. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2
2，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭
圆于,A B 两点，且斜率存在分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ .
13. 如图，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两顶点为1A 、2A ，虚轴
两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ，若以12A A 为直径的圆内切于 菱形1122F B F B ，切点分别为A 、B 、C 、D ，则双曲线的离心 率e ＝ ▲ .
14. 已知1a >，若322
()23(1)64f x x a x a x a =-++≥-在[0,2]x a ∈上恒成立，则实数
a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题12分）
已知抛物线2
2y px =(0p >)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1) 求抛物线方程；
(2) 过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．
16．（本小题12分）
如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点．
求：（1）
1D E 与平面1BC D 所成角的正弦值；
（2）二面角1D BC C --的余弦值． 17．（本小题13分）
已知数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-（*n N ∈）．
（1）计算数列{}n a 的前4项； （2）猜想n a 并用数学归纳法证明之．
18．（本小题13分）
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与
年产量t （吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2
0.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格
s 是多少？
19．（本小题15分）
如图,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,
离心率1
2
e =
.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点A 在x 轴上方，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；
（2）当1AF 、12F F 、2AF 成等比数列时，求直线AB 的方程；
（3）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点
M 的坐标；若不存在,说明理由.
20．（本小题15分）
已知函数()(01)x
f x a a a =>≠且．
（1）当e a =时，),0()(2
R x m mx x g ∈>=，
①求)()()(x g x f x H =的单调增区间；
②当[2,4]x ∈-时，讨论曲线)(x f y =与)(x g y =的交点个数．
（2）若B A ,是曲线)(x f y =上不同的两点，点C 是弦AB 的中点，过点C 作x 轴的垂线交曲线)(x f y =于点D ，D k 是曲线)(x f y =在点D 处的切线的斜率，试比较D k 与AB k 的大小．
盐城中学2013－2014高二年级期末考试
数学(理科)答题纸2014、1
一、填空题(14×5＝70分)
1、若2
230x x -+>，则
1x >
2、2
3、(0,1)-
4、110
5、5
6
7、10x y --=
8
9、0 10、6 11、3 12、12
-
13
14、(1,7]
(,1)-∞-
二、解答题（共90分）
(0,2,0)，1(2,0,2)A ，B (2AC =-，(212)D E =-，，，(02AB =，，1(00BB =，，（1） 不难证明AC 为平面
1BC D 的法向量， 1113
cos 9
A C A
B A
C
D
E A C D E
==，
）AF
⋅=
MP MQ
所以()L t 在(0,)+∞0>，所以
12
2112
2
222121
[()ln ]0x x x x x x a a a x x a x x +--⋅--->-，
，所以0AB D k k ->； ②当01a <<时，01t a <<，ln 0a <
则()ln (2)0t t
L t a a a -'=+-<，所以()L t 在(0,)+∞递减，则()(0)0L t L <=又因为
21
2210x x a x x +>-，所以212112
2
222121
[()ln ]0x x x x x x a
a a x x a x x +-----<-，所以0AB D k k -<
综上：当1a >时AB D k k >；当01a <<时AB D k k <．。