等比数列ppt 北师大版

(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1,x,x2,x3,x4,(x0)
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1an d(是与 n无关的数或式子
等差数列 a n 的通项公式为
当d≠0时，这是 关于n的一个一
ana1(n1)d
次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140.5
（2）1.2，2.4，4.8，…
a41.22419.6, a51.22511.2 9.
一般的，如果一个数列从第2
项起，每一项与它前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等比数列的
公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
qa2a3a4.. .an1
an
a1 a2 a3
q(n2) 或
an1
an1
an
q(nN*)
an
特点：
1、 “从第二项起”与“前一项”之 为常数q 2、 隐含：任一项 an 0且 q 0
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
31, 1,1, 1 ,L
2 4 8 16
例 ： 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 , a 6 1 6 2 , 求 a 1 0
解法一：
Q2， 6，10成等差数列， a 2,a 6,a 1 0成 等 比 数 列
a62 a2 • a10
a10
a62 a2
13122
解法二
Qa2 •a10 a6 •a6 a62
a62 a2 • a10
a4 a3q a1q3
an
an1q
a1q n1
a2 q a3 q … an q
a1
a2
a n 1
a2a3 an q n 1
a1 a2
an1
ana1qn1
不完全归纳法
连乘法
等比数列通项公式为：
ana1qn1 amqnm
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
练习:求下列数列的公比和通项：
①1.2，2.4，4.8… q2 an1.2•2n
②-27，9，-3，1…
q 1 3
an27•(13)n1
③5，25，125,625… q5 an 5n
④2/3，1/2，3/8…
q 3 4
an
2•(3)n1 34
观察如下的两个数之间，插入 一个什么数后者三个数就会成为一 个等比数列：
a
b
3或 6
a
b
75 4 45 4
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
判断或证明数列 a n 是否为等比
数列,一般是先求出通项公式,再判
断或证明,判断证明的方法主要有
以下四种:
1、 an1q an
nN*,q0,a10
2 、 a n 2 a n 1 • a n 1n 2 ,a n 0
例:培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且 从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少 粒（保留两个有效数字）？
解：由于每代的种子数是它的
前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成
等比数列，记为 a n
其 a 1 中 1,2 q 1 0,2 n 5 0
3、 anc•qn caq1,q0
21
a
a 12 d 6
或
a d
27 4 9 2
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
方 法 三 设 前 一 个 数 为 a,则 第 四 个 为 21-a 第 二 个 数 为 b,则 第 三 个 为 18-b
ba2118ab2(1b82 b)
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
(6) 1,x,x2,x3,x4,(x0)公比 d= x
考考你
由常数 a ,a , ,a所组成的数列
一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
因此，常数列一定是等差数列,但但不一定 是等比数列.
（1）1，±3， 9 （2）-1，±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3 （4）1，±1 ，1
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做 a与b的等比中项。
如果G是a与b的等比中项，那么
G a
b G
，即 G2 ab因此，G ab
a ,b 同 号 时 才 有 等 比 中 项 ， 且 有 两 个 。
Sn
n（a1 an) 2
Sn n1 an（ n 21)d
当公差d=0时，Sn na1 ， 当d≠0时，Snd2n2(a1d2)n , 是关于n的二次函数且常数项
Sn na nn（ n 21)d
为0.
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫 都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变 形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形 虫，经过两个单位时间就有了四个变形 虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时 间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具 有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列——等比数列.
(3) 2 , 1 , 3, 3 28
a4
2341 3 4
9, 32
a5
2351 3 4
27, 128
(4) 2,1, 2 ,
2 41
51
a4 2 22
1, 2
a5
2 22
2, 4
例:一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18，求它的第1项与第2项.
解: 用a n 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
当 q = 2 时 , a = 6 , 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
当 q =3时 , a =4 5, 四 个 数 为 7 5 ， 4 5 ， 2 7 ， 9
54
4444
方法二设后三个数分别为a-d,a,ad
则第一个数为ad2
(a
d)2 a d
a
a a d 18
a3 a5 6
数 列 等差数列
等比数列
关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
性 质 m+n=s+t an+am=as+at m+n=s+t anam=asat
中项 构造三数 构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a-d，a，a+d
或
a,
aq,
aq2
或
a q
，
a，aq
a-3d，a-d，a+d， a+3d
3、q 1时，{an }为常数列
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64. 公比 q=2 递增数列
(2) 1，3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
(3) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
公比 q=
1 2
递减数列
(4) 因5定，为，5x，所的5以正，该负5，数性5列不，的确5，… (5) 1增，减-1性，等定1，尚。-不1，能1确，…
G 2 a b 是 等 比 数 列 的 必 要 条 件 。
例 ： 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 a n 中 , a 2 , a 3 , a 6
依 次 成 等 比 数 列 ， 则 公 比 是 多 少 ？
解 ： Q a3 2= a2•a6设 公 差 为 d
a2d2a2a24d
d2 2a2d Qd 0
a312 ,a418 ,
即
a1q a1q
2 3
12 18
解得
a1
16 3
,q
3 2
an a1•qn1
因此，
a2
a1q136328
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
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世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交 水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增 稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的 杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。