二次函数与相似专题复习

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专题二次函数与全等、相似存在性问题(学生版)

专题29二次函数与相似、全等存在性问题题型一相似三角形存在性问题在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．（1）求抛物线C的对称轴．（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．①求抛物线C1的解析式．②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P的坐标．3．如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，点G是AC 的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；题型二全等三角形存在性问题6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）求出点A，B，C的坐标；（3）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．9．如图1，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．10．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l 上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；。

二次函数相似综合专题

二次函数相似综合专题知识要点1．求抛物线的解析式（载体作用，注意利用顶点式隐藏顶点坐标或利用比根式隐藏与x 轴两交点的坐标）．2．结合质点运动，探索两个几何变量之间的函数关系； 3．探索存在问题（面积、线段、角度等）； 4．几何最值、几何定值与几何推理；5．全等、相似、轴对称、旋转、平移、解直角三角形、圆的相关知识的综合运用； 6．注意结合抛物线的图象变换构建存在性问题．例题解析【例1】已知抛物线y ＝223x x --与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．①若抛物线的顶点为M ，求四边形ACMB 的面积； ②在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ABP ＝10； ③在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ACP ＝10； ④在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ＝S △BPQ ；⑤在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ∶S △BPQ ＝1∶3．〖练1〗如图，□OABC 中，点A 坐标为（2，0），抛物线y ＝24ax bx ++经过点A ，B ，C三点，交y 轴于点D ． ①求此抛物线的解析式；②P 是抛物线上一点，且△OBP ≌△ODP ，求P 点坐标；③直线MN ∥x 轴，交抛物线于N ，交y 轴于M ，连线段BN ，AM ，BN 交OD 于E ，若AM ∥BN ，求线段MN 的长．第①问图第②问图第③问图【例2】已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC＋EC）为定值．【例3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝2ax bx+与直线y＝4x-+交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN＝S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q 作QR∥MN交ON于点R，连接MQ，BR，当∠MQR－∠BRN＝45°时，求点R的坐标．〖练2〗已知抛物线C 1：y ＝223x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 点左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位，得到抛物线C 2，将线段AC绕坐标平面内的某点旋转后，得到线段MN ，且MN ⊥AC ，M ，N 点恰好落在抛物线C 2上，如图，求M 点的坐标；（3）设抛物线C 1的顶点为D ，DE ⊥AB 于E ，M 为x 轴下方抛物线C 1上一动点（不与点D 重合），MN ⊥BC 于N ，是否存在这样的点M ，使△MND 与△BED 相似？若存在，求M 点的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝24(2)9x c --+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于为N ，sin ∠MOH．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H 的直线与y 轴相交于点P ，过O ，M 两点作直线PH 的垂线，垂足分别为E ，F ，若HE HF＝12JF ，求点P 的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△ANG 与△ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．〖练3〗抛物线y ＝2(1)4a x --的顶点为D ，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点H ，且HD ＝AB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若M 为对称轴右侧抛物线上一点，MN ∥x 轴交抛物线于另一点N ，以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点在x 轴上，当这个直角三角形的顶点至少有一个时，求M 点纵坐标的取值范围；（3）经过C ，D 两点的直线与x 轴交于E 点，P 为对称轴右侧抛物线上一点，CP交对称轴于点F ，是否存在这样一点P ，使△CDF 与△EAC 相似、若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】已知抛物线C 1：y ＝2(1)2a x +-的顶点为A ，且经过点B （－2，－1）．（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ∶S △OAD 的值；（3）如图2，若过P （－4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m，使直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，请说明理由．〖练4〗如图1，抛物线C 1：y ＝2ax bx c ++的顶点为A （1，134-），与y 轴的负半轴交于点B ．（1）求点B 的坐标；（2）如图2，将抛物线C 1向下平移与直线AB 相交于C ，D 两点，若BC ＋AD ＝AB ，求平移后的抛物线C 2的解析式；（3）如图3，在（2）中，设抛物线C 2与y 轴交于G 点，顶点为E ，EF ⊥x 轴于F点，点M （m ，0）是x 轴上一动点，点N 在线段EF 上，若∠MNG ＝90°，请你分析实数m 的变化范围；图1图2图1图3图2【例6】如图，已知抛物线y ＝2x bx c ++与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C（0，－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知点H （0，－1），问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC ＝S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （－2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF ＝∠BDF ，求线段PE 的长．〖练5〗如图，抛物线1y ＝22ax ax b -+经过点A （－1，0），C （0，32）两点，与x 轴交于点一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ ＝45°，设线段OP ＝x ，MQ2y ，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x ＝m ，x ＝n 分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，H ，问四边形EFGH 能否为平行四边形？若能，求出m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．图1图2【例7】如图1，抛物线y ＝(1)(3)a x x -+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，OC 2＝3OA ·OB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为线段OA 上的一点，过点E 且垂直x 轴的直线交抛物线于点F ，若直线AC 将△AEF 分成面积之比为1∶2的两部分，求点E 的坐标；（3）如图3，若直线y ＝12x b +交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，将△MON 沿直线MN 折叠，得到△MPN ，点O 的对称点为P ，是否存在这样的b 值，使点P 恰好落在抛物线上？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．〖练6〗如图1，抛物线y ＝2(21)4a x ax b --+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，直线BC 的解析式：y ＝3kx k -，tan ∠OCB ＝1．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若y 轴负半轴上点M ，此抛物线上点N ，关于直线AC 对称，求点N的坐标；（3）设D 为该抛物线的顶点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AD与△ABC 相似、若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【例8】在平面直线坐标系中，抛物线y ＝23ax bx ++交x 轴于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于C 点，对称轴为直线x ＝1，sin ∠OCA．（1）求此抛物线的解析式，并求顶点E 的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S△BCE＝S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABED 中满足S △BCE＝2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线y ＝43x -+上，求此时抛物线的解析式．〖练7〗如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝3342x --沿x 轴翻折后，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝22()3x h -与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，F （点F 在点E 的右侧）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H，在备用图备用图抛物线上是否存在P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），PQ 与AP 交于点M ，与FH 交于点N ，使得直线PQ 既平分△AFH 的周长又平分△AFH 的面积？如果存在，求出P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图2图1。

精品九年级数学下册相似与二次函数综合练习题

相似与二次函数综合练习题1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B,∠MEN的顶角E在边BC上移动，一条边始终经过点A,另一边与CD交与点F,连接AF.(1)设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围；(2)若△AEF为等腰三角形，求出BE的长。

2.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B(0,3),点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发。

(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；(2)当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；(3)过点A作AC AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点，在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，请说明理由。

3.如图，将一块直角三角纸板的直角顶点C(1,0.5)处，两直角边分别是x 、y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m x m y 的交点，(1)求m 和k 的值；(2)设双曲线)0(>=m xm y 在A 、B 之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存在点P 使得MN=AB 21，写出你的探究过程。

4.把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=900,∠C=∠F=450,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1，当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ,此时AP ·CQ= (2)将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中00900<<α，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

二次函数与相似

分析
（2）题中要使AC为斜边，在Y轴上找一点D，使点D为直角顶点，既可以用勾股定理，也可以用相似建立方程求解。
（3）题中，要分在对称轴的左右侧：①、当点P在对称轴的（右侧时，利用两点间的距离公式和勾股定理或利用相似建立方程求解；②、当点P在对称轴的左侧时，要用到相似中的三角形内角平分线定理建立方程求解。
A1及C两点的
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰好与 1 x轴相切，求此圆的半径。
y
l
A
o C
B
x
四、作业《中考精典》P T6和P T18 116 124
内容：二次函数与相似
太好了，我们的老师准备出场了！
他（她）…………是谁？
My god
一、复习与提问
1、函数图象与函数解析式之间的关系是什么？
①函数图象上的点的坐标满足函数的解析式；
②满足函数解析式的点一定在函数图象上。
2、二次函数的表达式有哪些？
（1) 一般式：y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c常数） +k[顶点﹙h, k﹚] （2）顶点式：y=a(x-h) ² (3)两点式：y＝a﹙x－
)
②、当点P△CHA只有一种情况。
在抛物线上取一点P，使∠PCA=∠ACH, 作PQ⊥AC于 Q，则△PCQ∽△ACH, 延长CP交x轴于N，设N（n，0）在△NCH中AC平分∠NCH, ∴有 P
C Q
CN NA CH AH
CN (1 n) 2 42 ∵
小结：本题用到了 ①待定系数法 ②两点间的距离公式 ③勾股定理 ④相似三角形的判定定理 ⑤三角形内角平分线定理
三、巩固与练习

二次函数存在性问题(相似专题)

二次函数存在性问题——相似三角形例一、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．例二.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．随堂练习1.如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于A （-1，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）M 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，是否存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C 和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？6. 如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．。

二次函数结合相似练习题

一、二次函数性质1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

若f(x)的对称轴为x = 1，且f(0) = 2，求f(x)的解析式。

2. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(1) = 1，求f(x)的解析式。

3. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且f(0) = 1，f(1) = 3，求f(x)的解析式。

4. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且f(1) = 3，f(1) = 1，求f(x)的解析式。

5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且f(0) = 1，f(2) = 3，求f(x)的解析式。

二、二次函数图像1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，求f(x)的解析式。

2. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(1, 3)，求f(x)的解析式。

3. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(0, 1)，求f(x)的解析式。

4. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(2, 3)，求f(x)的解析式。

5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(1, 2)，求f(x)的解析式。

三、二次函数图像变换1. 已知二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x 1)^2 + 2的图象。

2. 设二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x + 2)^2 3的图象。

3. 已知二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x 1)^22的图象。

二次函数与相似椭圆结合专题练习

二次函数与相似椭圆结合专题练习一、二次函数1. 课前预1. 熟悉二次函数的标准式，顶点式和描点式。

2. 了解二次函数的图像特征：对称轴、顶点坐标、开口方向和大小等。

2. 课堂练2.1 选择题1. 已知函数 $f(x)=2x^2-4x+1$，则 $f(1)=$_____。

A. $-1$B. $-1/2$C. $1$D. $9$2. 二次函数 $y=3(x-2)^2$ 的对称轴方程是_____。

A. $x=2$B. $x=-2$C. $y=2$D. $y=-2$3. 将 $y=2x^2-4x+1$ 化为顶点式，那么其中顶点的坐标为_____。

A. $(-1,3)$B. $(1,-3)$C. $(1,3)$D. $(-1,-3)$2.2 解答题1. 已知二次函数 $y=-x^2+4x-5$ 的图像经过点 $P(1,2)$，求过点 $P$ 的切线方程。

2. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，$y$ 轴上的截距为$4$，且$\abs{AC}=\dfrac{1}{2}\abs{AB}$，那么 $a=$_______。

二、相似椭圆1. 课前预1. 熟悉椭圆的数学定义及相关专有名词。

2. 了解椭圆方程的一般形式。

2. 课堂练2.1 选择题1. 下列椭圆方程中，正确的是_____。

A. $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{25}=1$B. $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$C. $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$D. $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{15}=1$2. 已知椭圆 $E$ 的中心为 $(1,2)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，则 $E$ 的方程为_____。

A. $(x-1)^2+(y-2)^2=18$B. $\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}=1$C. $\dfrac{(x-1)^2}{9}+\dfrac{(y-2)^2}{4}=1$D. $\dfrac{(x-1)^2}{16}+\dfrac{(y-2)^2}{25}=1$3. 椭圆 $\dfrac{(x-2)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{16}=1$ 的周长为_____。

二次函数与相似测试卷二(含答案)

考前押题卷二一、选择题：1、在平面直角坐标系中，将抛物线4-2x y =先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A 、222++=）（x yB 、2-2-2）（x y =C 、22-2+=）（x yD 、2-22）（+=x y2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A B C D3、某学生在练习投篮时，篮球被抛出后距离地面的高度)(m h 和飞行时间)(s t 满足下面的函数关系式：2221-2++=t t h ，则篮球距离地面的最大高度是（） A 、m 8 B 、m 6 C 、m 4 D 、m 24、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A B C D5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，给出下列说法：①0<abc ；②方程02=++c bx ax 的根为31-21==x x 、；③当x ＞1时，y 随x 值的增大而减小； ④当y ＞0时，-1＜x ＜3．其中正确的说法是（）A 、②③④B 、①③④C 、①②③D 、①②③④6、如图，△PQR 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A 、B 、C 、D 也是小正方形的顶点，那么与△PQR 相似的是（）A 、以点P 、Q 、A 为顶点的三角形；B 、以点P 、Q 、B 为顶点的三角形C 、以点P 、Q 、C 为顶点的三角形；D 、以点P 、Q 、D 为顶点的三角形7、已知二次函数m m x x y (3-2+=为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程03-2=+m x x 的两实数根是（）11=x ，1-2=x B 、11=x ，22=x C 、11=x ，02=x D 、11=x ，32=x8、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A 、点MB 、点NC 、点OD 、点P9、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A 、04-2>ac b B 、0>a C 、0>c D 、02>ab10、如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的（）A 、H 或NB 、G 或HC 、M 或ND 、G 或M11、在同一平面直角坐标系中，函数m mx y +=和函数22-2++=x mx y （m 是常数，且0≠m ）的图象可能是（）A B C D12、在平面直角坐标系中，将抛物线2--2x x y =向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、613、若二次函数c x x y +=6-2的图象经过),23(),2()1-(321y C y B y A +、、，三点，则关于321y y y 、、大小关系正确的是（）A 、321y y y >>B 、231y y y >>C 、312y y y >>D 、213y y y >>14、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为h=30t-5t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）A 、6sB 、4sC 、3sD 、2s15、抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x ．．． -3 -2 -1 0 1 ．．． y．．．-6466．．．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个16、某校校园内有一个大正方形花坛，它由四个边长均为3米的小正方形组成，如图（1），且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图（2），DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是（）A B C D二、填空题17、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，°=∠60ADE ，则AE 的长为．18、在二次函数c bx x y ++=2中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27则m 的值为．19、若把函数32-2+=x x y 化为k m x y +=2-）（，其中k m ，为常数，则=+k m ．20、已知点)5,(1x A 、)5,(2x B 是函数32-2+=x x y 上的两点，则当21x x x +=时，函数值=y ．21、如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm ．三、解答题22、如图，在34×的正方形方格中，△ABC 和△DEC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：=ABC ∠ ，=BC ；（2）判断△ABC 与△CED 是否相似，并证明你的结论．23、如图，电线杆AB 的影子恰好落在山坡CD 和地面BC 上，测得CD=4m ，BC=10m ，CD 与地面成30°角，且此时直立的1m 的竹竿的影长是2m ，求电线杆AB 的高．24、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7,°=60∠B ，P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点P 作B APE ∠∠=，PE 交CD 于E ．（1）求证：△APB ∽△PEC ；（2）若CE=3，求BP 的长．25、在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围．（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？26、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？参考答案满分：100分一、选择题：（每题3分，共30分）1、B2、A3、C4、D5、D6、B7、B8、D9、D 10、C 11、D 12、A 13、B 14、A 15、C 16、A 二、填空题：（每题3分，共30分）17、7 18、-1 19、3 20、3 21、16 三、解答题：（22题8分，23题8分，24题12分，25题12分，合计40分） 22、（1）135°；22 （2）相似，证明略． 23、37+24、（1）相似（一线三等角）；（2）3或4．25、（1）)15≤0(2021-2x x x y <+=；（2）()21-202002y x =-+，∵1-02a =<，∴抛物线开口向下，又抛物线对称轴为：20x =，∴当015x <≤时，y 随x 的增大而增大，∴当15x =，最大面积187．52m ． 26、（1），160≤≤10(50101-x x y +=且x 是10的正整数倍）；（2）21-34800010w x x =++；（3）()21-1701089010w x =-+，∵1-010a =<，∴抛物线开口向下，又抛物线对称轴为：170x =，∴当10160x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当160x =，即34间，宾馆利润最大，最大利润是10880元．。

二次函数与相似测试卷一(含答案)

考前押题卷一一、选择题（每小题3分，共48分）1、下列函数关系中，可以看做二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=模型的是（） A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系；B 、我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系；C 、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）；D 、圆的周长与圆的半径之间的关系.2、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A.M B 、N C 、O D 、P 3、抛物线13-22+=）（x y 的顶点坐标是（）A 、（3,1）B 、（3，-1）C 、（-3,1）D 、（-3，-1）4、若有二次函数c ax y +=2，当x 取1x ，2x （21≠x x ）时，函数值相等，则当21x x x +=时，函数值为（）A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c5、把抛物线2--2x y =平移后得到抛物线2-x y =，平移的方法可以是（） A 、沿y 轴向上平移2个单位 B 、沿y 轴向下平移2个单位C 、沿x 轴向右平移2个单位D 、沿x 轴向左平移2个单位6、小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，则屏幕上小树的高度是（）A 、50cmB 、500cmC 、60cmD 、600cm7、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D8、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A 、∠ABD=∠CB 、∠ADB=∠ABC C 、CD CB BD AB = D 、ACABAB AD = 9、如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁10、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的y 与x 的对应值如下表： x ...... -1 0 1 3 ...... y......-3131......则下列判断中正确的是（）A 、抛物线开口向上B 、抛物线与y 轴交于负半轴C 、当x=4时，y>0D 、方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间11、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（）A 、21-5 B 、215+ C 、3 D 、212、如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P 、Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A B C D13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且21==AC AD AB AE ，则BCED AD E S S 四边形△：的值为（）A.3:1 B 、1:2 C 、1:3 D 、1:414、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A 、2B 、2.5或3.5C 、3.5或4.5D 、2或3.5或4.515、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的部分图象如图所示，若y<0，则x 的取值范围（）A 、-1<x<4B 、-1<x<3C 、x<-1或x>4D 、x<-1或x>316、下列表格是二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程为常数）、、（c b a a c bx ax ,002≠=++的一个解x 的范围是（） A 、17.66<<x B 、18.617.6<<x C 、19.618.6<<x D 、20.619.6<<x二、填空题：（每小题3分，共15分） 17、已知抛物线1--2x x y =与x 轴的一个交点为（m,0），则代数式的值为。

2024辽宁中考数学二轮专题复习微专题二次函数与相似三角形问题(课件)

似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．【解法提示】设点E的坐标为(0，m)，
∴BE2＝OE2＋OB2＝m2＋9.
如解图②，过点D作DF⊥y轴于点F，
2
例1题图④
联立
y y
3 4 1 2
x2 x,
5 2
x
1，
2 6
26
解得
x1
2
3
,
x2
2
3
,
y1
1
6 3
y2
1
6 3
例1题图④
∴综上所述，满足条件的点S的坐标为(2－2 6，1－ 6 )或(2＋2 6，
1＋
6 3
)．
3
3
3
三阶综合训练
1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与
如解图②，设直线x＝ 5 与x轴的交P，
又∵∠AOC＝90°，
∴要分为两种情况：
例1题解图②
①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC，
∵点B的坐标为(4，3)，
∴点P1的坐标为(
5 3
，3)；
②当∠QBP2＝90°，即BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA， ∴ QB CO ,
y轴交于点C，抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
解：(1)∵A(－1，0)，B(3，0)，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3
＝(x－1)2－4，
∴点D的坐标为(1，－4)；
第1题图
(2)连接BC、BD、CD，求△BCD的面积； (2)如解图，当x＝0时，y＝－3，
AQ12 BQ12

二次函数与相似测试卷九(含答案)

考前押题卷九一、填空题： 1、已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为 .2、如图，从点A （0，2）发出一束光，经x 轴反射，过点B （4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为 .第2题3、如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．第3题第5题4、若关于x 的函数1-22x kx y +=的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 .5、如图，小华用手电测量学校食堂的高度，在P 处放一水平的平面镜，光线从A 出发，经平面镜反射后刚刚射到食堂顶部C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且AB=1.2m ，BP=1.8m ，PD=12m ，那么食堂的高度是 .6、如图，公园内有一个长为5米的跷跷板AB ，当支点0在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米．那么当支点0在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高 .第6题第7题 7、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF 的长为 .8、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= .第8题第9题 9、如图，雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2m 远处有一块小积水，他看到了旗杆的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度为1.5m ，则旗杆的高度是 m ．10、已知：如图，在△ABC 中，AB=15m ，AC=12m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE= cm.第10题第11题第12题11、如图，在△ABC 中，CE ：EB=1：2，DE∥AC，若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 .12、如图所示，在△ABC 中，AB=7，AD=4，∠B=∠ACD，那么AC= .13、如图，△ABC 中，BD 和CE 是两条高，如果∠A=45°，则BCDE = .第13题第14题第15题 14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE 平分∠BDC 交BC 于点E ，则=ADEC . 15、如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果BC=3cm ，△ABC 的面积为9cm 2，△EGC 的面积等于4cm 2，那么BE= cm.16、为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=3m ，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m ，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF=2m ，E 、C 、A 三点共线，则旗杆AB 的高度为 m.G第16题第17题17、如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于 .18、如图，在平行四边形ABCD中，AD=5cm，AB=3cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE= cm.第18题第19题19、一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上的点C（0，2）反射后经过x轴上的点B，则点B的坐标为 .20、如图，△ABC中，AB=9，AC=6，E是AC上一点，AE=4，F是AB上一点，当AF= ，由A、E、F三点组成的三角形与△ABC相似．第20题第21题21、如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上任一点，ON⊥OM且与CD边交于点N．若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 . 22、如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC 相似，则符合条件的点D共有个.第22题第23题23、小明想利用影长测量学校的旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米；同时旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在墙上，分别测得长度为21米和2米，则学校的旗杆的高度为米.24、给出下列命题及函数x y =、2x y =、xy 1=的图象，如图所示.第24题①如果21a a a >>，那么10<<a ；②如果aa a 12>>，那么1>a ； ③如果a a a >>21，那么01-<<a ；④如果a aa >>12，那么1-<a ，其中是真命题的有 .25、点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF=80°，则∠CGE= .第25题第26题第27题26、如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是 mm ．27、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是AB 上一个动点，当PC+PD 的和最小时，PB 的长为 .28、如图，在△ABC 中，AB=24，AC=18，D 是AC 上一点，AD=12．在AB 上取一点E ．使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为 .第28题二、解答题:1、如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？2、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE 的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．3、如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A'B'C'是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O 中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．4、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）.货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由.若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？5、（1）如图，正方形ABCD 与正方形CEFG 具有公共的顶点C ，连结BG 、DE ．猜想图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断．（2）如图，将原题中正方形改为矩形，且a AB =，b BC =，ka CE =,kb CG =)0,(>≠k b a ，（1）中得到的结论哪些成立，哪些不成立？简要说明理由．（3）在（2）中，连结DG 、BE ，且3=a ，2=b ，21=k ，求22DG BE +的值．参考答案一、填空题： 1、2:5 2、41 3、22或42 4、0或-1 5、8m 6、1m 7、13 8、4 9、30 10、48 11、s 92 12、72 13、22 14、25-3 15、1 16、13.5 17、4 18、59 19、（6,0） 20、386或 21、x y 32=22、4 23、16 24、①②④ 25、80° 26、48 27、3 28、16或9 二、解答题：1、（1）7米；（2）70mm.2、(1)23==CE BC DC AC ,又∵°==90∠∠DCE ACB ∴DCE ACB ∽△△ （2）∵DCE ACB ∽△△ ∴DEC ABC ∠∠= 又∵°=+90∠A ∠ABC ∴°=+90∠∠A DEC ∴°=90∠EFA ∴EF ⊥AB.3、（1）如图，点O 即为所求；（2）△ABC 与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．4、（1）2251-x y =；（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25=4（小时）货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200＜280∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时当4x+40×1=280时，x=60∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．5、（1）BG=DE，BG⊥DE；∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∵在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．。

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(含答案)

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得的最大值及此时点的坐标；(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，在y 轴的负半轴是否存在点Q ，使得？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．CD x ()2,0D P AC PH y ∥CD H CD Q PQ HQ PQ =524PQ PH -P BC 214y x bx c =++BC 25M MN x N AM AMN ABC ∽ M AC 12OQC OAC ∠∠=(1)如图1，当，时，求的值；(2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标；(3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴分别交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接交于点E ，求(3)如图2，连接，过点O 作直线，点P ，Q 分别为直线点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线1a =1k =b 12a =A l y T T 1k =l C M N ，P y Q MQP NQP ∠=∠xOy 23y ax ax c =-+(1,0)A -AD BC ，AC BC ，l BC ∥PQB CAB ∽()1,2A ()5,0B 22y ax =-(1)求点C 的坐标和直线的表达式；(2)设抛物线分别交边①若与相似，求抛物线表达式；②若是等腰三角形，则a 的值为6．如图，抛物线经过(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为．①如图1，若时，求的值：②如图2，直线与抛物线交于点，连接(1)求抛物线的解析式；AB 22(0)y ax ax a =->CDB △BOA △OAE △2y x mx n =++C C BC 90ACB ∠=︒t BD E(1)若，．①如图1，求点A 、B 、C 和点P 的坐标；②如图2，当时，求点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为，且，当标．(1)求点、、的坐标；(2)连接，抛物线的对称轴、为顶点的三角形与理由．2b =3c =3105MN =,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭PM BC ∥93102AN MN +=A B C BC C D(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求证：是直角三角形；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作轴与抛物线交于点M ，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P 在抛物线上．(1)求a 的值；(2)直线与抛物线，分别交于点A ，B ，若的最大值为3，请求出m 的值；(3)Q 是x 轴的正半轴上一点，且的中点M 恰好在抛物线上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数经过点、，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线于点E 和点F ．设点P 的横坐标为m ．ABC MN x ⊥O M N ，，ABC xOy ()()221:20C y x m m m =--+<22:C y ax =()x t t m =>1C 2C AB PQ 2C PQG ∠2y x bx c =-++()40A ，()02B ，AB(1)求二次函数的表达式；(2)若E 、F 、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m 的值．(3)点P 在线段上时，若以B 、E 、F 为顶点的三角形与相似，求m 的值．13．如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由；(3)当时，求此二次函数的最大值和最小值．14．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．OA FPA V 2y x bx c =-++()1,0A -()0,3B 2y x bx c =-++x C D AB BC BD CD BCD △OBA △03x ≤≤y 21:3C y ax bx =++x ,A B y C 3OB OC OA ==(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；(3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．15．在平面直角坐标系中，点B 从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C 在第一象限，过C 作轴，垂足为D ，连接交于E ，设运动时间为秒．(1)证明：≌；(2)当与相似时，求t 的值；(3)在（2）条件下，抛物线m 经过A ，B ，D 三点，请问在抛物线m 上否存在点P ，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．1C P 1C Q ()1,045POC OCQ ∠+∠=︒P 1C 2C ()1,1T -2C T TM TN ⊥2C ,M N MN ABC 90ABC ∠=︒()0,2A CD x ⊥AD BC (0)t t >AOB BDC AEC △BED ADP △ABD △参考答案：。

中考总复习专题：二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ；（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值；（2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1）求抛物线的表达式及点E 的坐标；（2）联结AB ，求∠B 的正切值；（3）点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），xyAB EC O （第24题图）则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2，0）.……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP .∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =∴tan 3.ACB AB∠==…………………………………………………………………（2分）（3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°. ∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时， ∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）∴BE AEEM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分）情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分）设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）题型二：动点在线段的延长线上如图7，已知抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在请直接写出点G 的坐标如果不存在请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上且使△DCA 的面积最大必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点）即0≤t ≤4时由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时同理可得：点M (3,−256)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°．设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去）此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4）故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形理由如下：由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0）点D 坐标为（2013 0）又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形．（3）解：存在点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20））则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）．代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述满足条件的点P 有两个即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方点Q 在点B 的左侧时如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方对称轴左侧的抛物线上时则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方对称轴右侧的抛物线上时则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴即∠OAC =∠PDA根据题意分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。

中考数学总复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y= x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C，连结AO，AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式；(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA，BA延长线于点D，E．①若△CDB与△BOA相似，求抛物线表达式；①若△OAE是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图，抛物线y=−x2+2x+c经过点P(52，74)且交y轴于点A，点C是x轴正半轴上的动点，OE∥CP交抛物线于点E，EF∥x轴交线段CP的延长线于点F，作直线，EP交x轴于点D，交y轴于点Q(1)求抛物线的解析式．(2)当OD为何值时，点E恰好与点A重合⋅(3)当OC=CD时，请直接写出线段QE︰EP的值．4．如图，抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．(1)求点A、B、C的坐标；(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线PN⊥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时，设MN的长度为s，求s与t的函数关系式；①当点P在线段OB上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a，c为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C(0,3)，直线y=−x−1经过点A且与抛物线交于另一点D．(1)求抛物线的解析式；(2)Q点在x轴上且位于点B的左侧，连接BD，若以Q、B、C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标．6．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；①求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM①AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A和点7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+32C的坐标分别为(−1,0)和(0,2)x+c的函数表达式；(1)求抛物线y=ax2+32(2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，求线段AD的长；S△ABN时，(3)点M是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接AM交BC于点N，连接BM，当S△BMN=14请直接写出点M的横坐标的值．8．如图1，已知二次函数y=−43(x+1)2+163的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求点A，点C的坐标；(2)如图2，连结AC，DC，过点C作CE∥AB交抛物线于点E．求证：①DCE＝①CAO；(3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与①ABC相似，求EP的长．9．如图，在同一直角坐标系中，抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C，且经过点B(−2,12)，若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式；（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3，抛物线L3的顶点为M，抛物线L3的对称轴与x轴交于点N，试问：在x轴的下方是否存在一点M，使△MNA′与△ACB′相似？若存在，请求出抛物线的L3表达式；若不存在，说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=−x2−2x+3的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．(1)若抛物线L2经过点(2,10)，求抛物线L2对应的函数关系式；(2)当△BPC的周长最小时，求△BPC的面积；(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若△DPQ与△AOC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．11．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−4，0)和点B，与y轴相交于点C(0，4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．①连接AP，CP当三角形ACP的面积最大时，求此时点P的坐标；①探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，对称轴上是否存在点E，使△ACE周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值；(3)如图2，点F为第二象限抛物线上一动点连接AF交BC于点D，k=S△FDC：S△ADC是否存在点F，使k取最大值，如果存在求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由．(4)已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点P是第二象限抛物线上一点，点Q是线段BC上一点，PQ∥y轴，当线段PQ取得最大值时，是否存在点M，N使得四边形QAMN是菱形，若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=3+√36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D BC=√3CD．(1)求b，c的值；(2)求直线BD的函数解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，直线y=−23x+c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y=−43x2+bx+c经过点A，B．(1)求点B的坐标和抛物线的解析式．(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．①点M在x轴上自由运动，若M，P，N三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．15．已知抛物线y=ax2+bx−4交x轴于A(−1,0)、B(4,0)交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点P 是第四象限内抛物线上的一点，PA 交y 轴于点D ，连接BD ，若∠PDB =90°，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接BP （如图①），在线段BP 上是否存在点Q ，使△OBQ 与△ABP 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)在（2）的条件下，如图①，在y 轴上有一点R ，当∠RBD =2∠OBD 时，请直接写出点R 的坐标．参考答案：1．【答案】(1)y =x 2+2x −3 E(2，5)(2)(0，5)或(0，7) 2．【答案】(1)C (2,0)(2)①y =1013x 2−2013x ①13．【答案】(1)y =−x 2+2x +3(2)当OD =6时，点E 恰好与点A 重合(3)8−5√27或8+5√27 4．【答案】(1)A(−1，0) B(4，0) C(0，2)；(2)①s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)；①点P 的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．5．【答案】(1)y =−x 2+2x +3(2)点Q 的坐标为(35,0)或(−92,0)6．【答案】(1)①A (3，0) B (3，3) C (0，3)；①{b =2c =3(2)n =−13(m −32)2+34（0≤m ≤3）；347．【答案】(1)y =−12x 2+32x +2(2)AD=√5(3)2−√1128．【答案】(1)A (−3,0)(3)43或25129．【答案】（1）抛物线L 2的解析式为y =−12x 2+3x +8．（2）函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．10．【答案】(1)抛物线L 2对应的函数关系式为y =2x 2+4x −6；(2)S △BPC =2； (3)点P 的坐标为P(−1,3)或(−1,2)．11．【答案】(1)解析式为y =−x 2−3x +4(2)①P(−2,6)；①存在，P(−3,4)或P(−2,6) 12．【答案】(1)抛物线的表达式为y =−x 2−2x +3(2)E (−1,2)；周长最小值√10+3√2 (3)F (−32,154)时，k 取得最大值为916；(4)存在第 11 页共 11 页 13．【答案】(1)b =−3+√33(2)y =−√33x +√3(3)Q 的坐标为(1−2√33，0)或(−1+4√33，0)或(1−2√3，0)或(5−2√3，0)． 14．【答案】(1)B(0，2)(2)①(52,0)或(118,0)；①12或−1或−14．15．【答案】(1)y =x 2−3x −4(2)P (2,−6)(3)存在(4)(0,2)或(0,−22)。

挑战2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-(含答案解析)

专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验．如果已知∠A＝∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH相似,求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D 的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1,0）,B（3,0）,交y轴于点C（0,3）,点M 是该抛物线上第一象限内的一个动点,ME垂直x轴于点E,交线段BC于点D,MN∥x轴,交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形,求该正方形的边长；（3）连结OD,AC,抛物线上是否存在点M,使得以C,O,D为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图,抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3,0）,C（0,﹣3）,D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC,CD,DB,求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点,连接BE,直线BE与对称轴交于点M,在（2）的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点,是否存在点P使△CDB和△BMP相似,若存在,求点P坐标,若不存在,请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图,抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2,0）和点B（8,0）,与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC,记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC,求S最大值点P的坐标及S的最大值；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求点M的坐标；若不存在,请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2+c经过点A（4,3）,顶点为点B,点P 为抛物线上的一个动点,l是过点（0,﹣2）且垂直于y轴的直线,连接PO．（1）求抛物线的表达式,并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②,已知点C的坐标为（1,2）,是否存在点P,使得以点P,O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知,二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,与y轴交于C点,点A的坐标为（﹣1,0）,且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4 时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中,抛物线经过点A（﹣2,0）,B（﹣3,3）及原点O,顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中,当﹣3＜t＜0时,求△PBO的面积S与t的函数关系式,并求S的最大值；②在图2中,若点P在该抛物线上,点E在该抛物线的对称轴上,且以A,O,P,E为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标；③在图3中,若P是y轴左侧该抛物线上的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A 为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点）,按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标,并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上,求△C′OP的最大面积；（3）如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,抛物线上是否存在一点M,使得△BOF与△AOM相似？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0,﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1,平移线段AC,点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上,点C的对应点E落在直线AB 上,直接写出四边形ACED的形状,并求出此时点D的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,连接CD,交x轴于点M,点P为直线CD下方抛物线上一个动点,过点P作PF ⊥x轴,交CD于点F,连接PC,是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△COM相似？若存在,求出线段FP的长度；若不存在,请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图,抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1,4）,且与x轴相交于A,B两点（点A 在点B的左侧,与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动,点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,其中点G,H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m,①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时,求点G的坐标；③连接AD,当EG与AD垂直时,求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FP⊥AD于点P,直接写出△DFP与△DAM相似时,点F的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①,已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A,B两点,交y轴于点C,P是抛物线上的动点,且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限,直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E,设点P的横坐标为t,当线段PE的长度随着t的增大而减小时,求t的取值范围；（3）如图②,过点A作BC的平行线m,与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方,点Q在线段AD上,若△CPQ与△AOC相似,且点P与点O是对应点,求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A,右交点为B,与y轴的交点为C,对称轴为直线l,对于抛物线上的两点（x1,y1）,（x2,y2）（x1＜k＜x2）,当x1+x2＝2时,y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点,过点M作MN⊥AC于点N,求线段MN的最大值,并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点,PQ⊥l于点Q,AP交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PQF与△ACO相似？若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,AC＝4,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,若C（0,2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴,P是直线l右侧抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等,求满足条件的点P,点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB 与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法,即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标,然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC,再由二次函数的最值性质,求出答案；（3）根据题意,可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标,即可得到答案．【解析】（1）将A（0,3）和B（,﹣）代入y＝﹣x2+bx+c,,解得,∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n,把A（0,3）和B（,﹣）代入, ,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,当y＝0时,﹣x+3＝0,解得：x＝2,∴C点坐标为（2,0）,∵PD⊥x轴,PE∥x轴,∴∠ACO＝∠DEP,∴Rt△DPE∽Rt△AOC,∴,∴PE＝PD,∴PD+PE＝PD,设点P的坐标为（a,﹣a2+2a+3）,则D点坐标为（a,﹣a+3）,∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+,∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+,∵﹣＜0,∴当a＝时,PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时,∵PD⊥x轴,∠DP A＝90°,∴点P纵坐标是3,横坐标x＞0,即﹣x2+2x+3＝3,解得x＝2,∴点D的坐标为（2,0）；∵PD⊥x轴,∴点P的横坐标为2,∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）；②当△AOC∽△DAP时,此时∠APG＝∠ACO,过点A作AG⊥PD于点G,∴△APG∽△ACO,∴,设点P的坐标为（m,﹣m2+2m+3）,则D点坐标为（m,﹣m+3）,则,解得：m＝,∴D点坐标为（,1）,P点坐标为（,）,综上,点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）或P点坐标为（,）,D点坐标为（,1）．【例2】（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0,2）,令y＝0可得点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,直线y＝﹣x+b 与新图象恰好有三个不同的交点,①当直线y＝﹣x+b经过点C（0,2）时,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,联立一次函数解析式和抛物线解析式,利用根的判别式Δ＝0,即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形,分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°,分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时,y＝﹣2,∴C（0,2）,当y＝0时,x2﹣x﹣2＝0,（x﹣2）（x+1）＝0,∴x1＝2,x2＝﹣1,∴A（﹣1,0）,B（2,0）,设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）,把C（0,2）代入得：﹣2a＝2,∴a＝﹣1,∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2,∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时,存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时,与图象W有三个交点,此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时,如图1,﹣x+b＝﹣x2+x+2,x2﹣2x+b﹣2＝0,Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0,∴b＝3,综上,b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2,∠BOC＝90°,∴△BOC是等腰直角三角形,如图2,CN∥OB,△CNM∽△BOC,∵PN∥y轴,∴P（1,0）；如图3,CN∥OB,△CNM∽△BOC,当y＝2时,x2﹣x﹣2＝2,x2﹣x﹣4＝0,∴x1＝,x2＝,∴P（,0）；如图4,当∠MCN＝90°时,△OBC∽△CMN,∴CN的解析式为：y＝x+2,∴x+2＝x2﹣x﹣2,∴x1＝1+,x2＝1﹣（舍）,∴P（1+,0）,综上,点P的坐标为（1,0）或（,0）或（1+,0）．【例3】（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,可知四边形CC'QP 是平行四边形,及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,而B,Q,C'共线,故此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,由勾股定理可得BC'＝5,即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N （,0）,知BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,①当＝时,＝,可解得Q（,）或（,）；②当＝时,＝,得Q（,）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中,令x＝0得y＝4,令y＝0得x＝﹣1或x＝4,∴A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,如图：∵CC'＝PQ,CC'∥PQ,∴四边形CC'QP是平行四边形,∴CP＝C'Q,∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,∵B,Q,C'共线,∴此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,∵C（0,4）,CC'＝PQ＝1,∴C'（0,3）,∵B（4,0）,∴BC'＝＝5,∴BC'+PQ＝5+1＝6,∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N（,0）,∵B（4,0）,C（0,4）；∴BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,∵∠CMP＝∠QNB＝90°,∴△CPM和△QBN相似,只需＝或＝,①当＝时,＝,解得t＝或t＝,∴Q（,）或（,）；②当＝时,＝,解得t＝或t＝（舍去）,∴Q（,）,综上所述,Q的坐标是（,）或（,）或（,）．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH 相似,求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2,0）代入y＝﹣2x2+bx+c中,再由对称轴是直线x＝列方程,两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时,点P在OD的垂直平分线上,所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P,计算OD≠PD,可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时,△CPM∽△BHM时,根据PH的长列方程可解答；②②如图3,△PCM∽△BHM,过点P作PE⊥y轴于E,证明△PEC∽△COB,可得结论．【解析】（1）由题意得：,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形,理由如下：如图1,取OD的中点E,过点E作EP∥x轴,交抛物线于点P,连接PD,PO,∵C（0,4）,D是OD的中点,∴E（0,1）,当y＝1时,﹣2x2+2x+4＝1,2x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝,x2＝（舍）,∴P（,1）,∴OD≠PD,∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t,﹣2t2+2t+4）,则OH＝t,BH＝2﹣t,分两种情况：①如图2,△CMP∽△BMH,∴∠PCM＝∠OBC,∠BHM＝∠CPM＝90°,∴tan∠OBC＝tan∠PCM,∴＝＝＝＝2,∴PM＝2PC＝2t,MH＝2BH＝2（2﹣t）,∵PH＝PM+MH,∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4,解得：t1＝0,t2＝1,∴P（1,4）；②如图3,△PCM∽△BHM,则∠PCM＝∠BHM＝90°,过点P作PE⊥y轴于E,∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°,∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°,∴∠BCO＝∠EPC,∴△PEC∽△COB,∴＝,∴＝,解得：t1＝0（舍）,t2＝,∴P（,）；综上,点P的坐标为（1,4）或（,）．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N 为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4,0）,B（﹣1,0）代入y＝ax2+bx+4,解方程组即可求得答案；（2）根据题意,当S1＝S2+5,即S△ABD＝S△ABC+5,设D（x,y）,表示出△ABD和△ABC的面积,列方程求解即可；（3）分情况讨论,列出三角形相似的三种情况,画出相应图形,设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,运用相似三角形性质,建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,∴,解得：,∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C,令x＝0,则y＝4,∴C（0,4）,∵S1＝S2+5,∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5,即S△ABD＝S△ABC+5,∵A（4,0）,B（﹣1,0）,∴AB＝5,设D（x,y）,∴×5×y＝×5×4+5,∴y＝6,∴﹣x2+3x+4＝6,解得：x1＝1,x2＝2,∴D1（1,6）,D2（2,6）；（3）设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,①如图2,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；②如图3,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝﹣1,经检验,m＝﹣1是原方程的解,∴M（﹣1,4）；③如图4,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；④如图5,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝7,经检验,m＝7是原方程的解,∴M（7,4）；综上所述,点M的坐标为（,4）或（﹣1,4）或（,4）或（7,4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中,令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED,根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2,从而得点D的横坐标为3,代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示,若以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似,有两种情况,但是∠QAM与∠QAN不可能相等,所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA,列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时,x2﹣3x+＝0,解得：x1＝1,x2＝5,∴A（1,0）,B（5,0）；（2）∵DE⊥x轴,∴∠AED＝90°,∴∠AOP＝∠AED＝90°,∵∠OAP＝∠DAE,∴△AOP∽△AED,∴＝＝,∴＝,∵OA＝1,∴AE＝2,∴OE＝3,当x＝3时,y＝﹣3×3+＝﹣2,∴D（3,﹣2）；（3）如图2,设Q（0,m）,当x＝0时,y＝,∴F（0,）,∵点Q是线段OF上的动点,∴0≤m≤,当y＝m时,x2﹣3x+＝m,x2﹣6x+5﹣2m＝0,x＝3,∴x1＝3+,x2＝3﹣,∴QM＝3﹣,QN＝3+,在Rt△AOQ中,由勾股定理得：AQ＝,∵∠AQM＝∠AQN,∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA,∴,∴AQ2＝NQ•QM,即1+m2＝（3+）（3﹣）,解得：m1＝﹣1+,m2＝﹣1﹣（舍）,∴Q（0,﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E 两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,表示PH的长,根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6,0）和点C（0,﹣3）代入得：,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n,由点B（6,0）和C（0,﹣3）得：,解得：,∴直线BC的解析式为,如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点H,∵点P的坐标为（m,）,PH∥y轴,∴点H的坐标为（m,）,∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣,x B﹣x C＝6﹣0＝6,∵S△PBC＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝,解得：m1＝1,m2＝5,∴m值为1或5；（3）如图2,∵∠CDE＝∠BDM,△CDE与△BDM相似,∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,设M（x,0）,①当∠CED＝∠BDM＝90°,∴CE∥AB,∵C（0,﹣3）,∴点E的纵坐标为﹣3,∵点E在抛物线上,∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5,∴M（5,0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°,∵OB＝6,OC＝3,∴BC＝＝3,由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3,∴OM＝x,BM＝6﹣x,DM＝3﹣x,由（2）同理得ED＝﹣+3x,∵DM∥OC,∴,即,∴CD＝,∴BD＝BC﹣CD＝﹣x,∵△ECD∽△BMD,∴,即＝,∴＝x（3﹣x）2,x（6﹣x）（1﹣x）＝0,x1＝0（舍）,x2＝6（舍）,x3＝1,∴M（1,0）；综上所述：点M的坐标为（5,0）或（1,0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标,将抛物线和一次函数的解析式联立方程组,解出可得B和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长,根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°,最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,表示OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,分两种情况：有＝或＝,根据比例式代入可得对应x的值,计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1,∴顶点A（﹣1,﹣1）；由,解得：或∴B（﹣2,0）,C（1,3）；（2）证明：∵A（﹣1,﹣1）,B（﹣2,0）,C（1,3）,∴AB＝＝,BC＝＝3,AC＝＝2,∴AB2+BC2＝AC2,＝＝,∴∠ABC＝90°,∵OD＝1,CD＝3,∴＝,∴,∠ABC＝∠ODC＝90°,∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,∴OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,当以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似时,有＝或＝,由（2）知：AB＝,CB＝3,①当＝时,则＝,当P在第二象限时,x＜0,x2+2x＞0,∴,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,当P在第三象限时,x＜0,x2+2x＜0,∴＝,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,②当＝时,则＝3,同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍）,综上所述,存在这样的点P,坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）或（﹣5,15）．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,即可求解；③四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况,分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,当x＝时,y＝﹣2x+4＝3,故点N（,3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4,当x＝时,y＝6,故点Q（,6）；③不存在,理由：设点P（x,﹣2x+4）,则点D（x,﹣2x2+2x+4）,MN＝﹣3＝,四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,故不存在点P,使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时,则其坐标为：（1,2）,此时点A、B的坐标分别为：（2,0）、（0,4）,①当∠DBP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则∠BAO＝∠BDP＝α,tan∠BAO＝＝2＝tanα,则sinα＝,P A＝,PB＝AB﹣P A＝2﹣＝,则PD＝＝,故点D（1,）；②当∠BDP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则BD∥x轴,则点B、D关于抛物线的对称轴对称,故点D（1,4）,综上,点D的坐标为：（1,4）或（1,）,将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设P（t,﹣t2+t﹣2）,则M（t,0）,1＜t＜4,分两种情况讨论：①当∠P AM＝∠OAC时,tan。

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东升学校九年级上数学导学稿（编号：813）
班级姓名组号时间年月日课题：二次函数与相似问题课型：新授主备严光华审核九年级数学组
例1.已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，
是否存在点P 使得以点P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线所得抛物线与轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与轴交于点C ，顶点为D.
（1）写出h,k 的值；（2）判断的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
例3.抛物线与X 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .
（1）直接填写：a= ，b = ，顶点C 的坐标为；
（2）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC
于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.
2y x =2()y x h k =-+ACD △32++=bx
ax
y
例4.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．
练习一
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
练习二
如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，设E是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．。