江苏省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(1) 集合
2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题(2013年江苏省高考数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题 数学Ⅰ试题参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i ﹣x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1nx i .棱锥的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为高.棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．1.函数y ＝3sin (2x ＋π4)的最小正周期为__________. 答案：π解析：函数y ＝3sin (2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.2.设z ＝(2﹣i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________.答案：5解析：|z|＝|(2﹣i)2|＝|4﹣4i ＋i 2|＝|3﹣4i |＝√32＋(﹣4)2＝5.3.双曲线x 216−y 29＝1的两条渐近线的方程为__________.答案：y ＝±3x解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x.4.集合{﹣1，0，1}共有__________个子集. 答案：8解析：由于集合{﹣1，0，1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5.下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________.答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2;第二次循环后：a ←26，n ←3; 由于26>20，跳出循环， 输出n ＝3.6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________. 答案：2解析：由题中数据可得x 甲＝90，x 乙＝90.于是s 甲2＝15[(87﹣90)2＋(91﹣90)2＋(90﹣90)2＋(89﹣90)2＋(93﹣90)2]＝4，s 乙2＝15[(89﹣90)2＋(90﹣90)2＋(91﹣90)2＋(88﹣90)2＋(92﹣90)2]＝2，由s 甲2>s 乙2，可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________. 答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7;n 的可能取值为1，2，3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况;同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种.若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5＝20种.故所求概率为2063.8.如图，在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S ∶ADE ∶S ∶ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED2AF ·S △ABC＝1∶24. 9.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________. 答案：[﹣2，12]解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ﹣1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A (12，0)时，x ＋2y 取得最大值12. 当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，﹣1)时，x ＋2y 取得最小值﹣2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为[﹣2，12].10.设D ，E 分别是∶ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________. 答案：12解析：由题意作图如图.∶在∶ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝﹣16AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∶λ1＝﹣16，λ2＝23. 故λ1＋λ2＝12.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f (x )＝x 2﹣4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.答案：(﹣5，0)∶(5，＋∞)解析：∶函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2﹣4x ，则f(x)＝{x 2﹣4x ，x >0，0，x ＝0，﹣x 2﹣4x ，x <0，∴∶原不等式等价于{x >0，x 2﹣4x >x ，或{x <0，﹣x 2﹣4x >x .由此可解得x>5或﹣5<x<0. 故应填(﹣5，0)∶(5，＋∞). 12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ．设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝√6d 1，则椭圆C 的离心率为__________. 答案：√33解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为xc ＋yb ＝1，即bx ＋cy ﹣bc ＝0.于是可知d 1＝√b ＋c 2bc a ，d 2＝a 2c ﹣c ＝a 2﹣c 2c ＝b 2c . ∶d 2＝√6d 1，∶b 2c ＝√6bca ，即ab ＝√6c 2.∶a2(a2﹣c2)＝6c4.∶6e4＋e2﹣1＝0.∶e2＝13.∶e＝√33.13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为__________.答案：﹣1，√10解析：设P点的坐标为(x，1x )，则|PA|2＝(x﹣a)2＋(1x﹣a)2＝(x2＋1x2)﹣2a(x＋1x)＋2a2.令t＝x＋1x≥2，则|PA|2＝t2﹣2at＋2a2﹣2＝(t﹣a)2＋a2﹣2(t≥2).结合题意可知(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值.此时(2﹣a)2＋a2﹣2＝8，解得a＝﹣1，a＝3(舍去).(2)当a>2，t＝a时，|PA|2取得最小值.此时a2﹣2＝8，解得a＝√10，a＝﹣√10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为√10，﹣1.14.在正项等比数列{a n}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为__________.答案：12解析：设正项等比数列{a n}的公比为q，则由a5＝12，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是a n＝2n﹣6，则a1＋a2＋…＋a n＝132(1﹣2n)1﹣2＝2n﹣5﹣132.∶a5＝12，q＝2，∶a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a62＝1.∶a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27﹣132>a1a2…a11a12＝a12＝26成立;当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28﹣132∴<a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n>13时，随着n增大a1＋a2＋…＋a n将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a﹣b|＝√2，求证：a∶b;(2)设c＝(0，1)，若a﹣b＝c，求α，β的值.(1)证明：由题意得|a﹣b|2＝2，即(a﹣b)2＝a2﹣2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2﹣2a·b＝2，即a·b＝0.故a∶B．(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以{cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得cos α＝cos (π﹣β).由0<β<π，得0<π﹣β<π，又0<α<π，故α＝π﹣β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SAB∶平面SBC ，AB∶BC ，AS ＝AB ．过A 作AF∶SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∶平面ABC; (2)BC∶SA ．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF∶SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点，所以EF∶AB ．因为EF∶平面ABC ，AB∶平面ABC ， 所以EF∶平面ABC ．同理EG∶平面ABC ．又EF∩EG ＝E ， 所以平面EFG∶平面ABC ．(2)因为平面SAB∶平面SBC ，且交线为SB ，又AF∶平面SAB ，AF∶SB ，所以AF∶平面SBC ．因为BC∶平面SBC ，所以AF∶BC ．又因为AB∶BC ，AF∩AB ＝A ，AF ，AB∶平面SAB ，所以BC∶平面SAB ． 因为SA∶平面SAB ，所以BC∶SA ． 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x ﹣4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，√k ＋1＝1，解得k ＝0或﹣34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y ﹣12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x ﹣4上，所以圆C 的方程为(x ﹣a)2＋[y ﹣2(a ﹣2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以√x 2＋(y ﹣3)2＝2√x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y ﹣3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，﹣1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤CD≤2＋1，即1≤√a 2＋(2a ﹣3)2≤3. 由5a 2﹣12a ＋8≥0，得a ∶R ;由5a 2﹣12a≤0，得0≤a≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 18.(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 解：(1)在∶ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π﹣(A ＋C)]＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sinC ＝ACsinB，得AB ＝AC sinB×sin C ＝12606365×45＝1040(m ).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2﹣2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2﹣70t ＋50)， 因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min )时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BCsinA ＝ACsinB ，得BC ＝ACsinB ×sin A ＝12606365×513＝500(m ).乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m )，还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得﹣3≤500v −71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[125043，62514](单位：m/min )范围内. 19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和.记b n ＝nS nn 2＋c，n ∶N *，其中c 为实数.(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∶N *); (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明：由题设，S n ＝na ＋n (n ﹣1)2D ． (1)由c ＝0，得b n ＝Snn ＝a ＋n ﹣12D ．又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(a ＋d 2)2＝a (a ＋32d)，化简得d 2﹣2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2A ．因此，对于所有的m ∶N *，有S m ＝m 2A ．从而对于所有的k ，n ∶N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，即nS n n 2＋c ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，n ∶N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∶N *，有(d 1﹣12d)n 3＋(b 1﹣d 1﹣a ＋12d)n 2＋cd 1n ＝c (d 1﹣b 1).令A ＝d 1﹣12d ，B ＝b 1﹣d 1﹣a ＋12d ，D ＝c (d 1﹣b 1)，则对于所有的n ∶N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D ．(*) 在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有{7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝﹣5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1﹣12d ＝0，b 1﹣d 1﹣a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1﹣12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x ﹣ax ，g (x )＝e x ﹣ax ，其中a 为实数.(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围; (2)若g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论. 解：(1)令f'(x)＝1x﹣a ＝1﹣axx <0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a ﹣1，即f(x)在(a ﹣1，＋∞)上是单调减函数.同理，f(x)在(0，a ﹣1)上是单调增函数.由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)∶(a ﹣1，＋∞)，从而a ﹣1≤1，即a≥1.令g'(x)＝e x ﹣a ＝0，得x ＝ln A ．当x<ln a 时，g'(x )<0;当x>ln a 时，g'(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e .综上，有a∶(e ，＋∞).(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数;当a>0时，令g'(x)＝e x ﹣a>0，解得a<e x ，即x>ln A ．因为g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤﹣1，即0<a≤e ﹣1.结合上述两种情况，有a≤e ﹣1.①当a ＝0时，由f(1)＝0以及f'(x)＝1x >0，得f(x)存在唯一的零点;②当a<0时，由于f(e a )＝a ﹣a e a ＝a(1﹣e a )<0，f(1)＝﹣a>0，且函数f(x)在[e a ，1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a ，1)上存在零点.另外，当x>0时，f'(x)＝1x ﹣a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点. ③当0<a≤e ﹣1时，令f'(x)＝1x ﹣a ＝0，解得x ＝a ﹣1.当0<x<a﹣1时，f'(x)>0，当x>a﹣1时，f'(x)<0，所以，x ＝a﹣1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a ﹣1)＝﹣ln a ﹣1.当﹣ln a ﹣1＝0，即a ＝e ﹣1时，f(x)有一个零点x ＝e .当﹣ln a ﹣1>0，即0<a<e ﹣1时，f(x)有两个零点.实际上，对于0<a<e ﹣1，由于f(e ﹣1)＝﹣1﹣a e ﹣1<0，f(a ﹣1)>0，且函数f(x)在[e ﹣1，a ﹣1]上的图象不间断，所以f(x)在(e ﹣1，a ﹣1)上存在零点.另外，当x∶(0，a﹣1)时，f'(x)＝1x﹣a>0，故f(x)在(0，a﹣1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a﹣1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a﹣1，＋∞)上的情况.先证f(e a﹣1)＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x﹣x2，则h'(x)＝e x﹣2x，再设l(x)＝h'(x)＝e x﹣2x，则l'(x)＝e x﹣2.当x>1时，l'(x)＝e x﹣2>e﹣2>0，所以l(x)＝h'(x)在(1，＋∞)上是单调增函数.故当x>2时，h'(x)＝e x﹣2x>h'(2)＝e2﹣4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝e x﹣x2>h(e)＝e e﹣e2>0.即当x>e时，e x>x2.当0<a<e﹣1，即a﹣1>e时，f(e a﹣1)＝a﹣1﹣a e a﹣1＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0，又f(a﹣1)>0，且函数f(x)在[a﹣1，e a﹣1]上的图象不间断，所以f(x)在(a﹣1，e a﹣1)上存在零点.又当x>a﹣1时，f'(x)＝1x﹣a<0，故f(x)在(a﹣1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a﹣1，＋∞)上只有一个零点.综合①，②，③，当a≤0或a＝e﹣1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e﹣1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A．[选修4﹣1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC．求证：AC＝2AD．证明：连结OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∶ADO＝∶ACB＝90°.又因为∶A＝∶A，所以Rt∶ADO∶Rt∶ACB．所以BCOD ＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD．B．[选修4﹣2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝[﹣1002]，B＝[1206]，求矩阵A﹣1B．解：设矩阵A的逆矩阵为[a bc d]，则[﹣1002][a bc d]＝[1001]，即[﹣a﹣b2c2d]＝[1001]，故a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0，d ＝1，从而A 的逆矩阵为A ﹣1＝[﹣1 0 012]，所以A ﹣1B ＝[﹣1 0 0 12][1 20 6]＝[﹣1﹣20 3]. C ．[选修4﹣4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x ＝2tan 2θ，y ＝2tanθ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标. 解：因为直线l 的参数方程为{x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x ﹣1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x ﹣y ﹣2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组{y ＝2(x ﹣1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，(12，﹣1).D ．[选修4﹣5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b>0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ． 证明：2a 3﹣b 3﹣(2ab 2﹣a 2b)＝2a(a 2﹣b 2)＋b(a 2﹣b 2)＝(a 2﹣b 2)(2a ＋b)＝(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b).因为a≥b>0，所以a ﹣b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0， 从而(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB∶AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，﹣4)，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，﹣1，﹣4).因为cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >＝A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√20×√183√1010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，1，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，4)，所以n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n 1·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝﹣2，所以，n 1＝(2，﹣2，1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||√9×√123，得sin θ＝√53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为√5.23.(本小题满分10分)设数列{a n }：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，(﹣1)k ﹣1k ，…，(﹣1)k ﹣1k ⏞k 个，…，即当(k ﹣1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∶N *)时，a n＝(﹣1)k ﹣1k.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∶N *).对于l ∶N *，定义集合P l ＝{n|S n是a n 的整数倍，n ∶N *，且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数; (2)求集合P 2000中元素的个数.解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝﹣2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝﹣4，a 8＝﹣4，a 9＝﹣4，a 10＝﹣4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝﹣1，S 3＝﹣3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝﹣2，S 9＝﹣6，S 10＝﹣10，S 11＝﹣5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝﹣a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝﹣i (2i ＋1)(i ∶N *).事实上，①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝﹣3，﹣i(2i ＋1)＝﹣3，故原等式成立;②假设i ＝m 时成立，即S m(2m ＋1)＝﹣m(2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2﹣(2m ＋2)2＝﹣m(2m ＋1)﹣4m ﹣3＝﹣(2m 2＋5m ＋3)＝﹣(m ＋1)(2m ＋3).综合①②可得S i(2i ＋1)＝﹣i(2i ＋1).于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝﹣i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1).由上可知S i(2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i(2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i(2i ＋1)＋j ＝S i(2i ＋1)＋j(2i ＋1)是a i(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数.又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝﹣(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)﹣j(2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)﹣j(2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i(2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i ﹣1)＝i 2，于是，当l ＝i(2i ＋1)＋j(1≤j≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j.又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2000中元素的个数为312＋47＝1008.。
2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)
2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分一．填空题。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。
3．双曲线191622=-yx的两条渐近线的方程为 。
4．集合}1,0,1{-共有 个子集。
5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。
6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。
7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间ABC1A D E F1B 1C12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by ax ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。
2013江苏高考数学(文理同卷)试题及答案
2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一．填空题。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。
3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
4．集合}1,0,1{-共有 个子集。
5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。
6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。
7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=ABC1A D E F 1B 1C（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。
全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编1 集合 理
2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编1:集合一、选择题1 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设集合}1,0,1{-=M ,},{2a a N =则使M N N = 成立的a 的值是 （ ）A ．1B ．0C ． -1D ．1或-1【答案】C 【解析】若M N N = ,则有N M ⊆.若0a =,{0,0}N =,不成立.若1a =,则{1,1}N =不成立.若1a =-,则{1,1}N =-,满足N M ⊆,所以1a =-,选 C ． 2 ．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈,则A B 中的元素的个数为A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}0,1,2【答案】B 【解析】{}{||1|,}0,1,2,B x x a a A ==+∈=所以{}0,1A B = .3 ．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z =∈≤,则A B ⋂= （） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2] D ．{0,1,2}【答案】解析:{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤,{4}{016}B x Z x Z x =∈≤=∈≤≤ 故{0,1,2}A B ⋂=.应选 D ．4 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足 （） A ．||3a b +≤ B ．||3a b +≥C ．||3a b -≤D ．||3a b -≥【答案】D 【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系,属于中等题.A={x|a-1<x<a+1},B={x|x<b-2或x>b+2}因为A ⊆B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2,即a-b ≤-3或a-b ≥3,即|a-b|≥35 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知集合{}2|ln(9)A Z B x y x ===-，,则A B 为 （） A ．{}210--，， B ．{}-2-1012，，，， C ．{}012，， D ．{}-1012，，，【答案】B 【解析】考查集合的概念和交集运算,由()29033x x ->∈-，，,即{}|33B x x =-<<,所以{}-2-1012A B = ，，，，.6 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知集合{|3}M x x =<,{|21}xN x =-,则M N =（ ）A ．∅B ．{|3}x x <C ．{|13}x x <<D ．{|03}x x << 【答案】D7 ．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知集合,A B =（ ）A B C D ．∅ 【答案】B8 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）设全集R,{|(2)0},{|ln(1)},A x x x B x y x =-<==- 则A U （CB ）= （ ）A ．(2,1)-B ．[1,2)C ．(2,1]-D ．(1,2) 【答案】B ()()0,2,,1,A B ==-∞[)1,,U C B =+∞9 ．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ,{}0log |2<=x x B ,则U A C B ⋂=（ ） A ．{}13x x <<B ．{}310|<≤≤x x x 或C ．{}3x x <D ．{}13x x ≤<【答案】B10．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）已知全集U =R ,集合{12}M x x =-≤,则U M =ð（ ）A ．{13}x x -<<B ．{13}x x -≤≤C ．{13}x x x <-<，或D ．{13}x x x -≤≥，或 【答案】C 【解析】因为集合{12}{13}M x x x x =-=-≤≤≤,全集U =R ,所以U M =ð{13}x x x <-<，或. 11．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N = （ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|13}x x ≤<C ．{|04}x x <≤D ．{|0x x <或4}x ≥【答案】A 【解析】=⋂∴≥≤=≥--=N M x x x x x x N },41|{}0)1)(4(|{或{|01}x x <≤12．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）若{}8222<≤∈=-x Z x A ,{}1log 2>∈=x R x B ,则()B C A R 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C ． 化简{}()10,1,0,2,2A B ⎛⎫==+∞ ⎪⎝⎭13．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设集合 M={x|(x+3)(x ﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]【答案】答案:A考点:交集及其运算.分析:根据已知条件我们分别计算出集合M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交集运算的定义易得到A ∩B 的值.解答:解:∵M={x|(x+3)(x﹣2)<0}=(﹣3,2)N={x|1≤x≤3}=[1,3],∴M∩N=[1,2)14．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）集合{3}x M y y =∈=R ,{1,0,1}N =-,则下列结论正确的是（ ） A ．{0,1}M N = B ．(0,)M N =+∞C ．()(,0)C M N =-∞ RD ．(){1,0}C M N =- R【答案】D 【解析】:由已知条件可得(0,)M =+∞,则(,0]C M =-∞R ,∴(){1,0}C M N =- R .故选 D ．15．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃（） A ．{0,1,2,3,} B ．{5} C ．{1,2,4} D ．{0,4,5}【答案】D 【解析】}2{540{14}{2,3}B x Z x x x Z x =∈-+=∈<<=＜,所以{1,2,3}A B = ,所以(){0,4,5}U A B = ð,选 D ．二、填空题16．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）设全集{}4,3,2,1,0=U ,{}4,3,0=A ,{}3,1=B ,则B A C U ⋃）（=________.【答案】{1,2,3}17．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）设集合{|1},{|(2)0}A x x B x x x =>=-<,则A B = _______________.【答案】{|12}x x <<【解析】{|02}B x x =<<,{|1}{02}{|12}A B x x x x x x =><<=<<。
13年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
【答案】1：24
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：24．
9．抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界)．若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是．
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数 的最小正周期为．
【答案】π
【解析】T＝| |＝| |＝π．
2．设 （ 为虚数单位），则复数 的模为．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝ ＝5．
3．双曲线 的两条渐近线的方程为．
【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．集合 共有个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
运动员
第一次
第二次
2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1ADE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)
2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数． 解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)
江苏数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑i=1n(x i -x )2,其中x=1n ∑i=1n x i .棱锥的体积公式:V=13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.．1.(2013江苏,1)函数y=3sin (2x +π4)的最小正周期为 .答案:π解析:函数y=3sin (2x +π4)的最小正周期T=2π2=π.2.(2013江苏,2)设z=(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 答案:5解析:|z|=|(2-i)2|=|4-4i +i 2|=|3-4i |=√32+(-4)2=5.3.(2013江苏,3)双曲线x 216−y 29=1的两条渐近线的方程为.答案:y=±34x 解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±34x. 4.(2013江苏,4)集合{-1,0,1}共有 个子集. 答案:8解析:由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .答案:3解析:第一次循环后:a ←8,n ←2;第二次循环后:a ←26,n ←3; 由于26>20,跳出循环, 输出n=3.6.(2013江苏,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 答案:2解析:由题中数据可得x 甲=90,x 乙=90.于是s 甲2=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,s 乙2=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,由s 甲2>s 乙2,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .答案:2063解析:由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;n的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m,n:若m=1时,n可取1,2,3,…,9,共9种情况;同理m取2,3,…,7时,n也各有9种情况,故m,n的取值情况共有7×9=63种.若m,n都取奇数,则m的取值为1,3,5,7,n的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4×5=20种.故所求概率为2063.8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.答案:1∶24解析:由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.因此V1∶V2=13AF·S△AED2AF·S△ABC=1∶24.9.(2013江苏,9)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.答案:[-2,12]解析:由题意可知抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x-1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示:当直线x+2y=0平移到过点A(12,0)时,x+2y取得最大值12.当直线x+2y=0平移到过点B(0,-1)时,x+2y取得最小值-2.因此所求的x+2y的取值范围为[-2,12].10.(2013江苏,10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案:12解析:由题意作图如图.∵在△ABC 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23. 故λ1+λ2=12.11.(2013江苏,11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 . 答案:(-5,0)∪(5,+∞)解析:∵函数f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=x 2-4x,则f(x)={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,∴原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x ,或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 故应填(-5,0)∪(5,+∞).12.(2013江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>0,b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=√6d 1,则椭圆C 的离心率为 .答案:√33解析:设椭圆C 的半焦距为c,由题意可设直线BF 的方程为x c +y b=1,即bx+cy-bc=0.于是可知d 1=√b +c 2=bc a ,d 2=a 2c -c=a 2-c 2c=b 2c. ∵d 2=√6d 1,∴b 2c=√6bca,即ab=√6c 2.∴a 2(a 2-c 2)=6c 4.∴6e 4+e 2-1=0.∴e 2=13.∴e=√33.13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy 中,设定点A(a,a),P 是函数y=1x (x>0)图象上一动点.若点P,A 之间的最短距离为2√2,则满足条件的实数a 的所有值为 . 答案:-1,√10解析:设P 点的坐标为(x ,1x ),则|PA|2=(x-a)2+(1x -a)2=(x 2+1x 2)-2a (x +1x )+2a 2.令t=x+1x ≥2,则|PA|2=t 2-2at+2a 2-2=(t-a)2+a 2-2(t ≥2).结合题意可知(1)当a ≤2,t=2时,|PA|2取得最小值.此时(2-a)2+a 2-2=8,解得a=-1,a=3(舍去).(2)当a>2,t=a 时,|PA|2取得最小值.此时a 2-2=8,解得a=√10,a=-√10(舍去).故满足条件的实数a 的所有值为√10,-1.14.(2013江苏,14)在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为 . 答案:12解析:设正项等比数列{a n }的公比为q,则由a 5=12,a 6+a 7=a 5(q+q 2)=3可得q=2,于是a n =2n-6,则a 1+a 2+…+a n =132(1-2n)1-2=2n-5-132.∵a 5=12,q=2,∴a 6=1,a 1a 11=a 2a 10=…=a 62=1.∴a 1a 2…a 11=1.当n 取12时,a 1+a 2+…+a 12=27-132>a 1a 2…a 11a 12=a 12=26成立;当n 取13时,a 1+a 2+…+a 13=28-132<a 1a 2…a 11a 12a 13=a 12a 13=26·27=213.当n>13时,随着n 增大a 1+a 2+…+a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2013江苏,15)(本小题满分14分)已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b |=√2,求证:a ⊥b ; (2)设c =(0,1),若a-b=c ,求α,β的值.(1)证明:由题意得|a-b |2=2,即(a-b )2=a 2-2a ·b+b 2=2.又因为a 2=b 2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a ·b=2,即a ·b =0. 故a ⊥b .(2)解:因为a+b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以{cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cos α=cos (π-β).由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.(2013江苏,16)(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC; (2)BC ⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF ⊥SB,垂足为F,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG=E, 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC,且交线为SB,又AF ⊂平面SAB,AF ⊥SB,所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC,AF ∩AB=A,AF,AB ⊂平面SAB,所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB,所以BC ⊥SA.17.(2013江苏,17)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解:(1)由题设,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3, ,√k +1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤CD ≤2+1, 即1≤√a 2+(2a -3)2≤3. 由5a 2-12a+8≥0,得a ∈R ; 由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0,125]. 18.(2013江苏,18)(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min ,在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A=1213,cos C=35. (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 解:(1)在△ABC 中,因为cos A=1213,cos C=35,所以sin A=513,sin C=45.从而sin B=sin [π-(A+C)]=sin (A+C)=sin A cos C+cos A sin C=513×35+1213×45=6365. 由正弦定理ABsinC =ACsinB ,得AB=ACsinB ×sin C=1 2606365×45=1 040(m ).所以索道AB 的长为1 040 m .(2)假设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m ,乙距离A 处130t m ,所以由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200(37t 2-70t+50), 因0≤t ≤1 040130,即0≤t ≤8,故当t=3537(min )时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BCsinA =ACsinB ,得BC=ACsinB ×sin A=1 2606365×513=500(m ).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m ),还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ,由题意得-3≤500v −71050≤3,解得1 25043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在[1 25043,62514](单位:m/min )范围内. 19.(2013江苏,19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项和.记b n =nSnn 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c=0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *); (2)若{b n }是等差数列,证明:c=0. 证明:由题设,S n =na+n (n -1)2d. (1)由c=0,得b n =S n n =a+n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4, 即(a +d 2)2=a (a +32d),化简得d 2-2ad=0.因为d ≠0,所以d=2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a=n 2k 2a=n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1,则b n =b 1+(n-1)d 1,即nS nn 2+c=b 1+(n-1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d)n 3+(b 1-d 1-a +12d)n 2+cd 1n=c (d 1-b 1).令A=d 1-12d ,B=b 1-d 1-a+12d ,D=c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd 1=8A+4B+2cd 1=27A+9B+3cd 1=64A+16B+4cd 1, 从而有{7A +3B +cd 1=0,19A +5B +cd 1=0,21A +5B +cd 1=0,①②③由②,③得A=0,cd 1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd 1=0. 即d 1-12d=0,b 1-d 1-a+12d=0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d 1≠0. 又因为cd 1=0,所以c=0.20.(2013江苏,20)(本小题满分16分)设函数f(x)=ln x -ax ,g (x )=e x -ax,其中a 为实数. (1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a 的取值范围; (2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)令f'(x)=1x-a=1-axx<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a -1,即f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a -1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a -1,+∞),从而a -1≤1,即a ≥1.令g'(x)=e x -a=0,得x=ln a.当x<ln a 时,g'(x )<0;当x>ln a 时,g'(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e .综上,有a ∈(e ,+∞).(2)当a ≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g'(x)=e x -a>0,解得a<e x ,即x>ln a. 因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1. 结合上述两种情况,有a ≤e -1.①当a=0时,由f(1)=0以及f'(x)=1x >0,得f(x)存在唯一的零点;②当a<0时,由于f(e a )=a-a e a =a(1-e a )<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a ,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a ,1)上存在零点.另外,当x>0时,f'(x)=1x -a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.③当0<a≤e-1时,令f'(x)=1-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时,f'(x)>0,当x>a-1时,f'(x)<0,所以,x=a-1是xf(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1.当-ln a-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.当-ln a-1>0,即0<a<e-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-a e-1<0,f(a-1)>0,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x∈(0,a-1)时,f'(x)=1-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零x点.下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(e a-1)=a(a-2-e a-1)<0.为此,我们要证明:当x>e时,e x>x2.设h(x)=e x-x2,则h'(x)=e x-2x,再设l(x)=h'(x)=e x-2x,则l'(x)=e x-2.当x>1时,l'(x)=e x-2>e-2>0,所以l(x)=h'(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h'(x)=e x-2x>h'(2)=e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=e x-x2>h(e)=e e-e2>0.即当x>e时,e x>x2.当0<a<e-1,即a-1>e时,f(e a-1)=a-1-a e a-1=a(a-2-e a-1)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1,e a-1]上的图象不间-a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)断,所以f(x)在(a-1,e a-1)上存在零点.又当x>a-1时,f'(x)=1x在(a-1,+∞)上只有一个零点.综合①,②,③,当a≤0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当 0<a<e-1时,f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．并在相应的答题区域内作答．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.(2013江苏,21)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D,C,AC 经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D,C,所以∠ADO=∠ACB=90°.又因为∠A=∠A,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB.所以BCOD=AC AD. 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =[-1 0 0 2],B =[1 20 6],求矩阵A -1B .解:设矩阵A 的逆矩阵为[a b c d ],则[-1 0 0 2][a b c d ]=[1 00 1],即[-a -b 2c 2d ]=[1 00 1], 故a=-1,b=0,c=0,d=12,从而A 的逆矩阵为A -1=[-1 00 12], 所以A -1B =[-1 0 0 12][1 20 6]=[-1-20 3]. C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =t +1,y =2t (t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2tan 2θ,y =2tanθ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l 的参数方程为{x =t +1,y =2t (t 为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l 的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组{y =2(x -1),y 2=2x ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b>0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b. 证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b)=2a(a 2-b 2)+b(a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为a ≥b>0,所以a-b ≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区．．．．．．域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(2013江苏,22)(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC,AB=AC=2,A 1A=4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值; (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4), 所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-4),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-4). 因为cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=18√20×√18=3√1010, 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,4),所以n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|=|n 1·n2|n 1||n 2||=√9×√1=23,得sin θ=√53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为√53.23.(2013江苏,23)(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(-1)k -1k ,…,(-1)k -1k ⏞k 个,…,即当(k -1)k 2<n ≤k (k+1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k-1k.记S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n|S n 是a n的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }. (1)求集合P 11中元素的个数; (2)求集合P 2 000中元素的个数.解:(1)由数列{a n }的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i+1)=-i (2i+1)(i ∈N *).事实上,①当i=1时,S i(2i+1)=S 3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立;②假设i=m 时成立,即S m(2m+1)=-m(2m+1),则i=m+1时,S (m+1)(2m+3)=S m(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m 2+5m+3)=-(m+1)(2m+3).综合①②可得S i(2i+1)=-i(2i+1).于是S (i+1)(2i+1)=S i(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1). 由上可知S i(2i+1)是2i+1的倍数,而a i(2i+1)+j =2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以S i(2i+1)+j =S i(2i+1)+j(2i+1)是a i(2i+1)+j (j=1,2,…,2i+1)的倍数.又S (i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是2i+2的倍数,而a (i+1)(2i+1)+j =-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S (i+1)(2i+1)+j =S (i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a (i+1)(2i+1)+j (j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合P l 中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i 2,于是,当l=i(2i+1)+j(1≤j ≤2i+1)时,集合P l 中元素的个数为i 2+j.又2 000=31×(2×31+1)+47,故集合P2 000中元素的个数为312+47=1 008.。
2013年理科全国各省市高考真题——集合(带答案)
2013年全国各省市理科数学—集合1、2013全国理T1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62、2013新课标I 理T1.已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则 （A ）A B =ΦI （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆3、2013新课标Ⅱ理1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ）（A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 4、2013辽宁理T2.已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 5、2013山东理T2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.96、2013北京理T1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}7、2013重庆理T1.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B ð （ ）A 、{}134，，B 、{}34，C 、 {}3D 、 {}48、2013四川理T1.设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B = （ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅9、2013天津理T1.已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 10、2013浙江理T2.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )(A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞11、2013福建理T2.已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12、2013广东理T1.设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-13、2013陕西理T1.设全集为R , 函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1] (B) (－1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-14、2013湖北理T2.已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ）A.{}|0x x ≤B. {|24}x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或15、2013江西理T1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i16、2013上海理T15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞17、2013江苏T4.集合}1,0,1{-共有 个子集．参考答案：1—5、BBADC 6—10、BDADC 11—15、ADDCC 16、B 17、8。
2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编1：集合
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编1：集合一、填空题1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7},集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤,则集合U M =______.【答案】{6,7} 2 ．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知集合{}0322<-+=x x x A ,{}21<-=x x B ,则=⋂B A __________.【答案】)1,1(-3 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）设A ,B 是两个非空的有限集合，全集U =A ∪B ,且U 中含有m 个元素.若()()A B U U C C 中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为 ▲ .【答案】m -n4 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B =__.【答案】{3,5};5 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知全集U =R ,集合2{|log 1}A x x =>,则U A =____.【答案】(-∞,2] 6 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）集合{}1,0,1A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有__________个【答案】解析:子集中的元素为来自集合{}1,1-,所以子集的个数为224=. 7 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）集合{}1,0,1A =-,{}2|1,B x x m m R ==+∈,则A B =________.【答案】{}1;8 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4];④“整数a,b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b∈[0]”其中,正确结论的个数是________个【答案】39 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知集合{1,2},{2,3}A B ==,则AB =______. 【答案】{}1,2,310．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）若已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -,则=n ______.【答案】111．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）若集合{}1,0,1A =-,{}21,B x x m m ==+∈R ,则B A =________.【答案】{1}12．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）全集R U =,{|A x y ==,(){|lg 11}B x x =-<则=⋂B A __________.【答案】(]2,113．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x 2-x ≤0},则A ∩B =_____.【答案】{0, 1} 14．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）已知数集{}1 0 2M x =--，，中有3个元素,则实数x 不能取的值构成的集合为______.【答案】{}1 2，; 15．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）已知集合A ={x |x 2-2x ≥0},B ={-1, 0, 1, 2, 3},则A ∩B =_____.【答案】{-1,0,2,3}16．（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知集合2{3,},{1,3,32},A m B m ==--若,A B A =,则实数m 的值为___________..【答案】12or17．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））已知R 为实数集,2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥,则=)(N C M R _____.【答案】{|01}x x <<18．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知集合{}{}x N x M ,1,,12==,且集合N M =,则实数x 的值为_________.【答案】019．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知集合{}{}12,1A x x B x x =-=<≤≤,则()A B R =________.【答案】{|12}x x ≤≤20．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知集合M ={x |y =lg x },N ={ x |y =1－x },则M ∩N =________.【答案】(0,1]21．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）设全集{}4,3,2,1,0=U ,{}4,3,0=A ,{}3,1=B ,则B A C U ⋃）（=________.【答案】{1,2,3}22．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知集合{}11M =-，,11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，,则M N =_________.【答案】}1{- 23．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc ）设全集{}2,1,0,1,2U =--,集合{}1,1,2A =-,{}1,1B =-,则()U A C B 为______【答案】{}2二、解答题24．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知集合[]{}|2,2,3x A y y x ==-∈,{}22|330B x x x a a =+-->,(1)当4a =时,求A B ;(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围【答案】解:(1)[]8,4A =--,当4a =时,()(),74,B =-∞-+∞,由数轴图得:[)8,7A B =--(2)方程22330x x a a +--=的两根分别为,3a a --,①当3a a =--时,33,,22B ⎛⎫⎛⎫=-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,满足A B ⊆; ②当32a <-时,3a a <--,()(),3,B a a =-∞--+∞,则4a >-或38a --<-, 得342a -<<-; ③当32a >-时,3a a >--,()(),3,B a a =-∞--+∞,则8a <-或34a -->- 得312a -<< 综上所述,实数a 的取值范围是()4,1- 25．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知集合{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=,其中()2,1>≤≤∈n n i R a i ,()A l 表示()n j i a a j i ≤<≤+1的所有不同值的个数.(1)已知集合{}8,6,4,2=P ,{}16,8,4,2=Q ,分别求()P l ,()Q l ;(3)求()A l 的最小值.【答案】(1)由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得l (P )=5由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得l (Q )=6(3)不妨设a 1<a 2<a 3<<a n ,可得a 1+a 2<a 1+a 3<<a 1+a n <a 2+a n <a 3+a n <<a n -1+a n ,故a i +a j (1≤i <j ≤n )中至少有2n -3个不同的数,即l (A )≥2n -3.事实上,设a 1,a 2,a 3,,a n 成等差数列,考虑a i +a j (1≤i <j ≤n ),根据等差数列的性质,当i +j ≤n 时, a i +a j =a 1+a i +j -1;当i +j >n 时, a i +a j =a i +j -n +a n ;因此每个和a i +a j (1≤i <j ≤n )等于a 1+a k (2≤k ≤n )中的一个,或者等于a l +a n (2≤l ≤n -1)中的一个.故对这样的集合A ,l (A )=2n -3,所以l (A )的最小值为2n -3.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)一、填空题，共14 题，每题5分1、函数y=3sin(2x+)的最小正周期为【答案】;2、设z=(2-i)2（i为虚数单位），则复数的模为【答案】5;3、双曲线的两条渐近线的方程为【答案】;4、集合{-1,0,1}共有个子集【答案】8;5、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是【答案】4;6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为【答案】2;7、现在某类病毒记作，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m,n都取到奇数的概率为【答案】;8、如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是的中点，设三棱锥F-ADE的体积为，三棱柱的体积为，则【答案】;9、抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）。
若点是区域内的任意一点，则的取值范围是【答案】;10、设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，，若（为实数），则的值为【答案】;11、已知f(x)是定义在R上的奇函数。
当x＞0时，f（x）=x2-4，则不等式的解集用区间表示为【答案】;12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆的标准方程为），右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为【答案】;13、在平面直角坐标系中，设定点A（a，a），是函数（）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为【答案】;14、在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数n的值为【答案】12 ;二、解答题，共 6 题，每题5分1、已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π。
（1）若，求证：；（2）设c=(0,1)，若a+b=c，求的值。
【解析】（1）略（2）2、如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过作，垂足为，点分别是棱的中点。
2013年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)试题
2013年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学试题1、【题文】函数的最小正周期为2、【题文】设为虚数单位），则复数的模为3、【题文】双曲线的两条渐近线的方程为4、【题文】集合共有个子集.5、【题文】下图是一个算法的流程图，则输出的的值是6、【题文】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为7、【题文】现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为8、【题文】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则9、【题文】抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是10、【题文】设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是11、【题文】已知是定义在上的奇函数. 当时，，则不等式的解集用区间表示为12、【题文】在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点. 设原点到直线的距离为，点到的距离为. 若，则椭圆的离心率为13、【题文】在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为14、【题文】在正项等比数列中，，. 则满足的最大正整数的值为15、【题文】已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.16、【题文】如图，在三棱锥中，平面平面，，. 过点作，垂足为，点，分别为棱，的中点.求证：（1）平面平面；（2）.17、【题文】如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.18、【题文】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、【题文】设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.（1）若，且，，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.20、【题文】设函数，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.21、【题文】、分别与圆相切于、，经过圆心，且，求证：.22、【题文】已知矩阵，，求矩阵.23、【题文】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.24、【题文】已知，求证：.25、【题文】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.26、【题文】设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.（1）求集合中元素的个数；（2）求集合中元素的个数.。
2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版[1]
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．（2013江苏,2)设z ＝（2－i ）2（i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．（2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________．4．(2013江苏，4）集合{－1，0，1｝共有__________个子集． 5．（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．（2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(7．(2013江苏，7）现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ，n （m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．（2013江苏,8）如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ,E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点,设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________。
2013年高考理科数学试卷--江苏卷(含答案)
2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分一．填空题。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。
3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
4．集合}1,0,1{-共有 个子集。
5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次[来源:学*科*网Z*X*X*K]第5次甲 87 91 90 89 93 乙[来源:学科网]89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。
7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
[来源:学*科*网] 9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
ABC1A D E F1B 1C10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d ，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为a的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n}中，51 2a ，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----644474448L 个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．答案：π解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2．答案：5解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|5=＝5.3．答案：34y x =±解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±. 4．答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5．答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3. 6．答案：2解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2s 甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s 乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由22>s s 乙甲，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.7．答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 8．答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝132AEDABCAF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24.9．答案：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r121263AB AC AB AC λλ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bcd a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =，∴2b c =，即2ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝13.∴3e =.13．答案：－1解析：设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则|PA |2＝22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．结合题意可知(1)当a ≤2，t ＝2时，|PA |2取得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)．(2)当a ＞2，t ＝a 时，|PA |2取得最小值．此时a 2－2＝8，解得aa＝舍去)．故满足条件的实数a1. 14．答案：12解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由⊂，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0. 故a ⊥b .(2)解：因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=. 16．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .17．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 21k +＝1，解得k ＝0或34-， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，22223=2x y x y +(-)+化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即221233a a ≤+(-)≤.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B=⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B⨯=⨯＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 19．证明：由题设，(1)2n n n S na d -=+.(1)由c ＝0，得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以22b ＝b 1b 4，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即2n nS n c+＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c (d 1－b 1)．令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即112d d -＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由112d d -＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0. 20．解：(1)令f ′(x )＝11axa x x--=＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x，即x ＞ln a .因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1. ①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点； ②当a ＜0时，由于f (e a)＝a －a e a＝a (1－e a)＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x＞0时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝1x－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BC AC OD AD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.B ．[选修4－2：矩阵与变换]解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C ．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D ．证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B u u u r ＝(2,0，－4)，1C D u u u u r＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B u u u r ，1C D u u u u r 〉＝1111A B C DA B C D⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r10=，所以异面直线A 1B 与C 1D所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD u u u r ＝(1,1,0)，1AC u u u u r ＝(0,2,4)，所以n 1·AD u u u r＝0，n 1·1AC u u u u r ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ＝3. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为3. 23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。