高三数学一轮复习曲线的轨迹方程的求法

2009届一轮复习曲线的轨迹方程的求法

高考要求:

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.

重难点归纳:

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1)直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.

(2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.

(3)相关点法:根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.

(4)参数法:若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 典型题例示范讲解:

例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2

=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的

顶点Q 的轨迹方程.

命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线

的轨迹方程.

知识依托:利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.

错解分析:欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.

技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解:设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理:在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2

)

又|AR |=|PR |=22)4(y x +-

所以有(x －4)2

+y 2

=36－(x 2

+y 2

),即x 2

+y 2

－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,241+=

+y y x , 代入方程x 2

+y 2－4x －10=0,得

2

4

4)2()24(

22+⋅

-++x y x －10=0 整理得:x 2+y 2

=56,这就是所求的轨迹方程.

例2设点A 和B 为抛物线.y 2

=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，

求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

命题意图:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程. 知识依托:直线与抛物线的位置关系.

错解分析:当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论. 技巧与方法:将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.

解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ).(x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a

由OM ⊥AB ，得m =－y

x

由y 2

=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2

－4p my －4pa =0

所以y 1y 2=－4pa ,.x 1x 2=22

122

()(4)

y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2=－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－

y x

代入，得x 2+y 2

－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2

+y 2

－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二:设OA 的方程为y kx =，代入y 2

=4px 得222(

,)p p A k k

则OB 的方程为1

y x k =-

，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2

(2)1k

y x p k =

--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2

－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法三:设M (x ,y ).(x ≠0)，OA 的方程为y kx =，

代入y 2

=4px 得222(

,)p p A k k 则OB 的方程为1

y x k

=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -

由OM ⊥AB ，得

M 既在以OA 为直径的圆:2

2

2220p p x y x y k k

+-

-=……①上， 又在以OB 为直径的圆:2

22

220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2

k ⨯+②得.x 2

+y 2

－4px =0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2

－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的