(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动.doc

第四篇 振动与波动
第十二章
机械振动
§ 12-1 简谐振动
1、弹簧振子运动
如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。

现将 m 略向右移到 A ，然后放开，此时，由
于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。

在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用 在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用， m 将继续向 O 左边运动，使弹簧压缩。

此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B （瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。

这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。

图 12-1
2、简谐振动运动方程
由上分析知， m 位移为 x （相对平衡点 O ）时，它受到弹性力为（胡克定律） ：
F kx (12-1)
式中： 当
x 0
即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即
F 0 当 x
即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即
F 0
k
为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。

定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。

由定义知，弹簧振子做谐
振动。

由牛顿第二定律知，
m
加速度为
a
F kx
m
m
（ m
为物体质量）
a d 2 x
d 2 x k x
∵
dt 2 ∴ dt 2
m
k
2
∵ k
、 m
均大于 0，∴可令
m
可有：
d 2 x 2 x 0
(12-2)
dt 2
式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。

它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的
解为
x Asin t ' (12-3)
或x Acos t (12-4)
'
2
式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。

因此，我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。

本书中用余弦形式表示谐振动方程。

3、谐振动的速度和加速度
物体位移：x
Acos t
dx
Asin t
V
(12-5)
速度：dt
d 2 x
a 2 Acos t 2 x
加速度：dt 2 (12-6)
可知：V
max A a
max 2 A
x t、V t 、 a
t 曲线如下
图12-2
图12-3
说明：（1）
F
kx 是谐振动的动力学特征；
（2） a
2 x
是谐振动的运动学特征；
（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。

§ 12-2 谐振动的振幅
角频率 位相
上节我们得出了谐振动的运动方程
x Acos
t
，现在来说明式中各量意义。

1、振幅
做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A 。

A 反映了振动的强弱。

2、角频率（圆频率）
为了定义角频率。

首先定义周期和频率。

物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T 表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v
表示。

1
1
v
T
由上可知：
T
或
v
∵ T 为周期，∴
x
Acos t
Acos t T
∵从 t
时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来 t
时刻状态，∴ T 2
（余弦函数
周期为 2
）
2
2 v
T 可见： 表示在 2
秒内物体所做的完全振动次数，
称为角频率（圆频率）
k
∵
m
2
2
m
T
k ∴
v
1 k
2 m
2
对于给定的弹簧振子，
m
、 k
都是一定的，所以 T 、 v
完全由弹簧振子本身的性质
所决定，与其它因素无关。

因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。

3、位相
在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A 、
给定后，物体的位置和速度取决于
t
， t
称为位相（或周相、相位） 。

由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。

是
t
时的位相，称为初相。

4、 A 、 的确定
对于给定的系统， 已知，初始条件给定后可求出 A 、 。

初始条件：
t 0
时
x x
由 x 、 v 表达式有
v v 0
x 0 Acos
v 0
Asin 即
x 0
Acos
v 0
Asin
tg
即
x 0
arctg
v 0
x 0
A 2
v 02
x 0
2
值所在象限：
1） x 0 0， v
0 0 ： 在第Ⅰ象限
2） x 0 0 ， v 0
0 ： 在第Ⅱ象限 3） x 0 0 ， v 0 0 ： 在第Ⅲ象限
4）
x
0，
v
0 ： 在第Ⅳ象限
（ 12-6 ）
（ 12-7 ）
5、两个谐振动物体在同一时刻位相差
设物体 1 和 2 的谐振动方程为
图 12-4
x 1 A 1 cos 1
t
1
x 2
A 2 cos
2
t
2
任意 t
时刻二者位相差为
2
t
2
1t 121
t
21
：2 的位相比 1 超前
：2、1 同位相
：2 的位相比 1 落后
例 12-1 ：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知
k
1.60N / m ，
m 0.40kg
，试
求下列情况下 m
的振动方程。

（1）将 m
从平衡位置向右移到 x 0.10m 处由静止释放；
（2）将 m
从平衡位置向右移到 x 0.10m 处并给以 m 向左的速率为 0.20m/ s 。

解：（1）
m
的运动方程为
x Acos
t
k
1.60
2 / s
由题意知： m 0.40
初始条件：
t
0 时，
x
0.10m ， v 0 0
A 2
v 02 2
0.10m
可得：
x 0 2
0.10 0
图 12-5
arctg
v 0 arctg 0
x 0
∵ x 0 0 ，
v 0 0 ，∴
x 0.10 cos 2t m
2） 初始条件： t
0 时， x
0 0.10m ， v 0
0.20m / s
A 2 v 02 2
0.20 2 0.1 2m
x 0 2
0.10
22
arctg v 0
arctg
0.20
arctg 1
x 0
0.10
2
∵ x 0
0 ， v 0
，∴
4
x
0.1 2 cos 2t
m
4
可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。

例 12-2 ：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。

(1) 证明：当摆角 很小时小球做谐振动；
(2) 求小球振动周期。

证：（1）设摆长为 l
，小球质量为 m
，某时刻小球悬线与铅
直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由 转动定律：
M J
有
mg sin lml 2
d
2
图 12-6
dt 2
d 2
g
sin0 即
dt 2 l
∵ 很小。

∴
sin
d 2 g 0
dt
2
l
∵这是谐振动的微分方程（或
与 正比反向）
∴小球在做谐振动。

（2）
2 2 l T
2
g g
l
（注意做谐振动时条件，即 很小）
§ 12-3 表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。

一、旋转矢量
自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A ，其模
为简谐振动的振幅 A ，并使 A 在图面内
绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 A 称为旋转矢量。

二、简谐振动的旋转矢量表示法
图 12-7
A
（1）旋转矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量 A 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振
动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。

（3）t
0 时刻，旋转矢量与
x 轴夹角
为谐振动的初相，
t 时刻旋转矢量与
x 轴夹
角
t
为 t 时刻谐振动的位相。

说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。

（ 2）必须注意， 旋转矢量本身并不在作谐振动， 而是它矢端在 x 轴上的投影
点在 x 轴上做谐振动。

旋转矢量与谐振动 x t 曲线的对应关系（设
）
图 12-8
三、旋转矢量法应用举例
例 12-3 ：一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为
0.12m
，周期为
2s 。

t 0
时，位移为 0.06m ，
且向 x 轴正向运动。

（1）求物体振动方程；
（2）设 t
1 时刻为物体第一次运动到
x
0.06m
处，试求物体从 t 1
时刻运动到平衡
位置所用最短时间。

解：（1）设物体谐振动方程为
x
Acos t
由题意知
A
0.12m
2 2 S 1
T
2
?
〈方法一〉用数学公式求
x 0
Acos
∵
A
0.12m , x
0.06m
cos 1
2
3
∴ ∵
v
Asin
∴
3
x 0.12 cos t
m
3
〈方法二〉用旋转矢量法求
根据题意，有如左图所示结果
∴
3
图 12-9
x 0.12 cos t
m
3
由上可见，〈方法二〉简单
（2）〈方法一〉用数学式子求t
0.06 0.12 cos t1
t1 由题意有： 3 （∵
t1
2 4
3 3 或 3
v1 A sin t1 0
∵此时 3 t1 2
3 3
∴
t1 1s
设t
2 时刻物体从
t
1时刻运动后首次到达平衡位置，
0 0.12cos t2
3
有：
t2 3
（∵
t
2
2
t2
3 2 或 2 ∴
3
v2 A sin t 2 0
∵
3
3
t2
∴3 2
11
t2s
11 5
t t2t11s
6 6
〈方法二〉用旋转矢量法求
t
由题意知，有左图所示结果，M1为
t
1时刻 A
末端位置， M2为
t
2时刻 A 末端位置。

从
t
1
t
2内A转角为
t2 t1 M 1OM 2 5
2 6
5
3
5 5
t t2
6
t1
6
s
6
显然〈方法二〉简单。

例 12-4 ：图为某质点做谐振动的
x
t 曲线。

求振动方程。

解：设质点的振动方程为
x
A cos t
由图知： A 10cm
2 2 s 1
T 2
T 2
t1
3
2
∴）
2
）
图12-10
图 12-11
3
用旋转矢量法（见上页图）可知，
2
（或
2 ）
x 10 cos tcm
2
例 12-5 ：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A 为振幅，
t 0
时刻情况如图所示。

O 为
原点。

试求各种情况下初相。

图 12-12
§ 12-4 谐振动的能量
对于弹簧振子，系统的能量 E =
E k
（物体动能） +
E p
（弹簧势能）
已知： 物体位移 x
Acos t
物体速度
v
Asin t E E k E p
1 mv
2 1 kx 2
2
2
1
Asin t
2 1
t
2
m
k Acos
2
2
1
2
2 2
1
2
2
1 2 m
A sin
t
2 kA cos
t
(m
2
k)
kA 2 sin 2 t cos 2
t
2
1 kA 2
2
1
1
E
kA 2 m 2 A 2 （11-8 ）
2 2
说明：（ 1）虽然 E k 、
E p 均随时间变化，但总能量 E E k E p 且为常数。

原因是系
统只有保守力作功，机械能要守恒。

（2）
E
k
与
E p
互相转化。

当
x
0 时， E p
，
E
k
E
k max
E 。

在 x
A
处，
E k 0 ， E p
E
p max
E 。

例 12-6 ：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A 。

试求 E k 1
E p
的位置。

2
解：设弹簧的倔强系数为 k
，系统总能量为
E E k
E p
1
kA 2
2
1
k
E
p
在
2 时，有E
E k E p
3
E p 3 1 kx 2
2 2 2
3 kx 2 1 kA 2 4
2
2
x
A
∴
3
例 12-7 ：如图所示系统，弹簧的倔强系数
k
25N / m ，物块
m 1
0.6kg
，物块
m
2
0.4kg
，
m
1
与
m
2
间最大静摩擦系数为
0.5
，
m
1
与地面间是光滑的。

现将物块拉离平
衡位置，然后任其自由振动，使 m
2
在振动中不致从
m
1
上滑落，问系统所能具
有的最大振动能量是多少。

解：系统的总能量为
E
1
kA 2 2
E
k max
E
1 kA 2
0 ）
2（此时 E
p
m
2
不致从
m
1
上滑落时，须有
m 2a m 2 g
图 12-13
极限情况a
max
g A 2
g
g
m1 m2
A2
k 即
1 k 2
2 g2 2
E
k max g m1 m2 1 m1 m2
2 k 2 k
1
0.4 2 9.82 0.52
0.48J
0.6
25
2
§ 12-5同方向同频率两谐振动合成
一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。

如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。

又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。

在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。

取振动所在直线为x 轴，平衡位置为原点。

振动方程为
x1 A1 cos t x2 A2 cos t 1 2
A
1 、A
2 分别表示第一个振动和第二个振动的振幅； 1 、 2 分别表示第一个振动和第二
个振动的初相。

是两振动的角频率。

由于x
1 、
x
2 表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合
成振动的位移x
在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即x x1x2
为简单起见，用旋转矢量法求分振动。

图 12-14图12-15
如图所示，t 0
时，两振动对应的旋转矢量为A1 、A2 ，合矢量为A A1A2。

∵A1、
A
2 以相同角速度转动，∴转动过程中A
1 与
A
2 间夹角不变，可知A大小不变，并且A也
以 转动。

任意时刻 t
， A 矢端在 x 轴上的投影为：
x x 1 x 2
因此，合矢量 A
即为合振动对应的旋转矢量，
A
为合振动振幅，
为合振
动初相。

合振动方程为：
x Acos
t
（仍为谐振动）
由图中三角形
OM 1
M
2
知：
A A 12
A 22 2A 1A 2 cos
2
1
（12-9 ）
由图中三角形
OMP
知：
A 1 sin 1 A 2 sin
2
PM
tg
A 2 cos
OP
A 1 cos 1
2
（12-10 ）
讨论：（1） 2
1
2k (k 0, 1, 2, )
时（称为位相相同）
A A 1
A 2
（2） 2
1
2k
1
(k
0, 1,
2, )
时（称为位相相反）
A
A 1 A 2
例 12-8 ：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为
0.2m
，位相与第一振动
的位相差为 6 ，若第一振动的振幅为
3 10
1
m
，用振幅矢量法求第二振动
的振幅及第一、第二两振动位相差。

解：（1）
A
2
?
A 2
A 12
A 2 2A 1 Acos
6
3
10 1 2
0.22
2 3 10 1 0.2cos
6
0.1m
（2）∵
A
2
2
2
2
1
A 1 A 2 ∴
2
图 12-16
例 11-9 ：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为
x 2
Acos t
x 3
2
Acos t
x 1
Acos t ，
3 ，
3 ，试用振幅矢量方法求合
振动方程。

解：如左图，
3 （
A
1
、
A
2
、
A
3
、 A 构成一等腰梯形）
A 2A 1 cos
A 2
2 Acos A 2A
3 x
2 Acos t
3
图 12-17。