材料力学第十章动载荷
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材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
第十、十一章动载荷 交变应力概述
第十章 动载荷与交变应力
§10-2 动静法的应用
一、动静法
1. 构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力， 惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向
相反。 2. 动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载,惯性力和
约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静 法求解其动应力。
二、匀加速直线运动构件的动应力
式中， st
P 为静应力。 A
由（3）,（4）式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载 的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因 数反映动荷载的效应。
6
材 料 力 学 电 子 教 案
第十章 动载荷与交变应力
例 10－4 已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108
mm2,等加速度a =10 m/s2 ，不计钢索质量。求：1,吊索的动应 力d ; 2,梁的最大动应力d, max 。 解： 1. 求吊索的d 16号工字钢单位长度的 重量为
横截面上的正应力为
FNd rw2 D 2 d A 4
13
材 料 力 学 电 子 教 案
第十一章 动载荷与交变应力
四、匀变速转动时构件的动应力
例 6－3 直径d =100 mm的圆轴，右端有重量 P =0.6 kN, 直径D=400 mm的飞轮，以均匀转速n =1 000 r/min旋转（图a）。
P a FNd P a P (1 ) g g a 令 K d 1 （动荷系数） g
(1) (2) (3)
则
5
FN d Kd P
材 料 力 学 电 子 教 案
第十章 动载荷与交变应力
钢索横截面上的动应力为
FN d P d K d K d st A A
材料力学第10章(动载荷)
突加荷载 h 0,
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
材料力学动载荷和交变应力第1节 惯性力问题
100
3
s 1
60 106 7.85 10
3
m/s
87.4 m/s
由线速度与角速度关系
v
R
2n
60
R
2n
60
(D
d) 2
/
2
则极限转速为
n
120v (D d
)
120 87.4 3.14 (1.8 1.4)
r/min
1044 r/min
图，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一
端 A 装有刹车离合器。飞轮的转速为 n 100r/min ，
转动惯量为 J x 600 kg/m2，轴的直径 d 80mm。刹车
时使轴在 10 秒内按均匀减速停止转动。求轴内的最大
动应力。 解：飞轮与轴的角速度
y 制动离合器
0
2n
60
• Kd — 动荷系数：表示构件在动载荷作用下其内力 和应力为静载荷作用 Fst 下的内力和应力的倍数。
说明
Fst mg Axg
1） x
Fst
Fd
危险截面在钢 丝绳的最上端
d max
Kd st max
Kd
(
mg A
gxmax )
2）校核钢丝绳的强度条件 d max Kd st max [ ]
16
例11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 Mpa ，轮
材料力学第十章 动载荷
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
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图 10-3
解：如图 10-3（b）所示，取长为 x 的杆段迚行受力分析：
自重：
，惯性力：
根据平衡条件
，可得：
故该截面上的应力：
由此可知，当
时，有最大应力：
。
10.3 桥式起重机上悬挂一重量 P＝50 kN 的重物，以匀速度 υ＝1 m/s 向前秱（在图 10-4 中，秱动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁 为 No.14 工字钢，吊索横截面面积 A＝5×10-4 m2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加 多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略丌计。
图 10-13
解：在 F 2kN 静载作用下，作用点的位秱：
图 10-11
10.9 图 10-12 所示机车车轮以 n＝300 r/min 的转速旋转。平行杆 AB 的横截面为矩 形，h＝5.6 cm，b＝2.8 cm，长度 l＝2 m，r＝25 cm，材料的密度为 ρ＝7.8 g/cm3。试 确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
图 10-12
解：当杆运动至最低位置时，重力不惯性力相叠加，此时最危险。将杆的自重和作用在
。
10.7 图 10-8 所示钢轴 AB 的直徂为 80 mm，轴上有一直徂为 80 mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40 rad/s 转动。材料的许用应力[ζ]＝70 MPa， 密度为 7.8 g/cm3。试校核 AB 轴及 CD 杆的强度。
图 10-8
解：如图 10-9 所示，构件匀速转动时，杆 CD 单位长度的惯性力 qd 为：
2 n 60
材料力学课件第10章 动载荷zym
FNd
qd D Aρ D 2 2 = = ω 2 4
（3）截面应力： ）截面应力： FNd ρ D 2ω 2 σd = = = ρv2 A 4 （4）强度条件： ）强度条件：
σ d = ρ v 2 ≤ [σ ]
2、问题特点： 、问题特点： •截面应力与截面面积 无关。 截面应力与截面面积A无关 截面应力与截面面积 无关。 （三）扭转问题
2）强度计算： ）强度计算： （1）确定危险截面： ）确定危险截面： 为跨中截面。 为跨中截面。
l 1 l M = F −b − q 2 2 2 a l 1 = Aρ g 1 + − b l 2 g 4
2
（2）建立强度条件： ）建立强度条件： M d Aρ g a l σd = = 1 + − b l ≤ [σ ] W 2W g 4 2、问题特点： 、问题特点： 设加速度为零时的应力为σst 则： 设加速度为零时的应力为σ 1 l Aρ g − b l M 2 4 = Aρ g l − b l σ st = st = W W 2W 4 a σ d = σ st 1 + = σ st K d g
P
v
∆d P 即：Fd = ∆ st
代入得： 代入得： 1P 2 1 1 ∆2 d v = ∆ d Fd = P 2g 2 2 ∆ st
∆d =
Kd =
P
∆ st
v2 ∆ st g ∆ st
v2 g ∆ st (10.9)
∆ d = K d ∆ st ,
Fd = K d P,
σ d = K dσ st
= 1057 ×106 Pa
§10 – 5
材料力学第10章 动载荷
Kd = 1 + 1 + 2H
∆st
P
Pl 3 + P ∆st = 48EI 4C
σ st max = Pl / 4 = Pl
W
4W
MF
Pl/4
σd max = Kdσ st max ≤ [σ ] [H] =
∆st
2 σ st max
[(
[σ ]
−1) −1]
2
等截面刚架，重物P自高度 处自由下落。 、 、 自高度h处自由下落 例：等截面刚架，重物 自高度 处自由下落。 E、I、 W已知 。 试求截面的最大竖直位移和刚架内的最大 已知。 已知 冲击正应力（ 刚架的质量可略去不计， 冲击正应力 （ 刚架的质量可略去不计 ， 且不计轴力 对刚架变形的影响） 对刚架变形的影响）。
第十章 动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用 §10.3 强迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1 概述
1）动载荷问题的特点： ）动载荷问题的特点： 静载荷问题：载荷平稳地增加， 静载荷问题：载荷平稳地增加，不引起构件 的加速度——准静态。 准静态。 的加速度 准静态 动载荷问题：载荷急剧变化， 动载荷问题：载荷急剧变化，构件速度发生 急剧变化。 急剧变化。
2FNd = qd (2R)
qd FNd FNd
qd
σd =
FNd = ρR2ω2 = ρv2 A
注意： 无关！ 注意：与A无关！ 无关
4）匀减速转动（飞轮刹车） ）匀减速转动（飞轮刹车） 例 4 ： 飞 轮 转 速 n=100r/min ， 转 动 惯 量 为 Ix=0.5kNms2 ， 轴 直 径 d=100mm ， 10 秒停转，求最大动应力。 秒停转，求最大动应力。 解：角速度： ω0 = nπ 角速度： 30 角加速度： 角加速度：α = −ω0 / t
动载荷(3)
例 4 (书习题 10.14 ) 已知: 悬臂梁AC为10号工字钢，AB杆为钢管，内径 d = 30 mm, 外径 D = 40 mm。梁及钢管的材料同为Q235钢, E = 206 GPa。 稳定安全系数nst=2.5。 求：当重为Q=300N的重物落于梁的A端时，
试校核AB杆的稳定性。 解： 这是一个综合性的题目。
l 水平冲击动荷系数
Kd
v2 g st
l 2 2
g st
3EIl 2
gP(l l1)2
l 最大静弯矩发生在B点
M st max P(l l1)
l 最大静应力
st max
M st max W
P(l l1) W
l 最大动应力
d Kd st max
此时冲击点沿冲击方向的静位移应为在静载 荷下，杆的轴向伸长与弹簧静变形之和，即
st
Pl EA
P k
500N 2m
200109Pa 0.032
500N 1106 N/m
4
7.074106 m+50010-6 m 507.074106 m
动荷因数为
Kd 1
住而突然停止转动。集中质量重 P, AC杆的 l, EI, W。
求：最大冲击应力 d。
解： l 速度发生突然变化，是冲击问题。
l 因为不计杆的质量，所以相当于水平冲击问题。
l 静位移
st
Pl(l l1)2 3EI
6
《材料力学》国家精品课
l 静位移
st
Pl(l l1)2 3EI
是一次超静定 3m
1 求 st
10
试校核AB杆的稳定性。 解： 这是一个综合性的题目。
l 水平冲击动荷系数
Kd
v2 g st
l 2 2
g st
3EIl 2
gP(l l1)2
l 最大静弯矩发生在B点
M st max P(l l1)
l 最大静应力
st max
M st max W
P(l l1) W
l 最大动应力
d Kd st max
此时冲击点沿冲击方向的静位移应为在静载 荷下，杆的轴向伸长与弹簧静变形之和，即
st
Pl EA
P k
500N 2m
200109Pa 0.032
500N 1106 N/m
4
7.074106 m+50010-6 m 507.074106 m
动荷因数为
Kd 1
住而突然停止转动。集中质量重 P, AC杆的 l, EI, W。
求：最大冲击应力 d。
解： l 速度发生突然变化，是冲击问题。
l 因为不计杆的质量，所以相当于水平冲击问题。
l 静位移
st
Pl(l l1)2 3EI
6
《材料力学》国家精品课
l 静位移
st
Pl(l l1)2 3EI
是一次超静定 3m
1 求 st
10
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-动载荷(圣才出品)
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图 10-6
解：物体突然停止时，产生的向心加速度为：
由此产生的与加速度方向相反的惯性力为：
吊索内最大应力增量为：
1
=
Fa A
=
1275.5 5104
= 2.55MPa
梁内最大弯矩的增加量为：
查型钢表得 14 号工字钢W = 102cm3 ，则梁内最大应力增加量为：
Kd =1+
1+ 2h Δst
其中，对于突然加载的情况，相当于物体自由下落高度 h＝0 的情况，此时动荷因数
Kd = 2 ，即杆件的应力和变形均为静载时的 2 倍。 （2）水平冲击
图 10-2 如图 10-2 所示，设冲击物与杆件接触时的速度为 v，此时求解动载荷问题时的动荷因
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σ （2）按静载荷求解应力 st 、变形 Δst 等；
（3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为：
σd = Kdσst ， Δd = KdΔst 。
二、杆件受冲击时的应力和变形
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故由圆孔引起的最大正应力：
。
10.6 在直径为 100 mm 的轴上装有转动惯量 I＝0.5 kN•m•s2 的飞轮，轴的转速为 300 r/min。制动器开始作用后，在 20 转内将飞轮刹停。试求轴内最大切应力。设在制动 器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承内的摩擦力可以不计。
图 10-9
解：刹车前，飞轮的角速度为： 0
。
材料力学-第十章 动载荷
300
400 400 30
题 10-2 图
-1-
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-3 图示钢轴 AB 的直径为 80mm，轴上有一直径为 80mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40rad/s 转动。材料的许用应力[σ]＝70MPa，密度为 7.8g/cm3。 试校核 AB 及 CD 杆的强度。
d 15kN
h h l
题 10-7 图
10-8 AB 和 CD 二梁的材料相同，横截面相同。在图示冲击载荷作用下，试求二梁最大正 应力之比和各自吸收能量之比。
l/2
l/2
P
D
A
B
l/2 C
l/2
题 10-8 图 -4-
B P
C v
A
题 12-5 图
10-6 直径 d=30cm，长为 l=6m 的圆木桩，下端固定，上端受重 P＝2kN 的重锤作用，木材 的 E1＝10GPa。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力。 (a) 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； (b) 重锤以离桩顶 0.5m 的高度自由落下； (c) 在桩顶放置直径为 15cm、厚为 40mm 的橡皮垫，橡皮的弹性模量 E2=8MPa。重锤也是 从离橡皮垫顶面 0.5m 的高等自由落下。
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-1 均质等截面杆，长为 l，重为 W，横截面面积为 A，水平放置在一排光滑的辊子上， 杆的两端受轴向力 F1 和 F2 作用，且 F2﹥F1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设 滚动摩擦可以忽略不计）。
l
F1
F2
题 10-1 图
400 120
10-2 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以 ω＝40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴 内由这一圆孔引起的最大正应力。
400 400 30
题 10-2 图
-1-
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-3 图示钢轴 AB 的直径为 80mm，轴上有一直径为 80mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40rad/s 转动。材料的许用应力[σ]＝70MPa，密度为 7.8g/cm3。 试校核 AB 及 CD 杆的强度。
d 15kN
h h l
题 10-7 图
10-8 AB 和 CD 二梁的材料相同，横截面相同。在图示冲击载荷作用下，试求二梁最大正 应力之比和各自吸收能量之比。
l/2
l/2
P
D
A
B
l/2 C
l/2
题 10-8 图 -4-
B P
C v
A
题 12-5 图
10-6 直径 d=30cm，长为 l=6m 的圆木桩，下端固定，上端受重 P＝2kN 的重锤作用，木材 的 E1＝10GPa。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力。 (a) 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； (b) 重锤以离桩顶 0.5m 的高度自由落下； (c) 在桩顶放置直径为 15cm、厚为 40mm 的橡皮垫，橡皮的弹性模量 E2=8MPa。重锤也是 从离橡皮垫顶面 0.5m 的高等自由落下。
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-1 均质等截面杆，长为 l，重为 W，横截面面积为 A，水平放置在一排光滑的辊子上， 杆的两端受轴向力 F1 和 F2 作用，且 F2﹥F1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设 滚动摩擦可以忽略不计）。
l
F1
F2
题 10-1 图
400 120
10-2 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以 ω＝40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴 内由这一圆孔引起的最大正应力。
南航航空宇航学院材料力学10
13
由动静法
∑m
x
=0
mf = md
轴内扭矩
0.5π kN m T = md = 3
τ max
T 6 = 2.67 × 10 Pa = 2.67 MPa = Wt
14
最大剪应力
§10. 4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击,打桩,铆接,突然刹车等. 特点:冲击物在极短瞬间速度发生剧变,被冲 击物在此瞬间受到很大冲击力的作用. 例如: 锤重 W=4.45 N,碰撞力的峰值 Fmax=1491 N. 是重力的335倍. 2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形; 15 ② 冲击物与构件(被冲击物)接触后无回跳,
2
9
D 2 an = Rω = ω 2 Aγ D 2 Aγ ω qd = an = 2g g
2
ω
qd
取半圆,求内力 由以前的结论,有:
Nd
2
Nd
2Nd = qd D
动应力
qd D Aγ D 2 Nd = = ω 2 4g
2 2 2
Nd γ D ω γv σd = = = A 4g g
10
由以前的结论,有:
3
2 动载荷问题分类 1) 2) 3) 4) 构件有加速度时的应力计算; 冲击问题; 振动问题; 交变载荷.
4
§10. 2 动静法的应用
1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗伯原理. 2 匀加速平动构件中的动应力分析 例子 设杆以匀加速度a作平动, 截面积为A,比重为γ . 加上惯性力系. b R a R
Kd = 2
所以,承受突加载荷时,构件内的应力和变形 均为静载时的两倍. 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施 由冲击动荷系数公式
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达朗伯原理: 达朗伯原理认为处于不平衡状态的物体,存在
惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加 速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学 问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力: 大小等于质点的质量m与加速度a 的乘积,方向与 a 的
方向相反,即 F= -ma
例题2 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图
FNd
a FNd (G ql )(1 ) g
（2）动应力
O r
解：
O r
因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度.
D 2 an 2
qd
因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等.
其上的惯性力集度为
r
O
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
FG
面上绕O点旋转,已知许用应力[],求转臂的截面面积（不计转
（1）受力分析如图
惯性力为
O
FG man 2 Rm 2 lG/g
（2）强度条件
l
FG / A
FG 2Gl A [ ] (g[ ])
例5 已知: n=100r/min，转动 惯量 Ix＝0.5kN· m· s2。轴直 径d=100mm。刹车时在10 秒内均匀减速停止转动。 求：轴内最大动应力。 解：
l
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 则动载下该点的应力为 按静载求出某点的挠度为 则动载下该点的挠度为
l
st
d Kd st
wst
wd K d wst
强度条件
d Kd st [ ]
§10. 4
杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲击物在此瞬间
受到很大冲击力的作用。
例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设
（1）不计冲击物的变形； （2）冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，二者合为一个 运动系统；
lq(1+a/g)
FNd 1 a d (G ql )(1 ) A A g
214MPa [ ] 300MPa
1 2 3 ) 4 ( 50 10 25.5 60)(1 9.8 2.9 10
G(1+a/g)
二、转动构件的动应力
例题3 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的 轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的 单位体积重量为r.求圆环横截面上的正应力.
FNst P rAgx
FNd
记
a (1 )( P rAgx ) g
Kd 1 a g
动荷系数
FNst
m m m
FNd
m
FNd K d FNst
绳索中的动应力为
rAg
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
第十章 动载荷
§10-1 概述
§10-2
§10-4
动静法的应用
杆件受冲击时的应力和变形
§10-1
一、基本概念
1、静荷载
概述
荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点 加速度很小,可略去不计. 2、动荷载 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括 大小、方向）,构件内各质点加速度较大.
由冲击动荷系数公式
v2 2T Kd Kd 1 1 , g st Q st 可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。 即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。
在满足刚度和强度要求的前提下
冲击问题的一般解题步骤
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击； 2) 求 △st ；
3) 求 Kd ; 4) 计算静应力 st ；
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。 被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失，由机 械能守恒定律，有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。 则初位置的势能为:
V Q d
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为:
Pd
则变形能为:
1 U d Pd d 2
由:
T V Ud
d
v st 即: g st
2
Kd
v2 g st
(3) 突加载荷 对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于 构件上的载荷, 由垂直冲击公式
2h Kd 1 1 st
Kd 2
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形 均为静载时的两倍。
讨论
减小冲击载荷和冲击应力的措施
（3） 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,冲击应力瞬间
传遍整个构件；
（4）材料服从虎克定律；
（5）冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3
求解冲击问题的能量法
任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。
线弹性系统
Pl l EA EA P l l
等价弹簧的弹性 系数
EA k l
机械能守恒定律
5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满条件（冲击前 无应力和变形），则需要应用机械能守恒定律进行计算。 2) △st 是结构上被冲击点的静位移。
例6 已知: 悬臂梁, EI, l, Q, h。 求：△B 和 dmax。 解：
垂直冲击问题
A
l
角速度
nπ 30
l
角加速度
1 0
t
10 π rad/s 3
π 2 rad/s 3
l
惯性力矩
md I x
0.5 π kN m 3
l
由动静法
轴内扭矩
m
x
0
mf md
l
0.5 π kN m T md 3
l
最大剪应力
max
T 6 Wt 2.67 10 Pa 2.67MPa
速度发生突然变化，是冲击问题。
因为不计杆的质量，所以相当于水平冲击问题.
静位移
Ql (l l1 ) st
2
l 2 2 g st
3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
最大静弯矩发生在B点
M st max Q(l l1 )
M st max Q (l l1 ) W W
Q(l l1 ) W
最大静应力
最大动应力
st max
d K d st max
3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
W
3EIlQ g
解此一元二次方程得:
2 T d st 1 1 Q st
引入记号:
冲击动荷系数
d 2T Kd 1 1 st Q st
则:
d K d st ,
Pd K d Q,
d K d st
(1) 垂直冲击(自由落体)
二、动响应
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等）,称为动响应. 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比 例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
三、动荷因数
动响应 动荷因数Kd = 静响应
四、动荷载的分类
1.惯性力 3.振动问题
2.冲击荷载
4.交变应力
§10-2 动静法的应用
h l
B
B点静位移
Ql st 3EI
3
垂直冲击动荷系数
2h 6hEI Kd 1 1 1 1 3 st Ql
B点动位移
B K d st
最大静弯矩
6hEI 1 1 3 Ql
Ql 3 3EI
M st max Ql
y
qd ( D d ) 2
D Fd qd ( d ) sin 0 2 Ar 2 D 2 π sin d 0 4g
π
qd
Fd d
O
FNd FNd
Ar 2 D 2 2g
Fd Ar 2 D 2 FNd 2 4g
FNd r 2 D 2 d A 4g
这时，公式中的T为:
T Qh
2h Kd 1 1 st
(2) 水平冲击 设接触时的速度 为 v , 则动能:
1Q 2 T v 2g
以重物所在的水平面为零势面， 则势能:
V 0
T V Ud
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有:
2 1 1Q 2 1 d v Pd d Q 2g 2 2 st
一、直线运动构件的动应力
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升一 重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为A, 绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力.
m
m
a
x
P
m
m
惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加 速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学 问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力: 大小等于质点的质量m与加速度a 的乘积,方向与 a 的
方向相反,即 F= -ma
例题2 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图
FNd
a FNd (G ql )(1 ) g
（2）动应力
O r
解：
O r
因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度.
D 2 an 2
qd
因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等.
其上的惯性力集度为
r
O
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
FG
面上绕O点旋转,已知许用应力[],求转臂的截面面积（不计转
（1）受力分析如图
惯性力为
O
FG man 2 Rm 2 lG/g
（2）强度条件
l
FG / A
FG 2Gl A [ ] (g[ ])
例5 已知: n=100r/min，转动 惯量 Ix＝0.5kN· m· s2。轴直 径d=100mm。刹车时在10 秒内均匀减速停止转动。 求：轴内最大动应力。 解：
l
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 则动载下该点的应力为 按静载求出某点的挠度为 则动载下该点的挠度为
l
st
d Kd st
wst
wd K d wst
强度条件
d Kd st [ ]
§10. 4
杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲击物在此瞬间
受到很大冲击力的作用。
例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设
（1）不计冲击物的变形； （2）冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，二者合为一个 运动系统；
lq(1+a/g)
FNd 1 a d (G ql )(1 ) A A g
214MPa [ ] 300MPa
1 2 3 ) 4 ( 50 10 25.5 60)(1 9.8 2.9 10
G(1+a/g)
二、转动构件的动应力
例题3 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的 轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的 单位体积重量为r.求圆环横截面上的正应力.
FNst P rAgx
FNd
记
a (1 )( P rAgx ) g
Kd 1 a g
动荷系数
FNst
m m m
FNd
m
FNd K d FNst
绳索中的动应力为
rAg
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
第十章 动载荷
§10-1 概述
§10-2
§10-4
动静法的应用
杆件受冲击时的应力和变形
§10-1
一、基本概念
1、静荷载
概述
荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点 加速度很小,可略去不计. 2、动荷载 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括 大小、方向）,构件内各质点加速度较大.
由冲击动荷系数公式
v2 2T Kd Kd 1 1 , g st Q st 可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。 即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。
在满足刚度和强度要求的前提下
冲击问题的一般解题步骤
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击； 2) 求 △st ；
3) 求 Kd ; 4) 计算静应力 st ；
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。 被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失，由机 械能守恒定律，有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。 则初位置的势能为:
V Q d
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为:
Pd
则变形能为:
1 U d Pd d 2
由:
T V Ud
d
v st 即: g st
2
Kd
v2 g st
(3) 突加载荷 对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于 构件上的载荷, 由垂直冲击公式
2h Kd 1 1 st
Kd 2
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形 均为静载时的两倍。
讨论
减小冲击载荷和冲击应力的措施
（3） 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,冲击应力瞬间
传遍整个构件；
（4）材料服从虎克定律；
（5）冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3
求解冲击问题的能量法
任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。
线弹性系统
Pl l EA EA P l l
等价弹簧的弹性 系数
EA k l
机械能守恒定律
5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满条件（冲击前 无应力和变形），则需要应用机械能守恒定律进行计算。 2) △st 是结构上被冲击点的静位移。
例6 已知: 悬臂梁, EI, l, Q, h。 求：△B 和 dmax。 解：
垂直冲击问题
A
l
角速度
nπ 30
l
角加速度
1 0
t
10 π rad/s 3
π 2 rad/s 3
l
惯性力矩
md I x
0.5 π kN m 3
l
由动静法
轴内扭矩
m
x
0
mf md
l
0.5 π kN m T md 3
l
最大剪应力
max
T 6 Wt 2.67 10 Pa 2.67MPa
速度发生突然变化，是冲击问题。
因为不计杆的质量，所以相当于水平冲击问题.
静位移
Ql (l l1 ) st
2
l 2 2 g st
3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
最大静弯矩发生在B点
M st max Q(l l1 )
M st max Q (l l1 ) W W
Q(l l1 ) W
最大静应力
最大动应力
st max
d K d st max
3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
W
3EIlQ g
解此一元二次方程得:
2 T d st 1 1 Q st
引入记号:
冲击动荷系数
d 2T Kd 1 1 st Q st
则:
d K d st ,
Pd K d Q,
d K d st
(1) 垂直冲击(自由落体)
二、动响应
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等）,称为动响应. 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比 例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
三、动荷因数
动响应 动荷因数Kd = 静响应
四、动荷载的分类
1.惯性力 3.振动问题
2.冲击荷载
4.交变应力
§10-2 动静法的应用
h l
B
B点静位移
Ql st 3EI
3
垂直冲击动荷系数
2h 6hEI Kd 1 1 1 1 3 st Ql
B点动位移
B K d st
最大静弯矩
6hEI 1 1 3 Ql
Ql 3 3EI
M st max Ql
y
qd ( D d ) 2
D Fd qd ( d ) sin 0 2 Ar 2 D 2 π sin d 0 4g
π
qd
Fd d
O
FNd FNd
Ar 2 D 2 2g
Fd Ar 2 D 2 FNd 2 4g
FNd r 2 D 2 d A 4g
这时，公式中的T为:
T Qh
2h Kd 1 1 st
(2) 水平冲击 设接触时的速度 为 v , 则动能:
1Q 2 T v 2g
以重物所在的水平面为零势面， 则势能:
V 0
T V Ud
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有:
2 1 1Q 2 1 d v Pd d Q 2g 2 2 st
一、直线运动构件的动应力
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升一 重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为A, 绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力.
m
m
a
x
P
m
m