材料力学第十章动载荷

y
qd ( D d ) 2
D Fd qd ( d ) sin 0 2 Ar 2 D 2 π sin d 0 4g
π
qd
Fd d

O
FNd FNd
Ar 2 D 2 2g
Fd Ar 2 D 2 FNd 2 4g
FNd r 2 D 2 d A 4g
d
v st 即: g st
2
Kd
v2 g st
(3) 突加载荷 对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于 构件上的载荷, 由垂直冲击公式
2h Kd 1 1 st
Kd 2
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形 均为静载时的两倍。
讨论
减小冲击载荷和冲击应力的措施
一、直线运动构件的动应力
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升一 重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为A, 绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力.
m
m
a
x
P
m
m
rAg
x a a
rAa
a
P 绳索的重力集度为 rAg 物体的惯性力为 P a
P
P
P a g
g
绳索每单位长度的惯性力rAa
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其 加速度a很难测出,无法计算惯性力, 故无法使用动静法.在实用计 算中,一般采用能量法. 即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律 对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算.
T V Vεd
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能. Vεd是被冲击物所增加的应变能.
第十章 动载荷
§10-1 概述
§10-2
§10-4
动静法的应用
杆件受冲击时的应力和变形
§10-1
一、基本概念
1、静荷载
概述
荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点 加速度很小,可略去不计. 2、动荷载 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括 大小、方向）,构件内各质点加速度较大.
M st max Q (l l1 ) W W
Q(l l1 ) W
最大静应力
最大动应力
st max

d K d st max
3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
W
3EIlQ g
这时，公式中的T为:
T Qh
2h Kd 1 1 st
(2) 水平冲击 设接触时的速度 为 v , 则动能:
1Q 2 T v 2g
以重物所在的水平面为零势面， 则势能:
V 0
T V Ud
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有:
2 1 1Q 2 1 d v Pd d Q 2g 2 2 st
5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满条件（冲击前 无应力和变形），则需要应用机械能守恒定律进行计算。 2) △st 是结构上被冲击点的静位移。
例6 已知: 悬臂梁, EI, l, Q, h。 求：△B 和 dmax。 解：
垂直冲击问题
A
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。 被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失，由机 械能守恒定律，有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。 则初位置的势能为:
V Q d
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为:
Pd
则变形能为:
1 U d Pd d 2
由:
T V Ud
Fd r 2 D 2 d A 4g
D v 2
d rv
g
2
y
D qd ( d ) 2
圆环轴线上点的 线速度
FNd Fd
qd d

o
FNd
强度条件
d
rv
g
2
[ ]
环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.
例题4
重为G的球装在长L的转臂端部,以等角速度在光滑水平 臂自重） 解:
速度发生突然变化，是冲击问题。
因为不计杆的质量，所以相当于水平冲击问题.
静位移
Ql (l l1 ) st 3EI
2
水平冲击动荷系数
Kd
v g st
2
l 2 2 g st

3EIl 2 gQ(l l1 ) 2
最大静弯矩发生在B点
M st max Q(l l1 )
（3） 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,冲击应力瞬间
传遍整个构件；
（4）材料服从虎克定律；
（5）冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3
求解冲击问题的能量法
任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。
线弹性系统
Pl l EA EA P l l
等价弹簧的弹性 系数
EA k l
机械能守恒定律
h l
B
B点静位移
Ql st 3EI
3
垂直冲击动荷系数
2h 6hEI Kd 1 1 1 1 3 Biblioteka Baidut Ql
B点动位移
B K d st
最大静弯矩
6hEI 1 1 3 Ql
Ql 3 3EI
M st max Ql
FNst P rAgx
FNd
记
a (1 )( P rAgx ) g
Kd 1 a g
动荷系数
FNst
m m m
FNd
m
FNd K d FNst
绳索中的动应力为
rAg
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
达朗伯原理: 达朗伯原理认为处于不平衡状态的物体,存在
惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加 速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学 问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力: 大小等于质点的质量m与加速度a 的乘积,方向与 a 的
方向相反,即 F= -ma
lq(1+a/g)
FNd 1 a d (G ql )(1 ) A A g
214MPa [ ] 300MPa
1 2 3 ) 4 ( 50 10 25.5 60)(1 9.8 2.9 10
G(1+a/g)
二、转动构件的动应力
例题3 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的 轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的 单位体积重量为r.求圆环横截面上的正应力.
强度条件为
P
P
P a g
d K d st [ ]
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比例 极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
d K d st
P
P
P a g
结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数Kd即得动载 对线性系统 下的应力与变形.
二、动响应
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等）,称为动响应. 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比 例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
三、动荷因数
动响应 动荷因数Kd = 静响应
四、动荷载的分类
1.惯性力 3.振动问题
2.冲击荷载
4.交变应力
§10-2 动静法的应用
1 T Q d Pd d 2

为求出 d , 将Pd用Q表示
在线弹性范围内，有:
d Pd d Q st st
d Pd Q st
1 Ud Q 2 st
2 d
代入机械能守恒定理，化简得:
2T st 2 st d 0 Q
2 d
解此一元二次方程得:
2 T d st 1 1 Q st
引入记号:

冲击动荷系数
d 2T Kd 1 1 st Q st
则:
d K d st ,
Pd K d Q,
d K d st
(1) 垂直冲击(自由落体)
l
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 则动载下该点的应力为 按静载求出某点的挠度为 则动载下该点的挠度为
l
st
d Kd st
wst
wd K d wst
强度条件
d Kd st [ ]
最大静应力
st max
M st max Ql W W
6hEI 1 1 Ql 3 Ql W
最大动应力
d max K d st max
例7
已知: AC杆在水平面内 以匀角速度 绕A点转 动，因在B点卡住而突 然停止转动。集中质量 重 Q, AC杆: l, EI,W。 求：最大冲击应力 d。 解：
§10. 4
杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。
特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲击物在此瞬间
受到很大冲击力的作用。
例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设
（1）不计冲击物的变形； （2）冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，二者合为一个 运动系统；

O r
解：

O r
因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度.
D 2 an 2
qd
因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等.
其上的惯性力集度为
r

O
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
1 A r D 2 Ar 2 D qd ( )( ) g 2 2g
由冲击动荷系数公式
v2 2T Kd Kd 1 1 , g st Q st 可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。 即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。
在满足刚度和强度要求的前提下
冲击问题的一般解题步骤
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击； 2) 求 △st ；
3) 求 Kd ; 4) 计算静应力 st ；
l
角速度
nπ 30
l
角加速度

1 0
t
10 π rad/s 3
π 2 rad/s 3
l
惯性力矩
md I x
0.5 π kN m 3
l
由动静法
轴内扭矩
m
x
0
mf md
l
0.5 π kN m T md 3
l
最大剪应力
max
T 6 Wt 2.67 10 Pa 2.67MPa
FG
面上绕O点旋转,已知许用应力[],求转臂的截面面积（不计转
（1）受力分析如图
惯性力为

O
FG man 2 Rm 2 lG/g
（2）强度条件
l
FG / A
FG 2Gl A [ ] (g[ ])
例5 已知: n=100r/min，转动 惯量 Ix＝0.5kN· m· s2。轴直 径d=100mm。刹车时在10 秒内均匀减速停止转动。 求：轴内最大动应力。 解：
例题2 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图
FNd
a FNd (G ql )(1 ) g
（2）动应力