2016年数学建模B题优秀论文

§2 问题分析
一、问题一的分析
问题一要求选取合适的评价指标体系， 用以评价小区开放对周边道路通行的影响。 为了能 够选取具有针对性、 全局性、 可计算性、 广泛性的指标评价小区开放对周边道路通行的影响， 我们通过查阅相关资料、收集数据，确定以路网密度、道路通行面积、车流量、行车速度、 路口饱和度为指标来反映小区周边道路的通行能力， 以路口冲突次数为指标衡量道路安全性， 以车道数计算堵塞概率的变化度量道路脆弱性。 二、问题二的分析 题目要求建立关于车辆通行的模型用以研究小区开放对道路通行的影响。 首先， 本文假设 小区内部是单车道，周边道路为三车道；其次，通过 NS 元胞自动机模型研究车道交通流量， 建立了道路交通的动态变化模型---基于小区开放的车道车辆分流模型， 并针对小区的情况， 建立相应的模型，求解出相应的结果；最后，通过改进 NS 元胞自动机模型运用 CA 模型来模 拟多车道车辆通行反映小区开放对道路通行的影响。 三、问题三的分析
小区开放对道路通行影响的定量分析 摘要
随着城市规划建设管理的进一步工作，小区开放逐渐形成主流态势，然而小区开放后， 除去安保问题外，其能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以 及改善效果如何，值得商榷。本文选取了合适的评价指标体系，建立基于元胞自动机的车辆 通行模型，选取了 4 种不同情况的小区，研究了它们分别在开放前后各个指标的定量变化， 从而提出我们关于小区开放的一些合理化建议。 针对问题一，首先，通过查阅相关资料，将小区开放对道路通行影响按通行能力、安全 性、脆弱性这三个方面来分析。考虑到指标的全局性与可计算性，在通行能力方面，我们选 取了以下 5 个指标：路网密度、道路面积率、车流量、行车速度、路口饱和度，由于指标较 多，我们从中选取了 3 个主成分，确立了通行能力的综合评价函数模型；在安全性方面，我 们以路口冲突次数为指标；在脆弱性方面，我们以堵塞率为指标，从而形成较全面的评价体 系。 针对问题二，为了便于研究，我们仅将车辆分为大型车和小型车两种类型，并且假设小 区周边道路为双车道，小区内部道路为单车道，以元胞自动机理论为基础，建立了关于车辆 通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路的影响。 针对问题三，首先根据题目所述，我们选取了 4 种不同情况的小区，分别为：周边道路 车流量大的方格网形结构小区、 周边道路车流量小的方格网形结构小区、 周边道路车流量大 的环形结构小区、 周边道路车流量小的环形结构小区。 然后根据问题一中建立的评价体系将 各小区开放前后对道路交通的影响进行定量比较， 得出以下结论： 方格网形结构小区开放有 利于周边道路的车辆通行， 而环形结构小区的开放作用相反； 车流量大的时候开放小区比车 流量小的时候开放小区效果更好。 针对问题四，结合上面三个问题的研究成果，我们从交通通行的角度，向城市规划和交通 管理部门提出关于小区开放的合理化建议： 建议方格网形结构的小区开放， 而环形结构小区 的不开放;对周边道路车流量大的小区建议开放，而对于对周边道路车流量小的小区可以根 据经济效益决定是否开放。 最后，对模型的优缺点进行评价。
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2．对问题一的求解 ⑴ 模型的准备
源自文库
①主成分分析的基本理论[1]
设对某一事物的研究设计 m 个指标，分别用 x1 , x2 ... xm 表示,这 m 个指标构成的 m 维 随机向量为 x ( x1 , x2 ,..., xm ) 。设随机向量 x 的均值为 ，协方差矩阵为 。
'
对 x 进行线性变化，然后得到一些新的综合指标，用 y 表示，也就是新的综合变量
y1 v11 x1 v21 x2 ... vm1 xm y v x v x ... v x 2 12 1 22 2 m2 m 可以由原来的变量线性表示出来，即满足下式： ... ym v1m x1 v2 m x2 ... vmm xm 由于可以对原始变量进行任意的线性变换， 所以最终得到的新的变量 y 的统计特性也不尽相
FN 3600 H 0 ( 1 e 1 H 0 )( 2 e 2 H 0 )
其中 1，2 分别为主干道和小区道路上的车流量（辆/秒）， H 0 是小区道路和主干道车辆
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先后到达统计截面的时间间隔阈值 二、主要符号说明 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
符号
符号说明 主干道上车流量 小区道路上车流量 小区道路和主干道车辆先后到达统计截面的时间间隔 阈值 随机变量 均值 协方差矩阵 综合指标 指标值 相关系数矩阵 第 i 个指标和第 j 个指标的相关系数 第 j 个主成分的信息贡献率 第 n 辆车的速度 第 n 辆车的位置 第 n 辆车与其前 n+1 辆车之间距离 车长 事故发生路段矩阵 元胞单位 车辆加速概率 车辆防止碰撞减速概率 车辆随机减速概率 车辆初始速度 车辆最大速度 车辆现有速度
关键词：小区开放
道路通行能力
评价指标体系
主成分分析
元胞自动机模型
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§1 问题重述
从我国道路交通现阶段的发展来看,封闭式小区存在虽有其合理性,但封闭式小区规划 体系破坏了城市可持续发展。主要表现在:増加了道路交通的压力,延长出行者的出行时间, 但并未消除小区内部行车对行人安全隐患; 封闭式小区破坏了道路网之间的联系,降低支路 网的密度,使道路之间的可达性下降。所以需要研究小区开放对周边道路通行的影响，并就 各类型小区开放前后对道路通行的影响，分别分析。 现如今， 新建的开放式小区冲破了原来的封闭式空间, 居民区不再被一座围墙与外部世 界完全隔离。开放式小区在文化、学校、娱乐、商业、体育等方面为居民带来了便利，但随 着而来的问题也不可忽视：安全、卫生、物业权责，更值得关注的是——开放小区能否达到 优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何。我国小区向 着大型、 组团的模式发展,但大多数小区是封闭型。 封闭型小 区给小区的管理带来了一些方 便,但同时也给城市交通带来了一些问题。由于大型小区 的建筑面积较大,封闭区域沿城市 道路过长,降低道路密度的同时也减少了城市道路之 间的连通度,从而导致了居民出行的时 间和距离增加,造成社会交通费用总成本增加。 而小区开放不但打破了围堵城市道路的局面, 而且提高了城市道路的网密度和可达性,同 时降低了出行时间,从而缓解城市交通压力。因 此研究小区开放对周边道路通行的影响 具有重大意义。 在本文中，我们具体解决以下几个问题： 1. 建立合适的评价指标体系，评价小区开放对周边道路通行的影响。 2. 建立关于车辆通行的数学模型，研究小区开放对周边道路通行的影响。 3. 应用所建立的模型，选取或构建不同类型的小区，定量比较各类型小区开放前后对道路 通行的影响。 4. 从交通通行的角度，根据研究结构，向城市规划和交通管理部门提出你们关于小区开放 的合理化建议。
1 2
H0

y
x
aij Q qij bj
vn xn dn l M cell Pac Pdc Prd Vinit Vmax Vnow
4
24
Vnext
下一时刻车辆速度
§5 模型的建立与求解
一．问题一的分析与求解
1.问题一的分析 (1)确定评价指标体系的设计原则 ①科学性。 各评价指标的选择和评价指标体系的建立都必须以科学性为原则。 反映交通通行的参数所 涉及的公式要科学、准确无误，并能真实地反应小区开放对周边道路通行的影响，能客观全 面反映各指标间的相关关系。各评价指标具有典型代表性。 ②系统性。 建立的评价指标体系应当作为一个系统来考虑。 各指标之间既要有相关性， 也要有一定的 独立性，能从不同的侧面反应出小区开放对周边道路通行的影响。其次，评价指标体系的构 建应具有层次性，自上而下，从目标层、准则层，到指标层，从微观到宏观层层深入，形成 一个完整的指标体系。 ③可比、可操作、可量化性。 在评价指标的选取上，考虑评价对象的共性，使其既可以横向比较，也可以纵向比较。指 标选取的计算量度和计算方法必须要统一，各指标应该简单明了、便于收集，各指标还应具 有很强的现实操作性和可量化性，即可以进行定量处理，便于计算比较。 ④动态导向性。 小区开放对周边道路通行影响的评价指标体系是一个复杂的系统。 道路的运行状态是一个 随着时间逐渐变化的过程， 因此采集的评价指标数据应是一个动态的数据。 各个确定的指标 都需要统一动态和静态过程。在收集的静态指标的基础上，需要以动态指标为导向，真实客 观的反映小区开放对周边道路通行的影响。 (2)评价指标确定的分析思路 小区开放对周边道路通行影响的评价体系是一个复杂的系统，根据科学性、系统性，动态 导向性等原则， 综合考虑前人建立的各种指标体系评价的成果以及可获得的数据， 针对小区 开放对周边道路的影响，着重考虑了以下几个方面： ①小区周边道路的通行能力。它主要通过路网密度、道路通行面积、车流量、行车速度、路 口饱和度这 5 个指标来反映。 ②小区周边道路的安全性。它主要通过路口冲突次来反映。 ③小区周边道路的脆弱性。它主要通过车道数计算堵塞概率的变化来反映。 (3)小区开放对周边道路通行影响的评价指标体系 根据上述有关要素分析以及建立评价指标体系的目的、作用、基本原则及指标选择方法，提 出了小区开放对周边道路通行影响的评价指标体系。 该体系以小区开放对周边道路影响作为 目标层；以道路通行能力、道路安全性、道路脆弱性为子系统层各分目标层，由于衡量道路 通行能力的指标较多， 故我们根据所选的指标通过主成分分析确定所需要的主成分， 最终根 据确定的指标得出主成分分析模型设立了 9 个评价指标作为指标层,具体的反映了小区开放 对周边道路通行影响的各个方面。
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问题三说出小区开放产生的效果，可能与小区结构、周边道路状况以及车流量等有关，要 求选取或构建不同类型的小区，应用已建立的模型，定量比较各类型小区开放前 后对道路 通行的影响。首先根据题目所述，我们选取了 4 种处于不同情况的小区：周边道路车流量大 的方格网形结构小区， 周边道路车流量小的方格网形结构小区， 周边道路车流量大的环形结 构小区， 周边道路车流量小的环形结构小区。 然后根据问题一中选取的 7 个指标对 4 种不同 情况的小区开放前后对道路交通的影响进行定量比较： 在道路通行能力方面， 比较小区开放 前后 3 个主成分的变化；在道路安全性方面，比较小区开放前后路口冲突次数的变化;在道 路脆弱性方面，比较小区开放前后堵塞率的变化。 四、问题四的分析 小区开放对周围道路交通的影响不能一概而论，因为小区开放的结果，与小区结构、周 边道路结构以及车流量有关。结合上面三个问题的研究成果，我们从交通通行的角度，向城 市规划和交通管理部门提出关于小区开放的合理化建议。
§3 条件假设
1.假设除我们所选指标外，其余指标的影响可以忽略不计； 2.假设所有车辆行驶的起点和目的地都一致； 3.只考虑四轮及以上的机动车，不考虑诸如三轮车、电瓶车之类的车种； 4.车只分为小、大两种，且同一车型的车大小相差不大； 5.不考虑天气等外界因素影响交通
§4 名词解释、计算方法与符号说明
一、名词解释与计算方法 1.路网密度：城市范围内由不同功能、等级、区位的道路,以一定的密度和适当的形式组 成的网络结构。依道路网内的道路中心线计算其长度,依道路网所服务的用地范围计算其面 积.城市道路网内的道路指主干路、次干路和支路,不包括居住区内的道路. 计算方法：
计算区域内所有道路总长度 ，单位： km/km2 区域总面积 2.车流量：单位时间内通过某路段的车辆。 计算方法： 车辆总数 车流量 时间 3.路口饱和度： 计算方法： 路口实际流量 路口饱和度 路口通行能力 4.路口冲突次数： 路网密度
同。 ②主成分的求法 定义：第一主成分：满足 || vi || 1 条件下，使得 Var ( yi ) vi vi (i 1) 达到最大的：