相似三角形练习题(精华)

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相似三角形的性质及应用练习题1

相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。

第4章相似三角形(压轴题45道)(原卷版)

第4单元相似三角形（压轴题45道）一．选择题（共14小题）1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．32．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN ＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（）A ．1B ．3C ．2D ．04．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②；③S 四边形CGNF ＝S △ABN ；④．其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，已知△BEC 的面积是15，△CDE 的面积为3，则△ABC 的面积为（）A ．22.5或20B ．22.5C ．24或20D ．206．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ．下列结论：①AB 2＝BN •DM ；②AF 平分∠DFE ；③AM •AE ＝AN •AF ；④．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9B．12C．15D．188．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．1010．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A．6B．5C．D．11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.214．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．三．解答题（共20小题）26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q 同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，求点E的坐标；（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2＝OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）求t的取值范围；（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．41．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF 交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A 点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，（1）若AD2＝BD•DC，①求证：∠BAC＝90°．②AB＝4，DC＝6，求EF．（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．。

相似三角形》练习题及答案

相似三角形》练习题及答案相似三角形提高练一、选择题1)在△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，则正确的式子是（）。

A。

XXXB。

ADBF/DBFC = ADEF/CEFBC。

ADBF = DBFCD。

AE/AD = EC/BF答案：C解析：根据三角形相似的性质，有AB/AD=BE/EF=BC/CF，又因为DE∥BC，EF∥AB，所以有BE/EF=BC/CF，因此BE/EF=AB/AD，即ABEF∽ADBF，同理有DBFC∽ADEF，因此有ADBF/ABEF=DBFC/ACFC，即ADBF=DBFC。

2)在△ABC中，BC=5，CA=4√5，AB=10，另一个与它相似的三角形的最长边是（）。

A。

8√5B。

10√5C。

12√5D。

不确定答案：B解析：根据三角形相似的性质，有AB/BC=CA/AB，即AB²=BC×CA，又设相似三角形的最短边为x，则有x/5=4√5/x，解得x=2√10，因此最长边为2√10×2√5=10√5.3)在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，则构成的三个三角形中，相似的是（）。

A。

△ABD∽△BCDB。

△ABC∽△BDCC。

△ABC∽△ABDD。

不存在答案：B解析：根据角平分线的性质，有BD/DC=AB/AC=1，因此BD=DC，又因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，因此△ABD∽△BCD，又因为角BDC为直角，所以△ABC∽△XXX。

4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（）。

A。

1∶3∶5∶7B。

1∶2∶3∶4C。

1∶2∶4∶5D。

1∶2∶3∶5答案：C解析：将三角形高分为四等分后，底边上的四个分点将底边分为五等分，设底边长为a，高为h，则每个小三角形的面积为1/20ah，因此四个部分的面积分别为1/20ah、2/20ah、4/20ah、5/20ah，即1∶2∶4∶5.5)下列命题中，真命题是（）。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB 上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t ，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似．解答：设经过秒后t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t ，当△PBQ ∽△ABC 时，有BP ：AB=BQ ：BC ，即（10﹣2t ）：10=4t ：20，解得t=2.5（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时，有BQ ：AB=BP ：BC ，即4t ：10=（10﹣2t ）：20，解得t=1．所以，经过2.5s 或1s 时，△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有，AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时，有=，即=，解得t=2.5s （2）当BP 与BC 对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时， 2）有=，∴AB==3；3）当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时， 4）有=，∴AB==3．故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN ，则=．∵边长为a ，M 是AD 的中点， ∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM ，则．∵边长为a，M 是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC ∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC ∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

相似三角形的性质(小练习)

相似三角形的性质（小练习）1、⑴已知ABC ∆∽'''C B A ∆的相似比为32:，则它们对应中线的比为_______；⑵已知两个相似三角形对应高的比是14:，则它们的对应角平分线的比是_______； ⑶已知ABC ∆∽'''C B A ∆，AD 、''D A 分别是ABC ∆和'''C B A ∆的角平分线，且23=''D A AD ，9=AB ，则_______''=B A⑷ ABC ∆∽DEF ∆且3=BC ，6=EF ，DE 边上的中线为10 ，求AB 边上的中线为2、已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，对应边的中线之比为32，△A ’B ’C ’的周长为24cm ，面积为18c ㎡,则''ABA B =_____，△ABC 的周长等于____cm ，△ABC 的面积为_____c ㎡. 3、△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为3：4，且两个三角形的面积之差为28cm 2,则△ABC 的面积为______cm 2, △A ’B ’C ’的面积为_____cm 2.4、如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AC/BD 交于点O ，S △AOD =4,S △BOC =9,则ADBC=_______, S △AOB ＝_____,S 梯形ABCD ＝________.5、如图，△ABC 中，DE//BC,且AD:BD=4:3,则DE:BC=_______，AEDBCEDS S ∆=______.6、已知点D 和E 在△ABC 的边AB 和AC 上，DE//BC,DE:BC=1:3,四边形DBCE 的面积为16，则△ABC 的面积为7、.已知DE // BC , CD 与 BE 相交于点 O ，并且S △DOE ：S △COB =4：9则 AE : AC =（）.COEDCBAC( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 28、竿高1.5米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高是_________米.10,16,12,,ABC AB ACBC P D BC AC BP APD B CD ∆====∠=∠例题1 在中，点和分别在和上，求的长.10、已知，如图，在△ABC 中，AB=AC ，点E 、F 在边BC 上，∠EAF=∠B, 求证：BF ·CE=AB 211.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，FGHI 为矩形，95=GH FG ，BC=36cm ，AD=12cm ，求矩形FGHI 的周长.PDCBA9、12.如图△ABC中，DE//FG//BC，且AD=DF=BF.求S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG。

相似三角形练习题及答案整理版

相似三角形练习题一、填空题：1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。

2、已知653zy x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。

3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。

4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝21AB ，那么BC ：AB ＝。

5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为厘米。

6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()()AB BC AD_________==。

第6题图第7题图7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝。

若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝，CD ＝。

8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝，PQ ＝。

第8题图第9题图9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝厘米。

10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为厘米。

二、选择题：EAD B C 1C BD AD CM P N Q A B11、下面四组线段中，不能成比例的是（） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（）A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：3 13、已知754zy x ==，则下列等式成立的是（） A 、91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：115、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）A 、27B 、12C 、18D 、2016、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（）A 、44厘米B 、40厘米C 、36厘米D 、24厘米 18、下列判断正确的是（）A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中与△ADC 相似的三角形共有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、多于3个第19题图第20题图A E F GB DC20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（）A 、4：5B 、3：5C 、4：9D 、3：8 三、解答题：21、已知()3:2:=-y y x ，求yx yx 2352-+的值。

相似三角形经典练习题(4套)附带答案

练习（一）一、填空题：1. 已知a ba b+-=2295，则a b：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。

题3 题7 题84. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。

5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题：1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。

相似三角形练习题(超经典含答案)

1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A．AD AEDB EC=BAD DEDB BC=．CAD AEAB AC=．DAB ACDB CE=．3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5 C．8 D．8.54．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，那么CF︰CB等于A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米B．24米C．20米D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则AFE△与BCF△的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且14FC BC．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC并延长到D ，使12CD CA =，连接BC 并延长到E ，使12CE CB =，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为________米．14．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．t h后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为 A ．14cm B ．16cm C ．18cmD ．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC =3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：①OE OB =OD OC ；②DE BC =12；③DOE BOC S S △△=12；④DOE DBES S △△=13．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF =2，那么线段BF 的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′． 2．【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===，∴选项A ，C ，D 均正确；故选B ． 3．【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即436DF =．∴364.54DF ⨯==．∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE ∥BC ，∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5， ∵EF ∥AB ，∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5，故CF ︰CB =5︰8．故选A ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米，则1.6230x=，解得x =24． 7．【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′；对应边；相似比；全等【解析】ABC △和'''A B C △相似，记作ABC A'B'C'△∽△，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：ABC A'B'C'△∽△，对应边，相似比，全等. 8．【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒，180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒，,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒，∴当80C'∠=︒时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：80.︒ 9．【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为6384AB A B ==''．故答案为：34． 10．【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵E 为AD 的中点，四边形ABCD 为矩形，∴12AE BC =，∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：1:4.11．【答案】312．【答案】∠ADB =∠BAC （或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=）【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角，∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加BD BABA BC=，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证． 13．【答案】50【解析】∵12CD CA =，12CE CB =，∴12CD CE AC CB ==．∵∠ACB =∠DCE ，∴△ACB ∽△DCE ．∴12DE CD AB AC ==． ∵DE =25米，∴AB =50米．故答案为：50． 14．【答案】3【解析】在ABC △中，9086C AC BC ∠===，，，10AB ∴==．又6BD BC ==，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥，90ADE C ∴∠=∠=︒．又A A ∠=∠，AED ABC ∴△∽△．DE ADBC AC∴=． ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=． 15．【解析】(1)48,AD DB ==，4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ，,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16．【解析】（1）∵△ABC ∽△DEC ，CA =CB ，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若246426t t--=，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为21h42t==，乙到达O点的时间为63h42t==，所以12t=或32时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当12t<时，如果△OMN∽△OBA，则有246462t t--=，解得122t=>（舍去）；②当1322t<<时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当32t>时，424662t t--=，解得322t=>．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD APBP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP ADBP BC=，∴273APAP=-，∴AP=145．检验：当AP=145时，BP=215，AD=2，BC=3，∴AP ADBP BC=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4 DEBA，∵3=343DE DEEC CD DE==--．故答案为：3：1．22．【解析】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵AG=x，∴BG=4–x，∴242xCF-=，∴CF=44x-，由（1）知，BF'=CF=44x-，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-，当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-（0≤x≤3）；。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正形ABCD（点B在△AEC，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=°，∠ACB+∠CED=°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE=60°，∴∠ECH=°﹣∠ACB﹣∠DCE=°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．。

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。

5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。

三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。

7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。

四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。

9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。

五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。

答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。

8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。

9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。

10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。

相似三角形的判定经典练习题三套

相似三角形的判定经典练习题三套A 卷：1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是(只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。

3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为或时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④ 8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CB CF AB EF =9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1). 15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ；(3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ；…… (4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？B 卷：1、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF= ______cm 。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。

以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。

答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。

答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。

答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。

答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。

已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。

因此，AC = 6.25cm。

8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。

答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。

答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。

四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。

答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。

根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。

代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。

然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。

7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。

答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练）压轴题型一相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Ð¢=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是，与AD uuu r 相反的向量是；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E ，连接AE ．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：_________ ；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：〔1〕证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，〔2分〕∴△CDF∽△BGF．〔3分〕〔2〕解：由〔1〕△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，〔6分〕∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．〔8分〕3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，〔2分〕∴∠BAF=∠AED．〔4分〕∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．〔5分〕∴△ABF∽△EAD．〔6分〕点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：〔1〕证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=．又∵AB=AC，∴△ABM≌△A．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．〔2〕解：〔1〕中的两个结论仍然成立．〔3〕证明：在图②中正确画出线段PD，由〔1〕同理可证△ABM≌△A，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= 135°°，BC=；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：〔1〕∠ABC=135°，BC=；〔2〕相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由解：〔1〕设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，如此有：〔6﹣2x〕x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，〔2分〕解方程，得x1=1，x2=2，〔3分〕经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．〔4分〕〔2〕假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或〔5分〕即①，或②〔6分〕解①，得t=；解②，得t=〔7分〕经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．〔8分〕9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④〔2分〕其中有两组〔①③，②④〕是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明：〔2〕选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，〔6分〕∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB〔8分〕．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD于E，连接AE．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：〔1〕AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．〔2〕图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；〔3〕作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与三角形面积的求法等，X围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：〔1〕∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．〔2〕∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；〔3〕当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．解答：解：〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40．〔2〕①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕当∠1=∠2时，有：，即；〔2〕当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，如此有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即〔10﹣2t〕：10=4t：20，解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=〔10﹣2t〕：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似〔10分〕．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，如此有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t 分两种情况：〔1〕当BP与AB对应时，有=，即=〔2〕当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①假如△CDM∽△MAN，如此=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②假如△CDM∽△NAM，如此．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似．当AN=a 时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，如此CQ=〔8﹣2x〕cm，CP=xcm，〔1分〕∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．〔3分〕〔1〕当时，，∴x=；〔4分〕〔2〕当时，，∴x=．〔5分〕所以，经过秒或秒后，两三角形相似．〔6分〕点评：此题综合考查了路程问题，相似三角形的性质与一元一次方程的解法．19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：〔1〕假如点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．〔2〕假如点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，〔4分〕而∠MBE=∠E=45°，∴△BEM∽△E．〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E，∴．〔8分〕又∵BE=EC，∴，〔10分〕如此△E与△MEN中有，又∠E=∠MEN=45°，∴△E∽△MEN．〔12分〕21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30〔舍去〕．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．解答：解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下列图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．〔7分〕24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答：解：〔1〕由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，〔2分〕∴DE=1200〔cm〕．所以，学校旗杆的高度是12m．〔3分〕〔2〕解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．〔5分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴〔7分〕，又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，〔6分〕∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8．〔7分〕在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3〔不合题意，舍去〕，∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕25．〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3；〔2〕S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；〔3〕当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，如此S1=S2+S3．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=〔AB+BD〕：AB，∴AE：9=〔15+5〕：15．∴AE=12．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：〔1〕Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；〔2〕在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：〔1〕设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．〔2〕设一个三角形周长为Ccm，如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm，如此，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

相似三角形难题及答案-精练版

相似三角形提高训练一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。

4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。

因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。

所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。

中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。