完全平方数大全

完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。

1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下：1222212kl l l k n p p p =（1）其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数，12,,,k l l l 是自然数。

2.1例如：2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论 观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9. （此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设2()n n N ∈为完全平方数，0n 是n 的个位数，则2n 的个位数与20n 的个位数相同。

利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡，那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。

所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：101,103,105,107,109a a a a a +++++分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

3、性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则或即或∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

4、性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

证明：这是因为5、性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。

6、性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。

平方后，分别得同理可以得到：7、性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为51k ±型，是5的因数或倍数的数为5k 型。

证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：5,51,52,m m m ±+m 为自然数。

22(5)5(5)5m m k =⨯=，22(51)5(52)151m m m k ±=⨯±+=+， 22(52)5(541)151m m m k ±=⨯±+-=-.8、性质8：形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：8,81,82,83,84,m m m m m ±±±+，m 为自然数。

22(8)16(4)16,m m k =⨯= 22(81)16()1161,m m m k ±=+=+22(82)16(2)4164,m m m k ±=±+=+ 22(83)16(3)9169,m m m k ±=±+=+ 22(84)16(41)16.m m m k +=++=除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。

例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。

如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。

下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。

我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面证明这个命题。

证明：设自然数1110101010,m m m m n a a a a --=⨯+⨯++⨯+ 110,,,,m m a a a a -是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之一，那么 1101121121111()(101)(101)9999(11111111)m m m m m m m m m m n a a a a a a a a a a a a ------++++=-⨯+-⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯++⨯+个个是9的倍数。

即110()(mod9)m m n a a a a -≡++++关于完全平方数的数字和有下面的性质： 9、性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：10、性质10：2a bc =（c 是自然数）为完全平方数的充分必要条件是b 为完全平方数。

证明 充分性：设b 为完全平方数，则有21,b b = 1b 是那么 222211()a bc b c b c ===是完全平方数。

必要性：若a 为完全平方数，则有21a a =，则有21a 是2c 的倍数，从而1a 是c 的倍数，设1a kc =，则有222221()a a kc k c bc ====，推出2b k =是完全平方数。

11、性质11：如果质数p 能整除a ，但p 的平方不能整除a ，则a 不是完全平方数。

证明 由题设可知，a 有质因数p ，但无因数，可知a 分解成标准式时，p 的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a 不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

即若则k 一定不是整数。

13、性质13：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个正因数（包括1和n 本身）。

证明一：设完全平方数1222212kl l l k n p p p =，由初等数论知识得，n 的正因数的个数12()(21)(21)(21)k n l l l σ=+++是奇数。

2k t k p 的正1)(1)k t +是奇数，,,k t 均为偶数。

从而212222112k k t l t l l k k n p p p p p ==是完全平方数。

证明二：设完全平方数2n a =，那么每个小于a 的正因数1a ，都有一个大于a 的正因数与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数a ，从而n 有奇数个正因1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。

由性质1得到。

2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

由性质2得到。

3. 个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

由性质3得到4. 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6. 形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8. 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

9. 四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和 10.完全平方数的因数个数一定是奇数。

11、如果,m n 自然数，且m n ±是10的倍数，那么2m 的个位数与的2n 个位数相同。

或者更一般的有：如果,m n 自然数，且m n ±是10k 的倍数，那么2m 的末尾k 位数与的2n 的末尾k 位数相同。

或者如下书写：如果0(mod10),km n ±=那么22(mod10)km n ≡ 证明1（由整数同余式的性质立即可以得到）证明2：已知10k m n =±，那么2222(10)10(102)kkkm n n n n -=±-=±是10k 的倍数，从而2m 的末尾k 位数与的2n 的末尾k 位数相同。

四、平方式和完全平方数的区别 完全平方式分两种： 1、完全平方和公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+2、完全平方差公式22()()-=+-a b a b a b区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。

五、特殊的完全平方数1、雷劈数，或名卡布列克数定义为：若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X就是（n进位下的）卡布列克数。

例如55^2=3025，而30+25=55。

印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半：一半上写着30，另一半写着25。

这时，卡布列克忽然发现30+25=55，55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。

从此他就专门搜集这类数字。

按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。

卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。

求法人们容易找到其他的数也具有这样的性质。

例如，易知2025具有该性质：20+25=45，45^2=2025。

求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。

以下是两种最简单的办法（以两位数+两位数为例）：方法一设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有(x + y)^2 = 100x + y即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。

该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。