8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
yn 1 E ( h) yn .
一般地, 设单步法(1)用于试验方程(2), 从 yn 计算一步得 yn 1 , 其中记号E ( h)与所选数值方法有关.
若在节点值yi 产生一扰动 i , 而以后的计算全是 正确的,则在计算y j时将有误差 [E( h)]j i i .
定义
(1) 当|E(h)| 1时,数值方法(1)就是绝对稳定的.
第八章
§ 8.4
§
常微分方程数值解
线性多步法
8.5 收敛性与稳定性分析
§ 8.4 线性多步法
在前面所讨论的方法中,在计算 yn1 时只用到前一步 y n 的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必 须增加计算右端函数f ( x, y)的次数。当 f ( x, y) 的结构比 较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误 差阶的办法，即构造这样的方法: 在计算 yn1 公式中,充 分利用前几步得到的信息 y n , y n1 , 及 f n f ( xn , yn ), f n1 f ( xn1, yn1 )，但每进一步，只计算一次 f ( x, y) 的值。 这样的方法称为多步方法，若函数值 f n , f n1 , 以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多 步方法。
在复平面上,变量 h h,
满足|E(h )| 1的区域称为方程的绝对稳定区域,
绝对稳定wenku.baidu.com与实轴之交称为 绝对稳定区间.
(2) 当方法A的绝对稳定域比B的绝对稳定域大时,
称方法A比方法B稳定.
1. Euler公式
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn hyn (1 h) yn
(2) Adams 3步4阶隐式公式
h yn 1 y n (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24
19 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O ( h 6 ) 270
(3) Mi ln e 4步4阶显式公式 4h yn 1 y n 3 (2 f n f n 1 2 f n 2 ) 3
讨论具体初值问题的数值方法(1)的数值绝对稳定性 往往比较困难,原因在于f ( x, y )常常比较复杂的函数.
在具体的实际应用中, 通常用试验方程 y' y 来检验, 其中 为复常数(称模型方程) .
选择这一试验方程的理由:
(1)该试验方程比较简单, 若对它方法已不稳定, 则 对其他方程也就靠不住了.
3. 几个重要的线性多步法 Adams(阿当姆斯)方法, Milne(米纳)方法, Hamming(哈明)方法, Simpson(辛普生)方法.
通过指定 l 和 p 确定 i , i 来构造.
(1) Adams 4步4阶显式公式
h yn 1 y n (55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 ) 24 251 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O ( h 6 ) 270
Over!
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
初值问题:
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
-----------(1)
f ( xn h ) f ( xn h ) 中心差商 y '( xn ) 离散方程得 2h
yn1 yn1 2hf ( xn , yn )
称为Euler二步法.
计算yn1时, 用到了yn , yn1.
1. (l步)线性多步法的一般格式为：
yn 1 0 y n 1 y n 1 l 1 y n ( l 1) h( 1 f n1 0 f n 1 f n( l 1) ) ---------(2)
h2 h3 h4 E (h ) 1 h 2! 3! 4!
绝对稳定区间[2.785,0]
注： 对于具体初值问题的绝对稳定性分析时，
f
' y
《应用数值分析》第九章： 例题9.2.1、9.2.2、9.3.2、9.4.6、9.4.7； 习题9.2、 9.4——9.8 、9.8、9.10、9.11、 9.13、9.15、9.16、9.17(3)、9.18 、9.21
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
E (h )
1 yn 1 yn 1 h
1 1 , 1 h 1 h
1 | | 1 |1 h | 1 1 h
稳定区域 :
Re(h ) Re(h) 0,
绝对稳定区间(,0]
所以,隐式Euler方法比显示Euler方法的稳定性好.
3. 梯形方法
h h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) yn ( yn yn 1 ), 2 2 h 1 2 y 1 h y yn 1 h n 1 h n 1 2
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(2) 对于一般的初值问题 y ' f ( x, y)可局部化成这一形式.
y ' f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) O (| x x0 | | y y0 |) [ f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) y0 f y ( x0 , y0 )] yf y ( x0 , y0 ) O (| x x0 | | y y0 |)
略去O(| x x0 | | y y0 |)项, 并 f x ( x0 , y0 ) y( x) 令 f y ( x0 , y0 ), y x, 则
' y [ f ( x0 , y0 ) x0 f x ( x0 , y0 ) y0 f y ( x0 , y0 ) y
K 4 f ( xn h, yn hK3 )
2 3 h h ( yn 2hyn 2 yn 4 yn ) 2 4
于是,
h yn 1 yn ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 1 1 1 2 3 4 y[1 h ( h ) ( h ) ( h ) ] yn 2 6 24
i 0 i 1 l 1 l 1
y ( xn 1 ) [i y ( xn i ) h i y '( xn i )]
i 0 i 1
l 1
l 1
y ( xn 1 ) [i y ( xn ih ) h i y '( xn ih )]
定义8.5.1
由初值问题的显式单步法 (1) 产生的 近似解 yn , 如果对任一固定的 xk x0 kh 均有 yk y ( xk ) as h 0. 则称单步法是收敛的.
(即整体截断误差Ek y( xk ) yk 趋于零)
由定理可得:
1. Euler公式, 改进的Euler公式和Runge Kutta公式均收敛.
f i f ( xi , yi )
当 1 0 时，为隐式公;
1 =0 则为显式公式。
其中0 ,,l 1, 1, 0 ,, l 1是独立常数, l 1, l 1不全为零.
局部截断误差 : Tn 1 y ( xn 1 ) [i y ( xn i ) h i f ( xn i , y ( xn i ))]
14 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 45
(4) Ham min g 3步4阶隐式公式
1 3h yn 1 (9 y n yn 2 ) ( f n 1 2 f n f n 1 ) 8 8
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 40
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
i 0 i 1
l 1
l 1
------(3)
2. 线性多步方法的构造
构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开 的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。
根据公式具体的精度(p阶),即 Tn1 O(h p1 ) ,确定
i , i (2l 1个未知数)
将(3)中所有项全在x xn进行Taylor展开, 观察含h 幂次前的系数, 令h的低于p 1的幂次项系数为零.
h 0, Re(h ) 0,
1 h | E (h ) || | 1 成立. 1 h
绝对稳定区域 : 左半平面;
绝对稳定区间 : (,0]
4. 经典 Runge-Kutta方法
K1 f ( xn , yn ) yn
h h h 2 K 2 f ( xn , yn K1 ) yn yn 2 2 2 h h h h 2 K 3 f ( xn , yn K 2 ) [ yn ( yn yn )] 2 2 2 2 h 2 h2 3 yn yn yn ) 2 4
§ 8.5
收敛性与稳定性分析
1. 单步法(显式)的收敛性
yn1 yn h( xn , yn , h)
yn 1 yn ( xn , y n , h ) h
-----------(1)
用上式的差分方程来逼近微分方程的初值问题是否 合理,就要看差分方程的解是否收敛到初值问题的 精确解.
一般地, 设单步法(1)用于试验方程(2), 从 yn 计算一步得 yn 1 , 其中记号E ( h)与所选数值方法有关.
若在节点值yi 产生一扰动 i , 而以后的计算全是 正确的,则在计算y j时将有误差 [E( h)]j i i .
定义
(1) 当|E(h)| 1时,数值方法(1)就是绝对稳定的.
第八章
§ 8.4
§
常微分方程数值解
线性多步法
8.5 收敛性与稳定性分析
§ 8.4 线性多步法
在前面所讨论的方法中,在计算 yn1 时只用到前一步 y n 的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必 须增加计算右端函数f ( x, y)的次数。当 f ( x, y) 的结构比 较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误 差阶的办法，即构造这样的方法: 在计算 yn1 公式中,充 分利用前几步得到的信息 y n , y n1 , 及 f n f ( xn , yn ), f n1 f ( xn1, yn1 )，但每进一步，只计算一次 f ( x, y) 的值。 这样的方法称为多步方法，若函数值 f n , f n1 , 以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多 步方法。
在复平面上,变量 h h,
满足|E(h )| 1的区域称为方程的绝对稳定区域,
绝对稳定wenku.baidu.com与实轴之交称为 绝对稳定区间.
(2) 当方法A的绝对稳定域比B的绝对稳定域大时,
称方法A比方法B稳定.
1. Euler公式
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn hyn (1 h) yn
(2) Adams 3步4阶隐式公式
h yn 1 y n (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24
19 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O ( h 6 ) 270
(3) Mi ln e 4步4阶显式公式 4h yn 1 y n 3 (2 f n f n 1 2 f n 2 ) 3
讨论具体初值问题的数值方法(1)的数值绝对稳定性 往往比较困难,原因在于f ( x, y )常常比较复杂的函数.
在具体的实际应用中, 通常用试验方程 y' y 来检验, 其中 为复常数(称模型方程) .
选择这一试验方程的理由:
(1)该试验方程比较简单, 若对它方法已不稳定, 则 对其他方程也就靠不住了.
3. 几个重要的线性多步法 Adams(阿当姆斯)方法, Milne(米纳)方法, Hamming(哈明)方法, Simpson(辛普生)方法.
通过指定 l 和 p 确定 i , i 来构造.
(1) Adams 4步4阶显式公式
h yn 1 y n (55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 ) 24 251 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O ( h 6 ) 270
Over!
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
初值问题:
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
-----------(1)
f ( xn h ) f ( xn h ) 中心差商 y '( xn ) 离散方程得 2h
yn1 yn1 2hf ( xn , yn )
称为Euler二步法.
计算yn1时, 用到了yn , yn1.
1. (l步)线性多步法的一般格式为：
yn 1 0 y n 1 y n 1 l 1 y n ( l 1) h( 1 f n1 0 f n 1 f n( l 1) ) ---------(2)
h2 h3 h4 E (h ) 1 h 2! 3! 4!
绝对稳定区间[2.785,0]
注： 对于具体初值问题的绝对稳定性分析时，
f
' y
《应用数值分析》第九章： 例题9.2.1、9.2.2、9.3.2、9.4.6、9.4.7； 习题9.2、 9.4——9.8 、9.8、9.10、9.11、 9.13、9.15、9.16、9.17(3)、9.18 、9.21
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
E (h )
1 yn 1 yn 1 h
1 1 , 1 h 1 h
1 | | 1 |1 h | 1 1 h
稳定区域 :
Re(h ) Re(h) 0,
绝对稳定区间(,0]
所以,隐式Euler方法比显示Euler方法的稳定性好.
3. 梯形方法
h h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) yn ( yn yn 1 ), 2 2 h 1 2 y 1 h y yn 1 h n 1 h n 1 2
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(2) 对于一般的初值问题 y ' f ( x, y)可局部化成这一形式.
y ' f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) O (| x x0 | | y y0 |) [ f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) y0 f y ( x0 , y0 )] yf y ( x0 , y0 ) O (| x x0 | | y y0 |)
略去O(| x x0 | | y y0 |)项, 并 f x ( x0 , y0 ) y( x) 令 f y ( x0 , y0 ), y x, 则
' y [ f ( x0 , y0 ) x0 f x ( x0 , y0 ) y0 f y ( x0 , y0 ) y
K 4 f ( xn h, yn hK3 )
2 3 h h ( yn 2hyn 2 yn 4 yn ) 2 4
于是,
h yn 1 yn ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 1 1 1 2 3 4 y[1 h ( h ) ( h ) ( h ) ] yn 2 6 24
i 0 i 1 l 1 l 1
y ( xn 1 ) [i y ( xn i ) h i y '( xn i )]
i 0 i 1
l 1
l 1
y ( xn 1 ) [i y ( xn ih ) h i y '( xn ih )]
定义8.5.1
由初值问题的显式单步法 (1) 产生的 近似解 yn , 如果对任一固定的 xk x0 kh 均有 yk y ( xk ) as h 0. 则称单步法是收敛的.
(即整体截断误差Ek y( xk ) yk 趋于零)
由定理可得:
1. Euler公式, 改进的Euler公式和Runge Kutta公式均收敛.
f i f ( xi , yi )
当 1 0 时，为隐式公;
1 =0 则为显式公式。
其中0 ,,l 1, 1, 0 ,, l 1是独立常数, l 1, l 1不全为零.
局部截断误差 : Tn 1 y ( xn 1 ) [i y ( xn i ) h i f ( xn i , y ( xn i ))]
14 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 45
(4) Ham min g 3步4阶隐式公式
1 3h yn 1 (9 y n yn 2 ) ( f n 1 2 f n f n 1 ) 8 8
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 40
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
i 0 i 1
l 1
l 1
------(3)
2. 线性多步方法的构造
构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开 的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。
根据公式具体的精度(p阶),即 Tn1 O(h p1 ) ,确定
i , i (2l 1个未知数)
将(3)中所有项全在x xn进行Taylor展开, 观察含h 幂次前的系数, 令h的低于p 1的幂次项系数为零.
h 0, Re(h ) 0,
1 h | E (h ) || | 1 成立. 1 h
绝对稳定区域 : 左半平面;
绝对稳定区间 : (,0]
4. 经典 Runge-Kutta方法
K1 f ( xn , yn ) yn
h h h 2 K 2 f ( xn , yn K1 ) yn yn 2 2 2 h h h h 2 K 3 f ( xn , yn K 2 ) [ yn ( yn yn )] 2 2 2 2 h 2 h2 3 yn yn yn ) 2 4
§ 8.5
收敛性与稳定性分析
1. 单步法(显式)的收敛性
yn1 yn h( xn , yn , h)
yn 1 yn ( xn , y n , h ) h
-----------(1)
用上式的差分方程来逼近微分方程的初值问题是否 合理,就要看差分方程的解是否收敛到初值问题的 精确解.