综合法与分析法ppt
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《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
2.2.1 综合法和分析法 课件(人教A版选修1-2)
栏目 导引
第二章 推理与证明
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
栏目 导引
第二章 推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
栏目 导引
第二章 推理与证明
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)， 即证 a2＋b2≥2ab.6 分 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立.7 分 ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.8 分师微博 平时练习时，这一步你想到、做到了吗？ 【名师点评】 应用分析法证明问题的模式 (若p则q形式)如下： 为了证明命题q为真， 只需证命题p1为真，从而有…… 只需证命题p2为真，从而有…… …… 只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为 真．
栏目 导引
第二章 推理与证明
即 （x－1）（x－4）< （x－3）（x－2）， 只需证[ （x－1）（x－4）]2<[ （x－3）（x－2）]2， 即证 x2－5x＋4<x2－5x＋6，即 4<6， 这显然成立． ∴当 x≥4 时， x－1－ x－2< x－3－ x－4.
栏目 导引
第二章 推理与证明
这种证明方法叫做综合法 __定__义___、__公__理___等)，这
种证明方法叫做分析法
栏目 导引
综合法
P⇒Q1 →
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示 的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示
第二章 推理与证明
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
栏目 导引
第二章 推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
栏目 导引
第二章 推理与证明
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)， 即证 a2＋b2≥2ab.6 分 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立.7 分 ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.8 分师微博 平时练习时，这一步你想到、做到了吗？ 【名师点评】 应用分析法证明问题的模式 (若p则q形式)如下： 为了证明命题q为真， 只需证命题p1为真，从而有…… 只需证命题p2为真，从而有…… …… 只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为 真．
栏目 导引
第二章 推理与证明
即 （x－1）（x－4）< （x－3）（x－2）， 只需证[ （x－1）（x－4）]2<[ （x－3）（x－2）]2， 即证 x2－5x＋4<x2－5x＋6，即 4<6， 这显然成立． ∴当 x≥4 时， x－1－ x－2< x－3－ x－4.
栏目 导引
第二章 推理与证明
这种证明方法叫做综合法 __定__义___、__公__理___等)，这
种证明方法叫做分析法
栏目 导引
综合法
P⇒Q1 →
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示 的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
第2讲不等式的基本方法-综合法与分析法课件人教新课标
∴3x2＋3y2＞2xy成立.
1
1
∴(x2＋y22) ＞(x3明不等式 例 3 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，求证 a＋1＋ b＋1≤ 6. 证明 要证 a＋1＋ b＋1≤ 6，
只需证( a＋1＋ b＋1)2≤6，
即证(a＋b)＋2＋2 ab＋a＋b＋1≤6.
A.1a＜1b
B.a＋1b＞b＋1a
√C.b＋1a＞a＋1b
D.ba＜ba＋ ＋11
解析 ∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴aab＜abb＜0，即1b＜1a＜0.
∴a＋1b＜b＋1a.
1234
解析 答案
2.已知函数 f(x)＝12x，a＞0，b＞0，a≠b，A＝f a＋2 b，B＝f( ab)，C＝ 2ab
第二讲 证明不等式的基本方法
二 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点. 2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤. 3.会用综合法、分析法证明一些不等式.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 综合法与分析法
思考1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、 综合法的基本特征. 答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导 果法.
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
题型探究
类型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1， 求证：a＋1a2＋b＋1b2≥225.
证明
反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系. 合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
综合法和分析法 课件
综合法与分析法
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
【课件】 综合法与分析法
abc 故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
证明: b2 c2 2bc,a2 0, a2(b2 c2 ) 2a2bc c2 a2 2ac,b2 0, b2(c2 a2 ) 2b2ac a2 b2 2ab,c2 0, c2(a2 b2 ) 2c2ab 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 2a2bc 2b2ac 2c2ab a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 又a,b,c 0, a b c 0, 1 0,
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 ,,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2n
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2 ,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
abc
证明: b2 c2 2bc,a2 0, a2(b2 c2 ) 2a2bc c2 a2 2ac,b2 0, b2(c2 a2 ) 2b2ac a2 b2 2ab,c2 0, c2(a2 b2 ) 2c2ab 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 2a2bc 2b2ac 2c2ab a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 又a,b,c 0, a b c 0, 1 0,
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 ,,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2n
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2 ,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
数学课件：1.5.2 综合法和分析法
题型一 题型二 题型三
正解:证明:要证 3 + 6 < 4 + 5, 只需证( 3 + 6)2<( 4 + 5)2, 即证 9+2 18 < 9+2 20, 即证 18 < 20, 即证18<20. 因为 18<20 显然成立, 所以 3 + 6 < 4 + 5.
12345
1 设 a,b 为正数,A= ������ + ������,B= ������ + ������, 则A,B 的大小关系是( ) A.A≥B B.A≤B
+
1 ������-������
. 此不等式恒成立的充要条件是n 小于等于(x-
z)
1 ������-������
+
1 ������-������
的最小值.
令 a=x-y,b=y-z,则 a>0,b>0,且 x-z=a+b.
因为可证(a+b)
1 ������
+
1 ������
≥4,当且仅当 a=b,即 x-y=y-z>0 时等号成立,
2bc. Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0. 则f(a)的值可正、可负、可为零,无法确定. 因此,分析题目时,对条件要看清楚,尤其要探寻条件间的限制关
系,以免受到某些思维定式的影响.
题型一 题型二 题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
已知
a>b>0,求证:
(������-������)2 8������
只需证明A为真. 已知A为真,故B必为真. 可以简单写成: B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.2综合法与分析法
333
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思 路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两 法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从 而解决较复杂的不等式证明问题．
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思 路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两 法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从 而解决较复杂的不等式证明问题．
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
高中数学北师大版选修2-2第一章《综合法与分析法》课件
只需证明 （a+b）(a2-ab+b2) ˃ab(a+b), 只需证明 （a+b）(a2-ab+b2)-ab(a+b)˃ 0 只需证明 （a+b）(a2-2ab+b2)˃ 0 只需证明 （a+b）(a-b)2 ˃0 只需证明 a+b˃0且(a-b)2˃0 由于，命题的条件“a,b是不相等的正数”，他保证上 式成立。这样就证明了命题的结论。
二。例题讲解
三。课堂练习
57、人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 22、告诉自己不要那么念旧，不要那么执着不放手。 17、通过辛勤工作获得财富才是人生的大快事。 23、相信他说的话，但不要当真。 45、我们从自然手上收到的最大礼物就是生命。 12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。 42、有智慧才能分辨善恶邪正;有谦虚才能建立美满人生。
一。新授
二、分析法
概念：从求证的结论出发，一步一步地 探索保证前一个结论成立的充分条件， 直到归结为这个命题的条件，或者归结 为定义、定理、公理等。我们把这样的 思维方法成为分析法。
二。例题讲解
例四 已知：a,b是两个不相等的正数，求证： a3+b3˃a2b+ab2.
证明 要证明a3+b3˃a2b+ab2，
§2 综合法与分析法Fra bibliotek一。新授
一、综合法
概念：在证明数学命题时，我们可以从 一直条件入手，根据学过的定义、公理、 定理等，通过严格的推理，证明命题的 结论。
二。例题讲解
知识点：由周期 函数的性质得：
对于任意的x有 f(X)=f(X+T),则T为 f(x)的一个周期。
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新课导入
在以前的学习中，大家已经能应 用综合法、分析法证明数学命题，但 是对这些证明方法的内涵和特点，大 家又了解多少呢？
本节课我们对综合 法和分析法这些证明方 法进行较系统的学习.
综合法和分析法， 是直接证明中最基本的两 种证明方法，也是解决数 学问题时常用的思维方式.
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
知识要 点
一般地，利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法 叫做综合法.其特点是“由因导 果”.
你能用 框图表示综 合法吗？ 用P表示已知条件、 已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用 框图表示如下：
其次，寻找转化的依据及证明中要 用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就 能实现转化，不等式的基本性质是证明 的依据.
最后，给出具体证明：由 b2+c2 ≥ 得a(b2+c2) ≥ 2abc； 2ab及条件a>0，
类似地，得b(c2+a2) ≥ 2abc. 从而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
π B= . 3
由a，b，c成等比数列，有
b = ac.
2
④
由余弦定理及③，可得
b = a + c - 2accosB = a + c - ac.
再由④，得
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
2
a + c - ac = ac,
即 因此 从而
2
2
（a - c） = 0.
a=c.
A=C. ⑤
2
由 ② ③ ⑤ ,得
π A=B=C= . 3 所以△ＡＢC为等边三角形.
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°； •a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
3 + 7 < 2 5.
分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证 展开得 只需证
2 2 （ 3 + 7） < （2 5） .
10 + 2 21 < 20，
21 < 5，
只需证
21<25.
因为21<25成立，所以 成立. 反思
3 + 7 < 2 5，
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a+b 不等式： 2
ab
动动脑
(a>0,b>0)的证明.
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
a+b ab 证明:要证 2 只需证:a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab成立 所以 2
再来分析 一个例题.
已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
提示
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
分析法的适用范围：
注意
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往 往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推， 寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
例题2
求证
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发，
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识. 综合法就是利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0
∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc. ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知 条件和某些数学定义、公理、 定理等出发，通过推理推导出 所要的结论.
难点
根据问题的特点，结合综合法、分析法的 思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不 同的证明方法结合使用.
a+b 回 不等式： 忆 2 (a>0,b>0)的证明.
ab
…
动动脑
运用以前学过 的数学知识，大家 自己证明试试看！
证明: 因为: ( a b ) 0
2
你能分析一下 这个证明的思考过 程和特点吗？
这就是另一种证 明方法——分析法.
知识要 点
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
类似综合法，我们也可 以后框图来表示分析法：
只需证:a + b 2 ab 0
2 ( a b ) 0 只需证:
类比综合法， 你能分析一下这个 证明的思考过程和 特点吗？
因为:( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab成立
这类证法的特点是:
要证明结论成立，逐步寻求推证过 程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止.
b = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那 么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满 足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行 证明.
2
证明：
由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. 由① ②，得 ① ② ③ 因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以
在以前的学习中，大家已经能应 用综合法、分析法证明数学命题，但 是对这些证明方法的内涵和特点，大 家又了解多少呢？
本节课我们对综合 法和分析法这些证明方 法进行较系统的学习.
综合法和分析法， 是直接证明中最基本的两 种证明方法，也是解决数 学问题时常用的思维方式.
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
知识要 点
一般地，利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法 叫做综合法.其特点是“由因导 果”.
你能用 框图表示综 合法吗？ 用P表示已知条件、 已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用 框图表示如下：
其次，寻找转化的依据及证明中要 用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就 能实现转化，不等式的基本性质是证明 的依据.
最后，给出具体证明：由 b2+c2 ≥ 得a(b2+c2) ≥ 2abc； 2ab及条件a>0，
类似地，得b(c2+a2) ≥ 2abc. 从而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
π B= . 3
由a，b，c成等比数列，有
b = ac.
2
④
由余弦定理及③，可得
b = a + c - 2accosB = a + c - ac.
再由④，得
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
2
a + c - ac = ac,
即 因此 从而
2
2
（a - c） = 0.
a=c.
A=C. ⑤
2
由 ② ③ ⑤ ,得
π A=B=C= . 3 所以△ＡＢC为等边三角形.
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°； •a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
3 + 7 < 2 5.
分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证 展开得 只需证
2 2 （ 3 + 7） < （2 5） .
10 + 2 21 < 20，
21 < 5，
只需证
21<25.
因为21<25成立，所以 成立. 反思
3 + 7 < 2 5，
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a+b 不等式： 2
ab
动动脑
(a>0,b>0)的证明.
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
a+b ab 证明:要证 2 只需证:a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab成立 所以 2
再来分析 一个例题.
已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
提示
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
分析法的适用范围：
注意
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往 往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推， 寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
例题2
求证
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发，
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识. 综合法就是利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0
∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc. ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知 条件和某些数学定义、公理、 定理等出发，通过推理推导出 所要的结论.
难点
根据问题的特点，结合综合法、分析法的 思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不 同的证明方法结合使用.
a+b 回 不等式： 忆 2 (a>0,b>0)的证明.
ab
…
动动脑
运用以前学过 的数学知识，大家 自己证明试试看！
证明: 因为: ( a b ) 0
2
你能分析一下 这个证明的思考过 程和特点吗？
这就是另一种证 明方法——分析法.
知识要 点
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
类似综合法，我们也可 以后框图来表示分析法：
只需证:a + b 2 ab 0
2 ( a b ) 0 只需证:
类比综合法， 你能分析一下这个 证明的思考过程和 特点吗？
因为:( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab成立
这类证法的特点是:
要证明结论成立，逐步寻求推证过 程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止.
b = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那 么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满 足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行 证明.
2
证明：
由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. 由① ②，得 ① ② ③ 因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以