专升本-不定积分

dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例7
求积分
1 2x2
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
第六讲 不定积分的概念与换元积分法
1 不定积分的概念与性质 2 凑微分法(第一换元积分法) 3 第二换元积分法
1、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
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(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
例10
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
例14 设 f (sin2 x) cos2 x, 求 f ( x) .
解 令 u sin2 x cos2 x 1 u,
f (u) 1 u,
f
(u)
1
udu
u
1 2
u2
C
,
f (x) x 1 x2 C. 2
例15 求
1 4 x2 arcsin xdx.
2
解
4
1 x2 arcsin
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
例13 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
1.2 基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
例 9 已知一曲线 y f ( x) 在点( x, f ( x)) 处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与y 轴的交 点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解 dy sec2 x sin x, dx
y sec2 x sin xdx
tan x cos x C,
y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
例5 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
例6
求
x
2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
2、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
例7
求
1 1 e xdx.
解
1
1 e
x
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
例8
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
1.3 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f ( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
例5
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
1
1
3 1 x2 dx 2
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1
2
1 du u
1 2
ln
u
C
1 ln(1 2
2ln x) C.
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
求
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx.
解
x
1 x
1
1 x2
,
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx
x 1
e xd(x
1)
x 1
ex
C.
x
例9
求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
1 a
[
f
(u)du]uaxb
例3
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2ln
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
例1 求 sin 2xdx.
x2
(1
x2
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例8
求积分
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1 arcsin
xd
(arcsin
x 2
)
ln arcsin x C. 2
2
3、第二类换元法 问题 x5 1 x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 x sin t dx cos tdt,
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例12 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.