博士生高级计量经济学指南.

西南财经大学2013级博士研究生高级计量经济学学习指南

2013级博士生高级计量经济学

学习指南

第一部分条件期望与条件方差

第二部分古典假设与最小二乘法

第三部分最小二乘的有限样本性质

第四部分最小二乘的大样本性质

第五部分非球型扰动与广义回归模型

第六部分极大似然估计，广义矩估计

第七部分检验与推断

第八部分工具变量和两阶段最小二乘

第九部分模型设定检验

第一部分 条件期望与条件方差

在正式进入计量经济学的学习之前，需要对条件期望以及条件方差熟练掌握，它们是以后学习的基础。

一、条件期望 1、条件均值的定义 条件均值的定义为：

[]()()||()

||y

y x y

yf y x dy y m x E y x yP y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰∑若是连续的若是离散的

应当指出的是，条件期望是谁的函数。

2、条件均值的性质

条件均值有几个简单而有用的性质：

（1）迭代期望律 ( Law of Iterated expectations, LIE) 条件期望的条件期望等于无条件期望。

[][]|x E y E E y x ⎡⎤=⎣⎦，其中，记号[]x E ⋅表示关于 x 值的期望。

Proof: 离散情形：

We need to show: ()[]()|X x

E y E y X x P X x ===∑

Where []()|||Y X y

E Y X x yP y x ==∑.

We have

[]()()()|||X

Y X

X

x

y

x

E Y X x P X x y P y x P x ===∑∑∑()()Y

y

yP Y y E Y ===∑.

连续情形：

()()X x

E g gf x dx =⎰，and ()()||y

E y x yf y x dy =⎰

()()()||X x

E E Y X x E Y X x f x dx ∴===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰

()()|x y yf y x dy f x dx ⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭

⎰⎰

()()|x y

yf y x dy f x dx =⎰⎰

()()|x y

yf y x f x dxdy =⎰⎰

()()(),x y

y

yf x y dxdy yf y dy E y ===⎰⎰⎰

迭代期望律的一般表述方式 ()()()|||E y E E y =x w x

其中，()g =x w ，x 是w 的子集，()g ⋅为非随机函数。 语义：若已知w 的结论，我们也就知道x 的结论。 记： ()()()()12|, |E y E y μμ≡≡w w x x 则：()()()()21||E y E μμ≡=x x w x

Proof 需要较多的测度论的知识，这里只是加以说明证明的思路。

()||E E y ⎡⎤⎣⎦w x 中，w 的信息多于x 。因此，当()()1|E y μ≡w w 时，运用x

的信息，也可描述()()2|E y μ≡x x 。例如，w 和x 分别为天平的砝码，w 为1克的集合，x 为5克的集合，因此，有()g =x w 。当我们用w 的信息描述y 时，也可以用x 的信息加以描述。 特例： ()()()||,|E y E E y =x x z x 另外，()()()|||E y E E y =x x w 也成立。

（2）[][]()()|()()|E g y h x y g y E h x y = （3）[][]{}()()()()|E g y h x E g y E h x y =

[][]()[]{}()()()()|()()|E g y h x E E g y h x y E g y E h x y ==

（4）[][][]|||E ax by z aE x z bE y z +=+ 更为一般的情形： 设，()()()()12,,

,G a a a b x x x x 和为x 的标量函数，12,,

,G y y y 为随机变量，

那么：

()()()()()11

||G G

j j j j j j E a y b a E y b ==⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑∑x x x x x x （5）对于任何二元变量的分布，()[](),,|Cov x y Cov x E y x =

()()[]()

|x x

x E x E y x f x d x =-⎰ 证明：(,)Cov x y Exy ExEy =-

[(|)][(|)][(E E x y x

E x E y E x E y x

E x E E y x

=-=- [](),|Cov x E y x =

{()[(|)((|)E x E x

E y x E E y x =-- [()(|)][()][()(E x E x

E y x E x

E x E y

E x

E x E y x

=---=- ()()[]()

|x x

x E x E y x f x d x =-⎰ 从这个公式中，我们需要理解线性回归中的两个古典假设：

(|)0(,)0E u x Cov x u =⇒=

由此，零均值假定（在i x 给定的条件下，i u 的条件均值为零）（强外生），与随机扰动项与解释变量不相关的假定（弱外生），这将在以后的学习中经常提及。

（6）若定义()|y E y x μ≡-，在假设(), 1,2,3,,i E g j J μ<∞=x 和()E μ<∞条件下，有()()0E g x μ=。其中，()g x 为任意函数。特殊情形，

()0E μ=，(),0Cov x μ=。

证明：

()()()()

()()()()()||| ||| ||0

E E

y E y E y E E y E y E y μ=-=-=-=x x x x x x x x 又 ()()()()()()()()

()()||00

E E E E

E E μμμ===

=g x g

x x g x x g x ()()()()()()()()

||0E E y E y E y E E

y E y E y

μ=-=-=-=x x