离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学课后习题及答案
离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。
为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。
本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。
答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。
b) 若今天下雨，则我会带伞。
c) 若x>0，则x^2>0。
答案：a)假，b)真，c)真。
2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。
三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。
答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。
答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。
答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。
五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。
答案：C(10,3)=120种选法。
2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
离散数学第五版课后答案
离散数学第五版课后答案【篇一：离散数学课后答案(四)】txt>4.1习题参考答案-------------------------------------------------------------------------------- 1、根据结合律的定义在自然数集n中任取 a,b,c 三数，察看 (a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈n，则(a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
-------------------------------------------------------------------------------- 2、d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。
因此*运算不满足交换律。
(2)设a,b,c∈r则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。
离散数学(屈婉玲)答案
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式//最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例）//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解： F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(第五版)清华大学出版社第4章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第4章习题解答4．1 A：⑤；B：③；C：①；D：⑧；E：⑩4．2 A：②；B：③；C：⑤；D：⑩；E：⑦4．3 A：②；B：⑦；C：⑤；D：⑧；E：④分析题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的Is ={<1,1>,<2,2>}, Es ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}Is ={<1,1>,<1,2>,<2,2>};而题4.2中的R={<1,1>,<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}.为得到题4.3中的R须求解方程x+3y=12，最终得到R={<3,3>,<6,2>,<9,1>}.求RoR有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将domR,domRUran,ranR的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R的每个有序对，若<x,y>∈R，则从domR中的x到ranR中的y画一个箭头。
若danR中的x 经过2步有向路径到达ranR中的y，则<x,y>∈RoR。
由图4.3可知RoR={<1,1>,<1,4><4,1>,<4,4>,<2,1>,<2,4>,<3,1>}.如果求FoG，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为domG,ranUdomF,ranF，然后，同样地寻找domG到ranF的2步长的有向路径即可。
2° 矩阵方法若M是R的关系矩阵，则RoR的关系矩阵就是M·M，也可记作M，在计算2 48乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 1⎥2 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥M =⎢⎥⋅⎢⎥=⎢⎥⎢0 0 0 1⎥⎢0 0 0 1⎥⎢1 0 0 0⎥⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 1⎦M2中含有7个1，说明RoR中含有7个有序对。
离散数学答案版(全)
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式： （1）如果 G 在所有解释下取值均为真，则称 G 是永真式 或重言式； （2）如果 G 在所有解释下取值均为假，则称 G 是永假式或矛盾式； （3） 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真，则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值，则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式，则 （1）A A （2）若 A B 则 B A （3）若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式，则下述等价公式成立： A A （1）双重否定律 （2）等幂律 A∧A A ； A∨A A （3）交换律 A∧B B∧A ； A∨B B∨A （4）结合律 （A∧B）∧C A∧（B∧C） （A∨B）∨C A∨（B∨C） （5）分配律 （A∧B）∨C （A∨C）∧（B∨C） （A∨B）∧C （A∧C）∨（B∧C） （A∨B） A∧ B （6）德·摩根律 （A∧B） A∨ B （7）吸收律 A∨（A∧B） A；A∧（A∨B） A （8）零一律 A∨1 1 ； A∧0 0 （9）同一律 A∨0 A ； A∧1 A （10）排中律 A∨ A 1 （11）矛盾律 A∧ A 0 （12）蕴涵等值式 A→B A∨B （13）假言易位 A→B B→ A （14）等价等值式 A B （A→B）∧（B→A）
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.1°给定集合S和二元运算°,判定<S, °>是否构成关群、独导点和群.根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：条件1 S关于°运算封闭：条件2 °运算满足结合集条件3 °运算有幺元，条件4 °∀x∈S,x−1∈S.其中关群判定只涉及条件1和2；独导点判定涉及条件1、2、和3；而群的判定则涉及到所有的四个条件。
2 ° 给定集合S和二元运算°和*，判定<S, °, *>是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有:条件1 <S, °>S构成交换群,条件2 <S, *> 构成关群,条件3 * 对°运算的分配律,条件4 * 对运算满足交换律,条件5 * 运算有幺元,条件6 * 运算不含零因子——消去律，条件7 |S|≥2,∀x∈S,x≠0,有x−1∈S（对*运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3° 判定偏序集<S,≤>或代数系统<S,o,*>是否构成格、分本配格、有补格和布尔格. 73若<S,≤>为偏序集,首先验证∀x,y∧y和x∨y是否属于S.若满足条件则S为格,且<S,∨,∧>构成代数系统.若<S,o,*>是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则<S,o,*>构成格。
离散数学第5版答案
⇔ p ∧ (q ∨ ¬q)
（分配律）
⇔ p ∧1
（排中律）
⇔ p.
（同一律）
（2）从右边开始演算 p → (q ∧ r)
⇔ ¬p ∨ (q ∧ r)
（蕴含等值式）
⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) （分配律）
⇔ ( p → q) ∧ ( p → r). （3）从左边开始演算 ¬( p ↔ q)
001，…，111 题中指派 p, q 为 0, r 为 1，于是就是考查 001 是该公式 p ∧ (q ∧ r)
的成真赋值，还是成假赋值，易知 001 是它的成假赋值。
2° 在公式（2），（3），（4）中均含 4 个命题就项，因而共有 24 = 16 个赋值：
0000，0001，…，1111。现在考查 0011 是它的成假赋值。
⇔0↔q
（矛盾律）
⇔ ( p → q) ∧ (q → 0)
（等价等值式）
⇔ (¬0 ∨ q) ∧ (¬q ∨ 0)
（蕴含等值式）
⇔ (1∨ q) ∧ ¬q
（同一律）
⇔ 1∧ ¬q
（零律）
⇔ ¬q
（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值为 1，即 00 或 10 都为原公式的成真赋值，而 01，11 为成假赋 值，于是公式为非重言式的可满足式。
⇔ ¬¬(( p ∨ q) ∧ ¬( p ∧ q)
⇔ ¬(¬( p ∨ q) ∨ ¬¬( p ∧ q))
⇔ ¬((¬p ∨ ¬q) ∨ ( p ∧ q))
⇔ ¬((¬p ∧ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ q))
⇔ ¬(1 ∧ p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ∧1
清华第五版数值分析第6章课件
即：
x x
( ( ( ( ( x1k 1) 1 ( a12 x2k ) a13 x3k ) a14 x4k ) a1n xnk ) b1 ) a11 ( ( ( ( ( x2k 1) 1 (a21 x1k 1) a23 x3k ) a24 x4k ) a2 n xnk ) b2 ) a22
( i 1, 2, , n)
或
i 1 n
x
( k 1) i
bi aij x
j 1
(k ) j
j i 1
a
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
雅可比迭代法的矩阵表示
将系数矩阵分裂为：A
D LU
其中 D diag(a11 , a22 , , ann )
G-S迭代算法描叙
1 输入 A, then, , M . 2 if , b, x0 1 x ( a x a 2.1k M for i 1, 2, 2.1.1s=0， , n 2.1.2 for t ( x0 )i
( k 1) i i 1 ii j 1 ij ( k 1) j
Jacobi迭代算法描述
1 输入 A, b, x0 , , M . n 2 if k M , then 1 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) xi( k ) . 2.1 for i 1, 2, , n aii j 1 2.1.1 s=0, 2.1.2 forj 1, 2, , n
过程建立Jacobi迭代公式，即
a
i 1
n
ij
x j bi , aii 0
离散数学第六章作业答案
图（c）有两个奇度顶点，故存在欧拉通路。
6.10 画出一个无向图，使它
（1）即是欧拉图，又是哈密顿图：n（n≥3）阶圈都是欧拉图和哈密顿图。
（2）是欧拉图，不是哈密顿图：k（k≥2）个长度大于等于3的圈拼接的图是欧拉图。
（3）是哈密顿图，不是欧拉图：n（n≥4）阶圈上两个不相邻的顶点，加上一条边仅为哈密顿图。
（4）既不是欧拉图，也不是哈密顿图：综合（2）（3）得知，令圈的大小大于等于4。
画图如下
（1） （2）（3）（4）
6.15解：设无向图G=<V,E>,其中V={a,b,c,d,e,f,g}
E={（u，v）| u，v∈V且u与v会讲同一种语言}
如右图存在哈密顿问题，则他们可以围城一桌，
经观察，abcdefg恰好是一条哈密顿回路。
6.16 解：用 表示颜色i，i=1,2,3……6，设无向图G=<V,E>其中
V={V1，V2，V3，V4，V5，V6}
E=
由题意只，每种颜色至少与另外三种颜色搭配，故对于 均有d(
因此对于 均有d( )+d( )≥6
由定理6,9知，图中存在哈密顿图，设为
此时， 所代表的颜色进行搭配，从而这三种双色布恰好有6中不相同颜色。
6.18 解：做无向图G：每个放假能放一个顶点，楼外放一个顶点 ，一条边对应一扇门，他连接这扇门连接的两个房间中顶点或房间与楼外顶点，如图
依题意，若存在欧拉回路，则可以从南门进入，北门离开且走遍所有的房间且每个房门恰好经过一次。但图中 是三度顶点，所以G中不存在欧拉回路，亦不存在满足题意的走法。
6.1画出完全二部图
6.3 完全二部图 中，边数m为多少。
离散数学课后答案
离散数学课后答案习题一6.将下列命题符号化。
（1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：（1）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语14.将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服.(4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语.(7)他一面吃饭, 一面听音乐.(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班.(9)只有天下大雨, 他才乘班车上班.(10)除非天下大雨, 他才乘班车上班.(11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2与4都是素数, 这是不对的.(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.答：(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.(12) ¬ (p∧q)或¬p∨¬q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.(13) ¬ ¬ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.16.19.用真值表判断下列公式的类型:(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q(3) ¬ (q→r) ∧r(4)(p→q) →(¬q→¬p)(5)(p∧r) ↔( ¬p∧¬q)(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)(7)(p→q) ↔ (r↔s)答：(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式习题二9.用真值表求下面公式的主析取范式.(1) (pνq)ν(¬pΛr)(2) (p→q) →(¬p↔q)答：(1)(2)p q (p → q) →(¬p ↔ q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0从真值表可见成真赋值为01, 10.于是(p → q) →(¬p ↔ q) ⇔ m1 ∨ m211.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式；(1) (pνq)Λr(2) p→(pνqνr)(3) ¬(q→¬p)Λ¬p15.用主析取范式判断下列公式是否等值:(1) (p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬(pΛq)与(¬pνq)答：(1)(p→q) →r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔ p¬∧q ∨ r ⇔p¬∧q∧(r¬∨r) ∨(p¬∨p) ∧(q¬∨q)∧r ⇔p¬∧q∧r ∨p¬∧q∧¬r ∨ p ∧q∧r ∨ p∧¬q∧r ∨¬p∧q∧r ∨¬p∧¬q∧r = m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨m101 ∨ m011 ∨ m001 ⇔m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 = ∑(1, 3, 4, 5, 7).而 q→(p→r) ⇔¬q ∨(¬p∨r) ⇔¬q ∨¬p ∨r ⇔(¬p∨p)¬∧q∧(¬r∨r) ∨¬p∧(¬q∨q)∧(¬r∨r) ∨(¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r ⇔(¬p¬∧q∧¬r)∨(¬p¬∧q∧r)∨(p¬∧q∧¬r)∨(p¬∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p ∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬ (p∧q)与¬ (p∨q)答：(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7所以(p→q) →r) k q→ (p→r)(2)¬ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2¬ (p∨q) ⇔m0所以¬ (p∧q) k ¬ (p∨q)习题三15.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提: p→ (q→r), s→p, q 结论: s→r(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u答：(1)证明: ① s 附加前提引入② s→p 前提引入③ p ①②假言推理④ p→(q→r) 前提引入⑤ q→r ③④假言推理⑥ q 前提引入⑦ r ⑤⑥假言推理(2)证明: ① P 附加前提引入② p∨q ①附加③ (p∨q) → (r∧s) 前提引入④ r∧s ②③假言推理⑤④化简⑥ s∨t ⑤附加⑦ (s∨t) →u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理16.在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s 结论: ¬p(2)前提: p∨q, p→r, q→s 结论: r∨s答：(1)证明: ① P 结论否定引入② p→¬q 前提引入③¬q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ③④析取三段论⑥ r∧¬s 前提引入⑦ r ⑥化简⑧¬r∧r ⑤⑦合取⑧ 为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明: ①¬ (r∨s) 结论否定引入② p∨q 前提引入③ p→r 前提引入④ q→s 前提引入⑤ r∨s ②③④构造性二难⑥¬ (r∨s) ∧ (r∨s) ①⑤合取⑥为矛盾式, 所以推理正确.18.在自然推理系统P中构造下面推理的证明.(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(1)令 p: 今天是星期六;q: 我们要到颐和园玩;r: 我们要到圆明园玩;s:颐和园游人太多.前提: p→ (q∨r), s →¬q, p, s. 结论: r.证明① p 前提引入② p→q∨r前提引入③q∨r①②假言推理④s前提引入⑤ s →¬q前提引入⑥¬q ④⑤假言推理⑦ r ③⑥析取三段论r ¬q s →¬q sq∨r p→q∨r p(2)令p: 小王是理科生,q: 小王是文科生,r: 小王的数学成绩很好.前提: p→r, ¬q→p, ¬r 结论: q证明：① p→r 前提引入②¬r 前提引入③¬p ①②拒取式④¬q→p 前提引入⑤ q ③④拒取式习题四在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.(3)乌鸦都是黑色的.(4)有的人天天锻炼身体. 没指定个体域, 因而使用全总个体域.答：(1) ¬∃x(F(x) ∧¬G(x))或∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x为有理数, G(x): x能表示成分数.(2) ¬∀x(F(x) →G(x))或∃x(F(x) ∧¬G(x)), 其中, F(x): x在北京卖菜,G(x): x是外地人.(3) ∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x是乌鸦, G(x): x是黑色的.(4) ∃x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x是人, G(x): x天天锻炼身体.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.答：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是轮船, H(x,y):x比y快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是汽车, H(x,y):x比y快.(3) ¬∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y))) 或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧¬H(x,y))), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y快.(4) ¬∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)) 或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧¬H(x,y) ), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y慢.9.给定解释I如下:(a)个体域DI为实数集合\.(b)DI中特定元素⎯a =0.(c)特定函数⎯f (x,y)=x−y, x,y∈DI.(d)特定谓词⎯F(x,y): x=y,⎯G(x,y): x<y, x,y∈DI.说明下列公式在I下的含义, 并指出各公式的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))答：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x−y=0) →x<y), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x−y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x−y<0) → (x=y)), 真值为0.习题五5.给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}.(b)⎯f (x)为⎯f (3)=4,⎯f (4)=3.(c)⎯F(x,y)为⎯F(3,3)=⎯F(4,4)=0,⎯F(3,4)=⎯F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))答：(1) ∀x∃yF(x,y)⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔(0∨1)∧(1∨0) ⇔1(2)∃x∀yF(x,y)⇔(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔(0∧1)∨(1∧0)⇔0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔(F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4))) ⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)⇔112.求下列各式的前束范式.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y);(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y);答：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y) ⇔∃x(F(x) →∀yG(x, y))⇔∃x∀y(F(x) → G(x, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y) ⇔ (∀xF(x, y) →∃xG(x, y)) ∧ (∃xG(x, y) →∀xF(x, y)) ⇔ (∀x1F(x1, y) →∃x2G(x2, y)) ∧ (∃x3G(x3, y) →∀x4F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2(F(x1, y) → G(x2, y)) ∧∀x3∀x4(G(x3, y) → F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2∀x3∀x4((F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ (G(x3, y) → F(x4, y))).13.将下列命题符号化, 要求符号化的公式全为前束范式:(1) 有的汽车比有的火车跑得快.(2) 有的火车比所有的汽车跑得快.(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的.(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的.答：(1)令F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y))⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x, y)).(2)令F(x):x是火车, G( y): y 是汽车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∀y(G(y)→ H(x,y)))⇔∃x∀y(F(x)∧(G y)→H(x,y))).;错误的答案:∃x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)).(3)令F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得快.¬∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)→(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))(不是前束范式)⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y)).(4)令F(x):x是飞机,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得慢.¬∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y)))⇔¬∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y))(不是前束范式)⇔∀x∀y¬(F(x)∧G(y)∧H(x,y))⇔∀x∀y(F(x)∧G(y)→¬H(x,y)).21.24.在自然推理系统F中, 构造下面推理的证明:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合) 答：令 F(x): x 喜欢步行, G( x): x喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车.前提:∀x(F(x)→¬G(x)), ∀x(G(x)∨H(y)),∃x¬H(x).结论:∃x¬F(x).② ∀x(G(x) ∨ H(y)) 前提引入② G(c) ∨ H(c) ①UI③∃x¬H(x) 前提引入④¬H(c) ③UI⑤ G(c) ②④析取三段⑥∀x(F(x) →¬G(x)) 前提引入⑦ F(c) →¬G(c) ⑥UI⑧¬F(c) ⑤⑦拒取⑨∃x¬F(x) ⑧EG习题七12.设A={0, 1, 2, 3}, R是A上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2,1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉} 给出R的关系矩阵和关系图.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2为A上的关系, 其中R1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 求R1·R2, R2·R1,R1²,R2³. R1·R2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R2·R1={〈c,d〉}, R1²={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R2³={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}20.设R1和R2为A上的关系,证明: (1)(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1答：(1)(R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∪R2)−1⇔〈y,x〉(∈R1∪R2)⇔〈y,x〉∈R1∨ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∨〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∨R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1 任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∩R2) −1⇔〈y,x〉(∈R1∩R2)⇔〈y,x〉∈R1∧ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∧〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∧R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∩R2−126.33.43.16.47.。
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
离散数学第五版课后习题答案
离散数学第五版课后习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的性质和关系。
离散数学的应用广泛，涉及计算机科学、信息科学、通信工程、运筹学等领域。
而《离散数学》第五版是离散数学领域的经典教材，它详细介绍了离散数学的基本概念、方法和应用。
在学习离散数学的过程中，课后习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，可以巩固理论知识，培养分析问题和解决问题的能力。
然而，由于离散数学的习题种类繁多，难度不一，很多学生在自学或课后复习时会遇到一些困难。
因此，提供《离散数学第五版》课后习题的答案可以帮助学生更好地学习和掌握相关知识。
首先，我们来看一下《离散数学第五版》课后习题的类型。
该教材的习题分为多个章节，每个章节都包含了基本概念、定理和算法的习题。
这些习题涵盖了集合论、逻辑、证明方法、图论、代数结构、计数原理等多个方面的内容。
习题的难度也有所不同，有一些是基础题，有一些是拓展题，还有一些是应用题。
通过解答这些习题，学生可以逐步提高自己的能力，掌握离散数学的核心概念和方法。
接下来，我们来讨论一下为什么提供《离散数学第五版》课后习题的答案是有意义的。
首先，课后习题的答案可以帮助学生检查自己的解答是否正确。
在学习过程中，学生可能会遇到一些难以理解或容易出错的问题，通过对比答案，可以及时发现和纠正错误，提高学习效果。
其次，答案还可以作为学生学习的参考，帮助他们理解问题的解题思路和方法。
有时候，学生可能会陷入思维定势，无法找到问题的突破口，而参考答案可以给他们一些启示和思路。
最后，答案还可以作为学生自学的辅助材料，帮助他们进行自主学习和巩固知识。
然而，提供《离散数学第五版》课后习题的答案也存在一些问题和挑战。
首先，习题的答案可能存在多种解法，因此提供一个标准答案并不容易。
不同的学生可能会有不同的思路和方法，他们的解答也可能会有所不同。
其次，习题的答案可能会涉及一些复杂的推理和证明过程，这些过程可能需要较长的篇幅来解释和讨论。
离散数学及应用习题及答案6-5
§6.5 匹配习题6.51．通过找出一个容量为3的最小割来证明图6.40中的流是最大的。
解：最小割为（{a,A,B,C}，{D,J1,J2,J3,J4,J5,z}），据最大流最小割定理知，该流是最大的。
2．求出对应于图6.38的流。
通过找出一个容量为3的最小割来证明这个流是最大的。
解：流为3。
最小割（{a,A,B,C}，{W,X,Y ,Z,z}），据最大流最小割定理知，该流是最大的。
3．申请人A 能胜任工作1J 和4J ；B 能胜任工作2J 、3J 和6J ，C 能胜任工作1J 、3J 、5J 和6J ，D 能胜任工作1J 、3J 和4J ，E 能胜任工作1J 、3J 和6J 。
（1）将这种情况模型化为匹配网络。
（2）用标号算法求出一个最大匹配。
（3）存在完全匹配吗？解：（1）(2)最大匹配M={<A ，J1>，<B ，J2>，<C ，J3>，<D ，J4>，<E ，J6>}(3)上述的最大匹配就是一个完全匹配。
4．申请人A 能胜任工作1J 、2J 和4J ；B 能胜任工作3J 、4J 、5J 和6J ；C 能胜任工作1J 和5J ；D 能胜任工作1J 、3J 、4J 和8J ；E 能胜任工作1J 、2J 、4J 、6J 和8J ；F 能胜任工作4J 和6J ；G 能胜任工作3J 、5J 和7J 。
（1）将这种情况模型化为匹配网络。
（2）用标号算法求出一个最大匹配。
（3）存在完全匹配吗？a J1 zA B C D E J2 J3 J4 J5 J6 1 11 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1解：（1）(2)最大匹配M={<A ，J1>，<B ，J3>，<C ，J5>，<D ，J4>，<E ，J2>，<F ，J6>，<G ，J7>}(3)上述的最大匹配就是一个完全匹配。
离散数学课后答案全集
第1章 命题逻辑P7 习题1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。
否命题：不是大连的每条街道都临海。
（2）每一个素数都是奇数。
否命题： 并非每一个素数都是奇数。
2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ⌝∧→如果非P 与R ，那么Q 。
（2）Q R ∧Q 并且R 。
3. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ⌝→⌝、Q P ⌝→⌝分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。
（1）如果天不下雨，我将去公园。
解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。
（2）仅当你去我才逗留。
解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。
反命题：如果我不逗留，那么你没去。
逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。
（3）如果n 是大于2的正整数，那么方程nn n xy z +=无整数解。
解：逆命题：如果方程nn n xy z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。
反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程nn n x y z +=有整数解。
逆反命题：如果方程nn n xy z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。
（4）如果我不获得更多的帮助，那么我不能完成这项任务。
解：逆命题：如果我不完成任务，那么我不获得更多的帮助。
反命题：如果我获得了更多的帮助，那么我能完成任务。
逆反命题：如果我能完成任务，那么我获得了更多的帮助。
4. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。
（1）(()(()()))P Q R Q P R S ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝=(()(()()))T T F T T F F ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝ =()T F T ⌝∨→ =T F ∨ =T（2）()Q P Q P ∧→→ =()T T T T ∧→→ =T T T ∧→ =T T →=T（3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧⌝↔∨⌝=((()))()T T F T T F ∨→∧⌝↔∨⌝ =(())T T F T ∨→↔ =T T ↔ =T（4）()()P R Q S →∧⌝→ =()()T F T F →∧⌝→=()F F F ∧→=F5. 构成下来公式的真值表： （1）()Q P Q P ∧→→（2）()()()P Q R P Q P R ⌝∨∧↔∨∧∨（3）()P Q Q P P R ∨→∧→∧⌝（4）()P P Q R Q R ⌝→∧⌝→∧∨⌝6. 使用真值表证明：如果P Q ↔为T ，那么P Q →和Q P →都是T ，反之亦然。
离散数学第6章作业答案
第六章习题答案2. 设P = {< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >}，Q = {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 2 >}找出P⋃Q, P⋂Q, dom(P), dom(Q), ran(P)及ran(Q)，并证明：dom(P ⋃ Q) = dom(P) ⋃ dom(Q)ran(P⋂ Q) ⊆ ran(P) ⋂ ran(Q)解P ⋃ Q ={< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 1, 3 >, < 4, 2 >}，P ⋂ Q ={< 2, 4 >}dom(P)={1, 2, 3}，dom(Q)= {1, 2, 4}，ran(P) = {2, 3, 4}，ran(Q) = {2, 3, 4}。
x∈ dom(P⋃Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P ⋃ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P∨ < x, y > ∈ Q)⇔∃y (< x, y > ∈ P) ∨∃y (< x, y > ∈ Q)⇔ x∈ dom(P) ∨ x∈ dom(Q)⇔ x∈ dom(P) ⋃ dom(Q)y∈ ran(P⋂ Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P⋂Q)⇔∃x (< x, y > ∈ P ∧ < x, y > ∈ Q)⇒∃x (< x, y > ∈ P) ∧∃x (< x, y > ∈ Q)⇔y∈ ran(P) ∧ y∈ ran(Q)⇔y∈ ran(P) ⋂ ran(Q)如上例，ran(P⋂ Q) = {4}⊂ {2, 3, 4} = ran(P) ⋂ ran(Q)3. 若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
离散数学课后答案五
5.1习题参考答案1、阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4 \阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
8、证明：下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下：证明：找出对应关系：a---q, b----r, c-----s, d----t, e-----u,f------v, g-----w, h----x9、证明：三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下：由题意可知每个结点度数都是3度，即每个结点均为奇结点，根据有偶数个奇结点可知，三次正则图必有偶数个奇结点。
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离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在 5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.1°给定集合S和二元运算°,判定<S, °>是否构成关群、独导点和群.根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：条件1 S关于°运算封闭：条件2 °运算满足结合集条件3 °运算有幺元，条件4 °?x∈S,x-1∈S.其中关群判定只涉及条件1和2；独导点判定涉及条件1、2、和3；而群的判定则涉及到所有的四个条件。
, *>是否构成环,交换环,含幺环,整环, 2 °给定集合S和二元运算°和*，判定<S, °域.根据有关定义需要检验的条件有:条件1 <S, °>S构成交换群,条件2 <S, *> 构成关群,条件 3 * 对°运算的分配律,条件4 * 对运算满足交换律,条件5 * 运算有幺元,条件6 * 运算不含零因子——消去律，条件7 |S|≥2,?x∈S,x≠0,有x-1∈S（对*运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3°判定偏序集<S,≤＞或代数系统<S,o,*>是否构成格、分本配格、有补格和布尔格.73若<S,≤＞为偏序集,首先验证?x,y∧y和x∨y是否属于S.若满足条件则S为格,且<S,∨,∧>构成代数系统.若<S,o,*>是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则<S,o,*>构成格。
在此基础上作为分配格的充分必要条件是不含有与图 6.3所示的格同构的子格。
而有补格和布尔格的判定只要根据定义进行即可。
注意对于有限格，只要元素个数不是2的幂，则一定不是布尔格。
但元素个数恰为2n的有限格中只有唯一的布尔格。
以本题为例具体的判定过程如下：（1）由n+n=2n?S1可知S1对+运算不封闭，根本不构成代数系统。
（2）由2*2=4?S2可知S2对*运算不封闭，也不构成代数系统。
（3）S3关于o,*运算封闭，构成代数系统。
且S3关于模n加法o满足交换群的定义，关于模n乘法*满足关群的定义，且*对o有分配律。
因而<S3,o,*>构成环。
但当n=6时，有2*3=3*2=0.S6中含有零因子2和3，不是整环，也不是域。
类似地分析可知，当n为合数时，Sn不是域，但n为素数时Sn构成域。
（4）S4是偏序集。
对于小于等于关系≤,x∧y=min{x,y},x∨y=max{x,y}，显然有x∧y,x∨y∈S4，构成格。
但S4不是有补格，2和3没有补元，也不是布尔代数。
（5）容易验证S5关于矩阵加法构成群。
6．2 A:②; B:③; C:⑦; D:⑩; E:⑨分析此处的G实际上是Z4.Zn关于模n加法构成群，但关于模n乘法只构成独导点，而不构成群，因为0没乘法逆元。
<G,⊕>是循环群。
2是2阶元，1和3是4阶元。
如何求群G中元素的阶？如果|G|=n，则?x∈G,|x|是n的正因子。
首先找74到n的正因子，并从小到大列出来，然后依次检查每相正因子r。
使得xr =e的最小的正因子r就是x的阶。
本题的|G|=44的正因子是1，2，4。
由于21=2≠0.22=2⊕2=0.所以，|2|=2。
类似地有31=,32=3⊕3=2,33=3⊕3=1,34=3⊕3⊕3⊕3=0,而|3=| 36.3 2 A:②; B:④; C:⑤; D:⑦; E:⑧分析（1）根据布尔代数定义可知U和I运算适合交换律、结合律、幂等律、分配律、D·M律等，适合消去律。
?x∈L,0VX=X,xV0=x,xV1=1,1Vx=1，所以，0是V运算的幺元，1是V运算的零元。
由于在布尔代数的表示<L,∧,∨,',0,1>中，0和1是作为代数常数列出来的，所以，最小的子布尔代数应包含所有的代数常数。
经验证{0,1}恰构成子布尔代数，因而是最小的子布尔代数。
（2）表达式的等价式与对偶式是两个要领,应加以区别.容易看出,由吸收律、交换律、分配律有(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c) 吸收集=(b∧a)∨(b∧c) 交换集=b∧(a∧c) 分配律这说明该表达式与b∧(a∨c)是等价的，而其他两个表达式都不满足要求。
6.4 易证Z对°运算是封闭的，且对任意x,y,z∈Z有(xoy)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+x-4,xo(yoz)=xo(y+z-2)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4,75结合律成立。
2是°运算的幺元。
?x∈Z,4-x是x关于°运算的逆元。
综合上述，<Z，°>构成群。
6.5 根据矩阵乘法可以得到G的运算表如下：· a b c da abc db b a d cc cd b ad d c a b由运算表可以看出a是幺元。
又由b2=a,c4=cc2 2=b2=a。
d4 =d2d2=b2=a.知道|b|=2,|c|=|d|=4.当|G|与G中元素x的阶相等时，有G=<x>。
因此G是4阶循环群。
G的子群有{a},{a,b},G三个。
令S={{a},{a,b},G}，则<S,?>的哈斯图如图 6.4所示。
分析这里对怎样求一个循环群的生成元和子群做一点说明。
1 °若G=<a>是无限循环群，那么G只有两个生成元，即a和a-1。
G的子群有元数多个，它们分别由ak生成。
这里的k可以是0，1…。
将ak生成子群的元素列出来就是<ak >={e,ak,a-k,a2k,a-2k,L},该子群也是一个无限循环群。
不难证明当k≠ｌ时，子群{ak}≠<al >。
例如，G=<a>是n阶循环群，那么G={e,a,L,an-1}。
G的生成元有φ(n)个，这里的φ(n)是欧拉图函数，即小于等于n且与n互素的正整数个数。
求生成元的方法是：先找到所有有小于等于n且与n互素的正整数.对于每个这样的正整数r,ar 就是G的d阶子群.以本题为例.|D|=4,与 4 互素的数是 1 和 3.因此G=<c>的生成元是76c1=c,c3=d.再考虑子群.4的正因子是1,2,4所以,G的子群有3个,即414<c >=<c >=<a>={a}. 1阶子群422<c >=<c >={b,a}. 2阶子群4<c1 >=<c>=G. 4阶子群根据包含关系不难得到图 6.4所示的哈斯图.6.6 Z[i]对普通加法和乘法是封闭的,且加法满足交换律,结合律,乘法满足结合律,第六法对加法满足分配律.又知道加法的幺元是0,?a+bi∈Z[i],-a-bi是a+bi的负元.从而Z[i]关于加法和乘法构成环.容易看出这是一个整环,但不是域.6.7 (1) 不是格,(2),(3)和(4)都是格.6.8 任取x,y∈S,由S的性质有x⊕y=(x∧y)∨(x''∧y)∈S,S 关于⊕是封闭的,构成代数系统<S,⊕>.容易验证⊕运算满足结合律. 幺元是0,因为?x∈S有x⊕0=(x∧0)∨(x''∧0)=(x∧1)∨(x'∧0)=x∨0=x.同理有0⊕x=x.且?x∈S有x⊕x=(x∧x)∨(x''∧x)=0∨0=0.6.9 (1) X ={1,4,5}(2) <B>={B,B2}={1,4,5},?}.分析设G为群,a,b∈G.群方程ax=b在G中有唯一解x=a-1b.类似地,群方程ya=b在G中也有唯一解y=ba-1.代入本题有X ={1,3}-1⊕{3,4,5}={1,3}⊕{3,4,5}={1,4,5}由于对任何B∈P(A)有B⊕B=?,因而有77n ?B n为奇数B =???n为偶数尽管<B>中包含了B的所有幂,但只有两个结果,即B和?.6.10 (1) σ =(124)(356),τ=(1634)(25).(2) στ=(15423)(356),τσ=(15462),στσ-1=(15423)(563)(421)=(1256)(34).分析为了求出σ的轮换表示,先任选一个元素,比如说1,从上述表示式中找到接下去找σ(1).如果σ(1)=1,则第一个轮换就找到了,是(1).如果σ(1)=i1,i1≠1,σ(i1)=i2.继续这一过程,直到某个ik满足σ(ik)=1为止.通过这样的挑选,从{1,2,L,n}中选出了一个序列: 1,i1,i2,L,ik, 其中的元素满足)=ik,σ(ik)=1.这就是从σ中中解出来的第一个轮换σ(1)=i1,σ(i1)=i2,L,σ(ik-1(1,i1,i2Lik).如果该轮换包含了{1,2,L,n}中的所有元素,那么分解结否,并且有σ=(1,i1,i2Lik);否则任取{1,2,L,n}中没有剩下的元素为止.从而得到第一以本题的σ为例.由σ的置换表示知道.σ(1)=2,σ(2)=4,σ(4)=4,σ(4)=1,这个轮换(124).接着从{3,5,6}中选取3,继续这一过程,得到σ(3)=6,σ(6)=5,σ(5)=3,就是第二个轮换(365).所有的元素都出现在轮换之中,分解结束,并且σ=(124)(365).在求置换σ 的轮换表示时可将表示式中的 1 轮换省略.例如,σ=(13)(2)(46)(5)中的(2)和(5)都是1-轮换,可将σ简记为(13)(46).此外要说明的是表示式中的轮换是不相交的,即同一个元素不能出现在两个轮换之中.如果交换了轮换的次序,或者选择了轮换中不同的元素作为首元素而保持顺序不变,那么所得的轮换表示是相同的.例如, σ=(124)(365)也可以写作σ=(365)(124)或σ=(124)(365)等.怎样求στ或σ-1,τ-1呢?根据复合函数的定义,只需求给定n 元置换σ和τ，78στ(n)就可以得到στ的置换表示或轮换表示.以本题为出στ(1), στ(2),…,类似地有στ(2)=3,στ(3)=1,στ(4)=2,στ(5)=4,例,στ(1)=σ(τ(1))=σ(6)=5.逆的计算比乘法简单.设σ=ττ 化简为στ=(15423).从而得到στ=(15423)(6),στ(6)=6,其中的τ 若为Lτ 为σ的轮换表示式,那么σ-1=τ-1,Lτ-1τ-1,则1 2kk2 1j轮换(i,i Li) ,则有τ-1=(iLii),j=1,2,L,k. 例如, σ=(124)(365) ,1 2 lj1 2lσ-1=(563)(421).从而στσ-1=(στ)σ-1=(15423)(563)(421).而στσ-1(1)=στ(4)=2,,στσ-1(2)=στ(1)=5,στσ-1(3)=στ(5)=4,στσ-1(4)=στ(2)=3,στσ-1(5)=στ(6)=6,στσ-1(6)=στ(3)=1,的计算中有στ(6)出现.观察到στ的表示在στσ-1=(5)因此,得到στσ-1=(1256)(34).式(15423)中不含有6,这就意味着στ(6)=(6).6.11 (1) 是同态映射. 当G={e}时为单同态,满同态和同构.而当G不是平凡群时,?既不是单同态,也不是满同态.(2) 是同态映射,且为单同态,不是满同态.(3) 是同态映射,也是单同态和满同态.6.12 (1) 哈斯图如图 6.5 所示.(2) 可以构成布尔代数.?x,y∈A,x∨y是x与y的最小公倍数,x∧y是x与y的最大公约数.而A关于∨和∧运算是封闭的.容易验证∨和∧运算满足交换律,结合律,吸收律,且是互相可分配的,因此,该偏序集构成分配格. ?x,y∈A,x∨y是x与y的最小公倍数, x∧y是x与y的最大公约数.而A关于∨和∧运算是封闭的.容易验证∨和∧运算满足交换律,结合律,79吸收律,且是互相可分配的,因引,该偏序集构成分配格. ?x∈A,110是x的补元,x这就证明了该偏序集构成分配格.即布尔代数.6.13 (1) 图 6.1中的(3),(4),(5),(8)图不是格.(3)图中的{f,g}没有最小上界;(4)图中的{a,e}没有最大下界;(5)图中的{d,e}没有最大下界;(8)图中的{d,e}没有最小上界.(2) 图 6.1 中的(1),(2)图为分配格,但不是有补格和布尔格;(6)图不是分配格和布尔格,但是有补格;(7)图不是分配格,也不是有补格和布尔格.分析图 6.1中格(1)和(2)的所有五元子格都不与图 6.3中的格同构,因而它们都是分配格.但对于图 6.1(6)和(7)中的格都能找到与图 6.3(2)中的格同构的子路.例如,图 6.1(6)中的{a,b,c,d,f}和(7)中的{a,b,c,f,g},因此,它们都不是分配格.再考虑补元.(1)图中格的b,c,d元素都没补元;(2)图中格的b,c,d,e元素都没补元;(7)图中格的d元素没有补元.它们不是有补格.而(6)图中格的每个元素都有补元,是有补格.6.14 (1)图中0与1互为补元; a,b,c,d都没有补元.(2)图中0与1互为补元;a的补元是b和d; c的补元是b和d的补元为a和c;d的补元为a和c.(3)图中0与1互为补元;b与c互为补元;a和d都没有补元.。