工资问题数学建模

工资问题数学建模对工资待遇问题的探讨工资支付，就是工资的具体发放办法。

包括如何计发在制度工作时间内职工完成一定的工作量后应获得的报酬，或者在特殊情况下的工资如何支付等问题。

主要包括：工资支付项目、工资支付水平、工资支付形式、工资支付对象、工资支付时间以及特殊情况下的工资支付等。

工资支付的项目，一般包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴、延长工作时间的工资报酬以及特殊情况下支付的工资。

本文我们讨论的是对大学教师工资的分配问题，原工资支付系统导致抱怨的原因大致分为两个方面：1．称与工龄相同的教师的工资相差太大，则工资低的人会抱怨。

2．能力高、贡献大的人希望得到更高的收入，否则则会产生抱怨。

我们对两篇获奖论文进行了分析摘要总结。

论文1：摘要:该模型通过选取两个指标作为评价某工资分配方案优劣的标准，并以该指标确定三种不同的评价函数，建立规划模型。

通过对规划问题求解，可以找到较为合理的工资过渡方案。

在年工资总额增长3%，人年工资增长率介于1%～3%间的条件下，通过对工资调整的几个原则的逐步考虑，由较为简化的单一模型发展到较为复杂的分级非线性模型，使模型在符合所有的原则的前提下，做到了过渡过程尽可能平稳有序，达到了较为满意的结果。

知识：最小二乘法：用于直线拟合；偏差平方和：实际值与理论值差的平方和；无序度函数：Entropy定义为某数列的逆序值。

线性规划假设：工资增长总额为定值，问题转化为：如何将增长额合理地分配到各教员，使其尽可能接近目标方案的优化问题。

原则：1.每年所有教员工资须有所提升。

2.教员应从晋级中获得实质性利益，如果一个人在最短的时间内得到晋级，其工资的增长应大致相当于七年正常（未晋级）工资的增长。

3.按时（每7至8年）得到晋级且工作25年以上的教员在退休时工资应大致相当于刚工作博士工资的两倍。

4.对于相同级别的教员，工作年限长，经验多的应得到更多的报酬，但是这种由工作年限长短导致的工资差异应逐渐变小。

建模分析：为了解决该问题，我们建立了三种模型：单一线性模型、分级模型和分级非线性模型。

单一线性模型的建立是假设每个教员每年工资的期望增长率均相同，与级别或工资年限无关。

由原则二可以为每个教员建立单一的工资水平参考分数：7⨯+=rank year score在理想的情况下可以认为工资仅和该参考分数有关，该工资方案下，对数据点()salary score ,运用最小二乘法得到拟合线性方程)(,score fsalary score ，为了得到较为精确的线性方程，我们用偏差平方和无序度指数来衡量线性方程。

目 标 函 数 一：该 组 数 据 点 偏 差 平 方 和T1=()∑∆+-∆+2salary ,)(x f salary salary salary score 。

目标函数二：根据Score 对教员进行排序，计算该序列的无序度T2=()salary score ,Entropy 。

1. 评价该分配方案优劣采取指标一，可建立下列规划模型令目标函数Min:()()∑∆+-∆+=∆2salary ,)(arg score f salary salary salary et t salary score st. LowRate salary salary ⨯≤∆HighRate salary salary ⨯≥∆Total salary ∆=∆∑2. 评价该分配方案优劣采取指标二，可建立下列规划模型：令目标函数Min:()()salary score salary et t ,Entropy arg =∆st. LowRate salary salary ⨯≤∆HighRate salary salary ⨯≥∆Total salary ∆=∆∑3. 从两组结果来看，各指标均能对工资方案进行约束，其中指标一的整体约束效果较好，但在每年调整过程中个体间的有序度并未显著改善；指标二的针对局部有序的调整十分有效，但整体效果欠佳，理想的优化目标应是两者兼顾。

可建立下列规划模型令目标函数Min:()2t⨯+∆λet=arg Tsalary1Tst. LowRate∆≤salary⨯salary≥∆salary⨯salaryHighRate∑∆salary∆Total=所以，今后目标函数均采取()2t⨯+=et∆λ形salaryarg T1T式分级模型：如果考虑实际情况，不同职级的人应该有不同的年限工资，例如一个讲师一年增加的工资应该没有一个副教授一年增加的工资多，这是我们就不能单纯的用以上直线模型来规划，而应分别对不同的职级分开加以讨论，得到一个分级的模型。

由于不同的职级的人有不同的年限工资，由原则二可知，在工作年限相同的情况下，相邻两职级的教员的工资差异应大致等于同在较低一级中工作年限相差七年的两教员的工资差。

这样我们可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求。

目标函数T1变为各级偏差平方和的总和，T2变为各级五序度的总和，仍令目标函数Min: ()21arg T T salary et t ⨯+=∆λst. LowRate salary salary ⨯≤∆HighRate salary salary ⨯≥∆Total salary ∆=∆∑分级非线性模型：结合考虑到原则四，在同一职级中，若每年增加的工资都相同，则在同职级的情况下，由工作年限产生的工资差异将不会逐渐消除。

为了达到原则四的要求，则同一职级中，每年增加的工资额应逐渐减少，而前两个模型都没有考虑该原则，为了满足该原则可以假设在同一职级中，每一年所增加的工资随着工作年限呈指数关系递减，在足够后，两个同职级的有丰富经验的教员的工资会很接近。

这样我们可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求。

在该工资方案下，首先我们对各数据点以rank 为分类变量将数据点按级别分类，在每一个级别内对数据点()salary year ,以指数函数作为基底运用最小二乘法得到拟合非线性方程year salary year rank b a year f +=)(,,，以此作为各教员期望工资函数，同上可计算各级别内各数据点偏差平方和,再对各级别的偏差平方和求和作为T1=(公式)。

在各级别内根据year 对教员进行排序，计算该序列的无序度()salary year ,Entropy rank ,再对各级别的无序度求和作为T2=(公式)目标函数：Min: ()21arg T T salary et t ⨯+=∆λst. LowRate salary salary ⨯≤∆HighRate salary salary ⨯≥∆Total salary ∆=∆∑单一模型对于原则一、二有较好的体现，并可得到较好的结果。

若要符合原则三，仅使用单一模型是不够的，需要使用分级模型，此外若要顾及原则四，则需要使用分级非线性模型。

限制因素：工资增长总额上限，人员的动态调整（晋级，退休，聘用等），教员间工资增长间差异应保持在一定范围（一定的稳定性）内。

评价方案1. 偏差平方和。

2. 有序度指数。

论文2：摘要: 作者考虑把总工资S 分为由不同因素决定的三部分，列出基本关系式：S=W+A+L级别工资W：由级别（职称）与工龄决定。

级别越高，工龄越长，则级别工资越高。

能力奖金A：由能力和贡献决定。

能力越高，贡献越大，则能力奖金越高。

生活津贴L：由生活指数决定。

随着生活指数的增长，生活津贴也增长。

模型假设：1.经验的丰富由给定的工龄长短决定。

2.级别不同，相同的工龄的重要性不同。

但以前的级别工龄仅由表中数据无法判断，则以前的工龄同等看待，不再区分。

而今后的工龄应分别对待。

3.级别越高，应受的优待越多。

4.正常晋升，即各级别的工龄应大于一最小值，即各级别的最小工龄。

5.在过渡期，教师的晋升均为正常晋升，不存在破格提拔。

模型的建立与求解：对4个等级分别用最小二乘法拟合其工资曲线，发现拟合的曲线与题目要求的有很大的不符。

于是认为原工资体系在公平合理性方面过于脆弱，不能从此数据中得到足够的信息量，从另一方面着手，先根据题目的要求构造出合理的工资体系，在反过头来用数据检验该工资体系。

㈠级别工资w1. 原则四说明随着t 的增长，同级别的W i 的差异趋近于0，即存在W i 的上限k i 使()−−→−→∝t it f 常数k i由此立出下式：()i T t i i t i a m x f i i i +-=-01)(i x 为级别i 的教师的W i 增长工资的上限，即在级别i 工作若干年增长值△W i −−→−→∝t i x a i 为级别i 的起点工资，且a 1=27000 a 2=32000。

m i 为常数，控制增长幅度。

由于各级别工资若干年增长极限值x i 不同。

设各级别工资若干年增长极限值x i 之比分别为一常数c i ，即i i i c x x=+1（c i >1）对c i 的确定如下：Ⅰ 对原工资数据按不同级别分别进行拟合。

Ⅱ 求出级别i 的教师工资的标准差σi ,得到标准差之比。

275.134=σσ 125.134=σσ 546.134=σσⅢ 原工资的标准差σi 之比反映了各级别工资若干年增长极限值x i 之比，设为正比关系，则 11i i i i i c x x c σσ++==c 为比例系数。

特殊情况（t 1<T 10 ，t 2<T 20 ，t 3<T 30 ，t 4<T 40 ）：认为工龄不够的教师的级别工资W 为该级的起点工资a i ,其级别工龄补足为该级别的工龄最小值，即在t i <T i0时，令t i =T i0i t i a f i =)(。

㈡能力奖金A定义能力系数αj ：教师j 原工资与他应得标准级别工资之差与标准级别工资之比。

00i i ji j W W S -=α，并且由于原工资系统存在不合理性，规定一个修正系数ωj ,表明原工资系统体现的能力水平的可信程度，即原能力奖金偏高还是偏低及偏差的大小。

ωj =1，表明教师j 原工资准确的反映了其能力。

ωj <1, 表明教师j 原能力奖金偏高，即应降低其能力奖金。

ωj >1, 表明教师j 原能力奖金偏低，即应增高其能力奖金。

ωj 的确定应用了概率的相关知识：因为无法从已知中获得，采取仿真模拟，随机产生一组数据，并根据以下原则；1.认为原工资系统在总体上反映出的能力水平应是比较合理的，只是反映个人水平时有偏高偏低，偏差由大有小。

且认为偏差很大的情况发生的几率很小，即认为绝大多数偏差集中在一定范围内。

2.设ωj服从正态分布，其均值μ为1，ωj在1附近波动，标准差σ由偏差集中程度决定。

即满足ωj出现在一个置信区间内的概率不小于p。

变动p及置信区间的位置，可得到不同的标准差σ，从而产生不同组的ωj修正后的能力系数与其应得的标准级别工资之积即为标准能力奖金。