中考数学 第四章图形的认识与三角形第18讲 等腰三角形与直角三角形精品课件(含11真题和12预测题)

2．判定 (1)有一个角是 直角 的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 为 直角 三角形； (4)在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是 直角 三 角形．
故选 D.
【答案】D
11．(2012中考预测题)P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A、B两点除 外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可
以作( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】过点P分别作两直角边的平行线，得2条直线；过点P作斜 边AB的垂线，得到第3条直线．
D．1个
答案：B
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2 ＝50°，则∠3的度数等于( )
A．50° B．30° C．20° D．15°
答案：C
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分 别以AB、AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使 ∠BAD＝∠CAE＝90°. (1)求∠DBC的度数； (2)求证：BD＝CE.
(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴． (4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足 0°＜α＜90°；顶角满足0°＜β＜180°. 3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有 两角 相等的三角形是等腰三角形． 温馨提示： 应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂 直.
2011·芜湖 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB， 过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．
【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60° ，可得△DEF为等边三角形．
【答案】C
二、填空题(每小题4分，共16分)
12．(2010中考变式题)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点 ，CD＝4 cm，则AB＝________cm.
【答案】A
6．(2010中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的 垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中
不成立的是( )
A．∠B＝∠CAE C．∠B＝∠BAE
B．∠DEA＝∠CEA D．AC＝2EC
【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分 ∠BAC，∴AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因 此A、C都成立．∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，EC⊥AC ，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.
【解答】(1)D ∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)．
(2)C 当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
(3)C 由勾股定理的逆定理可判定 A、B、D 三项均能构成直角三角
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm或12 cm
D．15 cm
(2)(2010·东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三 角形的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°
(3)(2010·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边 长，不能构成直角三角形的是( )
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点知识精讲 中考典例精析
举一反三
考点训练
考点一 等腰三角形 1．概念及分类 有两边相等 的三角形叫等腰三角形；有 三边相等 的三角形叫做等 边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等 的等腰三角形 和腰和底相等 ___________的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 相等 ； (2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 重合 ，简 称“三线合一”；
A．3、4、5 B．6、8、10 C. 3、2、 5 D．5、12、13
(4)(2011·南充)如图，△ABC和△CDE均为等腰直角
三角形，点B，C，D BC
在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC＝CD；②S△ABC
＋S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM＝DM.正确结论的个数是( )
A．60°
B．120° C．60°或150° D．60°或120°
答案：D
4．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60°的三角形；(2)三个 外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形； (4)有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
【解答】∵CD∥AB，AD＝BC，∠A＝60°， ∴∠ABC＝∠A＝60°. 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°.
∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD. ∵CF⊥BD，∴F为BD的中点． 又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF. 由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°， ∴△DEF为等边三角形．
考点二 等边三角形的性质与判定 1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；(2)等边三角 形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“ 三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形． 温馨提示： （1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一.
9．(2010中考变式题)已知等边△ABC的边长为a，则它的面积
是( )
A.21a2
B. 23a2
C. 42a2
D. 43a2
【解析】易求出△ABC
的高为
23a，∴S△ABC＝12×a×
23a＝
3 4
a2.
【答案】D
10．(2010中考变式题)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三 角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )
考点三 线段的中垂线 1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线， 也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的 中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
考点四 直角三角形的性质、判定 1．性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的 一半 ； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形 斜边 上的中线等于斜边的一半．
【答案】D
7．(2010中考变式题)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边
形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的 边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A．13
B．26
C．47
D．94
【解析】SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝32＋52＋22＋32＝47.
【答案】C
A．1,2,3
B．2,3,4
C．3,4,5
D．4,5,6
【解析】∵32＋42＝52，∴3、4、5构成直角三角形．
【答案】C
5．(2012中考预测题)等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂 直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A．13
B．14
C．15
D．16
【解析】由等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，可求出AB＝AC＝ 8.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴C△BEC＝BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC ＋AC＝5＋8＝13.
1．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是( )
A．8
B．7
C．4
D．3
答案：B
2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平 分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( )
A．80°
B．70°
பைடு நூலகம்
C．60°
D．50°
答案：C
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角度数为( )
【答案】D
3．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( ) A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是中心对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形 【解析】等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形． 【答案】C
4．(2010中考变式题)下列四组线段中，可以构成直角三角形的 是( )
温馨提示： （1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法. （2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. （3）若a、b、c为一直角三角形的三边长，则以ma、mb、mc(m＞0) 为三边的三角形也是直角三角形.
(1)(2011·呼和浩特)如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那 么它的周长是( )
A. 3 C．3 3
B．2 3 D．4 3
【解析】∵△ABC 和△DCE 都是边长为 4 的等边三角形，∴∠ ACB＝∠DCE＝∠E＝60°，∴∠ACD＝60°.在△BCD 中，BC＝DC＝ 4，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝120°，∴∠DBC＝30°，∴∠BDE＝90°. 在 Rt△BDE 中，BE＝2BC＝8，DE＝4，由勾股定理得，BD＝4 3，
形．∵( 3)2＋22≠( 5)2，故选 C.
(4)D 因为 tan∠AEC＝AECC，由△ABC∽△EDC 可得AECC＝BCCD，故①正
确．因为 S△ABC＝12AB2，S△CDE＝12CD2，S△ACE＝12× 2AB× 2CD＝AB·CD，由
AB2 ＋ CD2≥2AB·CD ， 得
S△ABC
答案：(1)∠DBC＝115° (2)先证△DAB≌△EAC，即得BD＝CE
等腰三角形与直角三角形 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题4分，共44分)
1．(2012中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一条边 长等于3，则此等腰三角形的周长是( )
A．9
B．12
C．15
D．12或15
8．(2010中考变式题)一架长25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上， 这时梯足距墙底端7 dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm，那么梯足将 滑出( )
A．9 dm
B．15 dm
C．5 dm
D．8 dm
【解析】注意梯子的长是不变的，将滑出 252－ 24－4 2－7 ＝15－7＝8(dm)．
【答案】D
＋
S ≥S △CDE
△ACE
，
故
②
正
确
．
连
接
MC ， 则
△MCD≌△MED，所以∠MDC＝∠MDE＝45°，同理∠MBC＝∠MBA＝45°，
∴BM⊥DM，BM＝DM，故③④正确．故选 D.
方法总结： （1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四 边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌 握其性质并灵活应用. （2）“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中.在两 个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等.
【解析】当6为腰，3为底时，6＋3>6，此时周长为15；当6为底 ，3为腰时，3＋3＝6，不能组成三角形．
【答案】C
2．(2012中考预测题)在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC ＝AD，则∠A等于( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
【解析】AD＝BD，∴∠ABD＝∠A.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠A ＋∠ABD＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C ＝180°，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°.