非齐次线性方程组

0 1 − 1 − 1 1 → 0 0 1 − 2 1/ 2 0 0 0 0 λ + 1/ 2
1 ⇒ λ = − 时，r ( A ) = r ( A)，方程组有解。 2
问题：此题能用行列式法求解吗？ 问题：此题能用行列式法求解吗？ 不能！
两个关于方程组的问题： 两个关于方程组的问题：
1.设四元非齐次方程组AX = B的系数矩阵A的秩为3， （ 3， 5） η1，η 2，η3是它的三个特解，且η1 = 2，4， T ，
η 2 + η3 = 1， 3， ，求AX = B的通解。 （ 2，4）
T
由题设，基础解系只含一个解向量，可取为 ξ = 2η1 − (η 2 + η ) = （2，4， T − 1， 3， T = (3,4,5,6)T ， 2 3， 5） （ 2，4） ∴通解为η1 + kξ . （详见参考书第82页。）
2.向量的单位化
1
β = ( b1, b 2 , L , b n )
α
α =
1
α
α =1
1
α
α为单位向量。
二、向量的夹角：自学。 三、向量的正交性：
1.定义2. 若（α，β ） 0, 则称向量 α 与β 正交。 = 2.定义3. 如果 m个n维非零向量 α1 , α 2 , L , α m 两两正交，
通解为 η ∗ + k1ξ1 + k 2ξ 2 + L + k n − rξ n − r
例1：求解方程组
1 1 0 → 0 2 0 1 0 5 M − 3 1 → 0 − 1 3 M − 2 → 0 0 0 0 M 0 0
系数矩阵
（1）
L a1n x1 b1 L a2n x2 b2 L M X = M B= M x b L a mn n m
方程组的 矩阵形式
AX = B
AX = O
非齐次 方程组的 导出组
（ = 即满足 α i，α j ） 0, (i ≠ j ) 则称向量组 α1 , α 2 , L , α m为正交向量组, 简称为正交组。
e1 = (1,0, L ,0), e2 = (0,1, L ,0), L , en = (0,0, L ,1).
为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。
3.正交向量组的性质 正交向量组的性质 定理: 定理 设α1 , α 2 , L , α m为正交向量组, 则α1 , α 2 , L , α m
x1 = x2 + x4 + 1 / 2 x3 = 2 x4 + 1 / 2
r ( A ) = r ( A) 有解
x1 1 1 x2 1 0 x1 = x2 + x4 = , ⇒ = , x 0 2 x 0 1 4 3 x3 = 2x4 基础解系为： 1 = (1,1,0,0) T ξ 2 = (1,0,2,1) T ξ
通解为η + k1ξ1 + k 2ξ 2
非齐次方程组的求解步骤
∗
1.写出A ，并将A 化为Байду номын сангаас形阵；从而求出 r ( A)与 r ( A )以判 如何确定？ 如何确定？ 断是否有解 ;
2.在有解时，进一步将 A 化为行最简形，确定真未知量与 自由未知量，并写出同解方程组； 3.先令自由未知量为零， 求出真未知量的值，从 而求出特
同解方程组为
1 2 −1 M A = 2 3 1 M 4 7 −1 M
x1 + 2 x2 − x3 = 1 2 x1 + 3x2 + x3 = 0 4 x + 7 x − x = 2 2 3 1
r ( A ) = r ( A) 有解
2 −1 M 1 1 2 − 1 M 1 − 1 3 M − 2 → 0 − 1 3 M − 2 0 0 0 M 0 − 1 3 M − 2 0 5 M − 3 1 − 3M 2 0 0 M 0
2 x1 + x2 − x3 = 1 a = 1时，方程组为 x1 − x2 + x3 = 2 4 x + 5 x − 5 x = −1 2 3 1
不再是含参数 的方程组了。 的方程组了。
4 2 x1 − 5 x2 − x3 = 1 4 a = − 时，方程组为 − 4 x − x + x = 2 1 2 3 5 5 4 x1 + 5 x2 − 5 x3 = −1
引 a11 a12 进 a 21 a 22 向 α1 = M α 2 = M 量 a a

m1
L

m2
a1n a2n αn = M a mn
b1 b2 β = M b m
1 − 1 − 1 1 0 1 − 1 0 − 1 1/ 2 → 0 0 1 − 2 1/ 2 → 0 0 1 − 2 1/ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
x2 = x4 = 0 ⇒ x1 = x3 = 1 / 2 特解为 η ∗ = (1 / 2, 0, 1 / 2, 0)T
x1 = −5 x3 − 3 x 2 = 3 x3 + 2
x1 = −3 ∴ 特解为η ∗ = (−3,2,0)T x3 = 0, ⇒ x2 = 2 x1 = −5 x3 = 1, ⇒ x2 = 3
通解为 η ∗
ξ = (−5,3,1)T 所以 基础解系为
+ kξ
x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = β
方程组（1）有解 ⇔
方程组的向量方程
非齐次线性方程组的有解判定
β 可由α1 , α 2 , L , α n 线性表示 ⇔ A = (α1 , α 2 , L , α n , β ), r ( A) = r ( A )
A = (α1 , α 2 , L , α n , β )称为方程组(1)的增广矩阵.
2.设α1 = (1,3,0,5)T , α 2 = (1,2,1,4)T , α 3 = (1,1,2,3)T ,
β = (1, a,3, b) .
T
（1）a, b取何值时β能用α1，α 2，α 3线性表示？表示式为？
（2）a, b取何值时β不能用α1，α 2，α 3线性表示？
设β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 x1 ⇒ β = (α1 , α 2 , α 3 ) x2 = AX x 3
解η ；再给自由未知量取值 ，以求出基础解系；并 写出 通解。
∗
注意什么？ 注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即： ( A ) = r ( A) r 一般而言，有两种方法确定参数值。 一种是行列式法，另一种是 初等变换法。 2 x1 + ax2 − x3 = 1 例1.a为何值时，方程组 ax1 − x2 + x3 = 2 无解？有惟一解？ 4 x + 5 x − 5 x = −1 2 3 1 无穷多解？并在有解时求其解。
线性无关。
回忆:如何证明一组向量线性无关?
证:
设k1α1 + k 2α 2 + L + k mα m = O ⇒ (α i , k1α1 + k 2α 2 + L + k mα m ) = (α i , O ) = 0 ⇒ k1 (α i , α1 ) + k 2 (α i , α 2 ) + L + k m (α i , α m ) = 0 （ = Q α1 , α 2 , L , α m为正交向量组, 则 α i，α j ） 0, (i ≠ j ) ∴ k i (α i , α i ) = 0 由于 α i ≠ O , 即 (α i , α i ) ≠ 0 ⇒ k i = 0 ( i =1,2,···,m )
1 1 1 x1 3 2 1 A = (α1 , α 2 , α 3 ) = , X = x2 0 1 2 x 3 5 4 3 a, b取何值时β能用α1，α 2，α 3线性表示转化为方程
组AX = β是否有解的问题。 （详见参考书第82页。）
则非齐次方程组（1）的通解为 出组的基础解系， η ∗ + k1ξ1 + k 2ξ 2 + L + k n − rξ n − r k1 , k 2 , L , k n − r为任意常数，r = r ( A).
）有惟一解； 推论： 推论： (i ) r ( A) = r ( A ) = n时，方程组（1 (ii ) r ( A) = r ( A ) < n时，方程组（1）有无穷多解，其 (iii ) r ( A) ≠ r ( A )时，方程组（1）无解。
解：
2 a − 1 = 10 + 4a − 5a 2 a − 1 A = a −1 1 ⇒ A = a −1 1 − 4 − 10 + 5a 2 4 5 − 5 4 5 − 5 = 5a 2 − a − 4 4 A = 0 ⇒ a = 1, a = − ∴ a ≠ 1且a ≠ − 4 时，方程组有惟一解。 5 5
向量组的正交性
一、向量的内积： 1.定义1：设有向量 α = ( a 1, a 2 , L , a n )
a1b1 + a 2 b2 + L + an bn 称为向量 α 与 β 的内积，记为（ α， β ）。 （α，β ）= a1b1 + a 2 b2 + L + an bn (i ) （α，β ） αβ T (ii ) （α，β ）（β，α ) = = (iii ) （kα , β ） k (α，β ) = α , kβ ） = （ (iv ) （α + β , γ ） (α，γ ) + β , γ ） = （ 2 2 2 2 = (v ) （α，α ） a1 + a 2 + L + a n = α