轴对称变换(含答案)[上学期]

§14．2 轴对称变换

1.轴对称变换

知识要点

1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

2．轴对称变换的性质：

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

典型例题

例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

作法：如图．①作点P关于直线OA Array的对称点E；

②作点P关于直线OB的对称点F；

③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则

C、D就是所要求作的点．

证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．

在OA上任取异于点C的一点H，连

接HE、HP、HD，则HE=HP．

∵△PHD的周长

=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF

而△PCD的周长

=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF

∴△PCD的周长最短．

练习题

一、选择题

1．下列说法正确的是（）

A．任何一个图形都有对称轴; B．两个全等三角形一定关于某直线对称;

C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;

D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于

直线l对称.

2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于

点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，•则直

线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）

A．①③④ B．③④ C．①② D．①②③④

二、填空题

线对称的图形，•这个图形与原图形的

_________、___________完全一样．

4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，

仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成

立．

①12×231=132×21;

②12×462=___________;

③18×891=__________;

④24×231=___________.

5．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分

别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线

段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是___________．

三、解答题

6．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击

打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，

并写出作法．

7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）

8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．

例:一辆小车

四、探究题

9．如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，

然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．

草地

河流

营地

P

答案:

1．C 2．D 3．形状；大小

4．264×21；198×81；132×42 5．20cm

6．作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，

则点P即为A•球撞击桌面边缘CF的位置

7．作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置

8．略

9．分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．

2.用坐标表示轴对称

知识要点

1．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．

2．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；

点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

典型例题

例：如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．

分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．

解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）

（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．

（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。