3 函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只

对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有

时成为海涅（Heine）定理。

定理3.8（归结原则）设在内有定义。存在的充要条件是：对任何含于

且以为极限的数列，极限都存在且相等。

证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，

有。

另一方面，设数列且，则对上述的，存在

，使得当时，

有，从而有。这就证明了。

(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出

事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在

一点，尽管，但有。现依次取，，

，…，，…，则存在

相应的点，，，…,…,使得，而，。

显然数列且，但当时不趋于

。这与假设相矛盾，所以必

有。

注1 归结原则也可简述为：

对任何（）有。

注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列

注3与，使与都存在而不相等，

则不存在。

例1 证明极限不存在。

证设，（），则显然有

，（）

，（）。

故有归结原则即得结论。

函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振

荡，而不趋于任何确定的数。

归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有

关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。

对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的

形式，现以这种类型为例阐述如下：

定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以

为极限的递减数列，有。

这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对

的取法要作适当的修改，

以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。

相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：

定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。

证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理，

存在，记为。

下证。

事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。

取，则由

的递增性，对一切=，有

另一方面，由，更有。从而对一切有

这就证得。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。

定理3.11（柯西准则）设在内有定义。存在的充要条件是：任给，存在

正数，使得对任何，，有

．

证必要性设，则对任给的，存在正数，使得

对任何有

。于是对任何，有

。

充分性设数列且。按假设，对任给的，存在正数，使得

对任何，有。由于（），对上述的，存在，

使得当时有，, 从而有.

于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即

.

设另一数列且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.

为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见且

(见第二章§3例7).

故仍如上所证, 也收敛.

于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。所以由归结原则推得

按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存

在，对任何

（无论多么小），总可找到，，使得．

如在例１中我们可取，对任何设正整数，令，

，则有，

，而

于是，按柯西准则极限不存在．