3 函数极限存在的条件
ch3-3 函数极限存在的条件
设数列{xn } U ( x0 ; )且 lim xn x0 . n 则由定义知，对上述 0, 存在N 0, 使得当n, m N时有xn , xm U ( x0 ; ),
从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是, 按数列的柯西收敛准则, 数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A, 即 lim f ( xn ) A.
n
' '' ' 或找到两个都以x0为极限的数列{xn }{xn }, 使 lim f ( xn )与 n '' lim f ( xn )都存在而不相等，则 lim f ( x)不存在. n x x0
归结原则可用来证明函数极限不存在和利用 已知函数的极限求数列极限.
例1
证 明 极 限 i msi n l
对于任给 0, 存在正数 ( ' ), 使得对任何x' , x '' U 0 ( x0 ; ) 都有 | f ( x ' ) f ( x '' ) | .
证 必 要 性 设 l i m f ( x ) A, 则 对 任 给 的 0, 存 在
x x0
正 数( ), 使 得 对 任 何 U ( x0 ; )有 f ( x ) A x
相应于数列极限的单调有界定理，单侧极限也有相应
的定理，以x x0 为例叙述并证明如下：
0 定理3.10(修改) 设f 为定义在U ( x0 )上的递增（减）有下（上）界
函数, 则右极限 lim f ( x)存在.
x x0
证 设f 在U ( x0 )上递增有下界,
xU ( x0 )
3.3函数极限存在的条件
xn A,
lim g xn B
n
数列极限的四则运算,对任意数列 xn 且
lim x n x0 , xn x0 , 有 lim n
n
f ( xn ) A g ( xn ) B
再根据海涅定理的充分性,有
首页
×
lim f ( x ) f ( xn ) A x f ( x) x0 lim lim x x0 g( x ) n g( x ) B lim g( x ) n
f ( x0 0) sup
0 xU ( x0 )
f ( x ) ; 若 f 递减,则
f ( x ).
首页
0 xU ( x0 )
×
(2) 设 f 为定义在U 0 ( x0 ) 上的递增函数 则
f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x) 0
lim f ( x ) A, lim g( x ) B( B 0)
x x0
证 已知 lim f ( x ) A与 lim g( x ) B 根据海涅定理
xn x0 , xn x0 必要性,对任意数列 xn 且 lim n
x x0 x x0
有 lim f
数列 f ( xn ) 的极限都相等.
首页
×
注7 可以利用柯西准则证明函数极限 lim f ( x )
的不存在:
x x0
x x0
设函数 在U ( x0 ; ')内有定义. lim f ( x ) 不存在
的充要条件是：存在 0 0 ,对任意正数 ( ') , 存在 x ', x U ( x0 ; ) , 有 f ( x ') f ( x) 0 .
函数极限存在的条件
函数极限存在的条件
极限是一种数学概念，它指函数针对某个变量在某个取值附近一组值集合所向上或向下无限趋近的状态。
极限运算可以用来判断函数是否存在极限，以及求出其值。
在函数的极限存在的条件下，可以使用极限概念来求出函数的行为。
1. 变量不可绝对值取值：函数的极限只有在变量不绝对取值时才存在。
例如，函数f(x)=1/x，当x→0时，这个函数没有定义边界值，因此它没有极限。
3. 函数的连续性：函数的极限只有在函数的连续性情况下才会存在。
数学定义中，连续性指函数被根据变量关系进行连续求值之后，变量的取值域完整无残缺。
换言之，连续的函数随着变量的取值变化，函数的取值也会跟随变化，即使变量取值近似趋于某一值也是如此。
因此，当函数具有连续性时，函数的极限也会存在。
4. 对称性：函数的极限只有在函数具有对称性时才会存在，这是由于对称性会使函数的变化情况一致，从而可以使极限数存在。
例如：函数f(x)=x2-2，其图像呈对称性，并且随着x增大（或减小），函数值逐渐向某一特定值无穷近，因此该函数的极限存在于x=0，且极限值为-2。
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
函数极限存在的条件(精)
f (x) 存在.
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理: 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
证:
不妨设f在
U
0
(
x0
)
单调递增.
lim
x x0
f (x) 存在.
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以
x0 为极限的递增数列{xn},
§3 函数极限存在的条件
教 学 要求
1．领会归结原则(海涅定理)、函数单侧极限的单调有界定理与柯西准则 的实质以及证明过程，掌握运用归结原则与柯西准则判定某些函数极 限的存在性。
2．掌握函数极限与数列极限的联系。 3．初步掌握用归结原则、柯西准则证明函数极限不存在的技巧。
§3 函数极限存在的条件
一、lim f (x) A 的 0 定义 xx0
x0
),
而
lim
n
f
(xn ) 不存在,
则lim xx0
f
(x)
不存在.
若
lim
n
xn'
x0 ,
lim
n
xn"
x0 ,
但
lim
n
f
(xn' )
lim
n
f
(xn" ),
则
lim f (x) 不存在.
xx0
例2
证明极限 limsin 1 不存在.
x0 x
y sin 1 x
例2 证明极限 limsin 1 不存在. x0 x
函数极限存在的条件
作业： 作业：
P55 1; 3
{ f ( x )} .
o 增性， 由 f ( x ) 的递增性，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ),时，有 f ( x ) ≤ f ( x′) < a + ε . o 由 a = x∈infx ) { f ( x )} ，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ), 时， U ( a − ε < a ≤ f ( x ).
这 一原则可 以简单地 写为： n→∞ →∞ lim f ( x ) = A ⇔ ∀ { xn } , xn → x0 ,有 lim f ( xn ) = A.
n →∞
lim 又 { xn } ⊂ U δo ′ ( x0 )， xn = x0 , ∃N > 0, 当 n > N 时，有 n →∞
证“ ⇒ ” x → x f ( x ) = a , 对 ∀ε > 0, ∃0 < δ < δ ′, 当 设 lim 0 < x − x0 < δ , 有 f ( x ) − a < ε .
n →∞ n →∞
都存在而不相等， 都存在而不相等，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
1 例1 证明极限 lim sin 不存在. x→0 x 1 1 ′ ′′ ( n = 1, 2, L)，则显然有 证：设xn = ， xn = π nπ 2nπ + 2 ′ ′′ xn → 0，xn → 0( n → ∞ )，
∴ lim f ( x ) = a .
x → x0
n →∞
3-03函数极限存在条件精简版
ln
x
ln
x0
x0 0 .
证明 : x 0, ln x严格单调增加.
则 (1)对 设于 2x0. 0证1, 此 明0, 时 存: xl有 在imx满 lx0iml足 n1 lxnxnxln01,(x如 n0 若x不 0)然 的0,正.数列,
使得 ln xn 0 ,由此可知, n N ,
我们也可以用说明lim sin n不存在来说明 n
lim sin 1 不存在, 但是反之不成立.
x0
x
假设:如果 lim sin n a 存在,则 n
limsin(n 2) sin n 0 ,即lim 2cos(n 1)sin1 0
n
n
lim cos(n 1) 0 lim cos n 0, lim sin 2n 0,
即 0, M , x : M x ,
有 有 f ( xf ()x) AA ,,
limlimf (fx( x)) ssuupp f (fx)(x. ) .
x x
(
(
MM00,,)
)
三. Cauchy 收敛准则
定理3 ( Cauchy 收敛准则 )
(1) lim f ( x)存在 0, 0, x x0
x, x U o ( x0 , ),有 f ( x) f ( x) ; (2) lim f ( x)存在 0, X 0,
x
x, x : x X , x X ,
如果lim g( x)存在,证明lim f ( x)存在.
x0
x0
证明 由Cauchy 收敛准则 立即得到。
练习
1.
3 函数极限存在的条件
§3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
下面的定理只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
下述归结原则有时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设在内有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。
证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，有。
另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当时，有，从而有。
这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在一点，尽管，但有。
现依次取，，，…，，…，则存在相应的点，，，…,…,使得，而，。
显然数列且，但当时不趋于。
这与假设相矛盾，所以必有。
注1 归结原则也可简述为：对任何（）有。
注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列注3与，使与都存在而不相等，则不存在。
例1 证明极限不存在。
证设，（），则显然有，（），（）。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。
由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。
从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式，现以这种类型为例阐述如下：定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。
的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。
证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
函数极限存在的条件(精)
(2) 1
2
n2
3) 将函数极限的理论研究,转为数列极限的研究.(见后柯西准则的证明)
单侧极限的归结原则:
定理3.9
设f在
U
0
(
x0
)
有定义.
lim
xx0
f (x) A
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以 x0 为极限的单调递减数列{xn}, 都有
lim
n
f
( xn
)
A.
定理3.9-1 设f在
U
0
lim f (x) A 的 定义:
xx0
若 0, 0, 当 0 | x x0 | 时,有 | f (x) A| .
lim f (x) A 的 0 定义:
xx0
若 0 0, 0, x1,
尽管0 | x1 x0 | , 但
| f (x1) A | 0.
用 0
定义证明 lim xx0
1
0
事实上,在 0 | x 0 | 内,一定可以取到x1, 使得 sin x1 0,
进而有
sin
1 x1
1
1
1 2
0.
证:
取
0
1. 2
0,
取
n1
1
1,
1
x1 n1 ,
则
0 |
x1
0 |
1
n1
1 n1
,
且
sin
1 x1
1
|
sin
n1
1| 1
1 2
0,
所以 limsin 1 1. x0 x
0 | xn x0 | , 进而有 | f (xn ) A | , 即
函数极限存在的充要条件
函数极限存在的充要条件函数极限存在的充要条件在高等数学中，函数极限是一个重要的概念，它是描述函数在某些特定点上的行为情况的工具。
函数极限的存在性是判断函数在某点处是否连续的关键因素。
接下来我们将介绍函数极限存在的充要条件，以及如何利用这些条件来计算函数的极限。
在介绍函数极限存在的充要条件之前，先回顾一下什么是函数极限。
对于给定的函数f(x)，如果当自变量x无限接近一个给定的实数a时，相应的函数值f(x)也无限接近于一个实数L，那么我们称L为f(x)在x=a处的极限，记作f(x)——>L（x——>a）。
数学符号表示为：当x——>a时，f(x)——>L接下来是函数极限存在的充要条件：充要条件1：局部有界性如果函数f(x)在x=a点的某个小邻域内有界，即存在正实数M，使得对于所有x∈(a-δ,a+δ)（δ>0），都有|f(x)|≤M，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
这个定理的意义在于，如果函数在x=a附近不会变得太大或太小，我们可以认为它在a点处的极限存在，而不必考虑它的确切值。
此外，这个定理也叫做Bellman定理，是一种非常有用的工具，可以用来推导出其他更复杂的定理和性质。
充要条件2：逐点有界性如果函数f(x)在整个定义域X内都是有界的，即存在正实数M，使得对于所有x∈X，都有|f(x)|≤M，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
这个定理的作用在于，它给出了函数极限存在的一个非常强的条件，可以帮助我们快速判断函数是否具有极限。
注意，这里的定义域X可以是有限或无限的，但是函数必须在这个定义域内都有定义才能使用这个定理。
充要条件3：局部单调性如果函数f(x)在x=a点的某个小邻域内是单调的，并且这个邻域内有一个确界，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
此外，如果在这个邻域内，函数的单调性和确界性质可以保持，则极限值等于函数的确界或小于它。
这个定理的思想是比较显然的：如果函数在x=a的某个邻域内单调，那么它在这个邻域中的行为应该是比较稳定的，不会跳跃或震荡。
高中常见极限知识点总结
高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。
在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。
本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。
也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。
3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。
可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。
二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。
3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。
4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。
5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。
(完整版)§3函数极限存在的条件
§3 函数极限存在的条件【教学目的】函数各类极限的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学重点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学难点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学过程】与讨论数列极限存在的条件一样, 我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件。
仍以极限)(lim 0x f x x →为例。
一、Heine 归并原则 — 函数极限与数列极限的关系定理1 设函数f 在点0x 的某空心邻域0(;)U x δ'o内有定义。
则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何0()n x U x ∈o 且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等.证 （必要性） 设0lim ()x x f x A →=则对任给的0ε>, 存在正数δδ'≤, 使得当00x x δ<-< 时有|()|f x A ε-<.另一方面, 设数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=, 则以上述的0ε>存在0N >, 使得当n N >时有00x x δ<-<, 从而有|()|n f x A ε-<. 这就证明了lim ().n n f x A →∞=（充分性） 设对任何数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=，有lim ()n n f x A →∞=,则可用反证法推出0lim ()x x f x A →=。
事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限, 则存在某00ε>, 对任何0δ> (不论多么小), 总存在一点x , 尽管00x x δ<-<，但有0|()|f x A ε-≥ (§1习题2)。
第三节 函数极限存在的条件
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！ 附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
函数极限存在的条件教案
§3 函数极限存在的条件重点难点1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.基本内容在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。
一、归结原则定理 3.8(归结原则) 设f 在()δ';00x U 内有定义. ()x f x x 0lim→存在的充要条件是: 对任何含于()δ';00x U且以0x 为极限的数列{}n x , 极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等.分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,则()A x f x x =→0lim .因为在已知条件中,具有这种性质的数列{}n x 是任意的(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设()A x f x x ≠→0lim ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列}{n x ,0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,但是()A x f n n ≠∞→lim ,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证明.注1 归结原则也可简述为()⇔=→A x f x x 0lim 对任何()∞→→n x x n 0有().lim A x f n n =∞→注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如若)0()(lim ,)(lim 0≠==→→B B x g A x f x x x x , 则)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f x x x x x x →→→=.证 已知B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0与,根据海涅定理的必要性,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,()B x g n n =∞→lim .由数列极限的四则运算,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有BA x g x f n n n =∞→)()(lim.再根据海涅定理的充分性,由)(lim )(lim )()(lim)()(limx g x f BA x g x f x g x f x x x x n n n x x →→∞→→===.注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ,使()n n x f ∞→lim 不存在,或找到两个都以0x 为极限的数列{}nx '与{}n x '',使)'(lim n n x f ∞→与)(lim n n x f ''∞→都存在而不相等,则)(lim 0x f x x →不存在.例1 证明极限xx 1sinlim 0→不存在.函数xy 1sin=的图象如图3-4所示,由图象可见,当0→x 时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.对于+∞→→→-+x x x x x ,,00和-∞→x 为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以+→0x x 这种类型为例阐述如下：定理 3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域)(00x U +有定义.A x f x x =+→)(lim 0的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{})(0x U x n+⊂,有A x f n n =∞→)(lim .注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取},min{01x x nn n-=-δδ,以保证所找到的数列{}n x 能递减的趋于0x .二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：定理3.10 设f 为定义在)(00x U +上的单调有界函数,则右极限)(lim 0x f x x +→存在.注6 (1)设f 为定义在)(00x U +上的有界函数.若f 递增,则)(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+;若f 递减,则)(sup)0()(000x f x f x U x +∈=+.(2) 设f 为定义在)(00x U 上的递增函数,则)(sup)0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.三 函数极限的柯西收敛准则定理3.11(柯西准则) 设函数f 在)';(0δx U 内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：任给0>ε,存在正数)'(δδ<,使得对任何);(,'0δx U x x ∈''有ε<''-)()'(x f x f . [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n⊂, 数列{})(n x f 的极限都存在; 2)证明对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n⊂,数列{})(n x f 的极限都相等.注7 可以利用柯西准则证明函数极限)(lim 0x f x x →的不存在:设函数f 在)';(0δx U内有定义.)(lim 0x f x x → 不存在的充要条件是：存在 00>ε,对任意正数)'(δδ<,存在);(,'0δx U x x∈'', 有0)()'(ε≥''-x f x f .如在例1中我们可取210=ε,对任何0>δ,设正整数δ1>n ,令21,1'πππ+=''=n x n x ,则有);0(,'δU x x ∈'',而011sin'1sin ε>=''-x x 于是按柯西准则,极限xx 1sinlim 0→不存在.小结1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1) 用定义证明函数极限的方法且A x f =)(lim ,尤其是分段函数的分段点. (2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值. (4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.§4 两个重要的极限重点难点利用两个重要极限, 可推出一些基本结果:1tan lim0=→xx x 1arctan lim0=→xxx 21cos 1lim2=-→xxx()e x x x =+→11lim 1)1ln(lim=+→xx x )0(ln 1lim>=-→a a xa x x又可利用复合函数极限的方法, 可得(1) 若0)(lim 0=→t t t ϕ, 且当0t t ≠时0)(≠t ϕ, 则1)()(sin lim=→t t t t ϕϕ.(2) 若∞=→)(lim 0t t t ϕ, 则e t t t t =+→)())(11(lim 0ϕϕ.基本内容一 为什么称为“两个重要极限”?导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的基础是基本初等函数的导数公式.其中求三角函数x y sin =的导数公式必须使用极限1sin lim=→xx x ,求对数函数x y a log =的导数公式必须使用极限e y xyy x x =+=+→∞→1)1(lim )11(lim .因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.二 1sin lim=→xx x 的证明 函数xx y sin =的图象如图3-5所示.三 1sin lim=→xx x 的应用例1 试求下列极限 1) xxx -→ππsin lim , 2) 2cos 1limxxx -→ , 3) xx x 1sinlim 0→注1 注意变量的趋向是非常重要的. 四 证明 e xxx =+→∞)11(lim以后还常用到e 的另一种极限形式：()e =+→ααα11lim .问题: 为什么在推导过程中不直接利用不等式)1(,11111111+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n x n n x n n x n ,其中令∞→n , 由 =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n 111lim e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→111lim 得到e xxx =++∞→)11(lim ?五 e xxx =+→∞)11(lim 的应用例2 求 ()x x x 121lim +→例3 求 ()x x x 11lim -→结合海涅归结原则以及重要极限,我们可以求一些比较复杂的数列极限.例4 求下列数列极限: 1) nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2111lim , 2) n n n 1sin lim ∞→.§5 无穷小量与无穷大量重点难点1.比较两个无穷小量的阶, 就是比较它们趋于零的速度, 无穷小量的阶越高,说明它趋于零的速度就越快.2.利用等价无穷小量是一种计算极限非常有效且简便的方法, 应该熟记常用等价代换公式.3.若)()(limx g x f x x →不存在, 则不能比较f 与g 的阶.基本内容一 无穷小量、无穷大量、有界量 1. 无穷小量定义1 设f 在某)(0x U 内有定义,若0)(lim 0=→x f x x ,则称f 为当0x x →时的无穷小量.类似地定义当-∞→+∞→→→-+x x x x x x ,,,00以及∞→x 时的无穷小量.例1 当0→x 时, x x sin ,2与x cos 1-都是无穷小量.例2 x -1 是当-→1x 时的无穷小量,21x,xx sin 为∞→x 时的无穷小量.由无穷小量及极限的定义或极限四则运算定理, 可立刻推得如下性质： 1) 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 问题: 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？ 2) 极限A x f ax =→)(lim 存在⇔A x f -)(是当a x →时的无穷小量.注1 “无穷小量”这个术语, 并不是表达量的大小, 而是表达它的变化状态, 它与“很小的量”或“可以忽略不计”这些术语有本质的区别, 后者皆指一个确定的数值, 而“无穷小量”是一个以零为极限的变量, 因此与自变量的变化过程有关.2. 无穷大量定义 2 设函数f 在某()0x UO内有定义,若对任给的0>G,存在0>δ,使得当()()()0000;x U x Ux ⊂∈δ时有)G x f >, (2)则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞,记作 ()∞=→x f x x 0lim .关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列{}n a 当∞→n 时的非正常极限的定义,都可类似地给出.定义3 对于自变量x 的某种趋向(或∞→n ),所有以∞-+∞∞或,为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量.例3 证明+∞=→21limxx .例4 证明：当1>a 时,.lim +∞=+∞→xx a注2 无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数.如由例3知21x是当0→x 时的无穷大量,由例4知)1(>a a x 是当+∞→x 时的无穷大量.根据无穷大量的定义,无穷大量有以下性质: 1) 两个(相同类型的)无穷大量之积仍为无穷大量.问题: 两个（相同类型的）无穷大量之和、差、商是否仍为无穷大量？ 3) 若函数)(x f (a x →)是无穷大量, 函数)(x g 在a 的某个去心邻域内有界, 则)()(x g x f +函数为a x →时的无穷大量.3. 有界量定义4 若函数g 在某)(0x U内有界,则称g 为当0x x →时的有界量.例如x sin 是当∞→x 时的有界量,x1sin是当0→x 时的有界量.关于无穷小量、无穷大量、有界量需注意以下几个问题:注3 不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 必须注明自变量x 的变化趋势. 例如, 当0→x 时, x1是无穷大量, 但当∞→x 时却是无穷小量; x sin 是当0→x 时是无穷小量, 当2π→x 时不是无穷小量, 而只能是有界量.注4不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 都不是数, 而是具有某种状态(极限为0,具有非正常极限,有界)的函数.注5 任何无穷小量也必是同一状态下的有界量, 反之不成立. 例如 x x f sgn )(=. 任何无穷大量也必是同一状态下的无界函数, 但无界函数不一定是无穷大量. 例如x x x f sin )(=在)(+∞U 上无界,因对任给的,0>G 取,22ππ+=n x 这里正整数,2πGn >则有G n n n x f >+=++=22)22sin()22()(ππππππ.但,)(lim ∞≠+∞→x f x 因若取数列),,2,1(2 ==n n x n π则),(∞→+∞→n x n 而0)(lim =+∞→n n x f .注6 若函数)(x f (a x →)是无穷小量, 函数)(x g (a x →)为有界量, 则函数)()(x g x f 为a x →时的无穷小量.例如,当0→x 时,2x 是无穷小量,x1sin为有界量,故由性质2即得01sinlim 2=→xx x函数xx y 1sin2=的图象如图3-6所示.注7 无穷大量和无穷小量在一定条件下可以相互转化.(i) 设f 在)(00x U 内有定义且不等于0. 若f 在0x x →时的无穷小量,则f1为0x x →时的无穷大量.(ii) 若g 为0x x →时的无穷大量,则g1为0x x →时的无穷小量.因此, 对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 二 无穷小量阶的比较我们知道, 当0x →时, 32,,x x x 都是无穷小量, 但它们趋近于零的速度是不同的,为了比较同一变化过程中两个无穷小量趋近于零的速度, 下面给出无穷小量的阶的概念.1. 无穷小量阶的比较设当0x x →时,f 与g 均为无穷小量.1) 若0)()(lim=→x g x f x x , 则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量, 或称g 为f 的低阶无穷小量,记作 )))((()(0x x x g o x f →=.特别,f 为当0x x →时的无穷小量记作 ))(1()(0x x o x f →=. 例如,当0→x 时,n x x x ,,,2 (n 为正整数)等都是无穷小量,因而有,,2,1),0)(1( =→=k x o xk而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有)0)((1→=+x x o xkk .又如,由于02tanlim sin cos 1lim==-→→x xx x x 故有)0)((sin cos 1→=-x x o x .2) 若存在正数K 和L ,使得在某)(0x U上有 ,)()(L x g x f K ≤≤则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量, 特别当 0)()(lim≠=→c x g x f x x时,f 与g 必为同阶无穷小量.特别地, 若无穷小量f 与g 满足关系式()()(),,0x Ux L x g x f o∈≤则记作()()()()0x x x g O x f →=若f 在某()00x U内有界,则记为()()()01x x O x f →=注8 本段中的等式()()()()0x x x g o x f →=与()()()()0x x x g O x f →=等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间的等号的含义是“属于”. 例如,前面已经得到()(),0sin cos 1→=-x x o x (1)其中()(),0sin lim sin 0⎭⎬⎫⎩⎨⎧==→x x f f x o x等式(1)表示函数x cos 1-属于此函数类.3) 若()()1lim=→x g x f x x , 则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量,记作()()()0~x x x g x f →注9 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 2. 等价无穷小量在求极限问题中的应用. 定理3.12 设函数h g f ,,在()00x U内有定义,且有()()()0~x x x g x f →(i) 若()()A x h x f x x =→0lim ,则()()A x h x g x x =→0lim ；( ii) 若()()B x f x h x x =→0lim, 则()()B x g x h x x =→0lim.例5求 xx x 4sin arctan lim→.例6 利用等价无穷小量代换求极限 3sin sin tan lim xx x x -→.注10 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若因有 ()()0~sin ,0~tan →→x x x x x x , 而推出0sin limsin sin tan lim33=-=-→→xx x xx x x x则得到的是错误的结果问题: 讨论无穷小有什么意义?三 曲线的渐近线引例: 由平面解析几何知道,双曲线12222=-by ax 有两条渐近线0=±by ax (图3—7).那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？怎样来求一般曲线的渐近线?一般地,曲线的渐近线定义如下：定义4 若曲线C 上的P 沿着曲线无限地远离原点时,点P 与某定直线L 的距离趋于0,则称直线L 为曲线C 的渐近线(图3—8).曲线()x f y =在什么条件下存在斜渐近线b kx y +=与垂直渐近线0x x =,以及怎样求出渐近线方程.由 ()k xx f x =+∞→lim, ()[]b kx x f x =-+∞→lim确定常数k与b , 则b kx y +=就是曲线()x f y =的斜渐近线.若函数f 满足 ()∞=→x f x x 0lim (或∞=∞=-+→→)(lim ,)(lim 0x f x f x x x x ),则曲线()x f y =有垂直于x 轴的渐近线0x x =,称为垂直渐近线.例7 求曲线32)(23-+=x x xx f 的渐近线.第三章由于自变量的变化趋势不同, 所以函数极限有如下不同的类型.等式性、迫敛性、四则运算法则等.求极限的方法常见的有以下几种: 归结原则、单侧极限的单调有界定理、柯西准则、两个重要极限等. 在实际求极限过程中, 往往是几种方法并用. 当然以后还会有新的求极限方法(如洛必达法则等).在本章中还介绍了两类函数——无穷小量和无穷大量, 熟悉此类函数性质及阶的比较有助于了解计算函数极限.知识结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→∞→∞→→)()11(lim 1sin lim 00求曲线的渐近线应用等价无穷小量同阶无穷小量高阶无穷小量无穷小量阶的比较定义无穷小量与无穷大量两个重要极限柯西准则单调有界定理单侧极限普通极限归结原则极限存在准则四则运算法则迫敛性保不等式性局部有界性唯一性函数极限的性质单侧极限时当时当函数极限的概念函数极限e x xx x x x x x x。
极限存在的三个必要条件
极限存在的三个必要条件
极限存在的充要条件：左极限存在，右极限存在，左右极限相等。
可以概括为左右极都限存在且相等。
极限存在的3个充要条件左极限，就是从这个点的左边无穷趋向于这个数时，整个函数趋向于某个特定的数；右极限则是从这个点的右边无穷趋向于它时的极限。
极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
极限左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。
右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。
左极限与右极限只要有其中有一个极限不存在，则函数在该点极限不存在。
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§3 函数极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
下面的定理只
对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
下述归结原则有
时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设在内有定义。
存在的充要条件是：对任何含于
且以为极限的数列，极限都存在且相等。
证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，
有。
另一方面，设数列且，则对上述的，存在
，使得当时，
有，从而有。
这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出
事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在
一点，尽管，但有。
现依次取，，
，…，，…，则存在
相应的点，，，…,…,使得，而，。
显然数列且，但当时不趋于。
这与假设相矛盾，所以必
有。
注1 归结原则也可简述为：
对任何（）有。
注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列
注3与，使与都存在而不相等，
则不存在。
例1 证明极限不存在。
证设，（），则显然有
，（）
，（）。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。
由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振
荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。
从而，我们能应用归结原则和数列极限的有
关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的
形式，现以这种类型为例阐述如下：
定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。
的充要条件是：对任何以
为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对
的取法要作适当的修改，
以保证所找到的数列能递减地趋于。
证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：
定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
证不妨设在上递增。
因在上有界，由确界原理，
存在，记为。
下证。
事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。
取，则由
的递增性，对一切=，有
另一方面，由，更有。
从而对一切有
这就证得。
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。
定理3.11（柯西准则）设在内有定义。
存在的充要条件是：任给，存在
正数，使得对任何，，有
．
证必要性设，则对任给的，存在正数，使得
对任何有。
于是对任何，有。
充分性设数列且。
按假设，对任给的，存在正数，使得
对任何，有。
由于（），对上述的，存在，
使得当时有，, 从而有.
于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即
.
设另一数列且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.
为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见且
(见第二章§3例7).
故仍如上所证, 也收敛.
于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。
所以由归结原则推得
按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存
在，对任何
（无论多么小），总可找到，，使得．
如在例１中我们可取，对任何设正整数，令，
，则有，
，而
于是，按柯西准则极限不存在．。