2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题08 正余弦定理的综合应用(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题08 正余弦定理的综合应用【副题考法】本副题考题形式为解答题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象 与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为中档题，分值为12分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：（1）角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式()()()11sin 22a S ah ab C rp p p a p b pc ====--- (r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).（3）在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是 正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.2.要熟记如下知识： （1）正弦定理： 分类 内容定理 2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也 较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.（3）在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b > 解的个数 一解 两解 一解一解（4）余弦定理 分类 内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac +-=；222cos 2a b c C ab+-=解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有 一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、 诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接 用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分， 无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形 【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦 定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.注意隐含条件的挖掘；例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的面积为32，求sin sin A C +的值． 【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得sin cos C c B =，再 根据正弦定理得sin cos 3B B =，即tan 3,3B B π==（2）由ABC ∆的面积为32，得2ac =，再根据余弦定理得()()222222232cos 3b a c ac B a c ac a c ac ==+-=+-=+-，解得3a c +=，因此结合正弦定理得()sin 3sin sin 2B AC a c b +=+=考向二利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例3 的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积．【分析】（1）由正弦定理将边化为角结合三角形内角和的性质，两角和的展开式得，进而得解；（2）由，得，由，得，进而得，由余弦定理得AC，进而求和即可.【解析】（1）略；（2）因为，故，在中，，所以，故，所以，又，，所以，又，所以四边形的面积为．考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟 通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3如图，岛A 、C 相距107海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10 海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C 103海里的E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(]0,30V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-， 5sin 5ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((]0,30V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？【分析】（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可； （Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得， sin sin BC ACBAC B=∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求最值即可. 【解析】整理得： 2304000AE AE +-=， 解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A 所用的时间至少为21077303t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中， 4cos 5BAC ∠=-， 5sin 5ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角， 3sin 5BAC ∠=， 25cos 5ACB ∠=．所以B sin =)](180sin[ACB BAC ∠+∠-︒=)sin(ACB BAC ∠+∠=ACB BAC ACB BAC ∠∠+∠∠sin cos )sin sin 3254525555525=⨯-⨯=.由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3107515352525BC ⨯==,所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()21535115050153511653522f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ((]0,30V ∈)，当且仅当1502V V=，即10V =时， ()min 16535f V =（元）.所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元． 【副题集训】1.如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()001515BAC ∠=方向上， 匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东060方向上，此时测得山顶P 的仰角060，若山高为23千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP ∆中， tan 2PCPBC BC BC∠=⇒= 在ABC ∆ 中，由正弦定理得： 002sin sin sin15sin45BC AB ABBAC BCA =⇒=∠∠， 所以()231AB =+，船的航行速度是每小时()631+千米.（2）在BCD ∆中，由余弦定理得： 6CD =， 在BCD ∆中，由正弦定理得：2sin sin sin 2CD B CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠,所以，山顶位于D 处南偏东0135.2. 如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =， 7AB =， 3ADB π∠=， 6C π∠=.（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.【解析】（Ⅰ）如图所示， 366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠， DB DC =设DC x =，则DB x =， 3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠,即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=， 解得1x =， 1DC =.（Ⅱ）在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠=+=，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠， 即471sin 2ABC =∠，故2sin 7ABC ∠=， 由,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，得3cos 7ABC ∠=-，22tan 333ABC ∠=-=-.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()tan 3cos cos c C a B b A =+. （1）求角C ；（2）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==， ABD ∆的面积为83，求边c 的长.【解析】（1）由()tan 3cos cos c C a B b A =+及正弦定理可得()sin tan 3sin cos sin cos C C A B B A =+，故()sin tan 3sin C C A B =+， 而()sin sin 0C A B =+>，所以tan 3C =，即3C π=4. 已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=.（1）求角A 的大小； （2）若3a =， 12B π=，求ABC ∆的面积.【解析】（1）由3cos sin cos b A a A C + sin cos 0c A A +=及正弦定理得，()sin sin cos cos sin A A C A C + 3sin cos B A =-， 即()sin sin A A C + 3sin cos B A =-， 又()sin sin 0A C B +=>，所以tan 3A =-， 又()0,A π∈，所以23A π=. （2）由（1）知23A π=，又12B π=，易求得4C π=， 在ABC ∆中，由正弦定理得32sinsin 123b ππ=，所以622b -=. 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C =16223332224--=⨯⨯⨯=. 5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）1cos 2B =（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤< 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，∴sin 3cos 0B B -=．又cos 0B ≠，∴tan 3B =． 又0B π<<，∴3B π=，∴1cos 2B =（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤< 7.在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小； （2）若，求的面积．【解析】（1）由已知，得，由余弦定理，得，所以，又，故； （2）由（1）知，由正弦定理，得，所以或（舍去）从而，所以的面积为．8. 如图,在四边形ABCD 中, ,AD BD AC ⊥平分,23BAD BC ∠=,36,ΔBD BCD =+的面 积为()323,2S ABC +=∠为锐角.(1)求CD ; (2)求ABC ∠ .【解析】(1)在BCD ∆中,()323122S BD BC sin CBD +==⋅⋅∠.因为23,36BC BD ==+,所以12sin CBD ∠=. 因为ABC ∠为锐角,所以30CBD ∠=︒. 在BCD ∆中,由余弦定理得2CD =222BC BD BC BD cos CBD +-⋅⋅∠=()()()22323362233692++-⋅+⋅= 所以CD 的长为3.(2)在BCD ∆中,由正弦定理得BC CDsin BDC sin CBD=∠∠, 即23330sin BDC sin =∠︒ ,解得3,3sin BDC ∠=BC BD <Q , BDC ∴∠也为锐角.63cos BDC ∴∠=. 在ACD ∆ 中,由正弦定理得AC CDsin ADC sin CAD=∠∠, 即3AC cos BDC sin CAD=∠∠,① 在ABC ∆中,由正弦定理得AC BCsin ABC sin BAC=∠∠, 即23AC sin ABC sin BAC=∠∠,②Q AC 平分BAD ∠, CAD BAC ∴∠=∠,由①②得323sin ABC cos BDC ∠=∠ ,解得22sin ABC ∠=,因为ABC ∠为锐角,所以45.ABC ∠=︒ 9. 在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长. 【解析】（Ⅰ）∵，，， 在△ABC 中，由正弦定理，∴，又，所以，则C 为锐角，所以，则，所以（Ⅰ）13AD =10. 如果，在Rt ABC ∆中， 2ACB π∠=， 3AC =， 2BC =， P 是ABC ∆内的一点.（1）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； （2）若23BPC π∠=，设PCB θ∠=，求PBC ∆的面积()S θ的解析式，并求()S θ的最大值. 【解析】(1)∵P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC ＝2，∴∠PCB ＝4π，PC ＝2，又∵∠ACB ＝2π，∴∠ACP ＝4π，在△P AC 中，由余弦定理得P A 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos 4π＝5， ∴P A ＝5.(2)在△PBC 中，∠BPC ＝23π，∠PCB ＝θ， ∴∠PBC ＝3π－θ，由正弦定理得22sin 3π＝sin PB θ＝sin 3PC πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴PB ＝433sin θ，PC ＝433 sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴△PBC 的面积S (θ)＝PB ·PC sin 23π ＝433 sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin θ＝2sin θcos θ－233sin 2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33 ＝233 sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－33，θ∈0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴当θ＝6π时，△PBC 面积的最大值为33.11.如图，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若ABC ACB ∠=∠， D 为ABC V 外一点， 2DB =， 1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.【解析】(1) 在ABC ∆中，由A B C π++=， ()sin cos a c B B =+Q()()sin sin sin cos cos sin sin sin cos A B C B C B C C B B ∴=+=+=+，sin cos sin sin B C C B ∴=又sin 0B ≠Q cos sin C C ∴= 又()0,C π∈Q 4C π∴=(2)35,244ABCD D S π==+ 12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值． 【解析】（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=sin 2sin cos ,A A B = …………………………………………………4分△ABC 中，sin 0A ≠，故1cos ,.23B B π== ……………………………6分 （Ⅱ）由（I ）,3B π=因此222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- ………………………………9分 由已知()22343b a c ac ac =+-=- ……………………………………10分2434312a c +⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭……………………………………11分故b 的最小值为1. ………………………………………………………12分 13.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值． 【解析】（1）cos 2cos 3cos a b cA B C==Q， sin sin sin cos 2cos 3cos A B CA B C∴==，即tan tan tan 23B CA ==，则tan 2tan B A =，tan 3tan C A =． 又在ABC ∆中，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--．则22tan 3tan tan 16tan A A A A+=-，解得2tan 1A =， tan 1A ∴=-或tan 1A =，当tan 1A =-时，tan 2B =-，则A ，B 均为钝角，与πA B C ++= 矛盾，故舍去，故tan 1A =，则π4A =． （2）5a =14如图，一辆汽车从A 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100km 的速度向东均速行驶，汽车开动时，在A 市南偏东方向距A 市500km 且与海岸距离为300km 的海上B 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 所成的角.【解析】（1）如图，设快艇以/vkm h 的速度从B 处出发，沿BC 方向， th 后与汽车在C 处相遇，在ABC ∆中， 500,100,,B AC t BC vt BD ===为AC 边上的高， 300BD =.设BAC α∠=，则34sin ,cos 55αα==.由余弦定理，得2222cos BC AC AB AB AC α=+-⋅，所以()2222410050025001005v t t t =+-⨯⨯⋅.整理，得222500008000010000v t t=-+222181********2500001000025252514250000360025t t t ⎡⎤⨯⎛⎫=+⋅++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当1425t =，即254t =时， ()2min min 3600,60/v v km h ==， 即快艇至少以60/km h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中.（2）当60/v km h =时，在ABC ∆中， 25500,100625,4AB AC ==⨯= 25603754BC =⨯=，由余弦定理，得222cos 02AB BC AC ABC AB BC+-∠==⋅，所以90ABC ∠=o ，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶.15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值. 【解析】（1）4c = (2) 由正弦定理，得132********,sin ,sin .sin sin sin 33332a cb a Ac C A C B ====∴== ()()213213213sin sin sin sin sin sin 3333a c A C A A B A A π⎡⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 21333sin sin cos 213sin 2263A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max 213a c +=.。
2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求 : 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题12.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 Sab sin C .2 基础知识回顾 :a b c1. ＝ ＝＝2R ，其中 R 是三角形外接圆的半径．sin A sin B sin C由正弦定理可以变形： (1) a∶b ∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ；(2) a ＝ 2 Rsin A ，b ＝ 2Rsin B ，c ＝2Rsin C .2 ．余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2 bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－ b 2a 2＋b 2－c 2变形： cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝2bc 2ac 2ab4. 三角形常用的面积公式1111 abc(1)S ＝ a ·h a (h a 表示 a 边上的高 )．(2) S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ bcsinA ＝2 2 224R1（3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）.所以：中，利用正弦定理得：由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例2】已知在中，所对的边分别为，.（1 ）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1 ）或（2）12 ）∵， ∴又由余弦定理得 ，∴时，则 时，则 ，点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的 关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 .第三步：求结果 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】 在 中， ， .（1 ）求证： 是直角三角形；（2 ）若点 在 边上，且 ，求 ．答案】（1 ）见解析；（ 2 ），∴综上所述，当且仅当 ，此方程无解 .时，可得（2）设，则，，，所以在中，由正弦定理得，所以点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】在中，角所对的边分别为，已知且（1 ）判断的形状；2）若，求的面积答案】（1 ）见解析；（2 ）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破含详解
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破一、单选题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22202c a b ab-->，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5．在ABC 中，2sin 22C a ba-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形6．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．若钝角三角形ABC 的三边长,8,()a b a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是（ ） A ．(2,4)B ．(0,4)C ．(2,6)D ．(1,4)8．在ABC 中，a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若222)4ABC a b c S +-=△（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．有一个角是30的等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin 1A C +=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为120的非等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形10．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=,cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形12．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150的等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形13．ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题：△21sin sin 2sin B CS a A=；△若2cos sin sin B A C =，则ABC 是等腰直角三角形；△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-；△2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△14．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．在ABC ∆中，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰或直角三角形16．对于ABC ∆，有如下四个命题:△若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， △若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形△若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形△若coscoscos222ab c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，下列叙述正确的是（ ）A ．若sin sin a bB A = 则△ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 C ．若ta ta a 0n n A t n B C ++>则△ABC 为锐角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则△C 4π=18．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形19．已知△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若2cos c aB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形C ．若22tan tan a A b B=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形20．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 D ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形 21．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，a △b △c =sin A △sinB △sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D ．在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π22．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 23．在ABC ∆中，以下结论正确的是____________A ．若222a b c >+，则ABC ∆为钝角三角形B ．若222a b c bc =++，则A 为120︒C ．若222a b c +>，则ABC ∆为锐角三角形D ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =三、填空题24．在ABC 中，满足cos cos a Ab B=的三角形是______________三角形. 25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________.26．若以3，4，x 为三边长组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是____________．27．对于ABC ，有如下命题：△若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； △若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形；△若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； △若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．28．已知ABC 的内角,,A B C 成等差数列，且,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则有下列四个命题： △3B π=；△若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等边三角形； △若2a c =，则ABC 为锐角三角形；△若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则3A C =.则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ). 29．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为______.30．在ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且a b c ，，成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则三角形的形状是________________．31．对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 四、解答题32．在ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.33．ABC 中，sin sin sin b a Ba B A+=-，且()cos cos 1cos2A B C C -+=-，判断ABC 的形状．34．在ABC 中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC 的形状.35．在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状36．已知a b c ，，为ABC ∆的内角A B C ，，的对边，满足sin sin 2cos cos sin cos B C B C A A +--=，函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,π3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）证明：2b c a +=； （2）若()cos 9f A π=，证明ABC 为等边三角形．37．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ． （1）求角A 的大小；（2）当a c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．38．在ABC 中，6BC =，点D 在BC 边上，且()2cos cos AC AB A BC C -⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若AD 为ABC 的中线，且AC =AD 的长；（3）若AD 为ABC 的高，且AD =ABC 为等边三角形.39．在△cos 220B B +=，△2cos 2b C a c =-，△b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=.（1）若ABC 的面积等于ABC 的形状，并说明理由； （2）若ABC 是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围.参考答案1．C 【分析】由余弦定理确定C 角的范围，从而判断出三角形形状． 【详解】由22202c a b ab-->得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形. 故选：C ． 2．C 【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin A 的值，再结合A C =，以及三角形的内角和即可求出,B C ，进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << 所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120， 又因为cos cos A C =， 所以A C ∠=∠所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=， 所以ABC 为等边三角形. 故选：C. 3．B 【分析】首先利用余弦定理求出A ，再由sin 2sin cos A B C =利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得b c =，即可判断三角形的形状；解：()()3a b c b c a bc +++-=，[()][()]3b c a b c a bc ∴+++-=，22()3b c a bc ∴+-=， 22223b bc c a bc ++-=，222b bc c a -+=，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-， 222222cos b bc c a b c bc A ∴-+==+-，2cos bc bc A =，1cos 2A =， 60A ∴=︒，又由sin 2sin cos A B C =，则sin 2cos sin A C B=，即22222a a b c b ab +-=，化简可得，22b c =， 即b c =，ABC ∴是等边三角形故选：B ． 4．A 【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状． 【详解】在△ABC 中，因为2cos22A b c c +=，所以1cos 1222A b c +=+，所以cos A ＝b c. 由余弦定理，知2222b c a bbc c+-=，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形. 故选：A ． 5．D利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 6．B 【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=， 所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理. 7．A 【分析】设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，由最大角的余弦小于0得d 的一个范围，再由三线段长能构成三角形又可得d 的范围，两者结合可得结论． 【详解】由题意8b >，设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，设边长为8d +的边所对角为θ，则222(8)8(8)cos 028(8)d d d θ-+-+=<⨯⨯-，2>d ， 又888800d d d d -+>+⎧⎪->⎨⎪>⎩，即04<<d ，△24d <<． 故选：A ． 【点睛】易错点睛：本题考查由三角形形状求参数范围．三角形为钝角三角形，只要最大角为钝角即可．如果不能判断最大角，则需要分类讨论．解题中还不要忘记三条线段能构成三角形，否则出错． 8．B 【分析】由余弦定理和三角形面积公式结合已知得3A π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，由角平分线得等腰三角形，从而得等边三角形的结论． 【详解】1sin 2ABCS ab C ==△，又2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，tan C =(0,)C π∈，所以3C π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，又AE 是A 的平分线，所以AB AC =， 所以ABC 是等边三角形． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形形状的判断．根据已知条件选择相应的三角公式是解题的关键，题中已知条件222)4ABC a b c S +-=△中，分子易与余弦定理联系在一起，然后结合三角形面积公式求解． 9．D 【分析】利用平方关系式和正弦定理得222122a cb ac +-=-，根据余弦定理求出120B =，再根据sin sin 1A C +=求出30A C ==，从而可得解.【详解】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+， 所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，根据正弦定理可得222a c b ac +-=-，即222122a cb ac +-=-，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以120B =，所以60A C +=， 由sin sin 1A C +=得sin sin(60)1A A +-=， 得sin sin 60cos cos60sin 1A A A +-=，得1sin sin 12A A A +-=，得1sin 12A A +=， 得sin(60)1A +=，因为A 为三角形的内角，所以30A =，30C =， 所以ABC 为顶角为120的等腰三角形. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：△利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，△利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状. 10．D 【分析】先利用余弦定理判断命题p 的真假，然后利用余弦函数的单调性判断命题q 的真假，再逐项判断含逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】因为222a b c +>，2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C >，所以C 为锐角，但角A ，B 不能确定，所以p 为假命题；若a b >，则A B >，因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B <，所以q 为真命题，所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题. 故选：D 【点睛】判断含逻辑联结词的复合命题的真假，首先可根据条件判断出原命题的真假，然后再根据逻辑联结词且、或、非判断复合命题的真假. 11．C 【分析】解法一根据直线的平行关系，结合正弦定理即可求得A 与B 的关系，根据直线平行又不重合的条件即可判断三角形形状；解法二根据直线平行关系得到cos cos 0b B a A -=，由余弦定理转化为边的表达式，进而利用因式分解可得a b 、的关系，根据平行又不重合的条件即可得三角形形状．【详解】解法一：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -= 由正弦定理可知sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B = 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈所以22A B =或22A B π=＋，即A B =或2A B π+=.若A B =，则a b =，cos cos A B =，此时两直线重合，不符合题意，舍去 故2A B π+=，则ABC 是直角三角形故选C.解法二：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由余弦定理得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅所以()()22222222a b c a b a c b +-=+- 所以()()()2222222cab a b a b -=+-所以()()222220a bab c -+-=所以a b =或222+=a b c若a b =，则两直线重合，不符合题意，故222+=a b c 则ABC 是直角三角形 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在判断三角形形状中的应用，注意边角转化的应用，直线平行时不重合的条件限制，属于中档题． 12．D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A值进而得C ,则形状可求 【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 13．D 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断． 【详解】 由sin sin a b A B=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B CS a A =，△正确；若2cos sin sin B A C =sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+，△cos sin cos sin 0B A A B -=，in 0()s A B -=，△,A B 是三角形内角，△0A B -=，即A B =，ABC 为等腰三角形，△错；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又sin sin sin a b cA B C==，△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-，△正确；2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，△22sin cos cos sin a A Bb A B =，由正弦定理得22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B，三角形中sin 0,sin 0A B ≠≠，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，△22A B =或22A B π+=，△A B =或2A B π+=，△正确．故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换． 14．B 【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得2222cos a b c ab B +-=，再利用余弦定理可得cos cos B C =，可得结果.【详解】由题，已知()222+cos cos a b a B b A -+= 2cos ab B ，由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+= 即()222sin sin sin2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-= 即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理：2222cos a b c ab C +-= 即cos cos B C = 所以B C =所以三角形一定是等腰三角形 故选B 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.【分析】由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，化为sin 2sin 2B A =， 由a b A B ≠⇒≠，进而可得结果. 【详解】()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--, ()()()()2222sin sin a b A B a b A B ∴+-=-+化为22sin cos cos sin b A B a A B =，由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，sin cos sin cos B B A A =， sin 2sin 2B A =，,a b A B ≠∴≠，22,2B A A B ππ∴=-+=，ABC ∆是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 16．B 【详解】对于△sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；△若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；△由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；△由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B. 17．ACD根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A 可得a b =，B 可得A B =或2A B π+=，C 可得tan tan tan tan tan 0tanA B C A B C ++=>，D 中cos sin C C =，即可判断各选项正误. 【详解】A ：sin sin a b B A =有a bb a =，即22a b =，故△ABC 为等腰三角形，正确. B ：cos cos a bB A=有sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，0,A B π<<，所以A B =或2A B π+=，△ABC 不一定为等腰三角形，错误.C ：sin sin 11cos cos cos tan tan sin ()sin sincos cos cos cos cos cos cos cos cos tanA C C C A BB C C C A B C A B C A B C+++=+=⋅+=⋅=，所以△ABC 为锐角三角形，正确.D ：sin cos a b C c B =+知：sin sin()sin sin sin cos A B C B C C B =+=+，所以cos sin C C =，0C π<<，有△C 4π=，正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和A B C π++=，两角和差公式等转化条件确定三角形形状. 18．D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 19．ABD 【分析】A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】A ．因为2cos c aB =，所以()sin 2sin cos sinC A B A B ==+，所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，所以()()()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ab A B B A a b A B B A +-=-+，所以()()()()22222222sin cos sin cos a bab B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2B =或3cos 2B =（舍），所以3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=，所以2sin sin 3A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以3sin cos 22A A +=1sin cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”. 20．ACD 【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】 解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ． 【点睛】本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题． 21．AC 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解. 【详解】 由正弦定理==2sin sin sin a b c R A B C= 可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C = 即::sin :sin :sin a b c A B C =成立， 故选项A 正确；由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选项B 错误；在ABC 中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，则sin sin A B >是A B >的充要条件， 故选项C 正确； 在△ABC 中，若sin A=12，则6A π=或5=6A π， 故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题. 22．ACD 【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+， 所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题. 23．AB 【分析】对各个结论利用余弦定理加以验证，得到正确的命题，即可得到答案 【详解】对于A ，由222cos 02b c a A bc+-=<，可知角A 为钝角，则ABC ∆为钝角三角形，故正确对于B ，由222a b c bc =++，结合余弦定理可知1cos 2A =-，120A ∴=︒，故正确 对于C ，由222a b c +>，结合余弦定理可知222cos 02a b c C ab+-=>，只能判断角C 为锐角，不能判断角A B ，的情况，所以ABC ∆不一定为锐角三角形，故错误对于D ，由::1:2:3A B C =可得30A =︒，60B =︒，90C =︒，则1::sin 30:sin 60:sin 90:1:2:32a b c =︒︒︒=≠，故错误 故选AB 【点睛】本题主要考查的知识点是余弦定理，解斜三角形及其应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度一般 24．等腰 【分析】先利用正弦定理，再利用两角差的正弦公式化简整理即可得出结果. 【详解】 由cos cos a Ab B =， 得sin cos sin cos A AB B=， 即()sin cos sin cos sin 0A B B A A B -=-=， 因为0,0A B ππ<<<<， 所以0A B A B -=⇒=， 所以满足cos cos a A b B=的三角形是等腰三角形； 故答案为：等腰. 25．等边三角形 【分析】利用余弦定理求得,b c 的关系，从而得出三边关系，判断出三角形形状． 【详解】由余弦定理及cos A ＝12得2222b c a bc+-＝12，△b 2＋c 2－a 2＝bc .△b ＋c ＝2a ，△a ＝2b c +，△b 2＋c 2－22b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝bc ，即(b －c )2＝0，△b ＝c ，于是a ＝b ＝c .△△ABC 为等边三角形. 故答案为：等边三角形．26．． 【分析】先求出x 的范围，然后由最大角的余弦大于0（最大边的平方小于两较小边的平方和）可得． 【详解】易知4343x -<<+，即17x <<，若4是最大边长，则22234x +>，x >4x <≤，若x 是最大边长，则22234x +>，5x <，所以45x <<，5x <<．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查由三角形形状确定参数范围．首先三条线段能组成三角形的条件是：任一条线段长大于另两条线段长度的差且小于另两条线段长度的和．ABC 三边长分别为,,a b c ，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，因此C 为钝角222a b c ⇔+<，C 为直角222a b c ⇔+=，C 为锐角222a b c ⇔+>．27．△△ 【分析】举出反例可判断△、△；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断△；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断△；即可得解. 【详解】 对于△，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故△错误；对于△，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故△错误；对于△，△222sin sin cos 1A B C ++<，△22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， △222sin sin sin A B C +<，△根据正弦定理得222a b c +<，△222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，△C 为钝角，△△ABC 为钝角三角形，故△正确；对于△，△,4,6C c a x π===，△根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，△8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，△1sin 12A <<，△48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故△正确．故答案为：△△． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 28．△△△ 【分析】△根据,,A B C 成等差数列，可得2=B A C +，再由+A B C π+=求解.△根据,,a b c 成等比数列，则2=b ac ，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2a c =，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，利用数量积的运算得到0CA CB ⋅=求解. 【详解】因为ABC 的内角,,A B C 成等差数列， 所以2=B A C +，又+A B C π+=， 所以=3B π， 故△正确.因为,,a b c 成等比数列， 所以2=b ac ，由余弦定理得：22222=2cos b ac a c ac B a c ac =+-=+-， 所以2220+-=a c ac ， 即 ()20a c -=， 所以a c =，所以ABC 为等边三角形.故△正确.因为2a c =，由余弦定理得：22222222cos 423b a c ac B c c c c =+-=+-=，所以b =，所以222222cos 02b c a A bc +-===， 所以ABC 为直角三角形.故△错误. 因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则()22AB AB AC BC CA CB AB CA CB =⋅-+⋅=+⋅， 所以0CA CB ⋅=， 所以,26C A ππ==，所以3A C =.故△正确. 故答案为：△△△ 【点睛】本题主要考查余弦定理，等差中项，平面向量的数量积的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.29．等腰三角形或直角三角形 【分析】由正弦定理统一为三角函数，化简即可求解. 【详解】由22cos sin sin cos a A B b A B = 及正弦定理，得sin 2sin 2A B =， 所以A B =或2A B π+=，故ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，属于中档题. 30．等边三角形 【分析】由等差中项和等比中项性质可得2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅；根据正弦定理角化边可知2b ac =，与2b a c =+构成方程组化简可得2222a c b +=，从而配凑出cos B 和()20a c -=，得到a c =且3B π=，从而得到结果.【详解】由题意得：2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅由正弦定理可得：2b ac = ()2222222224a c a ac c a c b b ∴+=++=++=即2222a c b += 22222221cos 222a cb b b B ac b +--∴===()0,B π∈ 3B π∴=又22222a c b ac +== ()20a c ∴-= a c ∴=ABC ∆∴为等边三角形故答案为等边三角形 【点睛】本题考查解三角形中，三角形形状的判断问题，关键是能够利用正弦定理将角化边之后，配凑出余弦定理的形式和边长之间的关系，从而得到结果. 31．()2，()3，()4 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定 【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=> ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4 【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简 32．ABC 为等腰三角形或直角三角形 【分析】设三角形外接圆半径为R ，根据a 2tan B =b 2tan A ，利用商数关系和正弦定理，变形为sin A cos A =sin B cos B ,再利用二倍角公式转化sin2A =sin2B ，得到角的关系判断. 【详解】设三角形外接圆半径为R ， 因为a 2tan B =b 2tan A ，所以22sin sin cos cos a B b AB A=， 所以22224sin sin 4sin sin cos cos R A B R B AB A =，所以sin A cos A =sin B cos B , 所以sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =π， 所以A =B 或A +B =2π. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 33．直角三角形 【分析】先利用正弦定理化简sin sin sin b a Ba B A+=-，得到22b a ab -=；再利用诱导公式，二倍角公式化简，最后利用两角和与差的余弦公式以及正弦定理得到2ab c =，即可得出结果. 【详解】 由sin sin sin a b B a b a B A a bb a++=⇒=--， 得22b a ab -=；由()cos cos 1cos2A B C C -+=-， 得()()2cos cos 2sin A B A B C --+=，2cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin A B A B A B A B C +-+=， 22sin sin 2sin A B C ⋅=，2ab c =，又22b a ab -=，则222222b a c a c b -=⇒=+， 所以ABC 的形状为：直角三角形. 34．等腰三角形或直角三角形 【分析】解法一：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B AA B=，所以sin 2sin 2A B =，根据(0,)A B π∈、，可得22A B =或22A B π=-即可求得答案；解法二：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B A A B=，利用余弦定理，可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b ，化简计算，即可得答案.【详解】解法一：由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=， 、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，cos sin cos sin B AA B∴=，即sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知条件及正弦定理可得sin cos sin cos AA B B=22sin sin A B ，、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，即cos sin cos sin B AA B=， 由正弦定理和余弦定理可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b，整理得4222240a a c b c b -+-=，即22222()()0a b a b c -+-=，22a b ∴=或2220a b c +-=，∴a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形.【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活应用，易错点为sin 2sin 2A B =，可得2A =2B 或者22A B π+=，容易丢解，属基础题. 35．等腰三角形或直角三角形 【分析】根据22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，利用正弦定理得到22sin (sin cos sin cos )(sin sin )cos A B B C C B C A -=-，然后利用二倍角公式和两角差的公式得到()()cos 2cos 2B A C A -=-求解. 【详解】。
2020届新高考数学二轮微专题突破专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)
专题02运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。
例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈， 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． AB C D在BCD △中，由余弦定理得，CD ===例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。
2020版高考数学一轮总复习课件5.3 正弦、余弦定理及解三角形
2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
A
2
B
=sin
C 2
.
2.三角形形状的判断方法
要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,依据已知条
件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:
(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通
过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
ABC的外接圆半径为R.
(1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
(2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2
2
2
(3)S=2R2sin Asin Bsin C;
(4)S= abc ;
4R
(5)S=
p(
p
a)(
p
b)(
p
c)
p
1 2
(a
b
c)
.
考向基础 1.距离的测量
数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
考向基础 1.正、余弦定理
考点清单
考点一 正弦、余弦定理
2.解斜三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A,解的情况如下:
55
∵B=2C,∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=2× 4 -1= 3 ,
55
∴sin B= 4 .
5
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 × 2 5 + 3× 5 =
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；（2）当时，求∠A 的大小．【解答】解：（1）由，，∴a ＝2b •sin C ，∵C ＝60°且b ＝1，∴a ；（2）当时，，∵b2+c2﹣2bc•cos A，∴，即，∴，得sin（A）＝1．∵A∈（0，π），∴A∈（），则A，得A．【再练一题】在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以．思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，因为sin B≠0，所以，即．因为0＜A＜π，所以．……………………………………（2）因为a＝2，所以，所以，因为，所以当且仅当时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为．………………【再练一题】如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD＝2，CD＝4，△ABC为正三角形，则△BCD面积的最大值为．【解答】解：设∠ADC ＝α，∠ACD ＝β，由余弦定理得：AC 2＝42+22﹣2×4×2cos α＝20﹣16cos α，∴cos β，又由正弦定理可得，则sin β，∴S △BCD BC •CD •sin （β）＝2BC （sin βcos β）＝2BC •（••）＝4sin （α）+4，故△BCD 面积的最大值为4+4，故答案为：4+4思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a ．b ．c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c ＜b cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵c ＜b cos A ，∴利用正弦定理化简得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．【再练一题】在△ABC中，若22，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：∵22，∴c2﹣a2＝bc cos A，∴c2﹣a2＝bc•，化简可得：c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选：B．命题点2求解几何计算问题【典型例题】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2，B＝60°，△ABC的面积为，则a+c＝（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：△ABC中，b＝2，B＝60°，所以△ABC的面积为S ac sin B ac•，解得ac＝4；又b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣12，所以（a+c）2＝16，解得a+c＝4．故选：A．【再练一题】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，∠BAC＝90°，．（1）设∠DAC＝30°，求角B的大小；（2）设BD＝2DC＝2x，且，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵AC DC，∴sin∠ADC sin∠DAC．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B，∴∠ADC，∴∠C＝π，∴∠B；（2）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC x，∴sin B，cos B，AB x．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即：（2）2＝6x2+4x2﹣2x×2x2x2，得：x＝2．故DC＝2．思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．基础知识训练1．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ） A ．4 BCD【答案】B 【解析】 如图所示：平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4， 则：在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：22249161cos 22234AB BC AC ABC AB BC +−+−∠===−⋅⋅⋅，故：1cos cos 4DAB ABC ∠=−∠=， 则：2222?•DAB BD AD AB AD AB cos ∠=+−， 解得：． 故选：B ．2．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x xD．【答案】C由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+−⋅⋅ 234150AC AC ⇒−−=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】D 【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=−，)cos A C B b A +==−，sin cos B b A =−，sin sin cos A B B A =−， ∵sin 0B >，cos A A =−，即：tan 3A =−， ∵(0,)A π∈， ∴56A π=. 故选：D ．4．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，满足22()6,3c a b C π=−+=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．2D ．32【答案】B，∴22226c a ab b =−++，又，由余弦定理可得： 222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−∴ 222226a ab b a b ab −++=+−，解得：6ab =，由三角形面积公式可得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案选B 。
微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
专题09 正、余弦定理解三角形——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必备知识】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===AB(R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④R SinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>. 2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形； （3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形； （3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形； 4、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π. 考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题【例1】已知ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)3sin(sin π+=A b B a .（1）求A ； （2）若c a b ,23,成等差数列，ABC ∆的面积为32，求a 【解析】（1）因为)3sin(sin π+=A b B a ，所以由正弦定理可得)3sin(sin sin sin π+=A B B A ，因为0sin ≠B ，所以)3sin(sin π+=A A .因为),0(π∈A ，所以ππ=++3A A ，所以3π=A .（2）因为c a b ,23,成等差数列，所以a c b 3=+. 又因为ABC ∆的面积为32，所以32sin 21==∆A bc S ABC ，所以323sin bc 21=⨯⨯π，可得bc=8.所以由余弦定理可得bc c b bc bc c b A bc c b a 3)(3cos22)(cos 222222-+=--+=-+=π，即24)3(22-=a a ，解得32=a .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )4(cos -=，则=A 2cos （ ）A.87-B.81-C.87D.81【解析】A.因为A b c B a cos )4(cos -=， 所以A B A C B A cos sin cos sin 4cos sin -=， 即A C A B B A cos sin 4cos sin cos sin =+， 所以C A C sin cos 4sin =，又因为0sin ,0≠<<C C π，所以A cos 41=，即41cos =A ， 则871cos 22cos 2-=-=A A ，故选A.考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题 【例2】在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A cB b=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）tan 21tan A cB b +=Q sin cos 2sin 1sin cos sin A BC B A B∴+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， sin()2sin sin cos sin A B C B A B+∴=，整理得1cos 2A = 0,3A ππ∴=Q ＜A ＜ （2）2222cos ,a b c bc A =+-Q22222122a b c bc b c bc =∴=+-⨯=+-， 即2232,b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当3==c b 时，bc 取最大值，从而433sin 21≤=∆A bc S ABC .所以ABC ∆面积的最大值为433. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足)6cos(sin π-=B a A b .（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且BD=1，求ABC S ∆的最大值． 【解析】（1）因为)6cos(sin π-=B a A b ，所以B A B A A B sin sin 21cos sin 23sin sin +=, 即B A B A cos sin 3sin sin =， 因为0sin ≠A ，所以3tan =B ， 又因为），（π0∈B ， 所以3π=B .（2）因为D 为AC 的中点，所以由向量的中线定理得)(21BC BA BD +=,3cos 214141π⋅⋅++=， 又因为BD=1，所以ac ac c a 2422≥-=+ 故34≤ac ，当且仅当a=c 时，等号成立，此时34max =）（ac ， 所以ABC S ∆的最大值为333sin 3421=⨯⨯π.【类比训练2】已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足bcB A B A 2sin sin cos cos =+，且b=3. （1）求B.（2）求ABC ∆的周长l 的最大值. 【解析】利用正弦定理对b c B A B A 2sin sin cos cos =+化简得BCB B A B B A sin sin 2sin cos sin cos sin cos =+, 即BC B B B A sin sin 2sin cos )sin(=+. 因为0sin )sin(≠=+C B A ，所以21cos =B . 又),0(π∈B ，所以3π=B .（2）解法一：在ABC ∆中，由余弦定理得9cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ， 所以22)2(3939)(c a ac c a ++≤+=+，即6≤+c a ， 所以9≤++=c b a l ，当且仅当a=b=c=3时，ABC ∆的周长l 取得最大值，且最大值为9. 解法二：由正弦定理得32sin 2==BbR ，所以B B R b A A R a sin 32sin 2,sin 32sin 2====，所以)32sin(32sin 323sin 32sin 323A A B A c b a l -++=++=++=π=)6sin(63cos 3sin 333π++=++A A A又因为)32,0(π∈A ，所以)65,6(6πππ∈+A 所以当26ππ=+A ，即3π=A 时，1)6sin(=+πA ， 所以963max =+=l .考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,33cos =B . (1)求△ACD 的面积;(2)若32=BC ,求AB 的长. 【解析】(1)因为∠D=2∠B,33cos =B ， 所以cos D=cos 2B=2cos 2B-1=31-. 因为D ∈(0,π),所以sin D=322cos 12=-D . 因为AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积S=21AD·CD·sin D=2322121=⨯⨯.(2)在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=32. 因为BC=32,所以∠B=∠BAC, 由正弦定理得ACBABB AC ∠=sin sin ,所以B ABB B AB B AB B AB B sin 332cos sin 22sin )2sin(sin 32===-=π, 所以AB=4.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是：1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【解析】（1）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=，因此7.AB =考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). 3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度).坡度又称为坡比. 注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是[0,2π]. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B 是海面上位于东西方向相距）（335+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB=）（335+ 海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,由正弦定理得ADBABDAB DB ∠=∠sin sin , 所以00105sin 45sin )33(5sin sin +=∠∠⋅=ADB DAB AB DB=464222)33(560sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(500000+⨯+=++=310231)31(35=++（海里），又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=320海里, 所以在△DBC 中,由余弦定理得DBC BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222 即900213203102-12003002=⨯⨯⨯+=CD ， 所以CD=30(海里), 所以需要的时间13030==t (小时),即救援船到达D 点至少需要1小时. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)【解析】如图,作CD 垂直于AB 的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,=,所以BC =×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD ⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷Ⅱ高考理·T15）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC ∆的面积为 .【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得23,23c c ==-（舍去） 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 2、(2018·全国卷II 高考理科·T6)在△ABC 中,cos C2=√55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .4√2B .√30C .√29D .2√5【解析】选A .cos C =2cos2C2-1=2×(√55)2-1=-35, 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C , 所以AB 2=1+25-2×1×5×(-35)=32,所以AB =4√2.3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C = ( ) A .B .C .D .【解析】选C .由题意S △ABC =12ab sin C =a 2+b 2-c 24,即sin C =a 2+b 2-c 22ab,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C ∈(0,π),所以C=.4、(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【解析】A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC, 即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC 为锐角三角形, 所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b. 【非选择题组】1、(2018·浙江高考T13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =√7,b =2,A =60°,则sin B = ,c = . 【解析】由正弦定理asinA =bsinB 得=2sinB ,得sin B =√217, 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+c 2-74c=12,解得c =3.答案:√217 32、(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=154, 所以S △BDC =12BD·BCsin ∠15,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC ,则cos ∠cos 12ABC ∠+10答案:15103、（2019全国I 理·T17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sinC ．【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+故sin sin()46C ππ=+=.4、（2019全国III 理·T18）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 因为0<B π<，02A Cπ+<< 故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立， 所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V .故ABC S V取值范围是(82. 5、(2018·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17. (1)求∠A.(2)求AC 边上的高.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c 2+a 2-b 22ca==-17,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc==12,又因为0<A<π,所以A=. (2)设AC 边上的高为h,则sinA=hc , 所以h=csinA=3×sin =3√32,即AC 边上的高为3√32. 方法二:(1)因为cosB=-17<0得角B 为钝角,由三角形内角和定理,角A 为锐角, 又sin 2B+cos 2B=1,所以sinB>0,sinB=4√37,由正弦定理,asinA =bsinB ,即sinA=ab sinB=78×4√37=√32, 又因为0<A<,所以A=.(2)设AC 边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√32×(-17)+12×4√37=3√314, 所以h=asinC=7×3√314=3√32,即AC 边上的高为3√32. 6、(2018·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos ,即sinB=cos ,所以sinB=√32cosB+12sinB ,可得tanB=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos,可得sinA=√37. 因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314. 6、(2017·北京高考理科·T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sinC 的值.(2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)根据正弦定理sinA a=sinCc ,所以sinC=sinA c a =37×sin60°=37(2)当a=7时,c=37a=3,因为所以1314,在△ABC 中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA××1314+12,所以S △ABC =12ac×sinB =12×7×3×7=7、(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】(1)因为,所以,所以因为A ∈(0,π),所以A=23π.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入,b=2得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC ,所以,所以sinC=7,所以在Rt △CAD 中,tanC=ADAC ,所以2=2AD ,即则S △ADC =12×由(1)知S △ABC =12·bc·sinA =12×2×4×2=所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =.8、(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22B . (1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22B,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=1517, (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=417ac , 又S △ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 9、(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinA a且S=12bcsinA ,所以23sinA a =12bcsinA ,所以a 2=32bcsin 2A ,由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=32. (2)由(1)得sinBsinC=23,又cosBcosC=16,因为A+B+C=π,所以cosA =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sinBsin C-cosBcosC =12,又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sinA=2,cosA=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sinB,c=sinAa ·sinC , 所以bc=22sin Aa ·sinBsinC=8 ②,由①②得所以即△ABC 的周长为10、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b 和sinA 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sinB=35,所以cosB=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2accosB=13,所以由正弦定理得,sinA=sinB a b(2)由(1)知又a<c,sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2Acos 4π+cos2Asin 4π=26.11、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知2-b 2-c 2). (1)求cosA 的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cosA=2222b c abc+-=5ac-(2)由(1)可得sinA=5,代入asinA=4bsinB,得sinB=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5, 于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×⎛⎝⎭-35。
2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求 两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘 国舰艇正从点 正东 10 海里的点 处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点 南偏西 方向
20 海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 处，再折向点 直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，
【精编版】2020年高考理科数学之高频考点解密09 正、余弦定理及解三角形(解析版)
解密09 正、余弦定理及解三角形考点1利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，πsin sin 3b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C = A B ．7C D 【答案】B【解析】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭Q ，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >Q，3sin B B ∴=，得tan B =，0B <<πQ ，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin c B C b === 故选B.【名师点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.求解时，利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 调研2 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cos A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．【答案】（1）π6B =；（2）3,a c == 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC △中sin 0A ≠．cos B B =． 法一：因为0πB <<， 所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B == 所以π6B =．cos 0B B -=即π2sin 06B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()ππ6B k k -=∈Z ， 因为0πB <<， 所以π6B =．（2）由正弦定理sin sin a cA C=，及sin C A =，所以c =，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π92cos 6a c ac =+-，即229a c +=，②把①代入②得3,a c ==【名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC △的面积为__________．【答案】32【解析】由题意得22sin c R C ==，即sin 2c C =，∴1sin 2ABC S ab C ==△1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为32. 【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积. 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.调研4 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求ABC △的面积． 【答案】(1)5；(2)7534.【解析】(1)在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x . 在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ＝－52x ，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研5 在ABC △中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若22tan :tan :,A B a b =则ABC △的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有：22sin cos sin cos sin sin A B A A B B ⨯=，即：cos sin cos sin B AA B=， 据此可得：sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =， 故22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=， 据此可得：ABC △的形状为等腰三角形或直角三角形. 本题选择C 选项.【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．调研6 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状. 【答案】(1)60°；(2)等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c +=+得,sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=, ∵sin 0C >,()1cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=, ∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ==⇒=, 由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-=()23b c bc +-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==, ∵60A =︒,∴60B C ==︒,故ABC △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为21,,sin sin sin ,24B C a b c B C -+=，且2b c +=，则实数a 的取值范围是____________.【答案】)2.【解析】由()21cos 1sinsin sin sin sin 224B C B C B C B C ---+=+=，得()2cos 4sin sin 1B C B C --=，所以()()12cos 1,cos cos 2B C A B C +==-+=-， 则由余弦定理()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，得22412b c bc a +⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，解得a ≥又2a b c <+=， 所以a 的范围是)2.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研2 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c ABC =△的面积为,2又tan tan A B +)tan tan 1.A B =-(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值. 【答案】(1)π3；(2)11.2【解析】(1)因为)tan tan tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=tan tan 1tan tan A BA B+=-又因为,,A B C 为ABC △的内角,所以2π,3A B += 所以π.3C =(2)由1sin 2ABC S ab C ==△及π,3C =得6,ab = 又()2222221cos 222a b c ab a b c C ab ab +--+-===,7,2c = 所以11.2a b +=题组二 解三角形与平面向量相结合调研3 在ABC △中，90C ∠=o，2CM MB =u u u u r u u u r ．若1sin 5BAM ∠=，则tan BAC ∠=_________．【解析】根据题意，设,3AC m BC n ==，则2,CM n BM n ==，根据1sin 5BAM ∠=，得cos 5BAM ∠=，由勾股定理可得AM AB =根据余弦定理可得22222=，化简整理得422412360m m n n -+=，即()22260mn-=，解得m =，所以3tan2n BAC m ∠===. 【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研4 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=u u u r u u u r ,sin 3BAC ∠=,AB =BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【答案】(1)3；(2)3. 【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=u u u r u u u r所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠⎪⎝⎭即cos 3BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =． (2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又由cos 3BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠=所以sin sin 3AB BAD ADB BD ∠∠==． 因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以cos 3C =.1．（北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学试题）在△AB C 中，π6B =，c =4，cos C =，则b = A． B ．3 C ．32D ．43【答案】B 【解析】∵π6B =，c =4，cos C =，∴2sin 3C ==， ∴由正弦定理sin sin b c B C=，可得：41223b =，解得：b =3． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．求解时，由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值．2．（四川省成都市第七中学2019届高三二诊数学模拟试题）在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面BC 的长为 AB ．2C．D【答案】D【解析】∵在ABC △中，602A AB =︒=，，且ABC △∴11 sin 222AB AC A AC ⋅⋅=∴⨯⨯=1AC =， 由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-=，则BC =．故选D ．【名师点睛】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．求解时，利用三角形面积公式列出关系式，把AB sinA ，，已知面积代入求出AC 的长，再利用余弦定理即可求出BC 的长．3．（浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学试题）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2222222cos a b c A bc +-=+，2a c =，则ABC △的形状是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由题()22222222222a b c b c b a c bc+-⨯=+--，当222=0b c a -+时，三角形为直角三角形；当2220b c a -≠+时，则22220bc c b b c -=⇒-=，又2a c =，则三角形为等腰三角形. 故选D.【名师点睛】本题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是易错题.求解时，利用余弦定理将cos A 化边代入，结合2a c =求解即可.4．（福建省莆田市仙游县2019-2020学年高三上学期期中数学试题卷）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠= A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒D ．30︒【答案】D【解析】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为0180A <<︒︒，所以90A =︒；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =090C ︒<<︒,所以60C =︒,故30B =︒. 故选D.【名师点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．求解时，由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝90°，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．5．（河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC △面积的最大值为 A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】由正弦定理得：2cos 0b c A +=，由余弦定理得：222202b c a b c bc+-+⋅=，即2222b a c =-，22222222232cos 224a c a c a c b a c B ac ac ac -+-+-+===≥=，当且仅当2c =，2b =，2a =时取等号， π0,6B ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦,1sin 2B ∴≤，则111sin 41222ABC S ac B =≤⨯⨯=△，所以ABC △面积的最大值为1.故选A. 【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，属于难题.求解时，ABC △中，由正弦定理可得2cos 0b c A +=，利用余弦定理可得：2222b a c =-．结合4ac =，a ，b 都用c 表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得cos B 的最小值，可得sin B 的最大值，即可得出三角形面积的最大值． 6．（东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题）在ABC △中，A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，π3B =，2AB BC ⋅=-u u ur u u u r ，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为A BCD ．2【答案】B【解析】由题意，因为1cos π22AB BC ac B ac ⋅=-=-=-u u u r u u u r （），所以4ac =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-.又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=，所以2234a c a c ac +=+-（）（），所以23124a c +=（），所以216a c +=（），所以4a c +=，所以2b =，所以22sin sin60b R B ===︒，所以R = 【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，根据向量的数量积的运算，求得4ac =，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得4a c +=，进而得到2b =，再利用正弦定，即可求解球的半径.7．（江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =，若222sin 2sin ,()6a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为 A ．3B ．C ．12D ．1【答案】A【解析】22sin 2sin ,2,2a C A a c a ac =∴==Q ,因为22()6a c b +=+，所以22226,a c ac b ++=+22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △= 故选A.【名师点睛】本题考查了解三角形，解题关键是在于正余弦定理的合理运用，属于较为基础题.由题及正弦定理求得ac 的值，再求得222a c b +-，代入公式即可求得面积.8．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题）一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒海里方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是A ．海里B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图，在ABC △中，,,则，；由正弦定理得，得,即B 、C 两点间的距离是10n 海里．9．（辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学试题）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为___________. 【答案】π3【解析】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==.()0,πA ∈Q ，π3A ∴=. 本题正确结果：π3. 【名师点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.求解时，根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果.10．（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学试题）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是___________.【答案】5【解析】如图，设CDA θ∠=，则πCDB θ∠=-,在CDA △和CDB △中，分别由余弦定理可得()22221144cos ,cos πc c b a c cθθ+-+-=-=，两式相加，整理得()222202c a b +-+=，∴()22224c a b=+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =． 把①代入②整理得2242aba b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 225ABC S ab C =≤⨯=△即ABC △面积的最大值是5．故答案为5． 【名师点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．求解时，由题意及正弦定理得到2222ab a b c +-=，于是可得1cos 4C =，从而可得sin C =CDA △和CDB △中分别利用余弦定理及πCDA CDB ∠+∠=可得()22224c a b =+-．在此基础上可得2242aba b ++=，再由基本不等式得到85ab ≤，于是可得三角形面积的最大值． 11．（四川省棠湖中学2019届高三上学期开学考试数学试题）如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记,BAD ADC αβ∠=∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD △的面积.【答案】（1）当α＝π6，即D 为BC；（2【解析】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β=2cos α－cos π+3α⎛⎫ ⎪⎝⎭π+3α⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当α＝π6，即D 为BC（2）由cos β＝17，得sin β，故sin α＝sin π3β⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos π3－cos βsin π3， 由正弦定理sin sin AB BDADB BAD=∠∠， 故AB ＝sin sin βαBD＝83 ，故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B＝18123⨯⨯=.【名师点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题.（1）由题意可得β=α+π3，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值. （2）根据三角函数差角公式求得sin α，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积. 12．（山东省实验中学（中心校区）2019届高三11月模拟考试数学试题）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2sin sin a C B =． （1）若b＝C ＝120°，求△ABC 的面积S ；（2）若b ：c ＝2：3.【答案】（1）18；（2）1.【解析】（1）由2sin sin a C B =，得2ac =，∴2a =．∵b = ∴6a =，∴11sin 6sin1201822S ab C ==⨯⨯︒=．（2）∵2a =，:2:3b c =，∴::2:3a b c =，故可设a =，2b k =，3c k =()0k >，则2225cos 26b c a A bc +-==，6cos 213A -====．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.（1）由2sin sin a C B =，利用正弦定理，得2a =，进而求得6a =，利用三角形的面积公式，即可求解．（2）由（1）得::2:3a b c =，利用余弦定理，求得cos A 的值，即可化简求得结果.13．（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知△ABC 1AB AC ⋅=-u u u r u u u r且AB AC >.（1）求角A 的大小；（2）设M 为BC 的中点，且2AM =，∠BAC 的平分线交BC 于N ，求线段MN 的长度.【答案】（1）2π3；（2）6. 【解析】（1）1AB AC ⋅=-u u u r u u u r||||cos cos 1AB AC A bc A ⇒⋅⋅==-u u u r u u u r ，又1sin 22ABC S bc A ==△，即sin bc A =∴sin sin tan cos cos bc A A A bc A A===又(0,π)A ∈，∴2π3A =.（2）如下图所示：在△ABC 中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴2222224||()||2|2|AM AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴225b c +=.由（1）知：sin bc A =2bc ⇒=，又c b >，∴2c =，1b =，由余弦定理可得：2222cos 527a b c bc A =+-=+=⇒a =11||sin ||sin 22ANC S AN b CAN AN CAN =⋅∠=∠△， 1||sin ||sin 2BANS AN c BAN AN BAN =⋅∠=∠△， 又CAN BAN ∠=∠，∴||1||2B N AN AC S CN S BN ==△△，又||||CN BN a +==，∴||CN =∴1||||||||2MN CM CN a CN =-=-==【名师点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．求解时，（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出b ，c ，a ；再借助于面积之间的关系求出CN ，BN 之间的比例关系，结合题中条件即可求解．14．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知四边形OACB 中，a 、b 、c 分别为ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长，且满足()()cos 2cos cos b c A a B C +=--．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设()0πAOB θθ∠=<<，24OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）8+【解析】（1）∵()()cos 2cos cos b c A a B C +=--，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， ∴cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin A B A B A C A C A +++=， ∴()()sin sin 2sin A B A C A +++=， ∴sin sin 2sin C B A +=， 由正弦定理得：2b c a +=． （2）∵2b c a +=，b c =， ∴a b c ==，∴ABC △为等边三角形．由题意得AOB ABC OACB S S S =+△△四边形21sin 2OA OB AB θ=⋅⋅+)224sin 2cos 4OA OB OA OB θθ=++-⋅⋅4sin θθ=-+π8sin 3θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0πθ<<，∴ππ2π333θ-<-<，∴当ππ32θ-=，即5π6θ=时，OACB S 四边形有最大值，且最大值为8+．【名师点睛】本题考查用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，体现了新课标中“数学建模”的本质．解题中的关键是将问题逐步转化成形如()sin y A x ωϕ=+的函数的问题求解．（1）由()()cos 2cos cos b c A a B C +=-=及正弦定理和三角变换可得sin sin 2sin C B A +=，再由正弦定理可得结论成立．（2）先证得ABC △为等边三角形，根据AOB ABC OACB S S S =+△△四边形及三角形的面积公式，得到π8sin 3OACB S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形π3θ-的取值范围可得所求的最大值．15．（湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考数学）已知向量()cos ,sin x x =m ，()cos x x =n ，x ∈R ，设函数()12f x =⋅+m n .（1）求函数()f x 的解析式及单调递增区间；（2）设a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，b c +=ABC △的面积为12，求a 的值. 【答案】（1）()f x 的解析式为()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,单调递増区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）1a =.【解析】（1）()2cos cos f x x x x =1πsin 2126x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭. 令π26x +∈ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，解得πππ,π36x k k ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；所以函数()f x 的单调递増区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）()πsin 2126f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭Q ， πsin 216A ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.0πA <<Q ，ππ13π2666A ∴<+<， ππ262A ∴+=，即π6A =.由11sin 22S bc A ==得2bc =，又b c +=Q ，∴由余弦定理得2222a b c bc =+-()()2cos 21cos A b c bc A =+-+，解得1a =.【名师点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系，然后求解，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.（1）由向量()cos ,sin x x =m ，()cos x x =n ，得()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求得单调区间；（2）由()2f A =，得π6A =，又ABC △的面积为12，b c +=结合余弦定理，求得1a =-.16．（陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学试题）已知在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2B B +=. （1）求角B 的大小； （2）若cos cosB C b c +=ΔABC 周长的最大值.【答案】（1）π3B =；（2）【解析】（1）由题意得πcos 2sin 26B B B ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 所以πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πB ∈，所以ππ62B +=， 所以π3B =.（2）由已知cos cos B C b c +=22222222a c b a b c abc abc +-+-+=，整理得222a abc =b =又由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ====， 所以2sin a A =，2sinc C =由πA B C ++=得2π3A C +=， 所以2π3C A =-，且2π03A ＜＜， 所以2sin 2sin a b c A b C ++=++2π2sin 2sin 3A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2π2sin 2sincos 2cos sin 33A A A =+-3sin A A =+π6A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵2π03A ＜＜， ∴ππ5π666A +＜＜，π6A ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭∴π6A ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭(a b c ++∈， 所以ΔABC周长的最大值为【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查三角函数的性质，考查正弦定理和余弦定理的应用．考查的知识点较多，但都不难，方法也是常规方法，属于中档题．求解时，（1）提取2，利用两角和的正弦公式化为函数式为一个角的一个三角函数形式再求解；（2）利用正弦定理和余弦定理化角为边，求得b ，再用正弦定理表示出,a c ，2sin 2sin a b c A b C ++=++，由2π3A C +=，2π03A <<，可求得周长的最大值．1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A． B CD ．【答案】A【解析】因为cosC =2cos 2C 2−1=2×(√55)2−1=−35,所以AB 2=BC 2+AC 2−2BC ·ACcosC =1+25−2×1×5×(−35)=32，则AB =4√2. 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24，所以a 2+b 2−c 2=2absinC ，由余弦定理a 2+b 2−c 2=2abcosC ，得sinC =cosC ，因为C ∈(0,π)，所以C =π4. 故选C.3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．4．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=故△ABC 的周长为3+.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.5．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2. 【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【答案】（1）5；（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.7．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.8．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.。
2020高考数学专项训练《3 正、余弦定理在解三角形中的应用》(有答案)
例题：(2018·南通、泰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b . (1)求sin B 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．变式1在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a2－b2－c2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin (2B －A)的值．变式2已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝35，D 是线段BC 上的点，cos ∠ADC ＝210. (1)若b ＝5，a ＝7，求c 的大小；(2)若b ＝7，BD ＝10，求△ABC 的面积．串讲1在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________________．串讲2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b2＋c2－a2＝65bc ，求tan B.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B)的值．(2018·常州期末)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，3b sin C ＝c cos B ＋c.(1)求角B ；(2)若b 2＝ac ，求1tan A ＋1tan C的值．答案：(1)B ＝π3；(2)233.解析：(1)由正弦定理得b sin B ＝csin C，又∵3b sin C ＝c cos B ＋C ， ∴3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C ，3分△ABC 中，sin C ＞0，所以3sin B －cos B ＝1，4分所以sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12，－π6＜B －π6＜5π6，B －π6＝π6，所以B ＝π3；6分(2)因为b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，8分1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin （π－B ）sin A sin C ＝sin Bsin A sin C.12分所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.14分专题3例题 答案：(1)55；(2)－1010. 解析：(1)在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sinB 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55. (2)因为a ＝152b ＞b ， 所以A ＞B ，即得0＜B ＜π3.又sin B ＝55，所以 cos B ＝1－sin 2B ＝255，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－⎝⎛⎭⎫22cos B －22sin B ＝－⎝⎛255×22－⎭⎫55×22＝ －1010. 变式联想变式1 答案：(1)－55；(2)－255. 解析：(1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B，又因为由a sin A ＝4b sin B ，可得 a ＝2b ，又因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，即b 2＋c 2－a 2＝－55ac ，所以由余弦定理可得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)因为0<A<π，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，可得sin B ＝a sin A 4b ＝55，由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255，于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B＝35，所以sin (2B －A)＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 变式2答案：(1)42；(2)42.解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋52－2×7×5×35＝32，即c ＝4 2.(2)因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝45，同理sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝7210，所以cos ∠CAD ＝－cos (∠ADC ＋C)＝－cos ∠ADC cos C ＋sin ∠ADC sin C ＝22， 即∠CAD ＝π4，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，得CD ＝AC sin ∠CAD sin ∠ADC ＝7×227210＝5，所以S △ABC ＝12AC·BC·sin C ＝12×7×15×45＝42.点拨：三角形作为重要的平面几何研究对象，通过回顾解三角形的研究思路，有利于培养从定性到定量的研究，研究角度可以是边的关系、角的关系，边角关系入手，解题方法与过程蕴含了基本方程与不等式．其中正弦定理和余弦定理实现了三角形边角几何关系的代数化，遇到边角关系式，基本处理策略就是“化边为角或化角为边”．串讲激活串讲1答案：(6－2，6＋2)．解法1如图，∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝75°，延长BA ，CD 交于点E ，则可知BE ＝CE ，且在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°.在△BEC 中，由正弦定理可得BE ＝CE ＝BC sin 75°sin 30°＝6＋2，由题意可得DE ∈(0，6＋2)．在△ADE 中，由正弦定理可得AE ＝DE sin 45°sin 105°＝(3－1)DE ，所以AE ∈(0，22)．又因为AB ＝BE －AE ，所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．(解法1图)解法2(构造法)：如图，构造△BEC ，使得∠B ＝∠BCE ＝75°，则∠BEC ＝30°，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得∠BAD ＝75°.若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 化为△A′BC ，且可在△A′BC 中利用正弦定理求得A′B ＝2sin 30°sin 75°＝6－2；若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 化为△BEC′，且可在△BEC 中利用正弦定理求得BE ＝2sin 75°sin 30°＝6＋ 2.又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E之间，且不与点C 与点E 重合，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．(解法2图)串讲2答案：(1)略；(2)tan B ＝4.解析：(1)证明：因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可得cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C＝1， 可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，又因为sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin (A ＋B)＝sin (π－C)＝sin C ，即sin A sin B ＝sin C.(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，因为A ∈(0，π)，所以sin A>0，则sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C＝1，可得cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4. 新题在线答案：(1)π3；(2)3314.解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6＝cos B cos π6＋sin B sin π6＝32cos B ＋12sin B ，∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，a ＝2，c ＝3， B ＝π3，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得sin A ＝37，∵a ＜c ，∴cos A ＝27，∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，∴sin (2A －B)＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
2020年高考数学三角函数、三角形、平面向量 专题08 正弦定理与余弦定理 文(含解析)
专题08正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心：1。
解三角形时的分类讨论(锐角钝角之分）2。
边角互化的选取3。
正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题5。
三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二．【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．三．【方法总结】1。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1）已知两角和任一边,求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角).2。
由正弦定理容易得到:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B。
3。
已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时,要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4。
利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题：（1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；（3)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.（4）由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定。
四．【题型方法】}（一)正弦定理辨析三角形例1．已知数列的前项和（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；(2)探究数列中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：①此三项可作为三角形三边的长；②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在,找出这样的三项；若不存在，说明理由。
【答案】（1）（2）见解析【解析】解:数列的前n项和．当时，，当时，，又时，，所以，不妨设三边长为，，，所以所以假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，,三个角分别是，，由正弦定理:，所以由余弦定理:，即化简得:，所以：或舍去当时,三角形的三边长分别是4，5,6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.练习1．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是A．在中，B．在中，若,则C．在中，若,则；D．在中，【答案】B【解析】在中，;在中，若，则或，即或;在中，若,则；在中,，选B.练习2．在中，内角所对的边分别是，若,则的值为（)A．B．C．1 D．【答案】D【解析】根据正弦定理可得故选D。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理理解析版
第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。
2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理习题理含解析新人教A版
第6节 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin __B ∶sin __C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数 一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝2π3.答案 C3.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsinπ4，∴112＝b22，∴b ＝ 2. 答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5解析 由题意得cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7.答案7考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案 (1)75° (2)B (3)C规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·郑州二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个B.2个C.0个D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝csin C，得2sin3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，可得2cos2A ＋B2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0， 解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13. (3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析 (1)由c b <cos A ，得sin C sin B<cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，判断△ABC 的形状. 解 ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形.考点三 和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________.解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 答案 12规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2019·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cosB ＋b cos A ＝0.(1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，b ＝3，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.[思维升华]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. [易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.答案 D2.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 答案 B3.(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( )A.7B.27C.37D.47解析 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)，(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D4.(2019·开封模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C＝2sinA sinB ，且b ＝6，则c ＝( )A.2B.3C.4D.6解析 在△ABC 中，A ＝π3，b ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝36＋c 2－6c ，① 又3sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，∴3c 2cos C ＝2ab ， 即cos C ＝3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴a 2＋36＝4c 2，②由①②解得c ＝4或c ＝－6(不合题意，舍去).因此c ＝4. 答案 C5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为( ) A.33B.233C.36D.433解析 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 及正弦定理， 得2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ， 易知sin B sin C ≠0，∴sin A ＝12.又b 2＋c 2－a 2＝8，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc，则cos A >0.∴cos A ＝32，即4bc ＝32，则bc ＝833. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 B 二、填空题6.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝217，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(c ＝－1舍去). 答案2173 7.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________.解析 根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4， 所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案38.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________. 解析 由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案14三、解答题9.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－ab －2b 2＝0. (1)若B ＝π6，求A ，C ；(2)若C ＝2π3，c ＝14，求S △ABC .解 (1)由已知B ＝π6，a 2－ab －2b 2＝0结合正弦定理化简整理得2sin 2A －sin A －1＝0，于是sin A ＝1或sin A ＝－12(舍).因为0<A <π，所以A ＝π2，又A ＋B ＋C ＝π， 所以C ＝π－π2－π6＝π3.(2)由题意及余弦定理可知a 2＋b 2＋ab ＝196，①由a 2－ab －2b 2＝0得(a ＋b )(a －2b )＝0， 因为a ＋b >0，所以a －2b ＝0，即a ＝2b ，② 联立①②解得b ＝27，a ＝47. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝14 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π解析 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C＝6，R ＝3. 故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C12.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝ 23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.答案 C13.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________.解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ，又sin B b ＝sin A a，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12，当且仅当b ＝c ＝23时取等号， 从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3.答案 3 314.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)
专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。
2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01-与解三角形有关的最值问题
2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01 与解三角形有关的最值问题与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．【例1】在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：255解析：(解法1)因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－8－a 2－b 222ab ＝3(a 2＋b 2)－84ab ≥3ab －42ab，所以ab ≤43－2cos C ，从而S ＝12ab sin C ≤2sin C 3－2cos C .设t ＝2sin C3－2cos C，则3t ＝2sin C ＋2t cos C ＝2t 2＋1·sin(C ＋φ)，其中tan φ＝t ，故3t ≤2t 2＋1，解得t ≤255，所以S max ＝255，当且仅当a ＝b ＝2155且tan C ＝52时，等号成立．(解法2)以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－5c 24，即点C 在圆x 2＋y 2＝4－5c 24上，所以S ≤c 2r ＝c 24－54c 2＝12·－54⎝⎛⎭⎫c 2－852＋165≤255，当且仅当c 2＝85时取等号，故S max ＝255.【方法规律】1. 注意到a 2＋b 2＋2c 2＝8中a ，b 是对称的，因此将三角形的面积表示为S ＝12ab sin C ，利用余弦定理将ab 表示为C 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．2. 将c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C 所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a 2＋b 2＋2c 2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB 上的高所满足的条件．3. 解法1是从将面积表示为角C 的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a 2＋b 2＋2c 2＝8中的a ，b 是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．【例2】在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B.(1) 求角C 的大小；(2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围． 解析：(1) 因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，所以sin(C －A )＝sin(B －C )． 所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2) (解法1)由C ＝π3可得c ＝2R sin C ＝1×32＝32，且a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B .设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0<A <2π3，0<B <2π3，知－π3<α<π3.所以a 2＋b 2＋c 2＝34＋sin 2A ＋sin 2B ＝34＋1－cos2A 2＋1－cos2B 2＝74－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－2π3<2α<2π3，－12<cos2α≤1，故32<a 2＋b 2＋c 2≤94.(解法2)因为C ＝π3，所以c ＝2R sin C ＝1×32＝32.又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以34＝a 2＋b 2－ab ≥a 2＋b 22，故a 2＋b 2≤32.又a 2＋b 2＝34＋ab >34，故a 2＋b 2＋c 2∈⎝⎛⎦⎤32，94.【方法规律】点评：本题的第(2)问是一种典型问题即三角形中有一个边以及对角为定值，求与两个边或两个角有关系的最值问题．如本题中C ＝π3，c ＝32，可以求a 2＋b 2，a ＋b ，ab ，sin A ＋sin B ，sin A sin B ，cos A ＋cos B ，cos A cos B 的取值范围．方法有二：一是利用A ＋B ＝2π3，进行消元(代入消元或中值换元(如本题解法一))，转化为三角函数值域求解；二是利用基本不等式，但基本不等式比较适合求一种最值，求范围有时不适合．本题如果加大难度，可以将三角形改成锐角三角形，这时基本不等式就不太适合了．（通过本课题的学习，你学到了什么？你还有其它疑惑吗？）A 组1．在△ABC 中，已知2cos 2A 2＝33sin A ，若a ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________．答案：(43，4＋23]解析：由2cos 2A 2＝33sin A ，可得cos A ＋1＝33sin A ，则233sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝32，又0＜A ＜π，可解得A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝4，即b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，从而a ＋b＋c ＝23＋4sin B ＋4sin C ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝23＋4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.又0＜B ＜π3，所以π3＜B ＋π3＜2π3，可得43＜23＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ≤4＋23，即a ＋b ＋c ∈(43，4＋23]．2．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 答案：2＋12解析：(解法1)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2， cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1 ＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5.因为(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4tt 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)． (解法2)由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2(t 2＋2)(t 2＋2)2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2dd 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立． (解法3)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．3．在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 答案：132解析：因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2. 由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A .又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan A，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A .因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A ，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(cos A ，cos B )，p ＝⎝⎛⎭⎫22sinB ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，|p |＝3. (1) 求角A ，B ，C 的值；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )＝sin A sin x ＋cos B cos x 的最大值与最小值． 解析：(1) 因为m ∥n ，所以a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin(A －B )＝0. 又－π<A －B <π，所以A ＝B . 而p 2＝|p |2＝8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9， 所以8cos 2A 2＋4sin 2A ＝9，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3，所以A ＝B ＝C ＝π3.(2) f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 所以x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝12，x ＝π3时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1.B 组1．已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：(解法1)如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝AC sin ∠ABC ＝4sin45°＝4 2.取AC的中点M ，则OM ＝Rcos45°＝2.过点B 作BH ⊥AC 于点H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋22R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·BH max＝12×4×(2＋22)＝4＋42，当且仅当BA ＝BC 时取等号．（解法2）如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝2R 2sin A sin B sin C ＝82sin A sin C ＝42⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫3π4－2C ＋22，当A ＝C ＝3π8时，(S △ABC )max ＝4＋4 2. 2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，则sin A ＋sin C 的最大值为________． 答案：3解析：因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B . 又sin B ≠0，故cos B ＝12.又B ∈(0，π)，故B ＝π3，即A ＋C ＝23π.设A ＝π3＋α，C ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜C ＜2π3，知－π3＜α＜π3.故sin A ＋sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin π3cos α≤3(当α＝0即A ＝C 时取得)． 3．已知△ABC 的内角A, B, C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin Bc ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为________． 答案：[2,4)解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin B c ，由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2sin C ＝absin A cos B ＋sin B cos A＝ab sin (A ＋B )＝ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，所以C ＝π3，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝16－3ab ≥16－3×⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，所以c ≥2.又三角形的两边之和大于第三边，所以2≤c ＜4.4．在△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________． 答案：6417解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ＝2bc －2bc cos A ，所以sin A＝4(1－cos A )．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417.5．在锐角三角形ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3，132 解析：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由a ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，得b ＋c ＝4.因为△ABC 为锐角三角形，所以有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2，a 2＋b 2>c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋(4－b )2>4，4＋(4－b )2>b 2，b 2＋4>(4－b )2，解得32＜b＜52，则bc ＝b (4－b )∈⎝⎛⎦⎤154，4.因为|AD →|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AB →＋AC →)2＝14⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc ＝14(28－4bc )＝7－bc ∈⎣⎡⎭⎫3，134，即AD ∈⎣⎡⎭⎫3，132. 6．在斜三角形ABC 中，1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，则tan C 的最大值是__________．答案：－3解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B.又1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，有tan A ＋tan B tan A tan B －2(tan A ＋tan B )1－tan A tan B＝0. 若tan A ＋tan B ＝0，则tan C ＝0，不符合题意， 所以tan A ＋tan B ≠0，因此1tan A tan B －21－tan A tan B＝0，解得tan A tan B ＝13，因为A ，B ，C 中至多有一个钝角，所以tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan A ＋tan B 1－13＝－32(tan A ＋tan B )≤－32×2tan A tan B ＝－ 3.当且仅当tan A ＝tan B ＝33时，上式取等号．7．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． (1) 若BA →·BC →＝32，b ＝3，求a ＋c 的值；(2) 求2sin A －sin C 的取值范围．解析：(1) 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3.因为BA →·BC →＝32，所以ac cos B ＝32，所以12ac ＝32，即ac ＝3.因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3， 所以(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23 (2) 2sin A －sin C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C －sin C ＝2⎝⎛⎭⎫32cos C ＋12sin C －sin C ＝3cos C . 因为0＜C ＜2π3，所以3cos C ∈⎝⎛⎭⎫－32，3.所以2sin A －sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，3.8．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1) 求角B 的大小； (2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．解析：(1) 因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4.所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，即AB →·CB →的最小值为－2.。
2020高考数学核心突破《专题三 三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)
专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值． 解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， 所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0， 可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称， 令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二 三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． 突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解． 解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增； 当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析 由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)． 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 解析 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析 对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析 由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4， 即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲 三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算． 解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解． 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦． 题型二 解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值． 解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1， 又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3， 所以a ＋c ＝5， 所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解． 解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4， 由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析 由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可． 又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22， 当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析 由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ， 所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析 如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ； 在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析 在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°， 有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006， 则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )． 从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理， 得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43， 所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1， 即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1， 而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1， 又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ， 即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲 平面向量题型一 向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。
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三角形和三角形面积。解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。
11．△ABC 的内角，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2 .
(1)求 cosB； (2)若 a＋c＝6，△ABC 的面积为 2，求 b. 【答案】(1)cosB＝ .(2)b＝2.
点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考
【答案】（1） ；（2）
.
中，利用正弦定理得：
所以：
由于：
，
则：
， ，
，
由于：
， ，则：
， ，
得到：
，
所以
的周长的范围是：
.
【点睛】
本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化
为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例 2】已知在 中， 所对的边分别为 ，
10．已知向量
，
，且函数
．
（ ）求函数 的最大值以及取最大值时 的取值集合．
（ ）在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，，
，求
的面积．
【答案】(1) 函数 的最大值为
，此时 的取值集合为
．(2)
（ ）∵
，
∴ ∵为
， 的内角，
∵，
由余弦定理得
即
，
又，
，故
，
得
，
∴
的面积
．
点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解
得
，即
.
，两边同时
又
，那么
，
即
，得到
，即有
.
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例:
类型一、利用正（余）弦定理解三角形
【例 1】已知 中，
，点 在 边上，且
．
（1）若
，求 ；
（2）求 的周长的取值范围．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
实战演练:
1．在 中，角 所对的边分别为 ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一 般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解 决三角形问题时，注意角的限制范围．
是解题地基本方法．当等式两边是关于边 或关于角
的齐次式时，可以利用正弦定理进行边
角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．
6．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
.
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积.
【答案】(1)
;(2) .
【详解】
，
，
由内角和定理得
.
在直角 中，
，
在 中，由正弦定理得：
即
，
即：
，整理可得：
，
解得
.
13． 的内角 的对边分别为 .已知
.
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ） 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ，求 .
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)
.
（Ⅱ）
，
由面积公式得 由余弦定理
，即
.
得
即
解得：
或
，又 ，所以
.
14．已知△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
（1）由
得
即
所以
即
由正弦定理得
因为
，所以
， ，
，
，因为
，所以
.
，
，所以
，得
.
7．
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，
.
（1）求 ；
（2）若 ，求
的面积和周长.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】分析：（1）把已知等式 也即得 ．
用正弦定理转化为角的关系，可求得
，从而可得
，
（2）把 及 代入已知可得 ，再由公式 得周长．
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状
【例 3】在
中，
，
.
（1）求证：
是直角三角形；
（2）若点 在 边上，且
，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
（1）若
，求 的面积；
，.
（2）若 的面积为 ，求 ， .
【答案】(1) ；(2)
，.
3．已知 中，角 所对的边分别为 且
（1）求角 的大小；
（2）若
，求 面积的最大值。
【答案】 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简 再求 面积的最大值.
（1）求 ；
（2）若 ，
，求△ 的面积．
. ．
【答案】（1） （2）
15．已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足
(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
或
，.
【解析】分析：（1）由
得
，即
平方化简求值即可；
（2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可.
，又
解析：解：(1)由
题求三角形面积，利用（1）的结论可选用公式 8．在 中，角 的对边分别是 ，且 （Ⅰ）求角 的大小；
，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积． .
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
.
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。
9．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 S 1 absin C . 2
基础知识回顾:
a
b
c
1. sin
A＝sin
B＝sin
C＝2R，其中
R
是三角形外接圆的半径．
A＋B
C
A＋B C
tan(A＋B)＝－tan C；sin 2 ＝cos2；cos 2 ＝sin2.
(6)在△ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60° .
(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列．
2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
变形：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 解三角形时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
bsinA＜a＜
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
a≥b
a＞b
a≤b
b
解的 个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用的面积公式
由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
【详解】 （1）
即得角 的大小.(2)先证明
（
2
）
【点睛】
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是
.
4．已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中
，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
.
（1）求 的大小；
（2）若
，求 的值.
【答案】（1） 或
（2）1
（2）∵
，∴
又由余弦定理得
，∴
当 时，则
，∴ ，∴ ，
当
时，则
，
∴
，
，此方程无解.
综上所述，当且仅当 时，可得 . 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的
关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦
公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
12．已知 中，
， 为 内一点，且
.
（Ⅰ）当
时，求 的长；
（Ⅱ）若
，令
，求 的值.