2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

（2）由（1）得 ,
因为
得
,
同理得
,
所以 的面积
. 【点睛】 本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力． 【例 6】在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， 成等差数列. （1）求 ；
（2）若
，
，求 的面积.
【答案】(1) ；(2) .
又
，∴
即
.
变形：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 解三角形时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
bsinA＜a＜
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
a≥b
a＞b
a≤b
b
解的 个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用的面积公式
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状
【例 3】在
中，
，
.
（1）求证：
是直角三角形；
（2）若点 在 边上，且
，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
实战演练:
1．在 中，角 所对的边分别为 ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一 般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解 决三角形问题时，注意角的限制范围．
是解题地基本方法．当等式两边是关于边 或关于角
的齐次式时，可以利用正弦定理进行边
角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．
6．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
.
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积.
【答案】(1)
;(2) .
【详解】
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例:
类型一、利用正（余）弦定理解三角形
【例 1】已知 中，
，点 在 边上，且
．
（1）若
，求 ；
（2）求 的周长的取值范围．
（2）设
，则
所以
在
中，
，
，
，
， ，
，
由正弦定理得，
，
所以 【点睛】 本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算 【例 4】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 且 （1）判断 的形状；
（2）若 ，求 的面积. 【答案】（1）见解析；（2）
（2）由（1）知 ， ，则 ，
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
（1）若
，求 的面积；
，.
（2）若 的面积为 ，求 ， .
【答案】(1) ；(2)
，.
3．已知 中，角 所对的边分别为 且
（1）求角 的大小；
（2）若
，求 面积的最大值。
【答案】 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简 再求 面积的最大值.
由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
（1）由
得
即
所以
即
由正弦定理得
因为
，所以
， ，
，
，因为
，所以
.
，
，所以
，得
.
7．
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，
.
（1）求 ；
（2）若 ，求
的面积和周长.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】分析：（1）把已知等式 也即得 ．
用正弦定理转化为角的关系，可求得
，从而可得
，
（2）把 及 代入已知可得 ，再由公式 得周长．
【答案】(1)
(2)
（Ⅱ）由 边上的中线长为 ，利用向量的运算和夹角公式求解 【详解】
，即可求解
（1）依题意， 故 所以 即
，
，所以
，
，
，
即
，因为
，所以
，故
，
可得
；
（2）记 边上的中线为 CD，故
所以
， ，
结合（1）可知
，解得
，
所以 的面积
.
【点睛】
本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题．
得
，即
.
，两边同时
又
，那么
，
即
，得到
，即有
.
而
，∴
，由
， ，得 .
方法、规律归纳:
1.三角形中常见的结论
(1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；
【详解】 （1）
即得角 的大小.(2)先证明
（
2
）
【点睛】
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是
.
4．已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中
，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
.
（1）求 的大小；
（2）若
，求 的值.
【答案】（1） 或
（2）1
（2）∵
，∴
又由余弦定理得
，∴
当 时，则
，∴ ，∴ ，
当
时，则
，
∴
，
，此方程无解.
综上所述，当且仅当 时，可得 . 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的
关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
.
（1）求角 ；
（2）当
的值最小时，求 的面积.
【答案】(1) ;(2) .
（2）
由余弦定理得
，
由题意可知 的内切圆半径为 1，
如图，设圆 为三角形 的内切圆， 为切点，
可得
，
则
，
于是
，
化简得
，
所以
或
，
又
，所以
，即
，
当且仅当 时，
的最小值为 6，
此时三角形 的面积
.
点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.
三角形和三角形面积。解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。
11．△ABC 的内角，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2 .
(1)求 cosB； (2)若 a＋c＝6，△ABC 的面积为 2，求 b. 【答案】(1)cosB＝ .(2)b＝2.
点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 S 1 absin C . 2
基础知识回顾:
a
b
c
1. sin
A＝sin
B＝sin
C＝2R，其中
R
是三角形外接圆的半径．
10．已知向量
，
，且函数
．
（ ）求函数 的最大值以及取最大值时 的取值集合．
（ ）在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，，
，求
的面积．
【答案】(1) 函数 的最大值为
，此时 的取值集合为
．(2)
（ ）∵
，
∴ ∵为
， 的内角，
∵，
由余弦定理得
即
，
又，
，故
，
得
，
∴
的面积
．
点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解
求得面积，由余弦定理可求得
，从而可得 ，
详解：（1）由正弦定理以及
得
，
又因为
，所以
，所以可得
所以
，且
，得
（2）将 和 代入
得
，所以
由余弦定理得
，即
，所以
的周长为
点睛：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查两角和的余弦公式和诱导公式，在解三角形中边角关
系常常用正弦定理进行相互转化，解题时可根据要求的结论确定选用什么公式，从而确定解题方法．如本
【答案】（1） ；（2）
.
中，利用正弦定理得：
所以：
由于：
，
则：
， ，
，
由于：
， ，则：
， ，
得到：
，
所以
的周长的范围是：
.
【点睛】
本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化
为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例 2】已知在 中， 所对的边分别为 ，
因为 ，所以由余弦定理，得
，
解得
，
所以
的面积
．
【点睛】
本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中
条件成立并且加以运用。
类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题
【例 5】在 中,角 , , 的对边分别为 .已知 ,
.
(1)求角 ；
(2)若
，求 的面积．
作为隐含的
【答案】(1) ；(2)2.
，
，
由内角和定理得
.
在直角 中，
，
在 中，由正弦定理得：
即
，
即：
，整理可得：
，
解得
.
13． 的内角 的对边分别为 .已知
.
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ） 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ，求 .
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)
.
（Ⅱ）
，
由面积公式得 由余弦定理
，即
.
得
即
解得：
或
，又 ，所以
.
14．已知△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
5．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足
.
（1）证明： 成等差数列；
（2）已知 的面积为 ， 【答案】（1）见解析；（2）
，求 的值.
【详解】
（1）由题设
，
即
由三角形内角和定理有 成等差数列
由正弦定理有
（2）由
得
，根据
，
由余弦定理 .
又由(1)得
，代入得
，
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化
题求三角形面积，利用（1）的结论可选用公式 8．在 中，角 的对边分别是 ，且 （Ⅰ）求角 的大小；
，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积． .
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
.
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。
9．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若
（1）求 ；
（2）若 ，
，求△ 的面积．
. ．
【答案】（1） （2）
15．已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足
百度文库
(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
或
，.
【解析】分析：（1）由
得
，即
平方化简求值即可；
（2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可.
，又
解析：解：(1)由
查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦
公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
12．已知 中，
， 为 内一点，且
.
（Ⅰ）当
时，求 的长；
（Ⅱ）若
，令
，求 的值.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) .
（Ⅱ）
A＋B
C
A＋B C
tan(A＋B)＝－tan C；sin 2 ＝cos2；cos 2 ＝sin2.
(6)在△ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60° .
(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列．
2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．