工程统计学---第三章数据的特征值分解教学内容

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特征值分解范文

特征值分解范文
矩阵A的特征向量构成一个线性无关的向量组，可以组成特征向量矩阵Q。

Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素等于特征值，除对角线外的元素均为0。

特征值和特征向量是成对出现的，特征值是一个数，特征向量是一个向量，它们之间存在一一对应的关系。

1.特征值具有代数重数与几何重数：设λ为A的一个特征值，则满足特征方程，A-λI，=0，其中I为单位矩阵。

特征值λ的代数重数是特征方程中λ出现的次数，几何重数为对应特征值的特征向量的个数。

2.特征向量的线性无关性：对于不同的特征值，其对应的特征向量是线性无关的，即特征向量矩阵Q是可逆的。

3.如果矩阵A是对称矩阵，则特征向量是正交的：对于对称矩阵A，其特征向量构成一个正交向量组，即满足Q^TQ=I，其中Q^T为Q的转置矩阵。

1.谱聚类：谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对数据的相似度矩阵进行特征值分解，得到特征向量矩阵，然后将数据映射到低维空间进行聚类。

2.主成分分析：主成分分析是一种常用的降维方法，通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量矩阵，然后选择最大的k个特征向量构成投影矩阵，将原始数据映射到低维空间。

3.线性变换：特征值分解提供了一种将线性变换表示为特征值和特征向量的形式的方法，可以应用于图像处理、信号处理等领域。

总结起来，特征值分解是一种将矩阵分解为特征值和特征向量的方法，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

通过特征值分解，可以揭示矩阵
的内在性质，并且可以应用于数据分析、降维、聚类等方面。

因此，特征
值分解是线性代数中一个非常重要的概念。

统计学-第三章-数据的图表展示

1.也称圆形图，是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形 2.主要用于表示样本或总体中各组成部分所占的比例，用于研究结构性问题 3.绘制圆形图时，样本或总体中各部分所占的百分比用圆内的各个扇形角度表示，这些扇形的中心角度，按各部分数据百分比乘以3600确定
分类数据的图示—饼图 (例题分析)
组距分组(步骤)
1.确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。在实际分组时，组数一般为5K 15 2.确定组距：组距(Class Width)是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即 3.组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数 4.统计出各组的频数并整理成频数分布表
汇源果汁 12%
露露 18%
可口可乐 30%
百事可乐 18%
不同品牌饮料的构成
旭日升冰茶 22%
1
分类数据的整理与图示
2
顺序数据的整理与图示
顺序数据的整理(可计算的统计量)
1.1. 累积频数(cumulative frequencies)：各类别频数的逐级累加 2.2. 累积频率(cumulative percentages)：各类别频率(百分比)的逐级累加
4.绘制时，各类别可以放在纵轴，称
可乐冰茶可乐果汁不同品牌饮料的频数分布
品牌
为条形图，也可以放在横轴，称为柱
形图(column chart)
分类数据的图示—对比条形图(side-by-side bar chart )
电脑品牌联想 IBM 康柏戴尔
一季度 256 285 247 563
二季度 468 397 328 688
分类数据整理—频数分布表(例题分析)

特征值分解与奇异值分解

特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。

即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。

奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。

记(A)为σi上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。

在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。

特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。

奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。

就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。

在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。

想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。

国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。

真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。

建设工程质量的统计分析和试验检测方法

第三章建设工程质量的统计分析和试验检测方法知识点一：工程质量统计及抽样检验的基本原理和方法（一）质量数据的特征值集中趋势的特征值：算术平均数、中位数（两数）离中趋势的特征值：极差、标准偏差、变异系数（两差一系数）（二）质量数据的分布特征1.偶然性原因随机发生的特点，是不可避免、难以测量和控制的，或者是在经济上不值得消除。

微小变化。

2.系统性原因当影响质量的4M1E因素发生了较大变化，如工人未遵守操作规程、机械设备发生故障或过度磨损、原材料质量规格有显著差异等。

（三）抽样检验及检验批分类：全数检验、抽样检验虽然只有采用全数检验，才有可能得到100%的合格品，但由于下列原因，还必须采用抽样检验：（1）破坏性检验，不能采取全数检验方式；（2）全数检验有时需要花很大成本，在经济上不一定合算；（3）检验需要时间，采取全数检验方式时间上不允许；（4）即使进行全数检验，也不一定能绝对保证100%的合格品。

【总结】破坏性、成本、时间、经验（四）抽样检验方法（五）抽样检验的分类及抽样方案1.一次抽样检验，N表示批量，n表示抽取个数，C表示合格判定数（允许的不合格品件数），d是不合格品数。

若d≤c判定该批合格；若d＞c判定该批不合格。

2.二次抽样检验d1≤C1判定为合格；d1＞C2判定为不合格；d1＋d2≤C2判定为合格；d1＋d2＞C2判定为不合格。

3.抽样检验风险第一类风险，弃真错误（对生产方或供货方不利，生产方或供货方风险）。

将合格批判为不合格批，概率为α。

第二类风险，存伪错误（对用户不利，称为用户风险）。

将不合格批判为合格批，概率为β。

两类风险一般控制范围是α＝1%～5%；β＝5%～10%。

主控项目，其α、β均不宜超过5%；一般项目，α不宜超过5%，β不宜超过10%。

4.抽样检验的分类知识点二：工程质量统计分析方法分层图：原始数据，根据不同目的和要求，按某一性质进行分组、整理的分析方法排列图：寻找影响质量主次因素的有效方法因果分析图：分析某个质量问题与其产生原因关系直方图：描述质量分布状态，分析判断质量状况控制图：判断生产过程是否处于稳定状态相关图：显示两种质量数据之间的关系（一）排列图法1.排列图法是利用排列图寻找影响质量主次因素的一种有效方法。

《统计特征值》课件

在市场调研中的应用
消费者行为分析
通过分析消费者的购买行为、偏好等数据，利用统计特征值来描述消费者的特征和行为模式。
市场细分
根据消费者的统计特征值进行市场细分，帮助企业更好地定位目标市场和制定营销策略。
市场趋势预测
利用时间序列数据的统计特征值，预测市场趋势和未来需求，为企业决策提供支持。
在科学研究中的应用
模式识别
利用特征值可以识别数据中的模式和规律，用于分类、聚类和异常检测等任务。
数据压缩
通过保留主要特征值，可以对数据进行压缩，减少存储空间和传输带宽。
在人工智能中的应用
机器学习
特征值可以用于机器学习算法中，作为特征选择和模型优化的依据。
深度学习
在深度学习中，特征值可以用于分析网络结构和优化模型参数。
03
统计特征值的应用
在数据分析中的应用
1 2
描述性统计
统计特征值可以用来描述数据的集中趋势和离散程度，例如均值、中位数、方差等。
数据清洗
在数据分析之前，可以使用统计特征值来识别和清理异常值、缺失值等数据质量问题。
3
数据可视化
统计特征值可以作为数据可视化的基础，例如直方图、箱线图等，帮助更好地理解数据分布和变化。
统计特征值的优缺点
优点
客观性
01
统计特征值基于数据本身，不受主观因素的影响，能够客观地
反映数据的内在规律和属性。
可解释性强
02
统计特征值通常与实际业务场景紧密相关，能够为决策提供有
意义的参考。
计算简便
03
统计特征值的计算方法相对简单，易于实现，能够快速得到结
果。
缺点
对数据质量敏感

数据的基本分析—— 数据特征值的计算

但由于每个样本在很多情况下不会一样大，但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（）平均一下，将这一平方和（SS）平均一下，以利于比较如上例的两批数据：如上例的两批数据： 23，25，26，31，45，47，48 其平均值为 35 离均差平方和为 SS＝754，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下， 125.667 23，32，34，34，37，37，48 其平均值为 35 离均差平方和为 SS＝332，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下， 55.333 显然第二个样本较第一个样本要集中一些
µ ,σ
2
样本：样本：
x ±统计量是s
x , s
2
标准差的计算公式总体标准差标准差：总体标准差：标准差：样本标准差样本标准差：
s =
σ =
∑ (x
i
−µ)
2
N
− x
=
∑
∑
xi
2
(∑ x ) −
i
2
N
N
xi
2
∑ ( xi
)
2
n −1
=
(∑ −
n −1
xi ) n
2
上面两个式子中，上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部分变来的，请同学们作为作业自行推导前面部分变来的，请同学们作为作业自行推导作业比较两个公式的不同，我们会发现：比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用来得到，总体含量 N 来得到，而样本标准差则用 n-1 来得到
n-1 在这里称为自由度（degree of freedom df）在这里称为自由度自由度（）自由度的含义和说明的样本来说，对于样本容量为 n 的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，个离均差，一个离均差，即 n个离均差，由于受 ∑( x − x ) = 0 的个离均差限制，个离均差是自由的，限制，只有 n-1个离均差是自由的，有一个离均差个离均差是自由的失去了自由失去了自由在统计学中，在统计学中，若某个统计量的计算受到 k个条件的限个条件的限制，则其自由度就为 n-k，在估计样本方差时受到，了平均数的限制，了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是 n-1；；估计平均数时没有限制条件，估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是 n

第3章特征工程

X*
max( x)
➢ 其中，
min( x)
为样本数据的最大值，
x min( x)
max( x) min( x)
max( x) min( x)
为样本数据的最小值，
为极差。离差标准化保
留了原始数据值之间的联系，是消除量纲和数据取值范围影响最简单的方法，但受离群点影响较大，适用
于分布较为均匀的数据。
π
0，否则小于0的数据会被映射到[-1,0]区间。
8
独热编码
➢ 在机器学习中，经常会遇到类型数据，如性别分为男、女，手机运营商分为移动、联通和电信，这种情况下，
通常会选择将其转化为数值代入模型，如0、1和–1、0、1，这个时候往往默认为连续型数值进行处理，然而这
样会影响模型的效果。
➢ 独热编码便即One-Hot编码，又称一位有效编码，是处理类型数据较好的方法，主要是使用N位状态寄存器来
只对线性关系敏感。如果关系是非线性的，即便两个变量具有一一对应的关系，计算得到皮尔逊相关性
仍可能会接近0
卡方检验卡方检验法检验类别型因变量与类别型自变量之间的相关性，相关性越强，则卡方检验的取值越大
互信息
互信息法评价的是类别型变量与类别型变量之间的独立性。若两个变量完全独立，则互信息值为0；两
个变量间越不互相独立，即相关性越强，则互信息值越大
4
特征缩放
2. 标准差标准化
➢ 标准差标准化也叫零均值标准化或z分数标准化，是当前使用最广泛的数据标准化方法。经过该方法处理
的数据均值为0，标准差为1，转化公式如下。
x- x
X =
δ
*
➢ 其中，为原始数据的均值，为原始数据的标准差。标准差标准化适用于数据的最大值和最小值未知的情

2024监理工程师《质量控制》第3章第一节工程质量统计分析全考点

2024监理工程师《质量控制》第3章第一节工程质量统计分析全考点一.工程质量统计及抽样检验的基本原理和方法(-)总体、样本及统计推断工作过程总体、个体；样本、样品(二)质量数据的特征值样本数据特征值是由样本数据计算的描述样本质量数据波动规律的指标。

常用的有(1)描述数据分布集中趋势的：算术平均数、中位数;(2)描述数据分布离中趋势的：极差、标准偏差、变异系数等。

(1)算术平均数算术平均数又称均值，是消除了个体之间个别偶然的差异,显示出所有个体共性和数据一般水平的统计指标，它由所有数据计算得到，是数据的分布中心,对数据的代表性好。

(2)样本中位数样本中位数是将样本数据按数值大小有序排列后，位置居中的数值。

当样本数n为奇数时,数列居中的一位数即为中位数；当样本数n 为偶数时，取居中两分数的平均值作为中位数。

【例题∙2023年真题】工程质量统计分析中,用来描述样本数据集中趋势的特征值的是（）。

A.算术平均数和标准偏差B.中位数和变异系数C.算术平均数和中位数D.中位数和标准偏差答案：C解析：描述数据分布集中趋势的有：算术平均数、中位数；描述数据分布离中趋势的有：极差、标准偏差、变异系数等。

【例题∙2017年真题】下列质量数据特征值中,用来描述数据集中趋势的是（）。

答案：CA.极差B.标准偏差C.均值D.变异系数【例题∙2019年真题】关于样本中位数的说法,正确的是（）。

答案：AA.样本数为偶数时，中位数是数值大小排序后居中两数的平均值B,中位数反映了样本数据的分散状况C.中位数反映了中间数据的分布D.样本中位数是样本极差值的平均值2.描述数据离散趋势的特征值【例题∙2015年真题】某组混凝土试块的抗压强度见下表,表中试块强度的极差为（）MPa。

A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1序号123456强度(MPa)39.640.139.839.8040.039.8答案：A解析：极差是数据中最大值与最小值之差，所以等于40.1-39.6=0.5MPa。

数据的特征量及统计分析精品课件

❖ 加权平均数计算公式1：
X w
W1
X
1 W1
W2 X W2
2 WN WN
X
N
WX W
WN：各观察值的权重 XN：具有不同权重的观察值
例3-2：学生最终总评成绩为期中考试成绩占30% ，期末考试成绩占70%。某学生期中考试成绩76 分，期末考试成绩82分，计算该学生最终总评成绩是多少？
解：利用加权算数平均数计算法计算得：
x 8 2 5 0 8 3 5 2 8 4 5 4 8 4 1 8 8.5 2 (分 3 ) 5 0 5 2 5 4 48
2.几何平均数
——N个数据连乘积的N次方根，符号为 X g 或 GO
NN
XgNX1X2 XN Xi i1
❖ 当数据较多时（n≥3），先计算对数平均数，再求GO
2、四分位距（ QD）——内距或四分位差
（2）利用頻数分布表法计算中位数的步骤：
①计算N/2，即数据总頻数的1/2； ②依据N/2确定中位数所在组； ③查找中位数所在组的頻数、下限、上限和组距； ④计算小于中位数所在组下限的頻数总和或大于中位数所在组上限的頻数总和； ⑤将总頻数、中位数所在组的頻数、下限或上限、组距、小于中位数所在组下限的頻数总和或大于中位数所在组上限的頻数总和代入中位数计算公式。
解：
lG g l0 g .4 l 0 0 g .5 l 2 0 g .6 l 5 0 g .7 l 2 0 g .7 l 8 0 g .8 6 0 .197 6
G 1 0 0 .19 0 7 .653 6 4 .4 3 6 % 6
3.调和平均数
——一组数据中每个数据的倒数的算数平均数的倒数集中趋势或中心位置的一种重要度量。
中位数不受极端数据的影响，所以常被用作偏斜数据的平均值。

特徵值分解

特徵值分解
特征值分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition），是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。

需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

设$An×n$有$n$个线性无关的特征向量$x_1,\cdots,x_n$，对应特征值分别为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，则有：
$A=(x_1\cdots x_n)(\lambda_1\cdots \lambda_n)(x_1\cdots x_n)^{-1}$
其中$A=(x_1\cdots x_n)$是由特征向量$x_1,\cdots,x_n$构成的矩阵，$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$是特征值组成的对角矩阵，且这些特征值是由大到小排列的。

这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向。

即使固定$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，$A=(x_1\cdots x_n)$也不唯一。

一般来说，特征向量会被正交单位化（但这不是必须的）。

未被正交单位化的特征向量组也可以作为$A=(x_1\cdots x_n)$的列向量。

这一事实可以这样理解：$A=(x_1\cdots x_n)$中向量的长度都被抵消了。

特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只适合于方阵，对于非方阵，它不适合，这就需要用到奇异值分解。

统计学第三章数据的特征值

第三章数据分布特征的描述

第一节第二节第三节第四节
集中趋势——数值平均数集中趋势——位置平均数离中趋势的测度偏度与峰度的测度
2019/2/6
1
本章重点与难点

重点: 了解和掌握算术平均数、众数、中位数、方差、标准差、标准分数的含义及其计算方法；正确使用离散系数比较不同均值的代表性。难点: 是偏度和峰度的含义及其计算方法。
样的，但在社会经济应用领域，调和平均数实际上
只是算术平均数的另一种表现形式，二者本质上是一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。

2.计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已知比率及其基本计算式的分子资料，则采用加权调和平均法。
2019/2/6 20
2019/2/6 37
组距分组数据，众数的计算步骤

1、先找到众数所在的组；

2、按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所占的比重来推算众数值。如果众数组前一组的次数大于后一组的次数，则众数值小于其所在组的组中值；反之，众数值则大于其所在组的组中值；若众数组前后相邻组的次数相等，则众数值等于其所在组的组中值。

【例3.11】某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场2005 年10月男皮鞋的销售情况，得到资料如表 3.10所示。
2019/2/6 32
众数的计算-- 例题分析
要求：试根据上表资料计算男皮鞋销售量的众数。解：销售量最多的是规格为25.5厘米的鞋号，销售量 320双，占32%，故众数为25.5公分。
2019/2/6 14
算术平均数的性质 p75-76

工程统计学第三章数据的特征值分解

2018/10/23
21
一、算术平均数

（三）算术平均数的性质 1．各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即。
2018/10/23
22
一、算术平均数
2018/10/23
23
二、调和平均数

调和平均数也称“倒数平均数”，它是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，以表示。根据掌握的 H 资料不同，调和平均数也有简单调和平均数和加权平均数两种形式。其计算公式分别为
第三章数据分布特征的描述

第一节第二节第三节第四节第五节
分布集中趋势的测度集中趋势——位置平均数离中趋势的测度偏度与峰度的测度总量指标与相对指标

本章小结
1
2018/10/23
本章重点与难点

重点是了解和掌握算术平均数、众数、中位数、方差、标准差的含义及其计算方法；正确使用离散系数比较不同均值的代表性。难点是偏度和峰度的含义及其计算方法。
提高率形式时降低率形式时
2018/10/23
计划完成程度相对指标
100 实际提高率 100 计划提高率
100 实际提高率 100 计划提高率
9
计划完成程度相对指标

例题：某工业企业1998年工人劳动生产率计划规定提高5%，单位产品成本计划降低3%。实际上，工人劳动生产率提高10%，单位产品成本降低4%。则
2018/10/23
15
一、算术平均数

如果各组的频数是以频率（比重、比例等百分数）表示，（3.2）式表示如下
2018/10/23
16
一、算术平均数

第三章数据的特征值(新)ppt课件

2018/10/28
版权所有 BY 统计学课程组
21
几何平均数的计算公式
用途：适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均发展速度、平均增长率、平均比率对于未分组的资料，几何平均数的计算公式为

2018/10/28
版权所有 BY 统计学课程组
22
补充：发展速度、增长速度概念及关系
时 1999 间 2000 ： 2001 2002 t n 产量： y y y y y 0 1 2 3 n
中位数
峰态
第一节集中趋势——数值平均数 p75
数值型数据的平均数
2018/10/28

一、算术平均数二、调和平均数三、几何平均数
版权所有 BY 统计学课程组
7
集中趋势
(central tendency)
1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2. 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 4. 注意：低层次数据的测度方法也适用于高层次的数
2018/10/28 版权所有 BY 统计学课程组 20
三、几何平均数 (geometric mean)p78

几何平均数也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根。几何平均法是计算平均比率或平均发展速度最适用的一种方法。如果分布数列中各变量值呈几何级数变化或频率分布极不对称，也常采用几何平均法来计算平均数。根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分。
环比发展速度定基发展速度 y1/y0 y1/y0 y2/y1 y3/y2 y2/y0 y3/y0 yn/yn-1 yn/y0

监理工程师辅导资料：质量数据的特征值

样本数据特征值是由样本数据计算的描述样本质量数据波动规律的指标。

统计推断就是根据这些样本数据特征值来分析、判断总体的质量状况。

常⽤的有描述数据分布集中趋势的算术平均数、中位数和描述数据分布离中趋势的极差、标准偏差、变异系数等。

(⼀)描述数据集中趋势的特征值 1.算术平均数算术平均数⼜称均值，是消除了个体之间个别偶然的差异，显⽰出所有个体共性和数据⼀般⽔平的统计指标，它由所有数据计算得到，是数据的分布中⼼，对数据的代表性好。

其计算公式为： (1) 总体算术平均数υ υ=1/N(X1+X2+…+XN)=1/NΣXi 式中 N——总体中个体数; Xi——总体中第i个的个体质量特性值。

(2)样本算术平均数 X=1/n(x1+x2+ ··· +xn)=1/n∑xi n------样本容量; xi--------样本中第i个样品的质量特性值。

2.样本中位数。

样本中位数是将样本数据按数值⼤⼩有序排列后，位置居中的数值。

当样本数n为奇数时，数列居中的⼀位数即为中位数;当样本数n为偶数时，取居中两个数的平均值作为中位数。

例：现有⼀组数据(已经排序)：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，7，7，8共有13个数据，处于中间位置的是第7个数据，样本中位数即为：样本中位数=x(7)=5 若该组数据为偶数列：2，3，4，4，5，5，5，6，6，7，7，8，共12个数据，则样本中位数=x(6)+x(7)/2=(5+5)/2=5 (⼆) 描述数据离中趋势的特征值 1.极差R 极差是数据中值与最⼩值之差，是⽤数据变动的幅度来反映其分散状况的特征值。

极差计算简单、使⽤⽅便，但粗略，数值仅受两个极端值的影响，损失的质量信息多，不能反映中间数据的分布和波动规律，仅适⽤于⼩样本。

其计算公式为： R=Xmax—Xmin。