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2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理科数学试题及答案
2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。
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6. 随机变量 的概率分布率由下图给出：
则随机变量 的均值是
7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，
S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前
1 个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入
。
8.对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= loga (x 3) 的反函数的图像都经过点
(B)(2,1) (C)(-2,1)
(
1 2
)
x
1
x3
的解，则
（B）必要不充分条件.
（D）既不充分也不必要条件.
(t
R)
，则
x0 属于区间
第2页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分一、选择题（共6小题；共30分）1.设置？？1.2.∈??，那么“1和2都是实数”是“1和2都是实数”的结果吗？？a.充分非必要条件c.充要条件b、必要条件和非充分条件D.既不充分也不必要条件2.设??1,??2∈??，则“??1，??2中至少有一个数是虚数”是“??12是虚数”的??a、充分和不必要条件C.必要和充分条件b.必要非充分条件d.既非充分又非必要条件3.\? 2.≤?? ≤ 2\是\实系数一元二次方程？？2++ 1=0，具有虚拟根\？？a.必要不充分条件c.充要条件b、充分和不必要的条件D.既不充分也不必要的条件4.已知互异的复数??，??满足≠0，集合??,??=??2,??2，则??+??=??a、二,b.1c、 0d.?15.如果1+2I约为？？实系数方程？？2++??= 一个0的复数根，那么？？a.??=2，??=3c.??=?2，??=?1??的值分别是??b、？？=2，??=? 1d.？？=？2，??= 三6.已知??,??∈??，且2+??i，??+3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么??，a、？？=？3,??= 二b.??=3,??=?2d.??=3,??=2c、？？=？3,??=? 二二、填空题（共16小题；共80分）7.计算：1+I=（I为虚单位）3?i8.如果复数？？满意吗2+??+ 1I（I是一个虚数单位）是一个纯虚数，其中？？∈??，那么o？？o=。
9.若??是实系数方程??2+2??+??=0的一个虚根，且o??o=2，则??=．10.设??=11.设??=3+2ii3+2ii，其中i为虚数单位，则??的虚部等于．，其中i为虚数单位，则??的虚部等于．12.如果复数？？满足3的要求？+=1+I，其中I是一个虚单位，那么？=13.如果复数=1+2I，其中I是虚单位，那么“+？？”=14.设??∈??，??2+2+??2?1i是纯虚数，其中i是虚数单位，则??=．15.已知互异的复数??,??满足≠0，集合??,??=??2,??2，则??+??=．16.若复数??满足??1+i=1?i（i是虚数单位），则其共轭复数??=．17.若复数??同时满足z=2i，z=i??（i为虚数单位），则??=．1第1页，共5页18.若复数??=1?2i，i为虚数单位，则+??=．19.若复数??满足??(1+i)=2，则??的实部是．20.如果复数？？满足方程？？i=i？1（我是一个虚构的单位），那么？=21.如果复数=1+2I，其中I是一个虚单位，那么“+？？”=22.对于非零实数??,??，以下四个命题都成立．①??+ ≠0；②??+?? 2=?? 2+2+?? 2.11.③ 如果o？？o=o？？o、然后=±④ 如果2=，然后呢？=所以，对于非零复数？？，？？，所有仍然有效的命题序列号都是三、解答题（共6小题；共78分）23.已知复数？？1.满足以下要求：？？1.21+i=1？I（I是一个想象的单位），复数？？2的虚部是2，并且？？1.2是真的数，求??2．24.已知复数？？1.满足以下要求：？？1.21+i=1？I（I是一个想象的单位），复数？？2的虚部是2，？？1.2是一个实数，求??2．25.证明在复范围内，方程o？？o2+1？我1+i=2o27.已知复数？=？+？？我∈??+ I是虚数，单位是等式？？2.4??+ 5=0的根。
十年上海数学高考真题专题汇编-解析几何
x2
+
y2
=
1 2
内的点都不是“ C1
− C2
型点”．
【2014 上海理 3 文 4】若抛物线 y2 = 2 px 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1 的右焦点重合，则该抛 95
物线的准线方程为___________.
【2014 上海理 22】在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l : ax + by + c = 0 和点 P1(x1, y1 ) ， P2 (x2 , y2 )记 = (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c). 若 0 ，则称点 P1 ， P2 被直线 l 分隔.若
（1）若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标；
（2）若 m = 3 ，求 PA 的最大值与最小值；
（3）若 PA 的最小值为 MA ，求实数 m 的取值范围.
【2011 年上海理 23】已知平面上的线段 l 及点 P ，任取 l 上一点 Q ，线段 PQ 长度的最小值 称为点 P 到线段 l 的距离，记作 d (P,l) （1）求点 P(1,1) 到线段 l : x − y − 3 = 0 (3 x 5) 的距离 d (P,l) ； （2）设 l 是长为 2 的线段，求点的集合 D = {P d (P,l) 1} 所表示的图形面积； （ 3 ） 写 出 到 两 条 线 段 l1,l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 = {P d (P,l1) = d (P,l2 )} ， 其 中 l1 = AB,l2 = CD ， A, B,C, D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2 分，②6 分，③8 分；若选择了多于一 种情形，则按照序号较小的解答计分. ① A(1,3), B(1, 0),C(−1,3), D(−1, 0) . ② A(1,3), B(1, 0),C(−1,3), D(−1, −2) . ③ A(0,1), B(0, 0),C(0, 0), D(2, 0)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式042>+-x x的解集为_______________； 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、 行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
2010年上海高考真题(含答案)数学理
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。
8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。
10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。
2010年高考试题数学(上海卷精校版含答案)
2010年高考数学（文科）上海试题2010-6-7班级_____，学号_____，姓名_____________ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．已知集合A ={1,3,m }，B ={3,4}，A ⋃B ={1,2,3,4}，则m =_______________． 2．不等式204x x ->+的解集是_______________．3．行列式cossin 66sincos66ππππ的值是_______________．4．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．6．已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A =8，则该四棱锥的体积是_______________．7．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 8．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等， 则点P 的轨迹方程为_________．9．函数f (x )=log 3(x +3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____． 10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）． 11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．12．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )． 当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________． 13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =- 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12O P a e be =+(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是_______________．14．将直线l 1:x +y -1=0、l 2:nx +y -n =0、l 3:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z =x +y 的最大值是 （ ）A ．1B ．32C ．2D ．316．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 17．若x 0是方程lg x +x =2的解，则x 0属于区间（ ） A ．(0,1)B ．(1,1.25)C ．(1.25,1.75)D ．(1.75,2) 18．若∆ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则∆ABC（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n-5a n-85,n∈N*．(1) 证明：{a n-1}是等比数列；(2) 求数列{S n}的通项公式，并求出使得S n+1>S n成立的最小正整数n．22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m．(1) 若x2-1比3接近0，求x的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2(3) 已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1+sin x和1-sin x中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为Γ的三个顶点．(1) 若点M满足1()2AM AQ AB=+，求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若2122bk ka⋅=-，证明：E为CD的中点；(3) 设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足12PP PP PQ+=？令a=10，b=5，点P的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P1、P2满足12PP PP PQ+=，求点P1、P2的坐标．2010年高考数学（理科）上海试题2010-6-7班级_____，学号_____，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式204x x ->+的解集是_______________．2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．4．行列式cossin 36sincos36ππππ的值是_______________．5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：则该随机变量ξ的均值是_______________．7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________．9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率()P AB = ______________(结果用最简分数表示)． 10．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为11．将直线l 1：nx +y -n =0、l 2：x +ny -n =0(n ∈N *)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD相交于点O ，剪去∆AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积是_______________．13．如图所示，直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于1E 、2E 两点，记11O E e =，22O E e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(,)O P a e be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是_______________． 14．从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1) ,U ∅都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇． 那么，共有___________种不同的选择．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．直线l 的参数方程是12()2x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(-2,1)D ．(1,-2) 17．若x 0是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则x 0属于区间（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将（ ）A ．不能作出满足要求的三角形B ．作出一个锐角三角形 B三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *． (1) 证明：{a n -1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．20．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．若实数x 、y 、m 满足|x -m |﹥|y -m |，则称x 比y 远离m ．(1) 若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2； (3) 已知函数f (x )的定义域{|,,}24k D x x k x ππ=≠+∈∈Z R ．任取x ∈D ，f (x )等于sin x 和cos x中远离0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，点P 的坐标为(-a ,b )．(1) 若直角坐标平面上的点M 、A (0,-b )、B (a ,0)满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q (a cos θ ,b sin θ )(0<θ <π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P 1、P 2使12PP PP PQ+= ，写出求作点P 1、P 2的步骤，并求出使P 1、P 2存在的θ 的取值范围．A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8B 1B 2B 3B 4B 5B 6 B 7B 8文科参考答案一、填空题 1．2；2．(-4,2)； 3．0.5；4．6-2i ； 5．20； 6．96； 7．3；8．y 2=8x ； 9．(0,-2)； 10．351； 11．S ←S +a ； 12．45；13．4ab =1； 14．12．二、选择题 15．C ；16．A ； 17．C ； 18．C ． 三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图略．21．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15．22．(1) x ∈(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有222a b ab +>332a b +>因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2；(3) 1sin ,(2,2)()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ，f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0， 函数f (x )在区间[,)2k k πππ-单调递增，在区间(,]2k k πππ+单调递减，k ∈Z ．23．(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ+=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122bk a k =-，从而得直线l的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212bk a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．理科参考答案一、填空题1．(-4,2)； 2．6-2i ； 3．y 2=8x ； 4．0；5．3；6．8.2； 7．S ←S +a ；8．(0,-2)； 9．726；10．45； 11．1；12．313．4ab =1； 14．36． 二、选择题 15．A ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增；同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值． 21．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (2)当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =- ，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3||||A B A B A B A B θ⋅==⋅，所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．22．(1) (,)x ∈-∞+∞ ；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有332a b +>222a b ab +>因为33222|2|2()()0a b a b ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a b a b ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2；(3)3sin ,(,)44()x x k k f x ππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨，性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ，4︒函数f (x )的值域为2．23．(1) (,)22abM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则21210222121022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-，2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ+=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )bb k a k a θθ-=-=+，4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++，5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标． 欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()44πθ-<又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以arcsin444ππθ-<-<，故θ 的取值范围是(0,arcsin44π+．。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解3函数部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解3函数部分一、选择题（共17小题；共85分）1. 若 x 0 是方程 lgx +x =2 的解，则 x 0 属于区间 ( ) A. (0,1)B. (1,1.25)C. (1.25,1.75)D. (1.75,2)2. 函数 f (x )=x 2−1(x ≥1) 的反函数为 f −1(x ) ，则 f −1(2) 的值是 ( )A. √3B. −√3C. 1+√2D. 1−√23. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞) 上单调递减的是 ( )A. y =x−2B. y =x−1C. y =x 2D. y =x 134. 若函数 f (x )=12x +1，则该函数在 (−∞,+∞) 上是 ( )A. 单调递减无最小值B. 单调递减有最小值C. 单调递增无最大值D. 单调递增有最大值5. 若函数 y =f (x ) 的图象与函数 y =lg (x +1) 的图象关于直线 x −y =0 对称，则 f (x )= ( )A. 10x −1B. 1−10xC. 1−10−xD. 10−x −16. 设 f (x )={(x −a )2,x ≤0,x +1x +a,x >0, 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为 ( ) A. [−1,2]B. [−1,0]C. [1,2]D. [0,2]7. 若 x 0 是方程 (12)x=x 13的解，则 x 0 属于区间 ( )A. (23,1)B. (12,23) C. (0,13) D. (13,12)8. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,+∞) 上单调递减的函数是 ( )A. y =ln1∣x∣B. y =x 3C. y =2∣x∣D. y =cosx9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞) 上单调递减的为 ( )A. y =ln 1∣x∣ B. y =x 3 C. y =2∣x∣D. y =cosx10. 若函数 y =f (x ) 的图象可由函数 y =lg (x +1) 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 π2 得到，则f (x )= ( )A. 10−x −1B. 10x −1C. 1−10−xD. 1−10x11. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题：（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤M ，则 M 是函数 f (x ) 的最大值； （2）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，且 x ≠x 0 ，有 f (x )<f (x 0) ，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值；（3）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤f (x 0) ，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值．这些命题中，真命题的个数是 ( ) A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个12. 设 a >0 ， a ≠1 ，函数 y =log a x 的反函数和 y =log a 1x 的反函数的图象关于 ( )A. x 轴对称B. y 轴对称C. y =x 对称D. 原点对称13. 设 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均为增函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 中至少有一个为增函数；②若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题14. 已知无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得 2S n <S (n ∈N ∗) 恒成立的是 ( ) A. a 1>0，0.6<q <0.7 B. a 1<0，−0.7<q <−0.6 C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.715. 记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中 a 1，a 2，a 3 是正实数．当 a 1，a 2，a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 ( )A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根16. 过圆 C:(x −1)2+(y −1)2=1 的圆心，作直线分别交 x 、 y 正半轴于点 A 、 B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 S Ⅰ+S Ⅳ=S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线 AB 有 ( )A. 0 条B. 1 条C. 2 条D. 3 条17. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =0二、填空题（共49小题；共245分） 18. 方程 4x +2x −2=0 的解是 ．19. 若函数 f (x )=2x +1 的反函数为 f −1(x ) ，则 f −1(−2)= ． 20. 方程 lgx 2−lg (x +2)=0 的解集是 ． 21. 函数 f (x )=1x−2 的反函数为 f −1(x )= ．22. 函数 f (x )=x 3+1 的反函数 f −1(x )= ．23. 函数 f(x)=1x−1的反函数 f −1(x)= ．24. 方程 lgx +lg(x +3)=1 的解 x = ．25. 若函数 f (x ) 的反函数为 f −1(x )=x 2(x >0)，则 f (4)= ．26. 若函数 f (x )=a x (a >0,且a ≠1) 的反函数的图像过点 (2,−1) ，则 a = ． 27. 函数 f (x )=log 4(x +1) 的反函数 f −1(x )= ． 28. 若函数 f (x ) 的反函数为 f −1(x )=log 2x ，则 f (x )= ．29. 若函数 f (x )=(x +a )(bx +2a )（常数 a,b ∈R ）是偶函数，且它的值域为 (−∞,4]，则该函数的解析式 f (x )= ．30. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，若当 x ∈(0,+∞) 时，f (x )=lgx ，则满足 f (x )>0 的 x的取值范围是 ． 31. 计算 (254)32= ____.32. 已知 y =f (x ) 是奇函数，若 g (x )=f (x )+2 且 g (1)=1，则 g (−1)= ．33. 已知函数 f (x )=e ∣x−a∣（a 为常数）．若 f (x ) 在区间 [1,+∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是 ．34. 已知函数 f (x )=log 3(4x +2)，则方程 f −1(x )=4 的解 x = ．35. 设奇函数 f (x ) 的定义域为 [−5,5]．若当 x ∈[0,5] 时，f (x ) 的图象如图，则不等式 f (x )<0 的解是 ．36. 设 f (x )={x,x ∈(−∞,a ),x 2,x ∈[a,+∞), 若 f (2)=4 ，则 a 的取值范围为 ．37. 函数 f (x )=x 2+1(x ≤0) 的反函数 f −1(x )= ． 38. 设 f −1(x ) 为 f (x )=x2x+1的反函数，则 f −1(2)= ．39. 设常数 a ∈R ，函数 f (x )=∣x −1∣+∣x 2−a ∣ ，若 f (2)=1 ，则 f (1)= ． 40. 若 f (x )=x 23−x −12，则满足 f (x )<0 的 x 取值范围是 ． 41. 方程 3x−1=19 的解是 ．42. 对于不等于 1 的正数 a ，函数 f (x )=log a (x +3) 的反函数的图象都经过点 P ，则点 P 的坐标为 ．43. 若函数 f (x )=a∣x −b∣+2 在 [0,+∞) 上为增函数，则实数 a 、 b 的取值范围是 ． 44. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数． 若当 x ≥0 时， f (x )=log 3(1+x ) ，则 f (−2)= ． 45. 函数 f (x )=−x 2 (x ∈(−∞,−2]) 的反函数 f −1(x )= ．46. 方程x3+lgx=18的根 \（x\thickapprox\）．（结果精确到0.1）47. 某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．48. 已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1．若g(x)=f(x)+2，则g(−1)=．49. 已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x的图象上，则f(x)的反函数f−1(x)=．50. 设a为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+a2x+7，若f(x)≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．51. 方程93x−1+1=3x的实数解为．52. 对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y∣ y=g(x),x∈I}，已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f−1(x)，且f−1([0,1))=[1,2),f−1((2,4])=[0,1)，若方程f(x)−x=0有解x0，则x0=．53. 方程33x−1+13=3x−1的实数解为．54. 设f−1(x)为f(x)=2x−2+x2，x∈[0,2]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为．55. 设f(x)={−x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为．56. 函数f(x)=sinx+2∣sinx∣,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是．57. 甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为元．（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）58. 设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为．59. 方程log3(x2−10)=1+log3x的解是．60. 已知函数f(x)=log a(−x2+log2a x)的定义域是(0,12)，则实数a的取值范围是．61. 方程 x 2+√2x −1=0 的解可视为函数 y =x +√2 的图象与函数 y =1x的图象交点的横坐标，若 x 4+ax −4=0 的各个实根 x 1，x 2，⋯，x k (k ≤4) 所对应的点 (x i ,4x i) (i =1,2,⋯,k ) 均在直线 y =x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 ．62. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．63. 某地街道呈现东 − 西、南 − 北向的网格状，相邻街距都为 1 ．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2) ， (3,1) ， (3,4) ， (−2,3) ， (4,5) ， (6,6) 为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．64. 设 g (x ) 是定义在 R 上且以 1 为周期的函数，若 f (x )=x +g (x ) 在 [3,4] 上的值域为 [−2,5]，则f (x ) 在区间 [−10,10] 上的值域为 ．65. 将函数 y =√4+6x −x 2−2(x ∈[0,6]) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ(0≤θ≤α)，得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 tanα 的最大值为 ．66. 已知函数 f (x )=2x +log 2x ，数列 {a n } 的通项公式是 a n =0.1n (n ∈N ∗)，当 ∣f (a n )−2005∣取得最小值时，n = ．三、解答题（共25小题；共325分） 67. 已知函数 f (x )=2x −12∣x∣，（1）若 f (x )=2，求 x 的值； （2）若 2t f (2t )+mf (t )≥0 对于 t ∈[1,2] 恒成立，求实数 m 的取值范围．68. 有时可用函数 f (x )={0.1+15ln aa−x,x ≤6x−4.4x−4,x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x ∈N ∗)，f (x ) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关． （1）证明：当 x ≥7 时，掌握程度的增加量 f (x +1)−f (x ) 总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．69. 已知函数 f (x )=ax 2+1x ，其中 a 为常数．（1）根据 a 的不同取值，判断函数 f (x ) 的奇偶性，并说明理由； （2）若 a ∈(1,3)，判断函数 f (x ) 在 [1,2] 上的单调性，并说明理由．70. 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB =5 千米，AC =3 千米，BC =4 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，过 t 小时，他们之间的距离为 f (t )（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米/小时．乙到达 B 地后在原地等待．设 t =t 1 时，乙到达 C 地．（1）求t1与f(t1)的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3 ?说明理由．71. 已知R为全集，A={x∣ log12(3−x)≥−2}，B={x∣ 5x+2≥1}，求∁R A∩B．72. 甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润．73. 设常数a≥0，函数f(x)=2x+a2x−a．（1）若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由．74. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+1x −3x2)元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润．75. 已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0．（1）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象．对任意的a∈R，求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值．76. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）?77. 已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a，b满足a⋅b≠0．（1）若a⋅b>0，判断函数f(x)的单调性；（2）若a⋅b<0，求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围．78. 已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a,b满足ab≠0．（1）若ab>0，判断函数f(x)的单调性；（2）若ab<0，求f(x+1)>f(x)时x的取值范围．79. 已知椭圆C:x2m2+y2=1（常数m>1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)．（1）若M与A重合，求椭圆C的焦点坐标；（2）若m=3，求∣PA∣的最大值与最小值；（3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求m的取值范围．80. 已知函数f(x)=x2+ax，x≠0，常数a∈R．（1）当a=2时，解不等式f(x)−f(x−1)>2x−1；（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．81. 设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n+S n=4096．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{log2a n}的前n项和为T n，对数列{T n}，从第几项起T n<−509 ?82. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．（1）当a=5时，解不等式f(x)>0．（2）若关于x的方程f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围．（3）设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．83. 已知函数f(x)=lg(x+1)．（1）若0<f(1−2x)−f(x)<1，求x的取值范围；（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)=f(x)，求函数y= g(x)(x∈[1,2])的反函数．84. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．（1）当a=1时，解不等式f(x)>1；（2）若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．85. 已知数列{a n}与{b n}满足a n+1−a n=2(b n+1−b n)，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N∗），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ<0，b n=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N∗，a n≠0，且a ma n ∈(16,6)．86. 已知数列{a n}与{b n}满足a n+1−a n=2(b n+1−b n)，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n(n∈N∗)．求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ<0，b n=λn(n∈N∗)．求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈(−2,2)．87. 已知函数y=f−1(x)是y=f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f−1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足" a和性质"；若函数y=f(ax)与y=f−1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足" a积性质"．（1）判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足" 1和性质"，并说明理由；（2）求所有满足" 2和性质"的一次函数；（3）设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0，满足" a积性质"．求y=f(x)的表达式．88. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)．（1）当a=1,b=−2时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．89. 对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f(x)单调递增，f(0)=0，f(T)=4π．（1）验证ℎ(x)=x+sin x3是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（2）设a<b，证明对任意c∈[f(a),f(b)]，存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=c；（3）证明：“ u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解”的充要条件是“ u0+T为方程cosf(x)=1在[T,2T]上的解”，并证明对任意x∈[0,T]都有f(x+T)=f(x)+f(T)．90. 已知倾斜角为45∘的直线l过点A(1,−2)和点B，B在第一象限，∣AB∣=3√2．（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线C:x 2a2−y2=1(a>0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为(4,1)，求a的值；（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称∣PQ∣的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离ℎ关于t的函数关系式．91. 对定义域分别是D f、D g的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数ℎ(x)={f(x)⋅g(x),当x∈D f,且x∈D g f(x),当x∈D f,且x∉D g g(x),当x∉D f,且x∈D g（1）若函数f(x)=1x−1，g(x)=x2，写出函数ℎ(x)的解析式；（2）求问题（1）中函数ℎ(x)的值域；（3）若g(x)=f(x+α)，其中α是常数，且α∈[0,π]，请设计一个定义域为R的函数y= f(x)，及一个α的值，使得ℎ(x)=cos4x，并予以证明．答案第一部分 1. D【解析】设 f(x)=lgx +x −2，由于 f(1)=−1<0，f(2)=lg2>0 ，那么 x 0∈(1，2) ；又 f(1．25)=0．25−3lg2<0，f(1．75)=lg7−2lg2−0．25<0，故 x 0∈(1．75，2) ． 2. A3. A【解析】y =x −1 和 y =x 13 是奇函数，排除B ，D ；y =x 2 是在区间 (0,+∞) 上单调递增的函数，排除C ； y =x −2 是偶函数，且在区间 (0,+∞) 上单调递减． 4. A 【解析】由于 y =2x +1 在 (−∞,+∞) 上单调递增且大于 1，所以 f (x )=12x +1 单调递减，值域为 (0,1)，没有最小值．5. A6. D【解析】当 x >0 时，f (x ) 在 x =1 处取得最小值 2+a ，要使得 f (0) 是 f (x ) 的最小值，需要满足 {f (0)≤f (1),a ≥0, 解得 a ∈[0,2]．7. D【解析】设函数 f (x )=(12)x−x 13，结合各选项有：f (0)=1>0，由幂函数的性质，得f (13)=(12)13−(13)13>0，由指数函数的性质，得 f (12)=(12)12−(12)13<0，因此，根据函数零点的意义知，x 0 属于的区间为 (13,12)． 8. A9. A【解析】y =ln 1∣x∣，y =2∣x∣，y =cosx 均为偶函数，y =x 3 为奇函数，所以排除B ．y =2∣x∣ 在区间 (0,+∞) 上单调递增，y =cosx 在区间 (0,+∞) 上不单调，所以排除C 、D ． y =ln 1∣x∣=−ln ∣x ∣ 是在区间 (0,+∞) 上单调递减的函数． 10. A11. C 12. B 13. D 【解析】①不成立，可举反例．f (x )={2x,x ≤1,−x +3,x >1.g (x )={2x +3,x ≤0,−x +3,0<x <1,2x,x ≥1.ℎ(x )={−x,x ≤0,2x,x >0.② f (x )+g (x )=f (x +T )+g (x +T ) f (x )+ℎ(x )=f (x +T )+ℎ(x +T ) g (x )+ℎ(x )=g (x +T )+ℎ(x +T )前两式作差，可得 g (x )−ℎ(x )=g (x +T )−ℎ(x +T )． 结合第三式，可得 g (x )=g (x +T )，ℎ(x )=ℎ(x +T )． 也有 f (x )=f (x +T )． 所以②正确． 14. B 【解析】S n =a 1(1−q n )1−q，S =a11−q ，−1<q <1．2S n <S ，即 a 1(2q n −1)>0， 若 a 1>0，则 q n >12，不可能成立． 若 a 1<0，则 q n <12，B 成立．【解析】由题意知a3=a22a1，方程③无实根，当且仅当方程③的判别式Δ= 3a32−16=1a12(a22+4a1)(a22−4a1)<0.又a1,a2,a3均为正实数，故只需a22−4a1<0．而方程①的判别式Δ=1a12−4，方程②的Δ=2a22−8．当Δ≥10，而Δ<20时，有a1≥2，a22<8，此时Δ<30．16. B 【解析】由题意知SⅢ−SⅠ=SⅣ−SⅡ，而SⅣ−SⅡ是定值，所以SⅢ−SⅠ是定值，设为M．直线AB绕C逆时针转动时，S I逐渐增大，SⅢ逐渐减小，则SⅢ−SⅠ由+∞单调递减至−∞，中间存在且只存在一个位置使得SⅢ−SⅠ=M．17. C 【解析】函数f(x)的图象如图所示，再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．第二部分18. x=0【解析】设t=2x，则原方程可化为t2+t−2=0，解得t=1或t=−2（舍去）．再由2x=1得x=0．19. −32【解析】∵y=2x+1，则x=y−12．∴f−1(x)=x−12．∴f−1(−2)=−32．20. {−1,2}21. 1x+222. √x−1323. 1+1x( x≠0 )24. 225. 226. 1228. 2x (x ∈R ) 29. −2x 2+4【解析】f (x )=bx 2+a (b +2)x +2a 2 为偶函数，则 a (b +2)=0． 当 a =0 时，f (x )=bx 2，此时它的值域不可能为 (−∞,4]；当 b =−2 时，f (x )=−2x 2+2a 2，则 2a 2=4，从而 f (x )=−2x 2+4． 30. (−1,0)∪(1,+∞) 31.125832. 3【解析】考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用 y =f (x ) 为奇函数．已知函数 y =f (x ) 为奇函数，由已知得 g (1)=f (1)+2=1，所以 f (1)=−1，则 f (−1)=−f (1)=1，所以 g (−1)=f (−1)+2=1+2=3． 33. (−∞,1]【解析】函数 f (x ) 图象的对称轴为 x =a ，且递增区间为 [a,+∞)． 根据题意，得 [1,+∞)⊆[a,+∞)，所以 a ≤1． 34. 135. (−2,0)∪(2,5] 36. (−∞,2] 37. −√x −1(x ≥1) 38. −2339. 3【解析】a =4 ． 40. (0,1)【解析】在同一坐标系内，画出幂函数 g (x )=x 23，ℎ(x )=x −12的图象，根据图象即得． 41. x =−1 42. (0,−2) 43. a >0 且 b ≤0 44. −1【解析】f (−2)=−f (2)=−1 ． 45. −√−x,x ∈(−∞,−4] 46. 2.647. y ={2x ,x ≤12x,x >148. −1【解析】因为 y =f (x )+x 2 是奇函数，所以 f (−1)+(−1)2=−[f (1)+12]=−2，解得 f (−1)=−3． 因为 g (x )=f (x )+2，所以 g (−1)=f (−1)+2=−3+2=−1． 49. log 2(x −1)【解析】a 3+1=9，故 a =2,f (x )=1+2x ．所以 x =log 2(y −1)，所以 f −1(x )=log 2(x −1)． 50. a ≤−87【解析】f (0)=0，故0≥a +1⇒a ≤−1;当 x >0 时，f (x )=9x +a 2x−7≥a +1,即 6∣a ∣≥a +8，又 a ≤−1，故 a ≤−87．51. x =log 34【解析】提示：原式可化为 93x −1=3x −1，即 (3x −1)2=9．52. 2【解析】根据反函数定义，当 x ∈[0,1) 时，f (x )∈(2,4]，此时 f (x )≠x ； x ∈[1,2) 时，f (x )∈[0,1)，此时 f (x )≠x ； 而 y =f (x ) 的定义域为 [0,3]，且有反函数，故当 x ∈[2,3] 时，f (x )∉(2,4]，而 f (x )=x 有解，故只可能有 x 0=2． 53. log 34 54. 4【解析】f (x )=2x−2+x2 在 x ∈[0,2] 上为单调增函数，f (x ) 在 x ∈[0,2] 上的值域为 [14,2]，f −1(x ) 在区间 [14,2] 上也为增函数，所以 y =f (x )+f −1(x ) 在区间 [14,2] 上也为增函数，所以所求最大值为 y max =f (2)+f −1(2)=1+1+2=4． 55. (−∞,2]【解析】当 x ≤0 时，f (x ) 的最小值为 f (0)=a. 由题意，得 a ≤x +1x .而 x >0 时，x +1x≥2√x ⋅1x=2，即 x +1x的最小值为 2，故 a ≤2． 56. (1,3)【解析】提示：f (x )={3sinx,0≤x ≤π,−sinx,π<x ≤2π.57. 219.01【解析】甲所得本息和为 10000+10000×2.88%×(1−20%)×5=11152． 乙所得本息和为 10000[1+2.25%×(1−20%)]5≈10932.99， 则甲与乙所得本息之和的差为 11152−10932.99=219.01（元）． 58. [−2,7]【解析】由 f (x )=x +g (x ) 可得，f (x +1)=(x +1)+g (x +1)，结合 g (x ) 是周期为 1 的函数，所以 f (x +1)=x +g (x )+1，即 f (x +1)=f (x )+1．所以函数 f (x ) 在 [1,2] 上的值域为 [−1,6]，在 [2,3] 上的值域为 [0,7]，所以 f (x ) 在区间 [0,3] 上的值域为 [−2,7]． 59. 5 60. [132,12)61. (a<−6,a>6)解析：【解析】方程x4+ax−4=0的实根可视为函数y=4x与函数y=x3+a的交点的横坐标，要满足方程的实根所对应的点(x i,4x i)均在直线y=x的同侧，只需这两个函数图象的交点均在直线y=x的同侧．两个函数图象有两个交点．其临界情况是过点A(−2,−2)与点B(2,2)，即过y=4x与y=x的两个交点，此时a=6或a=−6．故a>6或a<−6时满足题意．62. 14【解析】提示：函数f(x)=sinx+tanx为奇函数，a1+a27=a2+a26=⋯=2a14=0时，满足题意．又因为此函数在(−π2,π2)上为增函数，所以k只能等于14．63. (3,3)【解析】设发行站的坐标为(x,y)，（x、y∈Z）．则6个零售点沿街道到发行站之间路程的和为：s=s1+s2．其中s1=2∣x+2∣+2∣x−3∣+∣x−4∣+∣x−6∣，s2=∣y−1∣+∣y−2∣+∣y−3∣+∣y−4∣+∣y−5∣+∣y−6∣.易得出当x=3时，s1最小；y=3或y=4时，s2最小．故发行站的坐标为(3,3)．64. [−15,11]【解析】解法一：设x1∈[3,4]，则f(x1)=x1+g(x1)∈[−2,5].因为g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，则g(x1+1)=g(x1).当x2∈[4,5]时，f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1+1)=x1+g(x1)+1∈[−1,6];当x3∈[5,6]时，f(x3)=f(x2+1)=x2+1+g(x2+1)=f(x2)+1∈[0,7];当x4∈[6,7]时，f(x4)=f(x3+1)=x3+1+g(x3+1)=f(x3)+1∈[1,8];以此类推，当x7∈[9,10]时，f(x7)=f(x6+1)=x6+1+g(x6+1)=f(x6)+1∈[4,11];同理，当x依次取[2,3]，[1,2]，[0,1]，⋯，[−10,−9]时，f(x)的值域依次为[−3,4],[−4,3],[−5,2],⋯,[−15,−8].所以，当x∈[−10,10]时，f(x)的值域是上述分段值域的并集，即为[−15,11]．解法二：∵g(x+1)=g(x)，由题可得f(x+1)=(x+1)+g(x+1)=x+g(x)+1=f(x)+1，∴f(x+1)−f(x)=1，∴f(x)在[4,5]内的最大值和最小值都比[3,4]内的最大值和最小值大1，即f(x)在[4,5]内的值域为[−1,6]，同理可得f(x)在[5,6]内的值域为[0,7]，⋯，以此类推，f(x)在[9,10]上的值域为[4,11]，在[−10,−9]内的值域为[−15,−8]，取以上值域的并集，可得函数f(x)在[−10,10]上的值域为[−15,11]．65. 23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．66. 110【解析】提示：f(a n)=20.1n+log2(0.1n)单调递增，且f(a109)<2005，f(a110)>2005，∣f(a109)−2005∣>∣f(a110)−2005∣，所以当n=110时，∣f(a n)−2005∣取得最小值．第三部分67. （1）当x<0时，f(x)=0；当x≥0时，f(x)=2x−12x；由条件可知2x−12x=2，即22x−2⋅2x−1=0,解得2x=1±√2,∵x>0，∴x=log2(1+√2)．（2）当t∈[1,2]时，2t(22t−122t)+m(2t−12t)≥0,即m(22t−1)≥−(24t−1),∵22t−1>0，∴m≥−(22t+1)，∵t∈[1,2]，∴−(22t+1)∈[−17,−5]，故m的取值范围是[−5,+∞)．68. （1）当x≥7时，f(x+1)−f(x)=0.4(x−3)(x−4),而当x≥7时，函数y=(x−3)(x−4)单调递增，且(x−3)(x−4)>0,故f(x+1)−f(x)单调递减，∴ x ≥7 时，掌握程度的增长量 f (x +1)−f (x ) 总是下降． （2） 由题意可知0.1+15ln aa −6=0.85,整理得aa −6=e 0.05, 解得 a =e 0.05e 0.05−1⋅6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]． 由此可知，该学科是乙学科．69. （1） f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0,x ∈R }，关于原点对称． f (−x )=a (−x )2+1−x =ax 2−1x ，当 a =0 时，f (−x )=−f (x )，故 f (x ) 为奇函数，当 a ≠0 时，由 f (1)=a +1，f (−1)=a −1，知 f (−1)≠f (1)，且 f (−1)≠−f (1)，f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．（2） 设 1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)−f (x 1)=ax 22+1x 2−ax 12−1x 1=(x 2−x 1)[a (x 1+x 2)−1x 1x 2]，由 1≤x 1<x 2≤2，得 x 2−x 1>0，2<x 1+x 2<4，1<x 1x 2<4，−1<−1x 1x 2<−14，又 1<a <3，所以 2<a (x 1+x 2)<12，得 a (x 2+x 1)−1x 1x 2>0，从而 f (x 2)−f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当 a ∈(1,3) 时，f (x ) 在 [1,2] 上单调递增． 70. （1） t 1=38．记乙到 C 时甲所在地为 D ，则 AD =158千米．在 △ACD 中，CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcosA ， 所以 f (t 1)=CD =38√41（千米）．（2） 甲到达 B 用时 1 小时；乙到达 C 用时 38 小时，从 A 到 B 总用时 78 小时．当 t 1=38≤t ≤78 时，f (t )=√(7−8t )2+(5−5t )2−2(7−8t )(5−5t )⋅45=√25t 2−42t +18； 当 78≤t ≤1 时，f (t )=5−5t ． 所以f (t )={√25t 2−42t +18,38≤t ≤78,5−5t,78<t ≤1.因为 f (t ) 在 [38,78] 上的最大值是 f (38)=3√418，f (t ) 在 [78,1] 上的最大值是 f (78)=58，所以 f (t ) 在 [38,1] 上的最大值是3√418，不超过 3．71. 由已知 log 12⁄(3−x )≥log 12⁄4， 因为 y =log 12x 为减函数，所以 3−x ≤4．由{3−x ≤4,3−x >0解得 −1≤x <3． 所以 A ={x∣ −1≤x <3}．由 5x+2≥1，解得：−2<x ≤3．所以 B ={x∣ −2<x ≤3}． 于是 ∁R A ={x∣ x <−1 或 x ≥3}， 故 ∁R A ∩B ={x∣ −2<x <−1 或 x =3}． 72. （1） 根据题意，200(5x +1−3x)≥3000化简可得5x −14−3x≥0. 又 1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.（2） 设利润为 y 元，则y=900x ⋅100(5x +1−3x)=9×104[−3(1x −16)2+6112].故 x =6 时，y max =457500 元． 73. （1） 由 y =2x +42x −4，解得2x =4(y +1)y −1,由4(y+1)y−1>0，得y <−1 或y >1,且x =log 24(y +1)y −1,所以，所求反函数为f −1(x )=log 24(x +1)x −1(x <−1 或 x >1).（2） ①当 a =0 时，f (x )=1，x ∈R ，则 f (x ) 是偶函数； ②当 a =1 时，f (x )=2x +12x −1，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),且f (−x )=2−x +12−x −1=−2x +12x −1=−f (x ),则 f (x ) 是奇函数；③当 0<a ≠1 时，定义域为 (−∞,log 2a )∪(log 2a,+∞) 不关于原点对称， 则 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．74. （1） 因为每小时生产 x 千克产品，获利 100(5x +1−3x )，所以生产 a 千克该产品用时间为 ax ，且所获利润为100(5x +1−3x )⋅a x =100a (5+1x −3x2).（2） 生产 900 千克该产品，所获利润为90000(5+1x −3x 2)=90000[−3(1x −16)2+6112],所以 当 x =6 时，最大利润为 90000×6112=457500 元．75. （1） ω=1 时，f (x )=2sinx ，所以F (x )=f (x )+f (x +π2)=2sinx +2sin (x +π2)=2sinx +2cosx=2√2sin (x +π4),奇函数 y =2√2sinx 的图象左移 π4后得F (x )=2√2sin (x +π4),所以 F (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． （2） 由题意得g (x )=f (x +π6)+1=2sin (2x +π3)+1,所以，函数 g (x ) 的最小正周期为 T =π, 则区间 [a,a +10π] 含有 10 个周期． 当 a 是零点时，函数 g (x ) 在 [a,a +10π] 上有 21 个零点；当 a 不是零点时，a +kπ(k ∈Z ) 也不是零点，从而函数 g (x ) 在 [a +kπ,a +(k +1)π](k ∈Z ) 上有两个零点，所以函数 g (x ) 在 [a,a +10π] 上有 20 个零点，所以 y =g (x ) 在区间 [a,a +10π] 上，零点个数可以取 20 、 21 个．76. （1） 由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%．则 2006 年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦).（2） 设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则1420(1+x )42499.8(1+42%)4≥95%.解得x ≥0.615.因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5%．77. （1） 当 a >0，b >0 时，任取 x 1,x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=a (2x 1−2x 2)+b (3x 1−3x 2).因为 2x 1<2x 2，a >0，所以a (2x 1−2x 2)<0,因为 3x 1<3x 2，b >0，所以b (3x 1−3x 2)<0,所以f (x 1)−f (x 2)<0,函数 f (x ) 在 R 上是增函数．当 a <0，b <0 时，同理，函数 f (x ) 在 R 上是减函数． （2）f (x +1)−f (x )=a ⋅2x +2b ⋅3x >0.当 a <0，b >0 时，(32)x >−a 2b, 则x >log 1.5(−a2b); 当 a >0，b <0 时，(32)x <−a 2b, 则x <log 1.5(−a 2b).78. （1） 当 a >0,b >0 时，设任意 x 1,x 2∈R ，x 1<x 2， 则 f (x 1)−f (x 2)=a (2x 1−2x 2)+b (3x 1−3x 2)， 因为 2x 1<2x 2,a >0，所以 a (2x 1−2x 2)<0， 因为 3x 1<3x 2,b >0，所以 b (3x 1−3x 2)<0， 所以 f (x 1)−f (x 2)<0，函数 f (x ) 在 R 上是增函数． 当 a <0,b <0 时，同理可得，函数 f (x ) 在 R 上是减函数．（2） 原不等式等价于 f (x +1)−f (x )>0, 即 a ⋅2x +2b ⋅3x >0， 当 a <0,b >0 时，(32)x>−a2b ，则x >log 1.5(−a 2b ); 当 a >0,b <0 时，(32)x<−a2b ，则x <log 1.5(−a 2b).79. （1） 由 A (2,0)，M 与 A 重合，得 m =2．椭圆方程为 x 24+y 2=1，则c =√4−1=√3.因此，椭圆的左、右焦点坐标分别为(−√3,0)、(√3,0)．（2）当m=3时，椭圆方程为x29+y2=1．设P(x,y)，则∣PA∣2=(x−2)2+y2=(x−2)2+1−x2 9=89(x−94)2+12.根据椭圆的几何性质，得−3≤x≤3．因此，当x=94时，∣PA∣min=√2 2;当x=−3时，∣PA∣max=5.（3）设P(x,y)，则∣PA∣2=(x−2)2+y2=(x−2)2+1−x2 m2=m2−1m2(x−2m2m2−1)2−4m2m2−1+5.根据椭圆的几何性质，得−m≤x≤m．因为当x=m时，∣PA∣取最小值，且m 2−1m2>0，所以2m2m2−1≥m,结合m>1，解得1<m≤1+√2.因此，m的取值范围为1<m≤1+√2．80. （1）因为x2+2x −(x−1)2−2x−1>2x−1，所以2x −2x−1>0，所以x(x−1)<0．所以原不等式的解集为{x∣ 0<x<1}．（2）当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈( −∞,0 )∪( 0,+∞ )，f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)=x2+ax( a≠0,x≠0 ),取x=±1，得f(−1)+f(1)=2≠0,f(−1)−f(1)=−2a≠0,所以f(−1)≠−f(1),f(−1)≠f(1),所以，函数 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．81. （1） ∵a n +S n =4096，∴a 1+S 1=4096，a 1=2048． 当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=(4096−a n )−(4096−a n−1)=a n−1−a n .所以a n a n−1=12. 当 n ≥2 时，a n =2048⋅(12)n−1，当 n =1 时，经检验 a 1 满足通项公式，所以 {a n } 的通项公式为a n =2048⋅(12)n−1.（2） ∵log 2a n =log 2[2048(12)n−1]=12−n ，∴T n =12(−n 2+23n )．由 T n <−509，解得 n >23+√46012，而 n 是正整数，于是 n ≥46．∴ 从第 46 项起 T n <−509．82. （1） log 2(1x +5)>0⇔1x +5>1⇔4x+1x>0⇔x (4x +1)>0，所以不等式的解为 {x ∣ x >0或x <−14}．（2） 依题意，log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 所以 1x +a =(a −4)x +2a −5，①可得 (a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即 (x +1)[(a −4)x −1]=0，②当 a =4 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a =3 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a ≠3 且 a ≠4 时，方程②的解为 x =−1,1a−4．若 x =−1 为方程①的解，则 1x +a =a −1>0，即 a >0． 若 x =1a−4为方程①的解，则 1x+a =2a −4>0，即 a >2．要使得方程①有且仅有一个解，则 1<a ≤2．综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则 a 的取值范围为 1<a ≤2 或 a =3 或 a =4． （3） 在 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上单调递减． 依题意，f (t )−f (t +1)≤1， 即 log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， 所以 1t +a ≤2(1t+1+a)，即 a ≥1t−2t+1=1−tt (t+1)． 设 1−t =r ，则 r ∈[0,12]， 1−tt (t+1)=r(1−r )(2−r )=rr 2−3r+2．当 r =0 时，rr 2−3r+2=0． 当 0<r ≤12 时，r r 2−3r+2=1r+2r−3．因为函数 y =x +2x在 (0,√2) 递减， 所以 r +2r≥12+4=92，所以1r+2r−3≤192−3=23，所以 a 的取值范围为 a ≥23． 83. （1） 由 {2−2x >0,x +1>0,得−1<x <1.由0<lg (2−2x )−lg (x +1)=lg2−2xx +1<1, 得1<2−2xx +1<10. 因为 x +1>0，所以x +1<2−2x <10x +10,解得−23<x <13. 由 {−1<x <1,−23<x <13,得 −23<x <13.（2） 当 x ∈[1,2] 时，2−x ∈[0,1]，因此y=g (x )=g (x −2)=g (2−x )=f (2−x )=lg (3−x ).由单调性可得 y ∈[0,lg2]．因为 x =3−10y ，所以所求反函数是 y =3−10x ,x ∈[0,lg2]． 84. （1） 由 log 2(1x+1)>1，得 1x+1>2，解得 {x∣ 0<x <1}．（2） log 2(1x +a)+log 2(x 2)=0 有且仅有一解，等价于 (1x +a)x 2=1 有且仅有一解，等价于 ax 2+x −1=0 有且仅有一解． 当 a =0 时，x =1，符合题意； 当 a ≠0 时，Δ=1+4a =0，a =−14．综上，a=0或−14．（3）当0<x1<x2时，1x1+a>1x2+a，log2(1x1+a)>log2(1x2+a)，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1)．f(t)−f(t+1)=log2(1t +a)−log2(1t+1+a)≤1，即at2+(a+1)t−1≥0，对任意t∈[12,1]成立．因为a>0，所以函数y=at2+(a+1)t−1在区间[12,1]上单调递增，所以t=12时，y有最小值34a−12，由34a−12≥0，得a≥23．故a的取值范围为[23,+∞)．85. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2(b n+1−b n)，得a n+1−2b n+1=a n−2b n，所以{a n−2b n}为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1，因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n，故{b n}的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2(λn+1−λn)，当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2(λn−λn−1)+2(λn−1−λn−2)+⋯+2(λ2−λ)+3λ=2λ2+λ.当n=1时，a1=3λ，符合上式，所以a n=2λn+λ．因为a1=3λ<0，且对任意n∈N∗，a1a n ∈(16,6)，故a n<0，特别地，a2=2λn+λ<0，于是λ∈(−12,0)．此时对任意n∈N∗，a n≠0．当−12<λ<0时，a2n=2∣λ∣2n+λ>λ，a2n−1=−2∣λ∣2n−1+λ<λ，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值为a1=3λ．由题意a ma n 的最大值及最小值分别为a1a2=32λ+1及a2a1=2λ+13．由2λ+13>16及32λ+1<6，解得−14<λ<0．综上所述，λ的取值范围为(−14,0)．86. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2(b n+1−b n)，得a n+1−2b n+1=a n−2b n．所以{a n−2b n}为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1．因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n．故{b n}的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2(λn+1−λn)，当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2(λn−λn−1)+2(λn−1−λn−2)+⋯+2(λ2−λ1)+λ=2λn−λ.当n=1时，a1=λ，符合上式．所以a n=2λn−λ．因为λ<0，所以a2n=2∣λ∣2n−λ>−λ，a2n−1=−2∣λ∣2n−1−λ<−λ．（i）当λ<−1时，由指数函数的单调性知，{a n}不存在最大、最小值；（ii）当λ=−1时，{a n}的最大值为3，最小值为−1，而3−1∉(−2,2)；（iii）当−1<λ<0时，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值M=a2=2λ2−λ，最小值m=a1=λ，由−2<2λ2−λλ<2及−1<λ<0，得−12<λ<0．综上，λ的取值范围是(−12,0)．87. （1）函数g(x)=x2+1(x>0)的反函数是g−1(x)=√x−1(x>1),所以g−1(x+1)=√x(x>0),而g(x+1)=(x+1)2+1(x>−1)，其反函数为y=√x−1−1(x>1),故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足" 1和性质"．（2）设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足" 2和性质" k≠0．所以f−1(x)=x−bk(x∈R),所以f−1(x+2)=x+2−bk.而f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)得反函数y=x−b−2kk.由" 2和性质"定义可知x+2−bk =x−b−2kk对x∈R恒成立，所以k =−1,b ∈R,即所求一次函数为f (x )=−x +b (b ∈R ).（3） 设 a >0，x 0>0，且点 (x 0,y 0) 在 y =f (ax ) 图象上， 则 (y 0,x 0) 在函数 y =f −1(ax ) 图象上，故{f (ax 0)=y 0,f −1(ay 0)=x 0,可得ay 0=f (x 0)=af (ax 0).令 ax 0=x 则a =x x 0, 所以f (x 0)=xx 0f (x ), 即f (x )=x 0f (x 0)x. 综上所述，f (x )=kx(k ≠0), 此时 f (ax )=kax ，其反函数就是y =k ax, 而f −1(ax )=k ax , 故 y =f (ax ) 与 y =f −1(ax ) 互为反函数．88. （1） 因为 a =1，b =−2 时，f (x )=x 2−x −3，由不动点的定义可得f (x )=x ⇒x 2−2x −3=0所以 x =−1 或 x =3，所以函数 f (x ) 的不动点为 −1 和 3；（2） 函数 f (x ) 恒有两个相异的不动点，即f (x )=ax 2+(b +1)x +b −1=x有两个不等实根，即b 2−4a (b −1)>0,对任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个相异的不动点，则Δ=(−4a )2−4×4a <0⇒0<a <1,所以 a 的取值范围为 0<a <1；。
2010上海高考数学(文科)+答案
2010年高考数学（文科）上海试题一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．已知集合A ={1,3,m }，B ={3,4}，A ⋃B ={1,2,3,4}，则m =_______________．2．不等式204xx ->+的解集是_______________．3．行列式cos sin 66sincos66ππππ的值是_______________．4．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽 取容量为100的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．6．已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱P A ⊥底面ABCD ， 且P A =8，则该四棱锥的体积是_______________．7．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 8．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等， 则点P 的轨迹方程为_________．9．函数f (x )=log 3(x +3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____．10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的 概率为____________（结果用最简分数表示）．11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前 1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 12．在n 行n列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ (a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是_______________． 14．将直线l 1:x +y -1=0、l 2:nx +y -n =0、l 3:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则l i m n n S →∞=_______．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z =x +y 的最大值是 （ ）A ．1B ．32C ．2D ．316．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 17．若x 0是方程lg x +x =2的解，则x 0属于区间 （ ） A ．(0,1) B ．(1,1.25) C ．(1.25,1.75) D ．(1.75,2) 18．若∆ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则∆ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分） 已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图 （作图时，不需考虑骨架等因素）． 21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *．(1) 证明：{a n -1}是等比数列； (2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n +1>S n 成立的最小正整数n ． 22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 若实数x 、y 、m 满足|x -m |<|y -m |，则称x 比y 接近m ． (1) 若x 2-1比3接近0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2；(3) 已知函数f (x )的定义域D ={x |x ≠k π,k ∈Z ,x ∈R }．任取x ∈D ，f (x )等于1+sin x 和1-sin x 中接近0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，A (0,b )、B (0,-b )和Q (a ,0)为Γ的三个顶点．(1) 若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点P 1、P 2满足12PP PP PQ +=？令a =10，b =5，点P 的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足12PP PP PQ += ，求点P 1、P 2的坐标．2010年上海高考数学文科参考答案一、填空题 1．2； 2．(-4,2)； 3．0.5； 4．6-2i ； 5．20； 6．96； 7．3；8．y 2=8x ； 9．(0,-2)； 10．117； 11．S ←S +a ； 12．45； 13．4ab =1；14．12．二、选择题15．C ； 16．A ； 17．D ； 18．C ． 三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图为两个圆，一个正方形．21．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15． 22．(1) x ∈(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有222a b ab +>332a b +>因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2； (3) 1sin ,(2,2)()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，函数f (x )在区间[,)2k k πππ-单调递增，在区间(,]2k k πππ+单调递减，k ∈Z ． 23．(1) (,)22a bM -； (2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即222210a k b p +->， 设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩ 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩得 (k 2-k 1)x =p ，又2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ += 知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)。
2010年全国各地高考理科数学试题汇编汇总上海
2010年全国各地高考数学试题之(上海卷)数学(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.不等式204xx ->+的解集是 (-4,2) 。
解析:考查分式不等式的解法204xx ->+等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 2.若复数12z i =-(i 为虚数单位),则z z z ⋅+= 6-2i 。
解析:考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-3. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等,则P 的轨迹方程为28y x =。
解析:考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线,p=2所以其方程为y 2=8x4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 0 。
解析:考查行列式运算法则cossin 36sincos36ππππ=02cos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos==-π5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d =3 。
解析:考查点到直线距离公式圆心(1,2)到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出:则随机变量ξ的均值是 8.2解析:考查期望定义式E ξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.27. 2010年上海世博会园区每天9:00开园,20:00停止入园。
在右边的框图中,S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a 表示整点报道前1个小时内入园人数,则空白的执行框内应填入 S ←S+a 。
8.对任意不等于1的正数a,函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P,则点P 的坐标是 (0,-2)解析:f(x)=log (3)a x +的图像过定点(-2,0),所以其反函数的图像过定点(0,-2)9.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K ”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率P(A ⋃B)==726(结果用最简分数表示) 解析:考查互斥事件概率公式 P(A ⋃B)=2675213521=+ 10.在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中, 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
十年上海高考数学真题专题汇编-立体几何专题
ABDCA 1B 1C 1D 1立体几何【2010年上海文6】已知四棱椎P ABCD −的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .【2010年上海理12】如图所示，在边长为4的正方形ABCD 纸片中，A C 与BD 相交于O ,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、()B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。
【2011年上海理7】 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 【2011年上海文7】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为【2011年上海文20】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.O 1D 1C 1B 1A 1CDBA【2011年上海理21】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点.（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A −−的大小为β.求证：tan 2tan βα=；（2）若点C 到平面111A B D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D −的高.【2012年上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．【2012年上海理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ．【2012年上海理19】如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，22AD =，2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小 ．【2012年上海文19】如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求： （1）三棱锥P ABC −的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.PABCD【2013年上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ,O 是上底面圆心，A B 、是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则rl= .【2013年上海理13】在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x −+=≥和22(3)1(3)x y x −+=≥、两条直线1y =和1y =−围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ−+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【2013年上海理19】（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB =,1AD =,11AA =，证明直线1BC 平行于平面1DA C ，并求直线1BC 到平面1DA C 的距离.D 1C 1B 1A 1D C BA【2013年上海文19】（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC −的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件3. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 A. B.C. D.4. 若有平面α与β，且α∩β=l,α⊥β,P∈α,P∉l，则下列命题中的假命题为 A. 过点P且垂直于α的直线平行于βB. 过点P且垂直于l的平面垂直于βC. 过点P且垂直于β的直线在α内D. 过点P且垂直于l的直线在α内5. 若空间中有两条直线，则"这两条直线为异面直线"是"这两条直线没有公共点"的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6. 已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是 A. 若l∥m，m∥n，则l∥nB. 若l⊥α，n∥α，则l⊥nC. 若l⊥m，m∥n，则l⊥nD. 若l∥α，n∥α，则l∥n7. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C19. 一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 A. D、E、FB. F、D、EC. E、F、DD. E、D、F10. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A. 48B. 18C. 24D. 3611. 在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是 A. 若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β且α∥β，则l⊥αC. 若l⊥β且α⊥β，则l∥αD. 若α∩β=m且l∥m，则l∥α二、填空题（共24小题；共120分）12. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．13. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为．14. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为．15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是．16. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan2，则该正四棱柱的高等于．317. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．18. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．19. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）．20. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．21. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π．该圆柱的表面积为．22. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．23. 若球O1、O2表面积之比S1S2=4，则它们的半径之比R1R2=．24. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是．25. 在正四棱锥P−ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60∘，则异面直线PA与BC所成角的正切值等于．26. 下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．27. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．28. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．29. 已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为π6，则lr=．30. 在xOy平面上，将两个半圆弧x−12+y2=1x≥1和x−32+y2=1x≥3、两条直线y=1和y=−1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过0,y∣y∣≤1作Ω的水平截面，所得截面面积为4π 1−y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．31. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．32. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a a>0．用它们拼成一a个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．33. 如图，在底面边长为2的正三棱锥V−ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是1，则侧4棱VA与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．34. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2．若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．35. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a a>0．用它们拼成a一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．三、解答题（共22小题；共286分）36. 如图，正三棱锥O−ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．37. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．38. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60∘，求正四棱锥P−ABCD的体积V．π，39. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23 A1B1长为π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．3（1）求三棱锥C−O1A1B1的体积．（2）求异面直线B1C与AA1所成角的大小．，A1B1 40. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．长为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．41. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．42. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．43. 底面边长为2的正三棱锥P−ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．44. 如图，在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线BCʹ平行于平面DʹAC，并求直线BCʹ到平面DʹAC的距离．45. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC=π，AB=2，2 AC=23，PA=2．求：（1）三棱锥P−ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．46. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=22，PA=2．求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．47. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）四面体AB1D1C的体积．48. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．349. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．（2）若点C到平面AB1D1的距离为4350. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．51. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．52. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小．（用反三角函数值表示）53. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为ℎ米，盖子边长为a米．（1）求a关于ℎ的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当ℎ为何值时，V最大?求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）54. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1−A1C−C1的大小．55. 在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60∘，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60∘．（1）求四棱锥P−ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．56. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘,AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45∘，求三棱锥A1−ABC的体积．57. 如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P−ABC为正四面体；PA，求二面角D−BC−A的余弦值；（2）若PD=12（3）设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF−ABC有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. C3. B4. D5. A6. D7. A 【解析】答案 A8. D 【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，选项A，B，C中直线与EF都是异面直线．9. C 10. D【解析】提示：问题可以等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形所在平面垂直的对数共有多少个．11. B第二部分12. 413. 33π【解析】设圆锥的底面的圆的半径为r，高为ℎ，母线为l，则由题设πrl=2π,πr2=π,则r=1,l=2.于是ℎ=2−r2=4−1=3．该圆锥的体积V=13πr2ℎ=33π．14. 3π【解析】由主视图，得该圆锥的底面圆的半径为r=1，母线l=3，则该圆锥的侧面积是S=πrl= 3π．15. 36【解析】正方体中，一个面有四条棱与之垂直，所以六个面共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．16. 22【解析】BD=32，DD1=BD⋅23=22．17. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=13×3×π×12=33π.18. 33π【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为ℎ，则πl=2πr,12πl2=2π,解得l=2,r=1,从而ℎ=．所以该圆锥的体积V=13πr2⋅ℎ=13π×12×3=33π．19. arctan520. 24【解析】由三视图可知，切割后的两个小长方体的长、宽、高分别为2、3、2，所以体积和为22×3×2=24．21. 6π22. 8π323. 224.25. 2【解析】过点P作PO⊥平面ABCD于O，取AD的中点H，连接OH,PH，如图：要求PA与BC所成的角，即求∠PAD，由题意知，∠PHO=60∘，设HO=a，则PH=2a，AH=12AD=OH=a，故tan∠PAD=PHAH=2．26. 3【解析】提示：原正方体中四条线段AB、CD、EF和GH的位置如图所示：27. arcsin1328. arccos1329.【解析】如图，取下底面中心，记为M，连接OM、AM，则BC∥OM，所以OA与BC所成的角就是∠MOA，即∠MOA=π6，tanπ6=rl．30. 2π2+16π【解析】一个半径为1，高为2π的圆柱平放，和一个高为2，底面面积8π的长方体放在一起构成一个组合体，根据祖暅原理，这个几何体与Ω的每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π.31. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．32. 0<a<153【解析】①拼成一个三棱柱时，有三种情况：将上、下底面对接，其全面积为：S1＝2×12×3a×4a+3a+4a+5a×4a＝12a2+48；3a边可以合在一起时，S2＝24a2+36；4a边合在一起时，S3＝24a2+32．②拼成一个四棱柱，有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合，其上、下底面积之和都是2×2×12×3a×4a＝24a2，但侧面积分别为：24a+5a×2a ＝36，23a+5a×2a＝32，23a+4a×2a＝28，显然，三个四棱柱中全面积最小的值为：S4＝2×2×12×3a×4a+23a+4a×2a＝24a2+28．由题意，得24a2+28<12a2+48．解得0<a<153．33. arctan14【解析】设V在底面上的射影为O，则O∈AE，且∠VAE就是侧棱VA与底面所成的角．因为底面△ABC的边长为2，所以其BC边上的高AE=3．由S△VAE=12VO⋅AE=14，解得VO=36，而AO=23AE=233，所以tan∠VAE=VOAO=14．34. 23c a2−c2−1【解析】利用椭圆的定义及割补法求体积．由AB+BD=AC+CD=2a>AD=2c，可得点B与点C都在以A、D为焦点的椭球上运动．过BC作垂直于AD的平面EBC交AD于E点，则四面体ABCD的体积为V=13AD⋅12×2 BE2−1=2c3BE2−1,要求四面体ABCD体积的最大值，即求BE的最大值．当E与AD的中点O重合，即B为椭圆短轴的端点时，BE最大，且BE=2−c2故四面体ABCD的体积的最大值为2c3a2−c2−1．35. 0,153【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有三种，边长为3a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+36，边长为4a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+32，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28；拼成三棱柱有一种，就是两个三棱柱的上下底面对接，此时新的三棱柱的表面积为12a2+48；若最小的是一个四棱柱，则要求24a2+28<12a2+48，解得0<a<153．第三部分36. 三棱锥O−ABC的体积是V O−ABC=1⋅S△ABC⋅1=3.设O在面ABC中的射影为Oʹ，BC的中点D，则OOʹ=1,OʹD=3 ,在Rt△OOʹD中，有OD=OOʹ2+DOʹ2=12+3=3,三棱锥O−ABC的表面积为S O−ABC=3S△OBC+S△ABC=3⋅BC⋅OD+3=33,所以，三棱锥O−ABC的体积为33，表面积为3．37. 如图：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，则EF⊥平面ABCD，所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．由EF是△BCC1的中位线，得EF=12CC1=1.由F为BC的中点，得CF=1CB=1,在Rt△DCF中，DF=5,因为EF⊥DF，所以tan∠EDF=EFDF=55,故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是55．38. 如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接AO，O是正方形ABCD的中心，所以∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．由题∠PAO=60∘，PA=2．所以PO=3,AO=1,AB=2,因此V=13PO⋅S ABCD=13×3×2=233.39. （1）连O1B1，则A1B1=∠A1O1B1=π3，所以△A1O1B1为正三角形，所以S△A1O1B1=34，所以V C−O1A1B1=13OO1⋅S△A1O1B1=312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1，所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）．BB1=AA1，连BC，BO，OC，AB=A1B1=π3，AC=2π3，所以BC=π3，所以∠BOC=π3，所以△BOC为正三角形，所以BC=BO=1，所以tan∠BB1C=BCBB1=1，所以∠BB1C=45∘，所以直线B1C与AA1所成角大小为45∘．40. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则O1B1∥OB，所以∠COB或其补角为O1B1与OC所成的角．由A1B1长为π3，可知∠AOB=∠A1O1B1=π3，由AC长为5π6，可知∠AOC=5π6，∠COB=∠AOC−∠AOB=π2，所以异面直线O1B1与OC所成的角的大小为π2．41. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．42. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A12,0,1，C10,2,1，E2,1,0，F1,2,0，C0,2,0，D10,0,1．因为A1C1=−2,2,0，EF=−1,1,0，所以A1C1∥EF，因此直线A1C1与直线EF共面，即A1，C1，F，E四点共面．设平面A1C1FE的法向量为n=u,v,w，则n⊥EF，n⊥FC1，又EF=−1,1,0，FC1=−1,0,1，故−u+v=0,−u+w=0,解得u=v=w.取u=1，得平面A1C1FE的一个法向量n=1,1,1．又CD1=0,−2,1，故CD1⋅n ∣∣CD1∣∣∣n∣=−1515.因此直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为1515．43. 在△P1P2P3中，P1A=P3A , P2C=P3C,所以AC是△P1P2P3的中位线，故P1P2=2AC=4.同理P2P3=P3P1=4,所以△P1P2P3是等边三角形，且边长为4．设Q是△ABC的中心，则PQ⊥平面ABC，所以AQ=233,PQ= AP22=236.因此V=1S△ABC⋅PQ=22.44. 因为ABCD−AʹBʹCʹDʹ为长方体，故AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，故ABCʹDʹ为平行四边形，故BCʹ∥ADʹ，显然直线BCʹ不在平面DʹAC上，于是直线BCʹ平行于平面DʹAC；直线BCʹ到平面DʹAC的距离即为点B到平面DʹAC的距离，设为ℎ．考虑三棱锥ABCDʹ的体积，以ABC为底面，可得V=1×1×1×2×1=1.而△ADʹC中，AC=DʹC=，ADʹ=，故S△ADʹC=3 2 .所以，V=1×3×ℎ=1⇒ℎ=2,即直线BCʹ到平面DʹAC的距离为23．45. （1）S△ABC=12AB⋅AC=12×2×23=23,三棱锥P−ABC的体积为V=1S△ABC×PA=1×23×2=43.（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，所以cos∠ADE=22+22−22×2×2=34,所以∠ADE=arccos 3 .因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos34．46. （1）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．因为在直角三角形PCD中，PD=22+222=23，CD=2，所以三角形PCD的面积为1×2×23=2 3.（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B2,0,0，C 2,22,0，E 1,2,1，AE=1,2,1，BC=0,22,0．设AE与BC的夹角为θ，则cosθ=AE⋅BC ∣∣AE∣∣∣∣BC∣∣=42×22=22,所以θ=π4 ,由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．解法二：如图所示，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF=2，AF=2，AE=2，知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=π4，因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．47. （1）连接BD，AB1，B1D1，AD1，因为BD∥B1D1，AB1=AD1，所以异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1，记∠AB1D1=θ，AB12=AD12=22+12=5,B1D12=2,所以在△AB1D1中，由余弦定理cosθ=AB12+B1D12−AD122AB1×B1D1=1010.所以异面直线BD与AB1所成角的余弦值为1010．（2）连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V=V ABCD−A1B1C1D1−4×V C−B1C1D1=2−4×1 3=2 .48. （1）因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为△ABB1≌△ADD1，所以AB1=AD1，又O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，则∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．在Rt△AA1B1中，tanα=AA1 A1B1.在Rt△AA1O1中，tanβ=AA1 11.又A1B1=2A1O1，所以tanβ=α．（2）建立如图空间直角坐标系．设正四棱柱的高为 ℎ，底面边长为 1，则 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，从而AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC = 1,1,0 .设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,即x −ℎz =0,y −ℎz =0,取 z =1，得 n = ℎ,ℎ,1 ．则点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4.解得 ℎ=2．49. （1） 连接 AO 1，AA 1⊥ 底面 A 1B 1C 1D 1 于 A 1．AB 1 与底面 A 1B 1C 1D 1 所成的角为 ∠AB 1A 1，即 ∠AB 1A 1=α． 因为 AB 1=AD 1，O 1 为 B 1D 1 中点，所以 AO 1⊥B 1D 1，又 A 1O 1⊥B 1D 1，所以 ∠AO 1A 1 是二面角 A −B 1D 1−A 1 的平面角，即 ∠AO 1A 1=β． 设 AA 1=ℎ，所以tan α=AA 111=ℎ,（2） 建立如图空间直角坐标系，有 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC= 1,1,0 . 设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⊥AB 1 ,n ⊥AD 1,即n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,取 z =1 得n = ℎ,ℎ,1 .所以点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4, 则 ℎ=2．50. （1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l ，则l=1.2−2r 0<r <0.6 ,S=−3π r −0.4 2+0.48π,所以当 r =0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米． （2） 当 r =0.3 时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3=0.3,0.3,0.6，A3B5=−0.3,0.3,0.6，设向量A1B3与A3B5的夹角为θ，则cosθ=A1B3⋅A3B5∣A1B3∣⋅∣A3B5∣=2,所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的余弦值为23．51. （1）圆柱体的高为1.2−2r，故S=πr2+2πr1.2−2r=π−3r2+2.4r0<r<0.6.当r=0.4时，S max=1.5080≈1.51m2.（2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图．52. （1）因为CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B．由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B，得A1C⊥AE，同理可证A1C⊥AF，因为AF∩AE=A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1C⊥平面AEF．（2）过A作BD的垂线交CD于G，因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD．设AG与A1C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG=94．如图，建立直角坐标系，则得点 A 0,0,0 ，G 94,3,0 ，A 1 0,0,5 ，C 4,3,0 ，AG = 94,3,0 ，A 1C = 4,3,−5 ，因为 AG 与 A 1C 所成的角为 α．所以 cos α=∣∣AG ⋅A 1C ∣∣∣∣AG ∣∣⋅∣∣A 1C ∣∣=12 225，α=arccos12 225．由定理知，平面 AEF 与平面 D 1B 1BD 所成角的大小为 arccos 12 225．53. （1） 设 ℎʹ 为正四棱锥的斜高． 由已知a 2+4⋅1ℎʹa =2,ℎ2+1a 2=ℎʹ2,解得 a =ℎ2+1ℎ>0 ．（2） V =13ℎa 2=ℎ3 ℎ2+1ℎ>0 ，易得 V =13 ℎ+1ℎ，因为 ℎ+1ℎ≥2 ℎ⋅1ℎ=2，所以 V ≤16． 等号当且仅当 ℎ=1ℎ，即 ℎ=1 时取得．故当 ℎ=1 米时，V 有最大值，V 的最大值为 16立方米． 54. 如图，建立空间直角坐标系．则 A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，A 1 2,0,2 ，B 1 0,0,2 ，C 1 0,2,2 ． 设 AC 的中点为 M ，连接 BM ．∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥ 平面 A 1C 1C ，即 BM = 1,1,0 是平面 A 1C 1C 的一个法向量． 设平面 A 1B 1C 的一个法向量是 n = x ,y ,z ．因为A 1C = −2,2,−2 ,A 1B 1 = −2,0,0 ,所以n ⋅A 1B 1 =−2x =0,n ⋅A 1C =−2x +2y −2z =0,令 z =1，解得x =0,y =1.所以n = 0,1,1 .设法向量 n 与 BM 的夹角为 φ，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 θ，显然 θ 为锐角． 因为cos θ=∣cos φ∣=∣∣n ⋅BM ∣∣∣n ∣⋅∣∣BM ∣∣=12,解得θ=π.所以，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 π3．55. （1） 在四棱锥 P −ABCD 中，因为 PO ⊥ 平面 ABCD ， ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO =60∘． 在 Rt △AOB 中 BO =AB sin30∘=1，由 PO ⊥BO ， 于是，PO =BO tan60∘= 3，而底面菱形的面积为 2 3． 故四棱锥 P −ABCD 的体积 V =13×2 3× 3=2．（2） 解法一：以 O 为坐标原点，射线 OB 、 OC 、 OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．在 Rt △AOB 中 OA = A 、 B 、 D 、 P 的坐标分别是 A 0,− 0 、 B 1,0,0 、 D −1,0,0 、 P 0,0, 3 ． E 是 PB 的中点，则 E 12,0,32，于是 DE = 32,0,32，AP = 0, 3, 3 .设 DE与 AP 的夹角为 θ，有 cos θ=324+4⋅ 3+3=24． 所以，异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24． 解法二：取 AB 的中点 F ，连接 EF 、 DF ．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）．在Rt△AOB中AO=AB cos30∘=3=OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA=EF=62．在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3，所以cos∠FED=12EFDE=643=24，故异面直线DE与PA所成角的余弦值为24．56. （1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），∵∠ABC=90∘,AB=BC=1，∴∠ACB=45∘，∴异面直线B1C1与AC所成角为45∘．（2）∵AA1⊥平面ABC，∴∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠A1CA=45∘，∵∠ABC=90∘,AB=BC=1,AC=2，∴AA1=2，∴三棱锥A1−ABC的体积V=13S△ABC×AA1=26．57. （1）∵棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60∘，∴P−ABC是正四面体．（2）取BC的中点M，连接PM,DM,AM．∵BC⊥PM,BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM，则∠DMA为二面角D−BC−A的平面角．由（1）知，P−ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=32，由D是PA的中点，得sin∠DMA=ADAM =33，∴二面角D−BC−A的余弦值为63．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF−ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为12，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为18sinα=V．∵正四面体P−ABC的体积是212，故构造棱长均为12，底面相邻两边夹角的正弦值为8V的直平行六面体即满足要求．。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解7不等式部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解7不等式部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是 A. 1a <1bB. −a<C. a2<b2D. ∣a∣>∣b∣2. 若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>abD. ba+ab≥23. 下列不等式中，与不等式x+8x+2x+3<2解集相同的是 A. x+8x2+2x+3<2B. x+8<2x2+2x+3C. 1x2+2x+3<2x+8D. x2+2x+3x+8>124. 若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件5. 若p=a+1a+2a>0，q=arccos t−1≤t≤1，则下列不等式恒成立的是 A. p≥π>qB. p>q≥0C. 4>p≥qD. p≥q>06. 若关于x的不等式1+k2x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有 A. 2∈M，0∈MB. 2∉M，0∉MC. 2∈M，0∉MD. 2∉M，0∈M7. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P x,y、点Pʹxʹ,yʹ满足x≤xʹ且y≥yʹ，则称P优于Pʹ．如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 A. ABB. BCC. CDD. DA二、填空题（共22小题；共110分）8. 不等式x2x−1<0的解为．9. 若x，y满足条件x+y≤3,y≤2x,则z=3x+4y的最大值是．10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．11. 不等式x+1x≤3的解集为．12. 不等式1x<1的解集为．13. 若x，y满足x≥0,y≥0,y≥x+1,则x−2y的最大值为．14. 设x∈R，则不等式∣x−3∣<1的解集为．15. 设x∈R，则不等式∣x−3∣<1的解集为．16. 已知实数x，y满足y≤2x,y≥−2x,x≤3,则目标函数z=x−2y的最小值是．17. 已知实数x，y满足x+y−3≥0,x+2y−5≤0,x≥0,y≥0,则y−2x的最大值是．18. 若变量x，y满足条件3x−y≤0x−3y+5≥0，则z=x+y的最大值为．19. 当x、y满足不等式组2≤x≤4,y≥3,x+y≤8时，目标函数k=3x−2y的最大值为．20. 当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是．21. 设a为实常数，y=f x是定义在R上的奇函数，当x<0时，f x=9x+a2x+7，若f x≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．22. 设a>0，b>0，若关于x，y的方程组ax+y=1x+by=1无解，则a+b的取值范围是．23. 设常数a>0，若9x+a2x≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为．24. 若f x=x 2−x−12，则满足f x<0的x的取值范围是．25. 若x，y满足x−y≥0,x+y≤2,y≥0,则目标函数f=x+2y的最大值为．26. 设f x=−x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f0是f x的最小值，则a的取值范围为．27. 满足约束条件∣x∣+2∣y∣≤2的目标函数z=y−x的最小值是．28. 三个同学对问题"关于x的不等式x2+25+∣x3−5x2∣≥ax在1,12上恒成立，求实数a的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是．29. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为0,1，4,2，2,6．如果P x,y是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取到最大值时，点P的坐标是．三、解答题（共14小题；共182分）30. 已知实数p满足不等式2x+1x+2<0，试判断方程z2−2z+5−p2=0有无实根，并给出证明．31. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?32. 已知R为全集，A= x∣log123−x≥−2，B= x∣5x+2≥1，求∁R A∩B．33. 已知函数f x=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a,b满足ab≠0．（1）若ab>0，判断函数f x的单调性；（2）若ab<0，求f x+1>f x时x的取值范围．34. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8 m2．问x、y分别为多少（精确到0.001 m）时用料最省?35. 已知函数f x=x2+ax，x≠0，常数a∈R．（1）当a=2时，解不等式f x−f x−1>2x−1；（2）讨论函数f x的奇偶性，并说明理由．36. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为 米，盖子边长为a米．（1）求a关于 的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当 为何值时，V最大?求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）37. 已知数列a n与b n满足a n+1−a n=2b n+1−b n，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求a n的通项公式；（2）设a n的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N∗），求证：b n的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ<0，b n=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N∗，a n≠0，且a ma n ∈16,6．38. 已知数列a n满足13a n≤a n+1≤3a n，n∈N∗，a1=1，设a n的公差为d．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若a n是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+⋯+a n，13S n≤S n+1≤3S n，n∈N∗，求q的取值范围；（3）若a1，a2，⋯,a k成等差数列，且a1+a2+⋯+a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，⋯，a k的公差．39. 已知函数f x=x+ax 的定义域为0,+∞，且f2=2+22．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：∣PM∣⋅∣PN∣是否为定值?若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．40. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．41. 已知数列a n满足13a n≤a n+1≤3a n,n∈N∗，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若a n是等比数列，且a m=11000，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应a n 的公比；（3）若a1,a2,⋯,a100成等差数列，求a1,a2,⋯,a100的公差的取值范围．42. 对于数集X=−1,x1,x2,⋯,x n，其中0<x1<x2<⋯<x n,n≥2，定义向量集Y=a∣a=s,t,s∈X,t∈X．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1⋅a2=0，则称X具有性质P．例如−1,1,2具有性质P．（1）若x>2，且−1,1,2,x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n>1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1,x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,⋯,x n的通项公式．43. 对定义域分别是D f、D g的函数y=f x、y=g x，规定：函数x=f x⋅g x,当x∈D f,且x∈D gf x,当x∈D f,且x∉D gg x,当x∉D f,且x∈D g（1）若函数f x=1x−1，g x=x2，写出函数 x的解析式；（2）求问题（1）中函数 x的值域；（3）若g x=f x+α，其中α是常数，且α∈0,π，请设计一个定义域为R的函数y=f x，及一个α的值，使得 x=cos4x，并予以证明．答案第一部分1. A2. D 【解析】因为a2+b2≥2ab，所以a2+b2>2ab不恒成立；当a<0,b<0时，a+b≥2，1a +1b>ab不成立；而当ab>0时，ba >0，ab>0，则ba+ab≥2ba⋅ab=2.3. B4. A5. B 【解析】p=a+1+2≥2a⋅1+2=4.当且仅当a=1时，上式取等号．而0≤q≤π，所以p>q≥0．6. A 【解析】x≤k4+41+k ，令y=k4+41+k，则x要小于等于y的最小值，y=k4+k2−k2−1+5k+1=k2+1+5k+1−2≥25−2．当且仅当k2=5−1时取到等号，所以x≤25−2，所以2∈M，0∈M．7. D 【解析】提示：P优于Pʹ的几何意义是：过Pʹ分别作平行于两坐标轴的直线，则点P落在两直线构成的左上方区域内．第二部分8. 0,129. 1110. 2211. x∣x<0 或x≥12【解析】x+1x ≤3⇒1−2xx≤0⇒x<0或x≥12．12. x∣x<0或x>113. −2【解析】由不等式组画出可行域，如图，令z=x−2y，当直线y=12x−12z经过点P0,1时，z取得最大值，且为−2．14. 2,4【解析】∣x−3∣<1⇔−1<x−3<1⇔2<x<4，故不等式∣x−3∣<1的解集为2,4．15. 2,4【解析】−1<x−3<1，即2<x<4．16. −917. 018. 5219. 620. k≤1【解析】如图，函数y=sinπx2与函数y=x的图象交于点0,0和1,1，所以当k≤1时满足题意．21. a≤−87【解析】f0=0，故0≥a+1⇒a≤−1;当x>0时，f x=9x+a2−7≥a+1,即6∣a∣≥a+8，又a≤−1，故a≤−87．22. 2,+∞【解析】由已知，ab=1，且a≠b，所以a+b>2ab=2．23. 15,+∞【解析】当x>0时，f x=9x+a 2x ≥29x⋅a2x=6a≥a+1⇒a≥15．24. 0,1【解析】∵f(x)的定义域为(0,+∞)，fʹ(x)=23x−13+12x−32>0，且f(1)=0，∴f x<0的解集是0,1．25. 326. −∞,2【解析】当x≤0时，f x的最小值为f0=a.由题意，得a≤x+1x.而x>0时，x+1x ≥2 x⋅1x=2，即x+1x的最小值为2，故a≤2．27. −2【解析】对∣x∣+2∣y∣≤2分x≥0,y≥0;x≥0,y≤0;x≤0,y≥0;x≤0,y≤0四种情况讨论，画出可行域，它是以(−2,0)、(0,−1)、(2,0)、(0,1)为顶点的菱形及其内部的区域．当直线y=x+z 通过点(2,0)时，z取得最小值−2．28. a≤10【解析】x2+25+∣x3−5x2∣≥ax在1,12上恒成立⇔a≤x+25x+∣x2−5x∣在1,12上恒成立．29. 52,5【解析】如图，根据△ABC围成的区域，显然当P点在线段BC上时可能取到最大值．线段BC的方程为y=−2x+102≤x≤4．于是w=xy=x−2x+10=−2 x−522+252，当x=52时，y=5，此时w有最大值252．第三部分30. 由2x+1x+2<0，解得−2<x<−12．∴−2<p<−12．方程z2−2z+5−p2=0的判别式Δ=4p2−4．∵−2<p<−12，∴14<p2<4，Δ<0，由此得方程z2−2z+5−p2=0无实根．31. （1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=72，代入抛物线方程y=1249x2，得P的纵坐标y P=3．由∣AP∣=9492，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan∠OAP=730，得∠OAP=arctan730，故救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度．（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为7t,12t2．由vt=7t2+12t2+122，整理得v2=144 t2+1t2+337.因为t2+1t2≥2，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．32. 由已知log123−x≥log124，因为y=log1x为减函数，所以3−x≤4．由3−x≤4,3−x>0解得−1≤x<3．所以A=x∣−1≤x<3．由5x+2≥1，解得：−2<x≤3．所以B=x∣−2<x≤3．于是∁R A= x∣x<−1 或x≥3，故∁R A∩B= x∣−2<x<−1 或x=3．33. （1）当a>0,b>0时，设任意x1,x2∈R，x1<x2，则f x1−f x2=a2x1−2x2+b3x1−3x2，因为2x1<2x2,a>0，所以a2x1−2x2<0，因为3x1<3x2,b>0，所以b3x1−3x2<0，所以f x1−f x2<0，函数f x在R上是增函数．当a<0,b<0时，同理可得，函数f x在R上是减函数．（2）原不等式等价于f x+1−f x>0,即a⋅2x+2b⋅3x>0，当a<0,b>0时，32x>−a2b，则x>log1.5 −a2b;当a>0,b<0时，32x<−a2b，则x<log1.5 −a2b.34. 由题意得xy+1x2=8,所以y=8−x24=8−x,框架用料长度为：l=2x+2y+22x =3+2x+16≥46+42=8+4 2.当32+2x=16x时，即x=8−4时等号成立．此时x≈2.343,y=22≈2.828.故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．35. （1）因为x2+2x −x−12−2x−1>2x−1，所以2x −2x−1>0，所以x x−1<0．所以原不等式的解集为x∣0<x<1．（2）当a=0时，f x=x2，对任意x∈ −∞,0 ∪ 0,+∞ ，f−x=−x2=x2=f x，所以f x为偶函数．当a≠0时，f x=x2+ax a≠0,x≠0 ,取x=±1，得f−1+f1=2≠0,f−1−f1=−2a≠0,所以f−1≠−f1,f−1≠f1,所以，函数f x既不是奇函数，也不是偶函数．36. （1）设 ʹ为正四棱锥的斜高．由已知a2+4⋅1ʹa=2,2+1a2= ʹ2,解得a=2+1>0．（2）V=13 a2=3 2+1>0，易得V=13 +1，因为 +1≥2 ⋅1=2，所以V≤16．等号当且仅当 =1，即 =1时取得．故当 =1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．37. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以a n是首项为1，公差为6的等差数列，故a n的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2b n+1−b n，得a n+1−2b n+1=a n−2b n，所以a n−2b n为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1，因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n，故b n的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2λn+1−λn，当n≥2时，a n=a n−a n−1+a n−1−a n−2+⋯+a2−a1+a1=2λn−λn−1+2λn−1−λn−2+⋯+2λ2−λ+3λ=2λ2+λ.当n=1时，a1=3λ，符合上式，所以a n=2λn+λ．因为a1=3λ<0，且对任意n∈N∗，a1a n ∈16,6，故a n<0，特别地，a2=2λn+λ<0，于是λ∈ −12,0．此时对任意n∈N∗，a n≠0．当−12<λ<0时，a2n=2∣λ∣2n+λ>λ，a2n−1=−2∣λ∣2n−1+λ<λ，由指数函数的单调性知，a n的最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值为a1=3λ．由题意a ma n 的最大值及最小值分别为a1a2=32λ+1及a2a1=2λ+13．由2λ+13>16及32λ+1<6，解得−14<λ<0．综上所述，λ的取值范围为 −14,0．38. （1）由题意得23≤x≤6x3≤9≤3x⇒x∈3,6．（2）由题意得，因为13a n≤a n+1≤3a n，且数列a n是等比数列，a1=1，所以13q n−1≤q n≤3q n−1,所以q n−1 q−13≥0,q n−1q−3≤0,所以q∈13,3．又因为13S n≤S n+1≤3S n，所以当q=1时，n3≤n+1≤3n对n∈N∗恒成立，满足题意．当q≠1时，1⋅1−q n≤1−q n+1≤3⋅1−q n,①当q∈13,1时，q n q−3≥−2,q n3q−1≤2,由单调性可得q1q−3≥−2,q13q−1≤2,解得q∈13,1；②当q∈1,3时，q n q−3≤−2,q n3q−1≥2,由单调性可得，q1q−3≤−2,q13q−1≥2,解得q∈1,2．综上可得，q∈13,2．（3）由题意得，因为13a n≤a n+1≤3a n，且数列a1,a2,⋯,a k成等差数列，a1=1，所以11+n−1d≤1+nd≤31+n−1d,所以d2n+1≥−2,d2n−3≥−2,所以d∈ −22k−1,2．又因为a1+a2+⋯+a k=1000，所以S k=dk2+ a1−dk=dk2+1−dk=1000,所以d=2000−2k2,所以2000−2kk−k ∈ −22k−1,2，解得k∈32,1999,k∈N∗，所以k的最大值为1999，此时公差为d=−11999．39. （1）由已知，得f2=2+a=2+2,解得a=2．（2）设点P的坐标为x0,y0，则y0=x0+2x0,x0>0.由点到直线的距离公式，得∣PM ∣=00 2=10,∣PN ∣=x 0,从而∣PM ∣⋅∣PN ∣=1,因此，∣PM ∣⋅∣PN ∣ 为定值，且这个值为 1． （3） 设 M t ,t ，由 PM 与直线 y =x 垂直，得k PM ⋅k MO =−1,即y 0−t0=−1, 解得t =1x 0+y 0 ,由 y 0=x 0+ 2x 0，得t =x 0+22x 0. 则S △OPM=12∣PM∣⋅∣OM∣=12⋅1x 0⋅ 2t =102+ 2.S △OPN=1∣ON∣⋅∣PN∣=1x 0y 0=1x 02+ 2. 从而S 四边形OMPN=S △OPM +S △OPN =1 x 02+102 + 2≥1+ 2.当且仅当 x 0=1 时，上式等号成立．因此，四边形 OMPN 面积的最小值为 1+ 2． 40. （1） 由题意得 ∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由 x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由 x 2−1<−1，得 x ∈∅．综上可知 x 的取值范围为 −∞,− 2 ∪ 2,+∞ ． （2） 由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为 a ≠b ，且 a 、 b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 2+ b 2−2 a b ∣∣∣=∣∣∣ a 3− b 3 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为 a 、 b 都为正数且 a ≠b ，所以上式成立．故命题成立． （3） 因为 x ≠kπ2+π4,k ∈Z ,x ∈R ，所以当 ∣sin x ∣>∣cos x ∣ 时，得 sin 2x >cos 2x ，即 cos2x <0，解得 kπ+π4<x <kπ+3π4,k ∈Z ，此时 f x =sin x ；当 ∣sin x ∣<∣cos x ∣ 时，得 sin 2x <cos 2x ，即cos2x >0，解得 kπ−π4<x <kπ+π4,k ∈Z ，此时 f x =cos x ．综上可得f x = sin x ,x ∈ kπ+π4,kπ+3π4 k ∈Z ,cos x ,x ∈ kπ−π,kπ+πk ∈Z .性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22 ∪ 22,1 ；函数最小正周期为 2π； 函数的单调增区间为 2kπ−π4,2kπ ， 2kπ+π4,2kπ+π2 ， 2kπ+π,2kπ+5π4和 2kπ+3π2,2kπ+7π4,k ∈Z ；函数的单调减区间为 2kπ,2kπ+π4 ， 2kπ+π2,2kπ+3π4， 2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k ∈Z ．41. （1） 由已知得2≤x ≤6,x≤9≤3x , 解得3≤x ≤6.所以，x 的取值范围是 3,6 ．（2） 设 a n 的公比为 q ，由 13a n ≤3a n ，又 a n ≠0，则a n >0.由 13a n ≤a n +1≤3a n ，解得13≤q ≤3. 从而1=a 1q m−1=q m−1≥ 1 m−1, 即3m−1≥1000,解得m ≥8.当 m =8 时，q = 110007∈ 13,3 .所以，m 的最小值为 8． 当 m =8 时，数列 a n 的公比为104710．（3） 设数列 a 1,a 2,⋯,a 100 的公差为 d ，则 13a n≤a n +d ≤3a n , 所以−2a n ≤d ≤2a n ,n =1,2,⋯,99. ① 当 d >0 时，a 99>a 98>⋯>a 2>a 1,所以0<d ≤2a 1,由于 a 1=1，因此0<d ≤2;② 当 d =0 时，a 99=a 98=⋯=a 2=a 1,符合条件； ③当 d <0 时，a 99<a 98<⋯<a 2<a 1,所以−2a 99≤d ≤2a 99, 即−231+98d ≤d ≤2 1+98d , 又 d <0，解得−2199≤d <0.综上，等差数列a1,a2,⋯,a100的公差的取值范围是 −2199,2．42. （1）选取a1=x,2，Y中与a1垂直的元素必有形式−1,b，所以x=2b，从而x=4.（2）取a1=x1,x1∈Y，设a2=s,t∈Y满足a1⋅a2=0,由s+t x1=0得s+t=0,所以s,t异号．因为−1是X中唯一的负数，所以s,t之中一为−1，另一为1，故1∈X.假设x k=1，其中1<k<n，则0<x1<1<x n.选取a1=x1,x n∈Y，并设a2=s,t∈Y满足a1⋅a2=0,即sx1+tx n=0,则s,t异号，从而s,t之中恰有一个为−1．若s=−1，则x1=tx n>t≥x1，矛盾；若t=−1，则x n=sx1<s≤x n，矛盾，所以x1=1.（3）解法一：猜测x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．记A k=−1,1,x2,⋯,x k,k=2,3,⋯,n.先证明：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取a1=s,t,s,t∈A k．当s,t中出现−1时，显然有a2满足a1⋅a2=0；当s≠−1且t≠−1时，则s,t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有a2=s1,t1,s1,t1∈A k+1，使得a1⋅a2=0，从而s1和t1中有一个是−1，不妨设s1=−1．假设t1∈A k+1且t1∉A k，则t1=x k+1．由s,t⋅−1,x k+1=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．现用数学归纳法证明：x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，A k=−1,1,x2,⋯,x k有性质P，即x i=q i−1,i=1,2,⋯,k；当n=k+1时，若A k+1=−1,1,x2,⋯,x k,x k+1有性质P，则A k=−1,1,x2,⋯,x k也有性质P，所以A k+1=−1,1,q,⋯,q k−1,x k+1．取a1=x k+1,q，并设a2=s,t满足a1⋅a2=0．由此可得s=−1或t=−1．若t=−1，则x k+1=qs≤q，不可能；所以s=−1,x k+1=qt≤q k且x k+1>q k−1，所以x k+1=q k．综上所述，x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．解法二：设a1=s1,t1,a2=s2,t2，则a1⋅a2=0等价于s1t1=−t2s2．记B=st∣s∈X,t∈X,∣s∣>∣t∣ ，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．注意到−1是X中的唯一负数，B∩−∞,0=−x2,−x3,⋯,−x n共有n−1个数，所以B∩0,+∞也只有n−1个数．由于x n x n−1<x nx n−2<⋯<x nx2<x nx1,已有n−1个数，对以下三角数阵：x n n−1<x nn−2<⋯<x n2<x n1,x n−1 x n−2<x n−1x n−3<⋯<x n−1x1,⋯⋯x21.注意到x nx1>x n−1x1>⋯>x2x1，所以x nn−1=x n−1n−2=⋯=x21,从而数列的通项为x k=x1x21k−1=q k−1,k=1,2,⋯,n.43. （1）根据题意，得x=x2x−1,x∈−∞,1∪1,+∞1,x=1（2）当x≠1时，x=x2 x−1=x−1+1+2.若x>1，x≥2x−1⋅1+2=4.当且仅当x=2时上式等号成立；若x<1，− x=1−x+1−2≥21−x⋅1−2=0.当且仅当x=0时上式等号成立．因此， x的值域是−∞,0∪1∪4,+∞．（3）令f x=sin2x+cos2x，且α=π4，则g x=f x+α=sin2 x+π+cos2 x+π=cos2x−sin2x.于是x=f x⋅f x+α=sin2x+cos2x⋅cos2x−sin2x=cos4x.。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解13概率统计排列组合二项式定理
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解13概率排列组合二项式定理一、选择题（共3小题；共15分）1. 若事件与相互独立，且，则的值等于A. B. C. D.2. 组合数、恒等于A. B.C. D.3. 设．随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为．若记分别为的方差，则A.B.C.D. 与的大小关系与的取值有关二、填空题（共43小题；共215分）4. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管" "处无法完全看清，且两个" "处字迹模糊，但能肯定这两个" "处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案．5. 在一个小组中有名女同学和名男同学，从中任意地挑选名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）．6. 二项式的展开式中常数项的值为．7. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．8. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望（结果用最简分数表示）．9. 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．10. 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．11. 盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）12. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．13. 某班有名学生，其中人选修课程，另外人选修课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是．（结果用分数表示）14. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表表示）．15. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．16. 某班共有名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．17. 某国际科研合作项目成员由个美国人、个法国人和个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）18. 随机变量的概率分布由下表给出：则该随机变量的均值是．19. 若某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于名的概率是（结果用最简分数表示）．20. 某班有名学生，其中人选修课程，另外人选修课程．从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的学生的概率是．（结果用分数表示）21. 在大小相同的个球中，个是红球，个是白球．若从中任意选取个，则所选的个球中至少有个红球的概率是．（结果用分数表示）22. 在平面直角坐标系中，从五个点：、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．23. 在平面直角坐标系中，从六个点、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．24. 从一副混合后的扑克牌（张）中，随机抽取张，事件为"抽得红桃 "，事件为"抽得黑桃"，则概率（结果用最简分数表示）．25. 一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文篇和非试点学校的论文篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是．（结果用分数表示）26. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是．27. 在的展开式中，的系数是，则实数．28. 设常数．若的二项展开式中项的系数为，则．29. 在的二项展开式中，常数项等于．30. 在的二项展开式中，常数项等于．31. 若在的展开式中，第项是常数项，则．32. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）．33. 随机抽取的位同学中，至少有位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到）．34. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．（结果用分数表示）35. 盒子中装有编号为，，，，，，的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．36. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于．37. 在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．38. 在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）．39. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第与第个数的比为．40. 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．41. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是．42. 某游戏的得分为，，，，，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若，则小白得分的概率至少为．43. 随机抽取个同学中，至少有个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到）．44. 如图，是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种．45. 从集合的子集中选出个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）都要选出；（2）对选出的任意两个子集和，必有或．那么，共有种不同的选法．46. 用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵．对第行，记，．例如：用可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是，所以，那么，在用形成的数阵中，．三、解答题（共1小题；共13分）47. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数的值域为，求的值；（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．答案第一部分1. B2. D3. A 【解析】由已知条件可得所以，因为所以变量较变量的波动性更大，即可得．第二部分4.【解析】设，则，所以．5.【解析】两名志愿者都是女同学的概率．6.7.【解析】每位同学均有种选择的方法，三位同学共有种不同的选择方法．其中两人选择项目相同，先从三位同学中确定两位同学，有种方法，再让这两位同学去选择项目，有种选择项目的方法；剩下的一位同学与它们不同，有种选择项目的方法．由此可得有且仅有两人选择项目完全相同的参赛方法共有种方法．故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率．8.9.10.【解析】本任意排列共有种排法，左边本恰好是同一部小说共有种排法，所以左边本恰好都是属于同一部小说的概率．11.【解析】个数个奇数，个偶数，根据题意所求概率为12.【解析】将种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为．13.14.15.16.17.【解析】提示：属于同一个国家的概率为．18.【解析】由随机变量的概率分布列知，的均值为．19.20.21.22.【解析】．23.【解析】．24.【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取张的基本事件总数为种，而事件为"抽得红桃或抽得黑桃"，其对应的事件数为，那么相应的概率为．25.【解析】篇论文任意排列共有种交流次序，最先和最后交流的论文都为试点学校的交流次序共有种，所以最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是．26.【解析】正方体中，一个面有四条棱与之垂直，所以六个面共构成个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成个“正交线面对”，所以共有个“正交线面对”．27.28.【解析】，令，解得，从而，解得．29.30.31.32.【解析】三位同学各任选一个项目共有（种）不同的选法，而 "恰有两人所选项目相同"有（种）不同选法，故所求概率为．33.【解析】试验发生包含的基本事件数，每人生日各不相同，共有种结果，所以要求的事件的概率是．34.35.【解析】．36.【解析】，．通项．取，常数项为．37.【解析】要出现需要中有两个括号内取，剩下的括号内都取，故项的系数为．38.39.【解析】由题意得，即，解得．40.【解析】，的所有可能取值为，概率分别为，可求得．41.【解析】．42.【解析】小白玩该游戏得，，分的概率均为时，所求出的相应值为答案．43.【解析】个同学出生的月份的所有可能有种，个同学出生的月份都不相同的所有可能有种，所以至少有个同学在同一月出生的概率是．44.【解析】桥的连接方式有种，从种中任意选出个作为一种方案，于是有种，种中包含岛首尾相接的情况种，不合题意，要减去．所以一共有种情况．45.【解析】由题可知，另外两个集合均为全集的非空真子集，不妨设，两个集合分别为、，且，则选法可分为以下两类：（1）当集合中含有一个元素时，集合共有种选法，此时集合的所有选法为种；（2）当集合中含有两个元素时，集合共有种选法，此时集合的所有选法为种；综上，不同的选法共有种．46.【解析】在形成的数阵中，第列为的有个，同理第列分别为、、、的也有个，则在形成的数阵中，每一列各数之和都是所以第三部分47. （1）函数的最小值是，则，故．（2）设，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增；在上单调递减．（3）可以把函数推广为（常数），其中是正整数．当是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数．当是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．因此在上是减函数，在上是增函数．所以，当或时，取得最大值；当时，取得最小值．。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分一、选择题（共6小题；共30分）1. 设z1,z2∈C，则“ z1，z2均为实数”是“ z1−z2是实数”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 设z1,z2∈C，则“ z1，z2中至少有一个数是虚数”是“ z1−z2是虚数”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. " −2≤a≤2 "是"实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根"的 A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合a,b=a2,b2，则a+b= A. 2B. 1C. 0D. −15. 若1+是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则 A. b=2，c=3B. b=2，c=−1C. b=−2，c=−1D. b=−2，c=36. 已知a,b∈R，且2+a i，b+3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a，b的值分别是 A. a=−3,b=2B. a=3,b=−2C. a=−3,b=−2D. a=3,b=2二、填空题（共16小题；共80分）=（i为虚数单位）．7. 计算：3−i1+i8. 若复数z满足z=m−2+m+1i（i为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则∣z∣=．9. 若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根，且∣z∣=2，则p=．10. 设z=3+2i，其中i为虚数单位，则z的虚部等于．i，其中i为虚数单位，则z的虚部等于．11. 设z=3+2ii12. 若复数z满足3z+z=1+i，其中i为虚数单位，则z=．⋅z=．13. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则 zz14. 设m∈R，m2+m−2+m2−1i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．15. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合a,b=a2,b2，则a+b=．16. 若复数z满足z1+i=1−i（i是虚数单位），则其共轭复数z=．17. 若复数z同时满足z−z−=2i，z−=i z（i为虚数单位），则z=．18. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．19. 若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是．20. 若复数z满足方程z i=i−1（i是虚数单位），则z=．⋅z=．21. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则 z+z22. 对于非零实数a,b，以下四个命题都成立．≠0；②a+b2=a2+2ab+b2；①a+1a③若∣a∣=∣b∣，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a,b，仍然成立的命题的所有序号是．三、解答题（共6小题；共78分）23. 已知复数z1满足z1−21+i=1−i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数，求z2．24. 已知复数z1满足z1−21+i=1−i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，z1⋅z2是实数，求z2．25. 证明：在复数范围内，方程∣z∣2+1−i z−1+i z=5−5i（i为虚数单位）无解．2+i26. 已知复数z1满足1+i z-1=−1+5i，z-2=a−2−i，其中i为虚数单位，a∈R，若∣z1−z2∣<∣z1∣，求a的取值范围．27. 已知复数z=a+b i a,b∈R+i是虚数单位是方程x2−4x+5=0的根．复数w=u+3i u∈R满足∣w−z∣<25，求u的取值范围．均为实数（i为虚数单位），且复数 z+a i 2在复平面上对应的点28. 已知z是复数，z+2i和z2−i在第一象限，求实数a的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. A 【解析】"实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根"即指判别式小于0．4. D 【解析】若a=a2,b=b2，则a,b分别为0,1，而ab≠0，所以一定有a2=b≠a，b2=a．从而a4=a,b4=b，即a,b是方程x4−x=x x−1x2+x+1=0的两个根，而a≠1，否则b=0，同理b≠1，故a,b是方程x2+x+1=0的两个根，从而a+b=−1．5. D【解析】由已知条件可得1+2i的共轭复数1−2i也必是实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，所以−b=1+2i+1−2i=2，c=1+2i1−2i=3．6. A 【解析】因为2+a i，b+3i是实系数一元二次方程的两个根，所以2+a i，b+3i互为共轭复数，则a=−3，b=2．第二部分7. 1−2i8. 39. 4【解析】实系数方程虚根成对出现，由韦达定理，得p=zz=∣z∣2=4．10. −3【解析】z=3+2ii=2−3i，所以z的虚部等于−3．11. −3【解析】z=−i3+2i=2−3i．12. 14+12i13. 614. −215. −1【解析】当a=a2,b=b2时，不合题意；当a=b2,b=a2时，两式相减，得a−b=b2−a2，因为ab≠0，a≠b，所以a+b=−1．16. i17. −1+i18. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．19. 120. 1−i21. 6【解析】 zz⋅z=z⋅z+1=1+2i1−2i+1=1−2i2+1=6．22. ②④【解析】当a=i时，①不成立；显然③不成立，如当a=1+i，b=1−i时就是反例．第三部分23. 由z1−21+i=1−i得z1−2=1−i1+i=−i,所以z1=2−i,设z2=a+2i，a∈R，则z1z2=2−i a+2i=2a+2+4−a i,因为z1z2∈R，所以4−a=0，a=4，z2=4+2i.24. 由z1−21+i=1−i，解得z1=3+i 1+i=3+i1−i2=2−i.设z2=a+2i,a∈R，则z1⋅z2=2−i a+2i=2a+2+4−a i.由z1z2∈R，得4−a=0，即a=4．因此，z2=4+2i．25. 设z=x+y i x,y∈R，代入原方程并整理得x2+y2−2x+y i=1−3i,根据复数相等的定义，得x2+y2=1,⋯①2x+2y=3.⋯②将②代入①整理，得8x2−12x+5=0.因为Δ=−16<0，所以方程8x2−12x+5=0无实数解．因此，原方程在复数范围内无解．26. 由题意得z1=−1+5i=2+3i,于是∣z1−z2∣=∣4−a+2i∣=4−a2+4,∣z1∣=13.所以<13,得a2−8a+7<0,所以1<a<7．27. 原方程的根为x1,2=2±i,由于a,b∈R+，故z=2+i,所以∣w−z∣=∣u+3i−2+i∣=2<25,解得−2<u<6.28. 设z=x+y i x,y∈R，由 z+2i=x+y+2i为实数，得y=−2．又因为z 2−i =x−2i2−i=15x−2i2+i=152x+2+15x−4i为实数，所以x=4，从而z=4−2i．因为复数 z+a i 2=12+4a−a2+8a−2i 对应的点在第一象限，所以12+4a−a2>0,8a−2>0,解得2<a<6．因此，实数a的取值范围是2,6．。
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3. 计算： 2i = __________（ i 为虚数单位）。 1+ i
4.
已知集合 A =
x| x 2
，
B
=
x
|
1 x +1
0
，则
A
B
=
__________。
5.
若椭圆
x2 25
+
y2 16
10. 各棱长为1的正四棱锥的体积V = __________。
开始
否 是
12 4 11. 方程 1 x x2 = 0 的解为 __________。
1 −3 9
12. 根据所示的程序框图（其中 x表示不大于 x 的最大整数），
输出 r = __________。 13. 在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm ，
已知首项为
x1 的数列xn 满足
xn+1
=
axn xn +1
（a
为常数）。
1) 若对于任意的 x1 −1，有 xn+2 = xn 对于任意的 n N * 都成立，求 a 的值；
4
上海高考真题-2010 春
2) 当 a = 1时，若 x1 0 ，数列xn 是递增数列还是递减数列？请说明理由； 3) 当 a 确定后，数列 xn 由其首项 x1 确定。当 a = 2 时，通过对数列 xn 的探究，写出
24. 不等式 2 − x 0 的解集是 __________。 x+4
25. 若复数 z = 1− 2i （ i 为虚数单位），则 z z + z = __________。
5
上海高考真题-2010 春
26. 若动点 P 到点 F(2,0) 的距离与它到直线 x + 2 = 0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为
( ) 在平面上，给定非零向量 b 。对任意向量 a ，定义 a' = a − 2 a b b 。 2 b
1) 若 a = (2,3)， b = (−1,3)，求 a' ； 2) 若 b = (2,1)，证明：若位置向量 a 的终点在直线 Ax + By + C = 0 上，则位置向量 a' 的
终点也在一条直线上；
lim Sn = ______。 n→ n3 + 1
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
15. 若空间三条直线 a、b、c 满足 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则直线 a 与 c （ ）。
2
上海高考真题-2010 春
(A)一定平行 (B)一定相交
(C )一定是异面直线 (D)平行、相交、是异面直线都有可能
东经121 、北纬 39 ，里斯本的位置约为西经10 、北纬 39 。
1) 若飞机以平均速度 720 千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时
（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到 0.1 小时）？
2) 求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）。
北极
里斯本
大连
上海
赤道
O
南极
22. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
母 线长最短 50cm ， 最长 80cm ，则斜 截圆柱的 侧面积
S = __________cm2 。
14. 设 n 阶方阵
输出 r 结束
50cm
80cm
40cm
1
2n +1
3 2n + 3
5 2n + 5
2n −1 4n −1
An
=
4n +1
4n + 3
4n + 5
6n
−
1
(A)不能作出满足要求的三角形 (B)作出一个锐角三角形
7
(C )作出一个直角三角形
(D ) 作出一个钝角三角形
上海高考真题-2010 春
六、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）
42. （本题满分 12 分）
已知 0 x ，化简： 2
lg cos x tan
x
+1−
2 sin 2
x 2
16. 已知 a1, a2 (0,1)，记 M = a1a2 ，N = a1 + a2 −1，则 M 与 N 的大小关系是（ ）。 (A) M N (B) M N (C) M = N (D)不确定
17. 已知抛物线 C : y 2 = x 与直线 l : y = kx + 1，“ k 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不
“ xn 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第 3 题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予 不同的评分。
2010 年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：本试卷共有 23 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
四、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，满分 56 分）
五、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
38. “ x = 2k + (k Z )”是“ tan x = 1”成立的（ ）。
4
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C )充要条件 (D)既不充分也不必要条件
39.
直线
l
的参数方程是
x
y
= 1 + 2t ,
= 2−t
(t
结束
数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ___________ 。
31. 对任意不等于1的正数 a ，函数 f (x) = loga (x + 3)的反函数的图像都经过点 P ，则点 P
的坐标为 __________。 32. 从一副混合后的扑克牌（ 52张）中，随机抽取1张，事件 A 为“抽得红桃 K ”，事件 B
6
上海高考真题-2010 春
( ) 34. 将直线 l1 : nx + y − n = 0,l2 : x + ny − n = 0 n N * ，x 轴，y 轴围成的封闭区域的面
积记为 Sn
，则
lim
n→
Sn
=
__________。
D
C
35. 如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点
= 1 上一点 P
到焦点 F1 的距离为 6
，则点 P
到另一个焦点 F2 的距离是
__________。
6. 某社区对居民进行伤害世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和
老年人分别有 800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是 70 ，则在中年人 中的抽样人数应该是 __________。
R)，则
l
的方向向量
d
可以是（
）。
(A) (1,2) (B) (2,1) (C) (− 2,1) (D) (1,−2)
40.
若
x0
是方程
1 2
x
=
1
x 3 的解，则 x0 属于区间（
）。
(A) 2 ,1 (B) 1 , 2 (C) 1 , 1 (D) 0, 1
3
2 3
3 2
3
41. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 1 , 1 , 1 ，则此人将（ ）。 13 11 5
x
7
8
9
10
P( = x) 0.3
0.35
0.2
0.15
开始 T←9,S←0
输出 T,S
否 T≤19
是 T←T+1
输入 a
则随机变量 的均值是 __________。
30. 2010年上海世博会园区每天 9 : 00开园， 20 : 00停止入园．在右边
的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人
为“抽得黑桃”，则概率 P(A B) = __________（结果用最简分数表示）。
1 2 3
2
3
4
33. 在 n 行 n 列矩阵 3 4 5
n 1 2
n − 2 n −1 n
n −1 n
1
n 1 2 中，记位于第 i 行第 j 列的数为
n − 3 n − 2 n −1
aij (i, j = 1, 2,……, n) 。当 n = 9 时， a11 + a22 + a33 + + a99 = __________。
+
lg
2
cos
x
−
4
−
lg(1
+
sin
2x)
。
43. （本题满分 13 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = n − 5an − 85，
1) 证明：an −1是等比数列；
2) 求数列S n 的通项公式，并指出 n 为何值时， Sn 取得最小值，并说明理由。
O ，剪去 AOB ，将剩余部分沿 OC, OD 折叠，使 OA, OB 重合，则
O
以 A(B),C, D,O 为顶点的四面体的体积是 __________。
A
36. 如图所示，直线
x=
2 与双曲线 :
x2 4
−
y2
= 1 的渐近线交于 E1, E2 两点，记