高中数学竞赛专题之数列
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义(五)──数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要:一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文:高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点,旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战,我们需要对这一专题有全面的了解,包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先,高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛,如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中,数列专题具有很高的出现频率和重要性,因此,对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型,它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质:任意两项之差相等;等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质:任意两项之比相等;等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1),求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中,还常遇到一些常见的数列类型,如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律,需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面,我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列,以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一:代数问题题目:已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根,求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答:根据韦达定理,对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \),其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此,对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \),我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根,我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米,求斜边的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出,公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式,我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \),求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答:等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \),其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式,我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四:组合问题题目:从 10 个不同的球中选取 5 个球,求不同的选取方式有多少种。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题(实用版)目录1.高中数学竞赛数列专题的重要性2.数列的基本概念和分类3.数列的性质和特点4.数列的解题方法与技巧5.典型例题解析6.参加高中数学竞赛的建议正文【高中数学竞赛数列专题的重要性】高中数学竞赛数列专题作为数学竞赛中的一个重要组成部分,对于提高学生的数学素养、培养学生的逻辑思维能力和解题技巧具有重要意义。
数列是数学中一个基本的研究对象,它与函数、极限、微积分等领域有着密切的联系,因此,掌握数列相关的知识对于高中生来说是十分必要的。
【数列的基本概念和分类】数列是一组按照一定顺序排列的数,其中每一个数称为这个数列的项。
数列可以按照项之间的关系分类,如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列;等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列;斐波那契数列则是指数列的前两项为 1,从第三项开始,每一项都等于前两项的和。
【数列的性质和特点】数列具有许多重要的性质和特点,如公比、公差、首项、末项等。
这些性质和特点对于数列的求和、求通项、证明数学结论等方面有着重要的应用。
在解决数列问题时,我们需要灵活运用数列的性质和特点,以便快速准确地解决问题。
【数列的解题方法与技巧】解决数列问题有许多方法与技巧,如列举法、通项公式法、错位相减法、等比数列求和公式等。
在实际解题过程中,我们需要根据题目的特点选择合适的方法与技巧,以便迅速找到解题思路。
同时,我们还需要积累大量的解题经验,以便在遇到类似问题时迅速找到突破口。
【典型例题解析】例题:已知等差数列的前三项分别为 1, 3, 5,求该数列的第 10 项。
解:根据等差数列的性质,可知该数列的公差为 3-1=2。
利用等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,其中 an 表示第 n 项,a1 表示首项,d 表示公差,n 表示项数。
将已知条件代入公式,得到 a10=1+(10-1)×2=19。
因此,该数列的第 10 项为 19。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要:一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练,提高数列水平正文:一、引言随着教育制度的不断发展,高中数学竞赛日益受到广泛关注。
在众多竞赛专题中,数列专题具有举足轻重的地位。
本文将从以下几个方面展开讨论,以帮助同学们更好地掌握数列知识,提高在数学竞赛中的竞争力。
二、数列基本概念与性质1.等差数列:等差数列是指一个数列,其中任意两个相邻的元素之差相等。
这一常量称为公差。
2.等比数列:等比数列是指一个数列,其中任意两个相邻的元素之比相等。
这一常量称为公比。
3.斐波那契数列:斐波那契数列是指这样一个数列:第一项和第二项均为1,从第三项开始,每一项等于前两项之和。
4.数列的极限与连续:数列极限是指当项数趋向无穷时,数列值的极限值。
数列连续性是指数列在某一区间内,任意两项之间的差值趋于0。
三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式:Sn = n/2 * (a1 + an),其中n为项数,a1为首项,an为末项。
2.等比数列求和公式:Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),其中n为项数,a1为首项,q为公比。
3.求和公式的应用实例:利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型,掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论,包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数,常用字母表示,如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$,第二项记作$a_2$,第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项,项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围,可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等,记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_1$表示第一项,$d$表示公差。
等差数列的性质包括:通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等,记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_1$表示第一项,$q$表示公比。
等比数列的性质包括:通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列,记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_{n-1}$表示前一项,$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括:递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式,可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中,递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
高中数学竞赛专题之数列
高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及内容对照讨论如下:性质1:若 ,,,,21n a a a 是等差(等比)数列,那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差(等比)数列。
性质2:若}{n a 为等差数列,且∑∑===kl lk l l ji 11,那么∑∑===kl j k l i llaa 11(脚标和相同则对应的项的和相同);若}{n a 为等比数列,且∑∑===kl lkl lji 11,那么l l j kl i k l a a 11===ππ(脚标和相同则对应的项的积相同)。
性质3:若}{n a 为等差数列,记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ,那么}{m S 仍为等差数列,}{n a 为等比数列,记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ,那么}{m P 仍为等比数列。
性质4:若}{n a 为等比数列,公比为q ,且|q|〈1,则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若132+=n n T S n n , 则=∞→nn n b a lim( )A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项的和为( )A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若331313++=n n T S n n (1)求2828a b 的值, (2)求使n na b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中,若010=a ,则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列}{n b 中,若19=b ,则有等式 成立。
数学竞赛中的数列问题
数学竞赛中的数列问题在数学竞赛中,数列问题是一个比较常见的题型。
数列问题可以锻炼学生的逻辑思维、数学能力和创新能力。
而在竞赛中拿到高分,除了整体的数学素养,数列问题的应用也是必不可少的。
在这篇文章中,我们将探讨一些数列问题及其解决方法。
一、等差数列等差数列是指相邻两项之差相等的数列。
例如,1,3,5,7,9 就是一个以 2 为公差的等差数列。
对于等差数列的求和问题,我们可以利用如下公式:$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$其中,$S_n$为前 $n$ 项和,$a_1$为首项,$a_n$为末项,$n$为项数。
对于等差数列的其他问题,我们可以考虑以下方法:1. 利用已知条件求出公差 $d$ ,再根据所求问题求解2. 利用等差数列的性质,推导出所求结果例如:问题一:求等差数列 2,5,8,11,……的第 20 项。
解法:由于相邻两项之差相等,故公差 $d=a_2-a_1=5-2=3$,因此第 20 项为 $a_{20}=a_1+19d=2+19\times 3=59$。
问题二:等差数列1,2,3,……,n 中有多少项是3 的倍数?解法:首项为 $a_1=1$,公差为 $d=1$,末项为 $a_n=n$,所以$n-a_1=a_{n-1}$。
又因为每个 3 个数中一定有且只有一个是 3 的倍数,因此当 $n \geq 3$ 时,3 的倍数的个数为 $\left\lfloor\frac{n}{3} \right\rfloor+1$。
二、等比数列等比数列是指相邻两项之比相等的数列。
例如,2,4,8,16,32 就是一个以 2 为公比的等比数列。
对于等比数列的求和问题,我们可以利用如下公式:$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中,$S_n$为前 $n$ 项和,$a_1$为首项,$q$为公比,$n$为项数。
对于等比数列的其他问题,我们可以考虑以下方法:1. 利用已知条件求出公比 $q$ ,再根据所求问题求解2. 利用等比数列的性质,推导出所求结果例如:问题一:求等比数列 2,6,18,54,……的第 20 项。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》
高中数学竞赛试题汇编六《数列》1.【2010全国】{}n a 是公差不为0的等差数列,{}n b 是等比数列,其中13a =,11b =,22a b =, 533a b =,则n a = ,n b =答案:d=6,q=92.【2013山东】数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-,则n a =答案:12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.【2010河南】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若59S S =,则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:34.【2010河北】从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中,依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ,则100b = A.100a B.200a C.300a D.400a 答案:易知4k a 能被3整除,故选D5.【2010山西】数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-,则15a =答案:15104a =-6.【2013福建】数列{}n a 满足1132,2n n a a a n +=+=,则na n的最小值为 答案:累加法,(1)32n a n n =-+,321n a n n n =+-,n=6 最小313.7.【2010福建】数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=,则满足10n a >的最小正数n=答案:11122n nn na a ++-=,3n =. 8.【2010江西】数列{}n a ,{}nb 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ,已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+,则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = 答案:9.【2010湖北】数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-,前n 项和为n S ,100S =答案:9k k a a +=,故100991001210111()89S S a a a a a =+=++++=L 10.【2010江苏】数列{}n a ,{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ,则n b = 答案:2(123)5(4)5512322n nn n n a a a a ++++++==L L ,1(4)(4)55n n n n b n ++==11.【2013湖北】数列{}n a 满足0120,1,n n a a a a ===,211n n a a +=+,2013a = 答案:912.【2010江苏】数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-,123n n T a a a a =L ,则2010T = 答案:1234112,3,,23a a a a ==-=-=,123441,n n a a a a a a +==, 2010200820092010126T T a a a a =⨯⨯==-13.【2010浙江】数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列,且11444,1a b a b ====,则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b >答案:A14.【2013江苏】数列{}n a 满足()()4+1+19,130n n n n a a a a a =---=,满足条件的1a 的所有可能值之积是答案:49a =,33a =,21a =,10a =;015.【2013安徽】数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥,则2013a =答案:116.【2013浙江】等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9,则3a = A.B.C.D.答案:B,2733,q a ==16.【2012天津】数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 33 答案:C16.【201河南】已知n a n =,则数列11321n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数的前2n 项和2T n = 答案:2122T 222n n n n +=++-3.【2012山西】设等差数列的前n 项和n S ,若10a >,311S S =,则当n S 取得最大值时n = 答案:7n =.3.【2012山东】等差数列{}n a 中,201a a =,2011a b =,20121a c=,则 199********ac bc ab --=答案:0.3.【2012湖北】已知数列{}n a 满足:1a 为正整数,1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩偶为数为奇数,① 若12a =,则4a = ;② 若12329a a a ++=,则1a = ; 答案:5.3.【2012四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ,满足2(1)4n n a S +=,则20S =答案:0.3.【2012黑龙江】数列{}n a 满足11a =,212a =,1111()2n n n n n a a a a a -+-++=⋅,则2012a = 答案:C3.【2012江苏】在等差数列{}n a 中,44S ≤,515S ≥,则4a 的最小值是199********ac bc ab --= 答案:0.1.【2011天津】正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列,且1234a a +=,345615a a a a +++=, 则789a a a ++= 答案:()1314a q +=①,()2231115a q q q q +++=②;②/①得2q =,114a =,789112a a a ++=2.【2011辽宁】设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ,数列{}n b 的前n 项之积为n C ,且满足1n n b c +=,则1na = 答案:1,n n n cbc -=1112b c ==,11n n n c c c -+=,所以1111n n c c --=,易得1,11n n n c b n n ==++ 11(1)n n n a b b n n -=-=+3.【2011福建】已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,且2142n n S n T n +=-, 则1011318615a ab b b b +=++答案:1010101112020111131861512012012012020a a a a a a S a ab b b b b b b b b b b b T +++=+===++++++4.【2011湖北】数列{}n a 满足12a =,21a =,1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++,则122011a a a +++=L答案:40225.【2011四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ,若103010,70S S ==,则40S = 答案:150.6.【2011浙江】已知等差数列{}n a 的前15项和1530S =,则1815a a a ++= 答案:150.。
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
11数列一、数列的基础知识1.数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题:一是已知S n 求a n ,二是已知a n 求S n ;2.递推数列,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列与等比数列的有关问题,然后解决。
常见类型:类型Ⅰ:⎩⎨⎧=≠+=+为常数)a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11(一阶递归) 其特例为:(1))0(1≠+=+p q pa a n n (2))0()(1≠+=+p n q pa a n n(3))0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ:⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数)b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112(二阶递归) 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ,代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ:a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1.定义:2.通项公式与前n 项和公式:函数的思想:等差数列可以看作是一个一次函数型的函数;等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现?数列问题的综合性主要表现在1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽.2.同一问题中出现有若干个相关数列,既有等差或等比数列,也有非等差,非等比的数列,需相互联系,相互转换.数列问题的灵活性表现在:1.需灵活应用递推公式,通项公式,求和公式,寻求已知与所求的关系,减少中间量计算.2.需灵活选用辅助数列,处理相关数列的关系.例题讲解1.已知(b -c )log m x +(c -a )log m y +(a -b )log m z =0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列,且公差不为0,求证x 、y 、z 成等比数列;(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列,且公比不为1,求证a 、b 、c 成等差数列.2. 数列{a n }的 前 n 项 和S n =a · 2n + b (n ∈N ),则{a n }为等比数列的充要条件是________.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7=56,S n=420,a n-3=34,则n=________.4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n,若S10=10,S30=70,求S40。
高中数学竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式
转化法:这里需要恰当的变形……
思考
1.已知数列{an}中,a1=
3 5
,an+1=
an 2an
1
,
求{an}的通项公式.
解:(倒数变形) 1 2an 1 1 2
an1
an
an
∴
1 an
是以
5 3
为首项,公差为
2
的等差数列,
即1 an
5 3
+2(n-1)=
一般地, 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.
∴an=tan
(n
1)
4
atc tan 2 .
思考 5.设 a0 1 , an
1
a2 n1
1
an1
n N*
,求通项公式 an .
7
思考5
练习4
思考 5.设 a0 1 , an 1
山重水尽疑无路……
4
110…an…( n
3
N
*
),求通项公式
an
.
思考
3. 已 知 函 数
f (x)
( x 1)4 ( x 1)4
( x 1)4 ( x 1)4
( x 0 ),在数列
{an } 中, a1 2 , an1 f (an )( n N ),求数列 {an } 的通项公式.
求通项公式 an . 法一:取对数变形
102
1 2n1
法二:作商用迭加法也很好!
练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列an 中,
a1 1, a2 10 , an2an13an2 1 ( n≥ 3 , n N * ),
竞赛中的数列问题(一)
竞赛中的数列问题(一)作者:冯惠愚来源:《新高考·高一数学》2012年第03期数列是高中数学的重要内容,也是高考、自主招生与数学竞赛中的命题重点内容之一.一、数列竞赛题中的一些简单题型求数列的通项或求和是常见题型.例1 设数列的前n项和满足:+=n-1n(n+1),=1,,…, 则通项=.(2008年全国高中数学联赛)分析利用数列的和与通项的关系,用下标减1法,使所给式简单化.解+++=n(n+1)(n+2),与+=n-相减得,+-=n(n+1)(n+2)-n-1n(n+1)=-n+2n(n+1)(n+2).令++λ(n+1)(n+2)=+λn(n+1),即-2λnn(n+1)(n+2)=-=1.即++1(n+1)(n+2)=+1n(n+1).令=+1n(n+1),=+12=+==0),有+=,故=,所以=-.例2 设正数列,,,…,,…满足----=-,且==1,求的通项公式.解同除以--得:-=--+1,令-+1=,则得=-.即是以=11+1=为首项,2为公比的等比数列.所以=.所以-=-.故,----在给出数列后,常常会要求研究数列的某些性质.例3 设=1k(n+1-k),求证:当正整数时,+<.年全国高中数学联赛)分析就是证明数列从第二项起就是单调减的,故因计算+-.解-k)=1n+11k+1n+1-k,于是=1k.若记=A>2.所以,+-=1k-1k=1n+2A+2n+1-1n+1A=2(n+1)(n+2)-1n+1-1n+2A=1(n+1)(n+2)(2-A)<0.故+<.例4 设f(n)是数列0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5,5, …的前n项的和.(1) 给出f(n)的公式;(2) 证明+t)-f(s-t)=st,其中s与t正整数,并且.第二届加拿大数学奥林匹克)解当n为偶数时,=0+1+++n2-1+1+2+…+n2=12n2-1•n2+12•n2n2+1=.当n为奇数时,=0+1+2+…+n-12×2=-1).所以=,当n为偶数时;-14,当n为奇数时亦可统一成=-1+(--.(2) 由于s+t与s-t的奇偶性相同,故当s+t与s-t同为偶数时,+t)-f(s-t)=14(s+-14(s-=st.当s+t与s-t同为奇数时,+t)-f(s-t)=14[(s+-1]-14[(s--1]=st.数列的竞赛题中,有许多是需要求出满足某些特定要求的.例5 使不等式+1n+2+…+12n+1<a-对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为.(2010年全国高中数学联赛)分析记左边式子为f(n),如果f(n)是单调减的,则<f(1).即易求a值.解记=1n+1+1n+2+…+12n+1,则-f(n+1)=1n+1+1n+2+…+12n+1-1n+2+…+12n+1+12n+2+12n+3=1n+1-12n+2-12n+3=12n+2-12n+3>0,即f(n)单调减.所以对一切正整数n,<f(1)=12+13<a->+13+12=.所以a的最小值=.例6 证明:方程+5x-2=恰有一个实根r,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得=+++….年全国高中数学联赛)分析先判定方程实根的范围,再把25写成等比数列的和的形式.证明取=+5x-2,则=+5,在R上>恒成立,从而f(x)在R上严格单调增,而=-2<0,>0,故方程在0, 25内有一个实根.所以方程+5x-2=恰有一个实根∈0, 25.由+5r-2==2(1-=r1-=r++++…=+++…;所以=3n-∈.又设还有另一个与不同的严格递增的正整数数列,,也满足=+++….在与中去掉所有相同的项后由余下项按递增排列组成的数列分别为,与,.于是+++…=+++不妨设<.同除以+-+-+…=-+-+-+而-+-+-+…≤r+++…=r1r<25125=23<1.于是有<1+-+-+…=-a+-+-+…<1,矛盾.故证.二、中学的“数列”中,最基本的数列就是等差数列与等比数列学生在学习与考试中所遇到的数列大多能与这两种数列联系.所以,熟悉这两种数列的概念与运算方法技巧是非常重要的.特别的,一些公式的变形,例如①=+(n-k)d,②若+n=p+q,则+=+、 n、 p、 q∈等都要能熟记与灵活运用.本内容中常常考一些小题以检验概念的掌握及公式的熟练情况,这类题的难度一般不高.例7 已知是公差不为0的等差数列,是等比数列,其中=3,=1,=,=,且存在常数α、β使得对每一个正整数n都有=+β,则α+β=.(2010年全国高中数学联赛)解设等差、等比数列的公差与公比分别为d、 q,由>0,故>0,=3+-,=-.所以+d=q;+4d)==(3++12d=9+6d+=0(舍去),=6, q=9.=6n-3;=-,由-3=-++β-.所以===33;=-=+β=3+33.例8 已知等差数列的公差d不为0,等比数列的公比q是小于1的正有理数.若=d,=,且是正整数,则q等于.(2007年全国高中数学联赛)解==为正整数.则+=56-3m4m.由<q<<q+<<56-3m4m<<m<14.其中=使56-3m4m为有理数的平方.此时=12.研究等差数列与等比数列的某些性质也是常考的题型.例9 给定正整数n和正数M,对于满足条件+的所有等差数列,,,…,试求=++++…++的最大值.(1999年全国高中数学联赛)分析写出S的表达式,再利用此表达式求最大值.解设此数列的公差为d,则=++++…++=(n++32nd故=+32nd.由n给定,故应求+的最大值.++=++=++(2-+(2-+1-(若-+(2-3λ)a+1-能配成完全平方式,则可求出t的最大值)取--4(2-λ)1-94λ=0,即-12λ+-8+22λ-=0,=25.所以+32nd++所以+1)M.等号当且仅当+nd=及=+时成立.即=-14nd,=-10M10,=时成立.易算得此时+==102(n+1)M.所以S的最大值为102(n+1)M.例10 数1, 2, 3,…, 100能否是12个等比数列的项?(第二十一届全俄数学奥林匹克)分析考虑任何三个质数,它们不能构成等比数列.解先证明:任何三个不同的质数不能是同一个等比数列的某三项.取三个质数x, y,x<y<z),若它们是同一个等比数列的某三项,设为某等比数列的第m, n, l项<n<l),且此数列的公比为q.于是=-,=-.所以=-,=-,于是-=-,所以-=--=--.但x、 z为质数,必无质因数y,矛盾.即任何三个质数不能是同一个等比数列的某三项.所以,每个等比数列中至多有2个质数.现从1到100之间共有25个质数,从而它们不能全部成为12个等比数列的项.。
数列竞赛习题及解答
高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分.(2006年江苏)已知数列的通项公式,则的最大项是( B )12343. (2006吉林预赛)对于一个有n项的数列P=(p,p,…,p),P的“蔡查罗和”定义为s、s、…12n12s、的算术平均值,其中s=p+p+…p(1≤k≤n),若数列(p,p,…,p)的“蔡查罗和”为2007,那nk12k122006么数列(1,p,p,…,p)的“蔡查罗和”为( A ) 122006 A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4.(集训试题)已知数列{a}满足3a+a=4(n≥1),且a=9,其前n项之和为S。
则满足不等式nn+1n1n1|S-n-6|<的最小整数n是() n125 B.6 C.7 D.8 A.5 1解:由递推式得:3(a-1)=-(a-1),则{a-1}是以8为首项,公比为-的等比数列,n+1nn31n3nnn-1∴S-n=(a-1)+(a-1)+…+(a-1)==6-6×(-),∴|S-n-6|=6×()<,得:3>250,n12nn3∴满足条件的最小整数n=7,故选C。
n x5.(集训试题)给定数列{x},x=1,且x=,则= ()n1n+1n33 A.1 B.-1 C.2+ D.-2+ n333解:x=,令x=tanα,∴x=tan(α+), ∴x=x, x=1,x=2+, x=-2-, x=-1,n+1nnn+1nn+6n123432005-2+, x=2-, x=1,……,∴有。
故选A。
、b{}6、(2006陕西赛区预赛)已知数列的前n项和分别为,记则数列{}的前10项和为1010101010102f(n)7.(2006年浙江省预赛)设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如,f(2006)则=。
记,,20061(D) 145. ( D )记做,于是有解:将从16开始,是周期为8的周期数列。
高中数学竞赛专题讲座 数列
高中数学竞赛专题讲座数列高中数学竞赛专题讲座-数列高中数学竞赛专题试题讲座――数列一、选择题部分1.(2021年江苏)已知数列?an?的通项公式an?aa12n?4n?52,则?an?的最大项是(b)ba2ca3da432(2021安徽初赛)正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10ann?3?,则lg(a100)?()?t?a、98b、99c、100d、1013.(2021吉林预赛)对于一个存有n项的数列p=(p1,p2,?,pn),p的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值,其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2021)的“蔡查罗和”为2021,那么数列(1,p1,p2,?,p2021)的“蔡查罗和”为(a)a.2021b.2021c.2021d.10044.(集训试题)未知数列{an}满足用户3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为sn。
则满足用户不等式|sn-n-6|<1125的最小整数n是()b.6c.713a.5d.8的等比数列,求解:由关系式式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}就是以8领衔项,公比为-8[1?(?1)]n∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=1?313=6-6×(-13)n,∴|sn-n-6|=6×(13)n<1125,得:3n-1>250,∴满足条件的最小整数n=7,故选c。
5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且xn+1=3xn?13?xn2021,则?xn=()n?1a.1xn?b.-13333xnc.2+3d.-2+3求解:xn+1=1?,令xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+?6),∴xn+6=xn,x1=1,x2=2+3,2021x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1,??,∴有?xn?x1?1。
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高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及容对照讨论如下:性质1:若K K ,,,,21n a a a 是等差(等比)数列,那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差(等比)数列。
性质2:若}{n a 为等差数列,且∑∑===kl lk l l ji 11,那么∑∑===kl j k l i llaa 11(脚标和相同则对应的项的和相同);若}{n a 为等比数列,且∑∑===kl lkl lji 11,那么l l j kl i k l a a 11===ππ(脚标和相同则对应的项的积相同)。
性质3:若}{n a 为等差数列,记K K ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ,那么}{m S 仍为等差数列,}{n a 为等比数列,记K K ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ,那么}{m P 仍为等比数列。
性质4:若}{n a 为等比数列,公比为q ,且|q|〈1,则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若132+=n n T S n n , 则=∞→nn n b a lim( )A.1 B. 36 C. 32 D.94例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项的和为( )A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列,其前n 项和分别为n n T S ,,若331313++=n n T S n n (1)求2828a b 的值, (2)求使nna b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中,若010=a ,则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-K K 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列}{n b 中,若19=b ,则有等式 成立。
例5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为 。
例6、设1,,2,110|.0{(21===n i n n a n i a a a a n M K K ,或只取位纯小数十进制)},n T 是n M 的元素个数,n S 是所有元素的和,则=∞→nnn T S lim。
例7、设A={1,2,…n},n S 是A 的所有非空真子集元素的和,n B 表示A 的子集个数,求nn n B n S 2lim∞→的值。
例8、设数列}{n a 的前n 项和为),2,1(,12K =-=n a S n n ,数列}{n b 满足),2,1(,,311K =+==+k b a b b k k k ,求数列}{n b 的前n 项和。
方法:首先找出}{n a 的通项式,在找出}{n b 的通项式例9、设}{n a 为等差数列,}{n b 为等比数列,且)(,,,21233222211a a a b a b a b <===,又12)(lim 21+=+++∞→n n b b b K ,试求}{n a 的通项公式。
例10、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且)(),1(23N n a S n n ∈-=,数列}{n b 的通项式为34+=n b n ,(1)求数列}{n a 的通项公式,(2)若},,,{},,,{2121K K I K K n n b b b a a a d ∈,则称d 为数列}{n a 与}{n b 的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{n d ,证明:}{n d 的通项公式为)(,312N n d n n ∈=+。
例11、)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列:,11a ,12a ,13a K n a 1 ,21a ,22a 23a K n a 2K K K K K K,1n a ,2n a ,3n a K nn a其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,已知163,81,1434224===a a a ,求11a +22a ++33a K +nn a 的值。
作业:1、将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按n 组有(2n-1)个奇数进行分组:{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,则1991位于 组中。
2、在等差数列}{n a 中,公差0≠d ,412a a a 与是的等比中项,已知数列K K ,,,,,,2131kn k k a a a a a 成等比数列,求数列}{n k 的通项公式。
3、设正数数列}{n a 满足32,122++=+=n n n n n a a b a S ,(1)求数列}{n a 的通项公式,(2)设)(22222mn b a n m b a M n m n m +-+++=,试求M 的最小值。
二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力:(1)从整体上直接领悟数学对象本质的能力; (2)从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力;(3)从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法:设)(n T 是一个关于自然数n 的命题,满足以下条件:(1))1(T 是成立的,(2)假设)(k T 成立能推出)1(+k T 成立,则命题对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法:设)(n T 是一个关于自然数n 的命题,满足以下条件:(1))1(T 是成立的,(2)假设)1(T ,)2(T ,…)(k T 成立能推出)1(+k T 成立,则命题对一切自然数n 都成立。
解题思维过程:尝试——观察——归纳、猜想——证明,即从特殊关系中概括一般规律,建立猜想,给出严格证明。
解题策略:从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。
例1、已知对任意自然数n ,有2113)(0∑∑===>nj j nj jn a aa 且,求证n a n = (1989年高中)例2、用n S 表示n2,3,2,1K 的各数的最大奇数因子之和,求证:)24(31+=nn S例3、设}{n a 是正数数列且满足)1(21nn n a a S +=,求数列}{n a 的通项公式。
方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明例4、已知数列}{n x 满足:11=x ,当1≥n 时,有))(1(32(413221123121+--++++=++++n n n n n n x x x x x x n x nx x x x x x x K K ),试求数列}{n x 的通项公式。
方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明例5、一个数列}{n V 定义如下:)1(,)2(,25,2121110≥--===-+n V V V V V V n n n ,证明:对于自然数n ,有])1(2[312][n nn V --=。
这里][n V 表示不超过n V 的最大整数。
(IMO18-6)方法:变化形式例6、设数列}{n a 满足:a a a a a nn +=+=+1,111,这里10<<a ,求证:对所有的自然数n ,有1>n a 。
(1977年加拿大数学奥林匹克)例7、已知n a a a K ,,21是n 个正数且满足121=n a a a K ,求证:nn a a a 322221≥++⋅+)()()(K例8、已知 a, b 是正实数,且满足111=+ba ,试证:对每一个自然数n ,有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a三、递推数列,热点问题是求递推数列的通项公式1、转化:最常见的转化为等差(等比)数列的通式和求和类型:(1)b aa a n n +=-1,化归成)(1λλ+=+-n n a a a 型;(2)n n n b d ca a ⋅+=+1,化归成)(11--+=+n n n n b a c b a λλ型;(3)r b d ca a n n n +⋅+=-1,化归成)(11u ba c ub a n n n n ++=++--λλ型; (4)d cn pa a n n ++=-1,化归成])1([1u n a p u n a n n +-+=++-λλ型; (5)c da ca a n n n +=--11,化归成cda a n n +=-111型; (6)21--+=n n n qa pa a 型例1、、已知数列}{n x 满足:11=x , 2111)1(4,-+=>++-n n n n n n x x x x x x 且,试求数列}{n x 的通项公式。
方法:开方转化成等差数列的形式例2、设数列}{n a 满足:43,111+==+n n a a a ,求}{n a 的通项公式。
例3、设数列}{n a 满足:),2,1(,1,11221K =+===++n a a a a a n n n ,求2004a 。
例4、设数列}{n a 满足:n a a n a n n +=+=+11)1(,1,求2005a 。
2、变换(代换):三角代换、代数代换 例1、已知11011,2---+==n n n a a a a ,求n a 。
方法:观察特点,联想到正切公式例2、数列}{n a 满足:)24141(161,111n n n a a a a +++==+,求n a 方法:含根式,通过代换转化为不含根式的递推式例3、设n a a a K ,,21满足关系式3,18)6)(301==+-+a a a n n 且(,则=∑=ni ia 01方法:倒数关系不易求解,通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n 和正数M ,对于满足条件:M a a n ≤++2121的所有等差数列n a a a K ,,21,试求1221++++++=n n n a a a S K 的最大值。
方法:根据特点,三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列}{n x 满足:012=++++n n n bx ax x ..(1)其中b a ,为常数,若有等比数列}{nx 满足等式(1),则x 必满足相应的方程:0)(2=++=b ax x x f …….(2),称此方程(2)为(1)的特征方程。
数列}{n x 的通项公式与特征方程的根有如下关系:当042>-b a 时,方程(2)有两个不相同的实数根21,q q ,则数列}{1nq 、}{2nq 均是(1)的解,并且对任意常数21,c c 有}{2211nnq c q c +也是(1)的解(通解),21,c c 由初值确定。