W华中师大一附中届高三课外基础训练题十四答案

W华中师大一附中届高三课外基础训练题十四

答案

集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

最 新 课 外 训 练 题 (十四)

1. 设)0( )cos 2,(cos ),sin 3,cos 2(>==w wx wx wx wx ，函数x f •=)(的最小正周期为π：

(Ⅰ) 求()x f 的单调增区间

(Ⅱ) 在ABC ∆中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，若()2=A f ，1=b ，

ABC ∆的面积为

23，求C

B c b sin sin ++的值 解:（Ⅰ）1)6

2sin(2cos sin 32cos 2)(2++

=+=π

ωωωωx x x x x f ,

2,1,()2sin(2) 1.26

T f x x ππ

πωω=

===++222,()22

66

3

k x k k x k k z π

π

π

π

πππππ-≤+

≤+⇒-

≤≤+∈

（Ⅱ）1()2,sin 2.32f A A S bc A c π∆=⇒===

⇒=∴3cos 2222=⇒-+=a A bc c b a

由正弦定理

2sin sin sin sin sin =++⇒==C

B c

b C

c B b A a . 2．已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90o ，

2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；

（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值．

解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点， ∴BC AD BC AD 2

1

//=

且.∴∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =,∴ABCD PA 面⊥,

∴BC PA ⊥, ∵A AB PA AB BC =⊥ ,,∴BC ⊥平面PAB . ⊂PB 平面PAB ,∴

PB BC ⊥.

（Ⅱ）取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥.

P

C

A D

B

R

又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥,而⊂RC 平面ABCD ,∴RC PA ⊥. ∵,A PA AF = ∴⊥RC 平面PAF .∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. 在Rt △RAD 中,

22212122=+==

AD RA RD AF ，在Rt △PAF 中, 2

622=+=AF PA PF ， ∴332

6

22

cos ===∠PF AF AFP . ∴二面角P CD A --的平面角的余弦值是33

.

（Ⅱ）方法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．

则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.

∴DC =（－1，1，0），DP =（1，0，1）.

设平面PCD 的法向量为),,(z y x n = ，则0

n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1=x ，得

1,1-==z y ，

∴)1,1,1(-=n

.显然是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）． ∴cos

，PA 33131=⨯= ,∴二面角P CD A --的余弦值是33.

3. 已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：

()a b f a -<<

解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记

32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情

况如下表：

由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；

当0a b +=时，解方程()0g t =得302

a

t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；

当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2

a

t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实

数根．

综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数

根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩

，

即()a b f a -<<．

4．某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限

制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)

(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域

(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低并求最低总造价

解 (1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为

x 200米，总造价y =400(2x +2×x 200)+248×x

200

×2+80×200=800(x +x 324)+1600,由题设条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<≤<16200

0,

160x x 解得12 5≤x ≤16,即函数定义域为［12 5，16］

(2)先研究函数y =f (x )=800(x +

x

324

)+16000在［12 5,16］上的单调性：对于任意的x 1,x 2∈［12 5,16］,不妨设x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)=800［(x 2－x 1)+324(

1

21

1x x -)］=800(x 2－x 1)(1

－