经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试

第一学期期末考试试题 ( A )

一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.

函数()f x =

Ａ）； ()(1,1)

(1,)

()(1,)

()(1,)

()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-

2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；

33()()()()A y B x C y x D x y =

==-=-

3.函数2

1

4y x

=

-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条

（B ）2条

（C ）1条

（D ）0条

4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；

32()()

()()

()()()

()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=

5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）

()sin ()sin ()tan ()ln(1)

A x

B x x

C x

D x ++

6.

若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；

()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点

7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；

1sin 11()

()sin

()

()tan 1

x

x

A B x C D x x

x

e +

8.

极限0

limln x →＝（C ）；

()1()0()1()A B C D -不存在

9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内

()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内 （C ）

()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少

10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；

2

22

1

()()

()(3)()2A x B C x D x x +-

11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()

lim

2x x

f x x f x x x

→+∆--∆∆＝（D ）；

00001()4()

()3()

()()()2()2

A f x

B f x

C f x

D f x ''''

12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；

1

1

00

1

()lim (1)

()lim (1)

()lim(1)()lim (1)

x

x

x

x

x x x x A x B x C D x x

+→∞

→∞

→→++++

13.若ln x

y x =

，则dy ＝（Ｄ）； 2

2

2

ln 11ln ln 1

1ln ()()

()

()

x x

x x

A B C dx D dx x x x

x

----

14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；

1

121()()

()

()

4

3

32

A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2

()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦

⎰

（Ｄ）．

2222()[2()()]()2()()

()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++

二.计算题（每小题7分，共56分）

1. arccos y x x =y '

解：1

22

(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+

=

2. 求2

(cos sin 32)x

x x x e dx -+++⎰

６分

７分

解：原式＝3sin cos 2x

x x x e x c +++++

（其中c 是任意常数）

3. 求曲线5100

1y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．

解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得

4100599151000y x y x y y ''-++=，

将01x y ==与代入，得

01

1x y y =='

=， 故所求的切线方程为

1y x -=，即1y x =+

4.

求极限0

11lim(

)1

x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12

x

x

x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++

5. 设函数2

21

()1

ax x f x x b

x -≥⎧=⎨

-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且

211

1

1

lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --

++

→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①

又因()f x 在1x =处可导，且

22

1111232

(1)lim lim lim 1211(2)2

()lim 1

x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -++

+-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-

又得

2a = 代入① 得1b =

故2

1a b ==

6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．

解：22

22

88(14)1,,0,14(14)

2

x

x y y y x x

x -'''''====±

++令得 ７分

５分 ２分

５分

７分

３分

６分

７分

３分

６分 ７分

00