详细版可逆矩阵.ppt

又 | A | 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且
A1 1 A* | A|
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
伴随矩阵
a11
定义
设
Aij
是矩阵
A
a21
a12
a22
高等代数
A21 A11
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
( A' )1 ( A1)'
证 A(A1) (AA1) I I ,
(A1)A (A1A) I I,
(A)1 (A1).
性质4
(kA)1 1 A1 ; k
性质5
|A1| 1 ; |A|
高等代数
可逆矩阵与初等矩阵的关系
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(
1 k
)
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方阵A可逆的充要条件是 | A | 0 ,且可逆矩阵A的逆矩阵为
A1 1 A* A
A* 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " ": 若A可逆,有 AA1 A1A E
两边取行列式,得 | A|| A1 || A1A| E 1
从而 | A| 0
高等代数
" ": AA* A* A | A | I.
高等代数
可逆矩阵
一.可逆矩阵的定义： １.定义： 设A是数域P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使
AB BA E
那么称A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A-1
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵 注：⑴可逆矩A 阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
Pn nB
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
an1 an2
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
a1n a2n ann
A11
A*
A12
A21 A22
An1 An2
A1n A2n Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
(1)
A
1 3
2 4
;
1 2 3 (2)B 4 5 6
3 3 3
(1) A 2 0. 故A可逆，
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
0 1 1 1
0 1
1 0
0 1
I
.
矩阵A,B互为可逆矩阵
高等代数
矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念.
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12 x2 ...a1n xn b1,
.a..2.1.x.1......a..2.2.
x2 ...a ............
2n
....
xn ...
b2 .....
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
高等代数
求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl
1
Pl
1 1
P11
A
I,
及
Pl1
Pl
1 1
P11
I
A1 ,
Pl1
P 1 l 1
P11
A
I
Pl1
P 1 l 1
P11
A
Pl1
P 1 l 1
P11
I
I A1
于是 B BI B(AC) (BA)C IC C. 性质2 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
事实上，这由等式 AA1 A1A I ，可以直接推出.
高等代数
矩阵求逆运算规律 性质1 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
高等代数
性质2 两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且
A1 1 A* A
1 2
4 3
2
1
2
3
2
1
1
2
(2) B 0.故B不可逆
高等代数
1 2 3
例2
求矩阵A的逆矩阵，其中
A
2
1
2
.
1 3 3
123
解 | A | 2 1 2 4 0, A可逆.
133
A11
(1)11
1 3
2 3
3,
A12
(1)12
2 1
2 3
4,
A13
(1)13
( AB)1 B1 A1.
证明 由于
( AB)(B1A1) A(BB1) A1 ( AI ) A1 AA1 I ,
(B1A1)(AB) B1(A1A)B B1(IB) B1B I , 故AB可逆，且 ( AB)1 B1 A1.
一般地， ( A1 A2
As )1
A A 1 1 s s1
a11x11 a12 x12
a21
x21
a22 x22
an1xn1
an2 xn2
a1n x1n b1
a2n
x2n
b2
ann
xnn
bn
高等代数
a11 a12
a21
a22
an1
an2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
x2
wenku.baidu.com
2 1
1 5,
3
A21
(1)21
2 3
3 3
3,
A22
(1)22
1 1
3 0,
3
A23
(1)23
1 1
2 1,
3
A31
(1)31
2 1
3 2
1
, A32
(1)32
1 2
3 2
4, A33
(1)33
1 2
2 3.
1
高等代数
A11 A21 A31 3 3 1
A* A12
A 22
A32
b2
AX B.
ann
xn
bn
a1n
a2n
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
.
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AX B 是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
对方阵A是否存在矩阵A1, 使 A1A I 即:
若是，则AX B有唯一解X A1B