感生电动势和感生电场解读
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第二十六讲：§感生电动势和感生电场
第二十六讲： §7.3感生电动势和感生电场一、感生电动势 涡旋电场1、感生电动势：由于dtm φd 所产生的感应电动势。
2、感生电场（涡旋电场）：变化的磁场所激发的电场为感生电场。
其特点：①感生电场是非保守场；②电场线是闭合的。
3、感生电场与静电场的比较①相同点：都是电场（物理场，物质性，具有能量，即对电荷有电场力的作用）。
②不同点：⑴激发方式不同，感生电场是由变化的磁场激发的；静电场是由相对观察者静止的带电体激发的。
⑵感生电场电场线是闭合的，静电场电场线是非闭合的。
⑶感生电场是非保守场，静电场是保守场。
因为静电力是保守力，故而静电场力沿闭合路径的积分等于零， 由0W =⋅=⋅=⎰⎰ d q d 静静 ⑴看出， ∵ 0≠q ∴ 0=⋅⇒⎰d 静 静电场为保守场。
由0≠-=⋅=⎰dt d d m i φε 涡看出， 当 0dtd ≠m φ为变化的磁场， 则 0≠⋅⇒⎰ d 涡 也可推出0≠⋅=⇒⎰ d q W 涡⑵比较⑴、⑵式可推出感生电场是非保守场。
4、感生电场与磁场的关系式d m ⋅=⎰φ ； d dtd dt d m ⋅=⎰φ ; d t d S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε ☆ 5、与涡E 、()i i I ε方向的确定注意：与绕行方向满足右手螺旋法则 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相反； 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相同。
P264例题7-5已知：如图所示，R,=dt B d 正常数 求：⑴1涡；⑵2E 涡解： ⑴∵d td S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε R r 21r 2r t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB E ∂∂=⇒2r -1涡 R r 22r 2R t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB r E ∂∂=⇒2R -22涡 涡电场线绕行方向相反，如上图所示。
P264例题7-6 已知：0d dtB ，L ab = ，h 求：ab ε解：解法一：利用法拉第电磁感应定律S d t dt d S m ⋅∂∂-=-=⎰B i φεtB hL S t B t B i ∂∂=⋅∂∂=⋅∂∂=⎰2ε∵Oa 和Ob 沿径向，而涡E 与径向垂直。
9-3感生电动势
B dS t
3
Ε涡 dl
L
S
讨论
B L E涡 dl S t dS
9-3
感生电动势
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关 系， 即感生电场是由变化的磁场产生的。 2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S
S 的法线方向应选得与曲线
1 Φm B dS B ( Lh ) S 2 dΦ m ε dt
O
B t
1 dB hL 0 2 dt
L dB L 2 R 2 dt 2
与所选回路同向
2
h
C
o
D x
L
C→D20Fra bibliotek9-3 感生电动势 例: 在上题螺线管截面内放置长2R的金属棒,
动生电动势
感生电动势 感生电动势 B i E涡 dl dS S t 闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
原 因 非静 电力
由于 B的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
洛仑兹力
10
9-3
感生电动势
感生电场的计算 感生电场的计算，一般是比较困难的。 在大多数情况下，由磁场的变化求感生电场， 会遇到许多数学上的困难。感生电场必须具有 某种对称性，才有可能算出其场强。 下面仅就一种情况，来说明其计算方法。
若导体不闭合，需加辅助线构成闭合回路。
17
9-3
感生电动势
有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内， B t 0 ，方向如图。求： CD 。 已知：h、L、
解： 由电动势定义求解
ε Er dl
3
Ε涡 dl
L
S
讨论
B L E涡 dl S t dS
9-3
感生电动势
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关 系， 即感生电场是由变化的磁场产生的。 2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S
S 的法线方向应选得与曲线
1 Φm B dS B ( Lh ) S 2 dΦ m ε dt
O
B t
1 dB hL 0 2 dt
L dB L 2 R 2 dt 2
与所选回路同向
2
h
C
o
D x
L
C→D20Fra bibliotek9-3 感生电动势 例: 在上题螺线管截面内放置长2R的金属棒,
动生电动势
感生电动势 感生电动势 B i E涡 dl dS S t 闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
原 因 非静 电力
由于 B的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
洛仑兹力
10
9-3
感生电动势
感生电场的计算 感生电场的计算，一般是比较困难的。 在大多数情况下，由磁场的变化求感生电场， 会遇到许多数学上的困难。感生电场必须具有 某种对称性，才有可能算出其场强。 下面仅就一种情况，来说明其计算方法。
若导体不闭合，需加辅助线构成闭合回路。
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9-3
感生电动势
有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内， B t 0 ，方向如图。求： CD 。 已知：h、L、
解： 由电动势定义求解
ε Er dl
电磁感应 4-2 感生电动势、感生电场、涡电流
Ek
R2 2r
dB dt
当 r>R
例 3 如图，随时间变化的磁场均匀分布于半径为 R 的 圆柱形区域内，磁场方向平行于轴线。长为 L 的金属 棒位于圆形区域弦 ab 位置。若 dB/dt > 0，求金属棒中 感生电动势的大小。
解一：由于磁场分布具有轴对称性，
可知感生电场线是一系列以 O 为圆
× ×
选取如图以轴线为中心的半径为 r
B(t) z
逆时针方向的圆作为积分路径 L
R
由感生电L E场k d的l 环路S 定Bt 理dS
l
r
S
当 r<R 时
Ek
2r
dB dt
r
2
L
圆柱形区域内（磁场存在区 域内）激发的感生电场为
Ek
r 2
dB dt
当 r<R
当 r>R 时
Ek
2r
dB dt
R2
圆柱形区域外（磁场存在区 域外）激发的感生电场为
麦克斯韦大胆提出假设：变化的磁 场在其周围空间会激发电场，即感 生电场。感生电场力就是产生感生 电动势的非静电力。
感生电场不同于静电场。静电场由 静止电荷产生，而感生电场是由变 化的磁场激发 (详细讨论见后面) 感生电场的电场强度为 Ek ， 则电荷 q 所受的感生电场力 F qEk 回路 L 中的感生电动势
dΦ
dt
事实上，计算动生电动势和感生电动势并不要求导体 必须形成闭合回路，但用法拉第定律时必须要求导体 形成闭合回路才可计算（可做辅助线形成回路）
三、感生电场
比较感生电动势的两种观点（磁通量变化、非静电力
做功）得到闭合回路 L 上感生电场的环路定理
S 为以 L 为边界的任意曲面， 其法线方向与回路 L 绕行方向 成右手螺旋关系
§8.3 感生电场与感生电动势
(b)
l h
a
o
r
b
其中 S 为 oabo 围成的面积。
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 12
例 半径为R的柱形磁场磁中放入一根导体棒，已知 h、L 及 dB/dt ，求 (1) 感生电场分布；(2) 棒两端的电势差。 解 作图示圆形回路 l ，设dB/dt > 0， 则 r < R：
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 4 /
一、感生电场及其性质
Ei1 0 , Ei 2 0 , 但 Ei 3 0
感生电场的电场线： 在只有感应电场存在的 空间，感应电场为无源
1 2
dB dt
o
3
场，则感生电场的电场
线为一系列不相交的闭
合曲线！
P. 13
d r > R： Ei Ei dl B dS l dt S
d dB 2 2 ( B R ) R Ei 2 r dt dt
dB R Ei dt 2r
2
dB dt
r
l h
a o
r
dB d 2 rB Ei 2 r ( r 2 ) dt dt
I (t )
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 3 /
演示实验：因磁场变化产生的感生电动势。 实验结论：推动外线圈中电
子运动的外力不是洛沦兹力
而应该是一种电场力！
Maxwell假设： 除了
电荷产生电场外，变化 的磁场也产生电场，即 感生电场！
I (t )
l h
a
o
r
b
其中 S 为 oabo 围成的面积。
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 12
例 半径为R的柱形磁场磁中放入一根导体棒，已知 h、L 及 dB/dt ，求 (1) 感生电场分布；(2) 棒两端的电势差。 解 作图示圆形回路 l ，设dB/dt > 0， 则 r < R：
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 4 /
一、感生电场及其性质
Ei1 0 , Ei 2 0 , 但 Ei 3 0
感生电场的电场线： 在只有感应电场存在的 空间，感应电场为无源
1 2
dB dt
o
3
场，则感生电场的电场
线为一系列不相交的闭
合曲线！
P. 13
d r > R： Ei Ei dl B dS l dt S
d dB 2 2 ( B R ) R Ei 2 r dt dt
dB R Ei dt 2r
2
dB dt
r
l h
a o
r
dB d 2 rB Ei 2 r ( r 2 ) dt dt
I (t )
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 3 /
演示实验：因磁场变化产生的感生电动势。 实验结论：推动外线圈中电
子运动的外力不是洛沦兹力
而应该是一种电场力！
Maxwell假设： 除了
电荷产生电场外，变化 的磁场也产生电场，即 感生电场！
I (t )
3感生电动势(大学物理 - 电磁感应部分)
沿 E感 线作半径为 r
的环路，分割导体
元 dl， 在 dl 上产生的感生
R o
h E感 r
dl
电动势为： d i E 感dl cos
i di E 感dl cos
由上题结果，圆形区 域内部的感生电场：
E感
R dB
2 dt
o
RrBiblioteka 例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，
磁场随时间均匀增 加，
dB k dt
在磁场中放置一长
为 L 的导体棒，求
棒中的感生电动势。
R
o B
L
E感 作用在导体棒上，
使导体棒上产生一个 向右的感生电动势，
感生电场 E感
由变化的磁场激发
电力线为闭合曲线 dB 0 dt
静电场为散场
E感
感生电场为有旋场
静电场E
感生电场E感
为保守场作功与路径无关 为非保守场作功与路径有关
电 场
E dl 0
的
性
静电场为有源场
质
E
dS
q
0
i
E感
dl
d m
dt
感生电场为无源场 E感 d S 0
d dt
s B
dS
如果回路面积不变则有：
i E感 d l sddBt d S
五、感生电场的计算与举例
1. 要求环路上各点的 E感大小相等，方向
与路径方向一致；
2.要求磁场均匀变化 dB 常量 , dt
且 d B // d S ; dt
的环路，分割导体
元 dl， 在 dl 上产生的感生
R o
h E感 r
dl
电动势为： d i E 感dl cos
i di E 感dl cos
由上题结果，圆形区 域内部的感生电场：
E感
R dB
2 dt
o
RrBiblioteka 例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，
磁场随时间均匀增 加，
dB k dt
在磁场中放置一长
为 L 的导体棒，求
棒中的感生电动势。
R
o B
L
E感 作用在导体棒上，
使导体棒上产生一个 向右的感生电动势，
感生电场 E感
由变化的磁场激发
电力线为闭合曲线 dB 0 dt
静电场为散场
E感
感生电场为有旋场
静电场E
感生电场E感
为保守场作功与路径无关 为非保守场作功与路径有关
电 场
E dl 0
的
性
静电场为有源场
质
E
dS
q
0
i
E感
dl
d m
dt
感生电场为无源场 E感 d S 0
d dt
s B
dS
如果回路面积不变则有：
i E感 d l sddBt d S
五、感生电场的计算与举例
1. 要求环路上各点的 E感大小相等，方向
与路径方向一致；
2.要求磁场均匀变化 dB 常量 , dt
且 d B // d S ; dt
感生电动势和感生电场解读
总 电 动 1 势 2： （ L1L22M ） d dIt
总 自 感 L系 L1数 L22： M
2023/9/21
34
例13-7* 如图所示,有两个圆形同轴导体,其半径分别为R1和R2, 通过它们们的电流均为I,但电流的方向相反.设在圆筒间充满 磁导率为的均匀磁介质.求其自感.
R1 Q R
I
I r
l
、
发散场 保守场
）
（无
源场 ） B
lE感dl 非s保t守ds场
9
一般：
El 合 E合Edl静 E感 （ s d空 dBt间 d存 s（在非 带保 电守 体力 和场 变， 化涡 磁）
E合ds
s
q内
0
（有源场）
2023/9/21
10
四. 感应电场的计算举例
已知：在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作 线性变化（dB/dt=常量）时，求管内外的感生电场E
系,
E E
E
O
R
电子感应加速器 15
2023/9/21
16
涡电流 §6－4
eddy current
❖ 大块金属处于变化磁场中 或在磁场中运动时,其中 产生的感应电流呈涡旋 状——涡电流
❖ 大块金属电阻小,涡电流 大,释放大量热量
电磁冶炼：
应用：如工业中用的坩埚, 电磁炉 高频感应加热
2023/9/21
2. 思考：由什么提供此非静电力
1. 二 . 感生电场 （induced electric field）
1. 实验表明， 感与导体回路的材料无关。
1. 感生电
感 生 E 感生 dl
动势
2023/9/21
大学物理第三篇感生电动势感生电场解读
1 wm 2 B H
在电磁场中 w we wm 普遍适用
1 1 w DE BH
各种电场 磁
2
2
场
b
R
a
可利用这一特点较方便地求其他线段内的感生电动势
补上半径方向的线段构成回路利用法拉第电磁感应定律
例 求上图中 线段ab内的感生电动势
解：补上两个半径oa和bo与ab构成回路obao
i
ob
ba
ao
d
dt
ao 0 ob 0
ba
S
dB dt
又如磁力线限制在圆 柱体内, 空间均匀
dB c
dt
§3 感生电动势 感生电场
由于磁场的时间变化而产生的电场
B
Br, t
B dS
i
d
dt
i
S
B
dS
t
S
一.感生电场的性质
B
E感生 dl
L
S
t
dS
法拉第电磁感应定律 非保守场
L
S
E感生 dS 0
无源场 涡旋场
S
S是以L为边界的任意面积
二. 感生电场的计算
1. 原则
B
E感生 dl
演示 A B
K
线 i
圈
i
K合上 灯泡A先亮 B晚亮 K断开 B会突闪
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的 线路中产生感应电流的现象－－自感现象 自感系数的定义
非铁磁质 I I LI
由法 拉第 电磁 感应
d dI
i
dt
L dt
L I
定律
L
i
dI
单位电流的变化对应 的感应电动势
第三节 感生电动势和感生电场
9
第三节 感生电动势和感生电场
由洛伦兹力和 牛顿第二定律，有
v evBR m R
2
环形真空室
………………………
……………………… O R 电子轨道
F ………………………
mv p R eBR eBR
B ………………………
v
其中，BR为电子轨道所在处的磁感强度.
10
第三节 感生电动势和感生电场
7
当r R 时
第三节 感生电动势和感生电场8Biblioteka 第三节 感生电动势和感生电场
三
电子感应加速器
环形真空室
××××× ×××××
····· ·····
………………………
……………………… O R 电子轨道
F ………………………
B
····· ·····
EK
××××× ×××××
B ………………………
v
L
L
L
6
第三节 感生电动势和感生电场
B B dS dS t t S S 当r R 时 B 2 E 2 r r t 1 B E r 2 t
B E 2 r R 2 t R 2 B E 2r t
——电磁感应定律的普遍形式
例 半径为 R 的圆柱形空间分布着均匀磁场， 其横截面如图所示．当磁感应强度 B 随时间以 恒定速率 dB dt 变化，试求感生电场的分布． B dS 解 E dl t R L S r o r E dl E 2 r
4
第三节 感生电动势和感生电场
感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场 dΦ L Ek dl dt 0 由变化的磁场产生
7. 3 感生电动势和感生电场 7. 4自感应 互感应 7. 5 磁场的能量
I
i I
LI
(7-18)
L自感(自感系数)。由回路形状、匝数 、磁介质决定，与 I 无关。 单位：亨利（H、mH、H）
一．自感和自感电动势 1．自感 L
LI
(7-18)
2．自感电动势 （感生电动势特例1） dI d L L (7-19) d t dt 自感电动势等于回路自感L与电流的时间变化率之积的负值。 说明：1）“﹣”表示自感电动势总是反抗电流的变化 2) L 为“电磁惯性”的量度。 L L L，I 变化慢
N1 Φ21 0 I1 r12 l
B1
I1
B2
I2
磁链
N1 N 2 I1 r12 Ψ21 N 2Φ21 0 M M 21 II 11 l
互感
反之，设N2通电 I2 ，
N2 2 Φ I r 穿过N1每匝线圈的磁通量 12 0 2 1 l N1 N 2 Ψ12 N 1Φ12 0 I 2 r12 M 磁链 M 12 II 22 l 理论和实验证明：M12=M21 =M
t
dI L IR dt dI I LI I 2R dt
I
①
R t I e L
1
电源作功 磁场能量
电源反抗自感 电动势作的功
I 0
消耗在电阻 上的焦耳热
W I Rdt
2
R
Wm
断开时
dI 1 2 LI d t LI (7-30) dt 2
( )2 R
Ψ21 MI 1 Ψ12 MI 2
的互感为0？即： 21=12=……=0
例1. 一密绕的螺绕环,单位长度的匝数为 n=2000m–1 ,环的截面积 为S=10cm2，另一个N=10匝的小线圈套绕在环上。求： (1) 两个线圈间的互感；
物理 电磁学 第33讲 感生电动势及感生电场
器中磁场和感生电场的变化情况
只有在第 1 个 1/4 四分之一周期内 ，电子才受到感生电场的加速， 并且洛仑兹力的方向指向圆心。
在第1个1/4周期内，电子已在圆 形轨道上经历了回旋数十万圈的 持续加速，从而获得了足够高的 能量，并在第1个1/4周期结束时 被引出加速器至靶室。
1940 年，第 1 台电子感 应加速器将电子加速到 2.3MeV； 1942年，20MeV电子感 应加速器； 1945 年 ， 100MeV 电 子 感应加速器，能使电子 速度加速到0.999986c 应用：核物理、工业探 伤及医学等领域
A 6 MeV betatron (1942)
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
感应电场为非保守场、无源场、涡旋场
感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的， 源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。 感生电场环路定理的实质是变化的磁场产生电 场。
实际电场的环路定理和高斯定理 实际电场 E E静电 E感生 环路定理：
作正园柱面， E感生 dS 0
S
Er 0
Ez 0
R ˆ
ˆ z
作矩形回路， E感生 dl
L S
B dS t
ˆ E感生 E
r
取以轴上一点为园心，做半径为 r 的圆周环路 L，
2
L
B E感生 dl dS t S
B(t )
实际电场感生静电随时间变化的磁场激发非保守场涡旋场无电势概念无散场感生电场线是无头无尾的闭合曲线由静止电荷激发保守场有电势概念有源场发散场静电场线起自正电荷止于负电荷静电场感生电场空间均匀的磁场被限制在圆柱体内磁感强度方向平行柱轴如长直螺线管内部的场磁场随时间变化则感生电场具有柱对称分布
只有在第 1 个 1/4 四分之一周期内 ，电子才受到感生电场的加速， 并且洛仑兹力的方向指向圆心。
在第1个1/4周期内，电子已在圆 形轨道上经历了回旋数十万圈的 持续加速，从而获得了足够高的 能量，并在第1个1/4周期结束时 被引出加速器至靶室。
1940 年，第 1 台电子感 应加速器将电子加速到 2.3MeV； 1942年，20MeV电子感 应加速器； 1945 年 ， 100MeV 电 子 感应加速器，能使电子 速度加速到0.999986c 应用：核物理、工业探 伤及医学等领域
A 6 MeV betatron (1942)
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
感应电场为非保守场、无源场、涡旋场
感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的， 源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。 感生电场环路定理的实质是变化的磁场产生电 场。
实际电场的环路定理和高斯定理 实际电场 E E静电 E感生 环路定理：
作正园柱面， E感生 dS 0
S
Er 0
Ez 0
R ˆ
ˆ z
作矩形回路， E感生 dl
L S
B dS t
ˆ E感生 E
r
取以轴上一点为园心，做半径为 r 的圆周环路 L，
2
L
B E感生 dl dS t S
B(t )
实际电场感生静电随时间变化的磁场激发非保守场涡旋场无电势概念无散场感生电场线是无头无尾的闭合曲线由静止电荷激发保守场有电势概念有源场发散场静电场线起自正电荷止于负电荷静电场感生电场空间均匀的磁场被限制在圆柱体内磁感强度方向平行柱轴如长直螺线管内部的场磁场随时间变化则感生电场具有柱对称分布
13-3感生电动势和感生电场解析
——感生电场（涡旋电场）假设 变化的 激发 感生 作用 自由 引起 电荷 电场 磁场
麦克斯韦 (1831-1879)
感生电 动势
麦克斯韦假设(1861): 揭示了 电磁场的新效应。
13.3 感生电动势和感生电场
感生电场：
Ei
感生电场不是静电场，作用在电荷上的力 是一种非静电场力。
感生电场在闭合导体回路L中产生感生电动势
a
l
b
1 Φ BS B hl 2
dΦ 1 dB l l 2 dB 2 hl R ( ) dt 2 dt 2 2 dt
13.3 感生电动势和感生电场
oba
O
R Ei
ob
Ei dl Ei dl Ei dl
A.0
√
3 2 dB B. R 4 dt 3 2 dB C. R 4 dt 1 2 dB D . πR 6 dt
×××××
O××× ××××
××××××× ×××××××
R
M
×××××
R
N
13.3 感生电动势和感生电场
导体棒ab向上平移，ab上的感生 电动势如何变化？
O
R
ab ab
L
Ei dl
13.3 感生电动势和感生电场
B L Ei dl S t dS
变化的磁场产生感生电场
dB 0 dt
FK
麦克斯韦从物理内涵上阐述了 出现感应电动势的本质是产生 了感生电场
Ei
产生感生电动势的非静电力就是感生电场作用在电 荷上的力——感生电场力
13.3 感生电动势和感生电场
麦克斯韦 (1831-1879)
感生电 动势
麦克斯韦假设(1861): 揭示了 电磁场的新效应。
13.3 感生电动势和感生电场
感生电场：
Ei
感生电场不是静电场，作用在电荷上的力 是一种非静电场力。
感生电场在闭合导体回路L中产生感生电动势
a
l
b
1 Φ BS B hl 2
dΦ 1 dB l l 2 dB 2 hl R ( ) dt 2 dt 2 2 dt
13.3 感生电动势和感生电场
oba
O
R Ei
ob
Ei dl Ei dl Ei dl
A.0
√
3 2 dB B. R 4 dt 3 2 dB C. R 4 dt 1 2 dB D . πR 6 dt
×××××
O××× ××××
××××××× ×××××××
R
M
×××××
R
N
13.3 感生电动势和感生电场
导体棒ab向上平移，ab上的感生 电动势如何变化？
O
R
ab ab
L
Ei dl
13.3 感生电动势和感生电场
B L Ei dl S t dS
变化的磁场产生感生电场
dB 0 dt
FK
麦克斯韦从物理内涵上阐述了 出现感应电动势的本质是产生 了感生电场
Ei
产生感生电动势的非静电力就是感生电场作用在电 荷上的力——感生电场力
13.3 感生电动势和感生电场
感生电动势 感生电场
由 ao 0 ob 0
ba
SΔ
dB dt
在柱对称磁场外，如图
得
r
B(t)
o
b
a
r B (t )
O
阴影 部分
r B (t )
od
bc
a
8
a b ab
S扇形
dB dt
ab
(Sobc
S扇形ocd )
dB dt
第16章 电磁感应和电磁波
1、在涡旋场中，任意路径上的感应电动势与此路径 上有无导体无关，只要磁场变化就会有涡旋场，就有 感生电动势，只是有了导体后我们感知到了感生电动 势的存在。
2、涡旋场是非保守场，电力线是闭合曲线，即相同 起点和终点沿不同的路径积分结果不同。
3、涡旋场有广泛的应用，例如电子感应加速器、 “涡流”等应用。
磁场变化周围就会存在涡旋电场，磁 B
r
场对电荷的洛仑兹力使电荷控制在圆轨
道上运动，涡旋场对电荷施加电场力的 t
作用使其不断加速。
9
第16章 电磁感应和电磁波
dB dt
5
第16章 电磁感应和电磁波
讨论
E感生
r 2
dB dt
E感生
R2 2r
dB dt
若
dB 0 dt
则
i 0
电动势方向如图
若 dB 0 则 dt
电动势方向如图
i 0
L
r B
R
L r
r
——电子感应加速器的 基本原理。
1947年，世界第一台， 能量为70MeV。
6
第16章 电磁感应和电磁波
“势”的概念。 感生电场的通量
rr
ÑS E感生 dS 0
6.4 感生电动势和感生电场
变化的磁场 B 适用。 （2）由法拉第电磁感应定律计算 d 闭合回路： 感
dt
E 感 d l 0 就最好。
非闭合回路： 做辅助线，如果对辅助线有
三
螺线管磁场变化引起的感生电场
P236
P236 例1：无限长螺线管的电流随时间作线性变
dB 化，其内部的 B 也随时间作线性变化，已知 的
C E感（径向）
C
B
D
C
A
D
管外无限远处:
E感 0
D A
D
C
E 感 dl 0
C B
E感径向 dl
E感径向 dl
ABCDA
E感 dl
B
A
C
B
D
A
B
A
E 感轴向 d l 0
故 E 感 的轴向分量为零。
数值，求无限长螺线管内外空间 E 感 分布。（默认 E 感 在趋于无限远时趋于零）
dt
解：无限长螺线管内外空间的磁场 管内磁场均匀，方向平行于轴线，大小为
B内 0 n I 管外： B 0
磁场的附近空间产生 E 感。
螺线管中的电流变化，磁场也随之变化，必在
当I作线性变化时，
E感
r dB 2 dt
2 dt E 感 方 向 ： 与 B的 变 化 相 反
E感 大 小 ：
r dB
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L同 向 ； dt
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L 反 向 。 dt n (B) 即计算结果 E 感 0 ε感 时， E 感 与 L 同向，
5、感生电动势和动生电动势解析
(2)测量; (3)读数.
留意: (1)将电压表并联在待测电路两端.
(2)量程应大于小灯泡两端电压的估量值. (3)红表笔接高电势,黑表笔接低电势.
(4)读数时先看量程再看小格,要正视表针.
(二)使用
2.测量电流 怎样用多用电表测量通过 小灯泡的电流?测量中应 步留骤意:什((12么))选测?档量;;
a
解析：以a表示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆 与初始位置的距离L＝at2/2，此时杆的速度v＝at 这时，杆与导轨构成的回路的面积S=Ll 回路中的感应电动势E＝SΔB/Δt＋Blv
B k t B B (t t) B tk
t t
回路的总电阻 R＝2Lr0 回路中的感应电流 I=E/R
F 3k 2l 2 t
作用于杆的安培力F＝BIl 代入数据为F＝1.44×10-3N
2r0
学 问 回
1.如何把电流表改装成电压表?
Ig
Rg
分压电阻 R
IR R
分流电阻
忆
Ug
UR
I
Ig Rg
U
Ug
Ig
V
I
A
U
Ug
2.如何把电流表改装成量程较大的电流表?
能否把电流表改装成直接测量电阻的
欧姆表?
例 题
r，其余局部电阻不计．开头磁感强度为B0．
〔1〕假设从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为
k，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感
应电流的方向；
〔2〕在上述〔1〕状况中，始终保持棒静止，当t=t1末时
需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ 〔3〕假设t=0时刻起，磁感强度渐
e
a
f
渐减小，当棒以恒定速度v向右做
留意: (1)将电压表并联在待测电路两端.
(2)量程应大于小灯泡两端电压的估量值. (3)红表笔接高电势,黑表笔接低电势.
(4)读数时先看量程再看小格,要正视表针.
(二)使用
2.测量电流 怎样用多用电表测量通过 小灯泡的电流?测量中应 步留骤意:什((12么))选测?档量;;
a
解析：以a表示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆 与初始位置的距离L＝at2/2，此时杆的速度v＝at 这时，杆与导轨构成的回路的面积S=Ll 回路中的感应电动势E＝SΔB/Δt＋Blv
B k t B B (t t) B tk
t t
回路的总电阻 R＝2Lr0 回路中的感应电流 I=E/R
F 3k 2l 2 t
作用于杆的安培力F＝BIl 代入数据为F＝1.44×10-3N
2r0
学 问 回
1.如何把电流表改装成电压表?
Ig
Rg
分压电阻 R
IR R
分流电阻
忆
Ug
UR
I
Ig Rg
U
Ug
Ig
V
I
A
U
Ug
2.如何把电流表改装成量程较大的电流表?
能否把电流表改装成直接测量电阻的
欧姆表?
例 题
r，其余局部电阻不计．开头磁感强度为B0．
〔1〕假设从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为
k，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感
应电流的方向；
〔2〕在上述〔1〕状况中，始终保持棒静止，当t=t1末时
需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ 〔3〕假设t=0时刻起，磁感强度渐
e
a
f
渐减小，当棒以恒定速度v向右做
电磁感应2
µI 给电缆通以电流I 解：给电缆通以电流I B = 2π r
dΦ = BdS = Bldr
R2
µI µ Il R2 ldr = ln Φ= ∫ R1 2π r 2π R1
I
r dr
l
dΦ µ l R2 L= = ln dI 2π R1
二、互感
一个载流回路中电流的变化引起邻近另一回 路中产生感生电动势的现象称为“互感现象” 路中产生感生电动势的现象称为“互感现象”， 互感电动势” 所产生的电动势称为 “互感电动势”。
dt
. × × × × × × × ×d ×
× ×
× × × × ×R ×
求长直导线感应电动势的大小和方向 解：方法一 利用法拉第电磁感应定律
εi
2
εi = −
BπR 作回路l如图所示 作回路 如图所示 Φ = BS = 2 dΦ 1 2
= − kπR dt 2
方向与l 方向与 方向相反
方法二、 方法二、
Φ = BS = Bπ r v v dΦ εi = − = ∫ Ek ⋅ dl L dt
选l如图所示
× × ×
v × Ek
× × × ×
× ×
v Ek
× r × p×
v × l
( )
×
B
v × Ek ×
（ b）
r > R时
v Ek
× × × × × × × × × × × × × × ×
v Ek
×
假想回路OBA,方向如图所示 方向如图所示 假想回路
εiOBA = εiOB + εiBA + εiAO
εi = ∫
L 0
×
v × Ek
× × ×
普通物理学课件：感生电动势和感生电场
方向如图。磁场的变化率 B t 0
求： 圆柱内、外的 E涡 分布。
B
解： r R
B
l E涡 • dl S t • dS
t
B r
l E涡dl cos 00
S
B t
dS cos1800
R
E涡 2r
dB dt
r2
E涡
r 2
dB dt
方向： 逆时针方向
rR
B
L S
B
? L E涡 •dl S t •dS 故在圆L柱上 体B外，t 由0于B=0 L E涡 • dl 0 于是 L上 E感 0
E涡
rR rR
O
R
r
例2 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内， 已知：h、L、B t 0 方向如图.
求： CD
o
B t
Bh
C D
L
解: i E涡 • dl
L
r dB
E涡
2
dt
d E涡 • dl
r dB dl cos
2 dt
B
t
o
B h
r
E涡
h dB dl
C
D
l dl
2
S扇OC 2 D
dB dt
C
1 2
3
1
D
3 2
2
二 感生电场
1、感生电场的环路定理
由电动势的定义 i E涡 • dl
L
S
S
L
由法拉第电磁感应定律 i
L
涡
•
dl
d d (
dt
S
B t
dt
• dS
d
dt
• dS
S
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解：方向
无限长直载流螺线管有：
E感 z ( r ) 0 。 故应有： E感是极矢量，
2018/9/17
该电流系统对垂直轴线的反射面反演不变，
E感 ( r ) E感 ( r )e E感 e
综上述，应有：
令
12
z
dB/dt大于零
E dl Edl＝2rE
z
n
I
0
R k e er r
S
E E
E
E
图a
2018/9/17
11
由 S E感 d s 0 ，有 E感 r ( r ) 0 。
0 nI k，r R B rR 0 ， 由无限长和轴对称条件，应有 E 感 E 感 ( r ) 。
E
1 dB E r 2 dt
（2）当r>R，
E
2
R dB E 2r dt
O
R
2018/9/17
E的方向沿圆周切线，指向与圆周 内的dB/dt成左旋关系。
电子感应加速器 15
2018/9/17
16
§6－4涡电流
大块金属处于变化磁场中 或在磁场中运动时，其中 产生的感应电流呈涡旋 状——涡电流 大块金属电阻小，涡电流 大，释放大量热量
内
g
作用力
18/9/17 9
一般：
E合 E静 E感 （空间存在带电体和变化磁场 ） dB E合 dl ds （非保守力场，涡旋场 dt l s E合 ds
s
q
0
内
（有源场）
2018/9/17
10
四. 感应电场的计算举例 已知：在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作 线性变化（dB/dt=常量）时，求管内外的感生电场E
2018/9/17 5
在自然界中存在着两种以不同方式激发的电场， 所激发电场的性质也截然不同。
1. 静电荷激发电场
E dS
s
E dl 0
l
内
g
0
（有源场、发散场）
由静止电荷所激发的电场是保守力场（无旋场）， 在该场中电场强度沿任一闭合回路的线积分恒等 于零。电力线是非闭合的。
2018/9/17 6
三、 问题讨论与解答 1：感生电场与磁场的关系.
d m B E感 d l ds l s dt t B l E感 dl s t ds
变化的磁场和它所激发的感生电场，在方向上 足反右手螺旋关系----左手螺旋关系。
L L
n
I 0
R
k r < R： e B B 2 dB er d S dS r t t dt r S S
1 dB E的方向沿圆周切线，指 E r 2 dt 向与圆周内的dB/dt成左
旋关系。
B dS t S
L E感
r > R：
0
2018/9/17
R
r
1 B E dS 2r S t 1 B 1 2 dB ds R 2r t S 2r dt 13
2018/9/17
14
分析：E感 ( r ) E感 ( r )e
令
E感 e
E E
（1）当r<R，
dB/dt大于零 E
2018/9/17 3
Maxwell假设：E感 线闭合，即：
E感 d s 0
s
这已被实验证实。 B B线( B ) l E感 dl s t ds E感 线与 B 线是相互套联的
E感 线
2018/9/17
曲面S的法线方与曲线L积分方向满 足右手螺旋关系
4
d dB 感应 E感 dl ds dt l dt s E感 dS 0 （无源场）
s
它揭示了电场和磁场是相互联系的。变化磁场激发的感 生电场沿任一闭合回路的线积分一般不等于零。 说明：1）有旋电场是变化的磁场激发的；2）感生电 场不是保守力场，其电场线既无起点也无终点，永远 是闭合的，象旋涡一样。因此，通常把感生电场称为 有旋电场。3）:感生电场同样对电荷有力的作用。产 生感生电动势的 非静电场Ek 正是感生电场 。
2018/9/17
（eddy current）
电磁冶炼：
§10.3 感生电动势和感生电场
一 . 感生电动势 （Induced emf）
(t)
S
ds
B ( t ) 如图，L不动， B变 感
dΦ d 感 Bd s dt dt S B （不动） L d s S t
1
符号规定：
2018/9/17
1. 感生电 动势
2018/9/17 2
麦克斯韦（Maxwell）提出：变化的磁场可以 激发非静电性质的电场 — 感生电场 E感 。
B 感 E感 d l d s t L s
感生电场是非保守场 — 有旋电场（curl electric field）， 它不存在相应的“势”的概念。 研究一个矢量场，必须搞清它的环量和通量。 E感 的通量如何呢？
2018/9/17 7
2：感生电场与静电场的比较。
2018/9/17
8
静电场
感生电场
场源
正负电荷
变化的磁场
场 的 性 质
E 静 dS
s
E 感 dS 0 0 有旋电场 s （无源场） （有源场、发散场） B l E感 dl s t ds E dl 0 l 保守场 非保守场
的正向与L的绕向成右螺旋关系，
由此定出 d s 法线的正向。
1. 当导体回路S不变，而仅仅磁场B变化时，回路中 磁通量变化导致感应电动势的产生。
2. 思考：由什么提供此非静电力？
1. 二 . 感生电场 （induced electric field） 1. 实验表明， 感与导体回路的材料无关。 感生 E感生 dl