倒易点阵与晶体衍射
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
倒易点阵与晶体衍射
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。
图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。
图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。
可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。
电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点：1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行晶体结构分析，弄清微区的物象组成；2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分析晶体结构和位向关系带来很大方便；3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。
下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。
电子衍射原理已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成：( )这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。
可以想象，AO'为入射电子束方向，它照射到位于O点处的晶体上，一部分透射出去，一部分使晶面间距为d的晶面发生衍射，在OG方向产生衍射束。
由于该表示方法首先由爱瓦尔德（Ewald）提出，故亦称为爱瓦尔德球。
图 2-16 爱瓦尔德球图解如果我们要想判断一个特定的晶面能否产生衍射，或者衍射的方向如何，可以假想将这个晶面放在球心O处，沿其法线方向从Ｏ＇点出发，射出一长度为１／ｄ的射线，其与球面相交处若能满足布拉格关系（入射角等于反射角），则说明其衍射成立，反之，说明不满足衍射条件。
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
第四章--倒易点阵及晶体衍射方向
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。
由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。
式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。
这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。
式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。
（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
倒易点阵
材料现代研究方法X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱2倒易点阵1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；倒易点阵Questions: 1. 什么是倒易点阵？天下本无事，庸人自扰之？ ☺ 非常有用!2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。
晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！5倒易点阵晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。
61.倒易点阵的定义倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。
每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。
晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。
倒易空间中 的结点称为倒易点。
71.倒易点阵的定义简单点阵001 101简单点阵的倒易点阵011 111010 100 110点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面1.倒易点阵的定义1）倒易矢量倒易矢量的定义 从倒易点阵原点向任一倒易阵点 所连接的矢量叫倒易矢量，表示 为： r* = ha* + kb* + lc*2）倒易矢量的两个基本性质1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。
2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。
倒易阵点用它所代表的晶面的面指数(干涉指数)标定。
91.倒易点阵的定义晶面族所对应的倒易点a/2 上图画出了(100)、(200)晶面 (100) 族所对应的倒易阵点，因为 (200)的晶面间距d200 是d100 的一 半，所以(200)晶面的倒易矢量 长度为(100)的倒易矢量长度的 000 C* 二倍。
倒易点阵介绍重点
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了 X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
A
S 0 /
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S /
的晶面不
1/
2 C S 0 /
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
( S S0 )
ha k b l c g hkl
* * *
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均 可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 g
hkl
1
m
θ
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群 对称要素 晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号 形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面， ，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体 产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。 因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍 射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。
2.4倒易点阵、晶带
这样的点阵就称为倒易点阵。
❖ 倒易点阵是描述晶体结构的一种数学抽象方法，倒易点阵本 身是一种几何构图，它和空间点阵具有倒易关系。一个实在 的晶体点阵经过一定转化导出一套抽象点阵，这个抽象点阵 的每一个阵点和实在点阵中的一个点阵平面有相对应的倒易 关系。
❖ 倒易点阵的衍射理论是一般的衍射理论，它是了解射线在晶 体中的衍射几何和解释晶体射线衍射图谱的强有力工具，因 此学习倒易点阵可为以后的有关课程作基础准备，而在本章 中倒易点阵使晶面取向、晶带、晶面间距等问题更容易描述。
晶面间距愈大，该晶面上的 原子排列愈密集；晶面间距 最大的面总是阵点(或原子) 最密排的晶面。 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。 正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现 为各向异性。
晶面间距公式的推导：从
Z
C
原点作(h k l)晶面的法线，
γ
N
则法线被最近的(h k l)面所
h : k : l cos : cos : cos
如图：ON为晶面（hkl）的法线，ON与该晶面交于D点；OA、OB、OC
分别为（hkl）在X、Y、Z轴上的截距；ON与X、Y、Z轴之间的夹角分
别为α、β、γ；cosα、cosβ、cosγ就是法线ON的方向余弦。立方点阵中
晶胞的三个基矢相等，设其为a，则根据晶面指数的确定方法可知：
同一晶带轴中的所有晶面的共同特点是：所有晶面 的法线都与晶带轴垂直 。
根据倒易点阵的性质，晶面（h k l）的法线方向
平行于倒易矢量 ha kb lc
ua vb wc• ha kb lc 0
上式展开就是晶体学中十分重要的晶带方程
hu + kv + lw = 0
倒易点阵及X射线衍射几何条件
晶向指数具有如下规律：
由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同，
因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组晶
向称为晶向族，用<uvw>表示。
例如： 立方晶系中 [111] ， [-111] ， [1-11] ， [11-1] ， [-1-11] ，
[1-1-1] ， [-11-1] ， [-1-1-1] 八个晶向是立方体中四个体对角
Your text in here
h = v1w2 - v2w1 k = w1u2 - w2u1 l = u1v2 - u2v1
7. 晶面间距的计算
晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离。
斜方(正交)晶系
正方晶系
立方晶系
1 4 2 (h hk k 2 ) / a 2 l 2 / c 2 3
下列关系：
Your text in here
hu+kv+lw=0，
通常把这个关系式称为晶带定律。
Your text in here
注意，晶面指数与其法线的晶向指数实际上 是一样的。
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理
有非常广泛的应用。
（1）可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂 直； （2）可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行 于该晶面）； （4）若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，则 可用晶带定律求出晶带轴；
第二、三节
倒易点阵及X射线 衍射几何条件
X射线晶体衍射学的发展历程
1895年伦琴发现 X射线后，认为是一种波，但无 法证明。 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有得到 证明。 1912年劳埃和他学生厄瓦尔德产生了用晶体作为 光栅的想法。 同年，劳埃将 X 射线用于 CuSO4 晶体衍射同时证 明了这两个问题，从此诞生了X射线晶体衍射学。 布拉格父子首先利用X射线衍射测定了 NaCl晶体 的结构，提出更简洁的Bragg方程。
x衍射晶体学基础(倒易点阵)
倒易点阵的思路：
倒易点阵
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义
Gh1h2h3 (h1h2h3 )
G 1 d h1h2h3
h1h2h3
第一步：
第二步：
第一步成立，OM垂直于ABC面，
c n
n
OM方向上的单位矢量为
C
b
OM dh1h2h3
正、倒点阵中的面线关系
几何要素
正点阵
倒点阵
关系
晶面
晶面（hkl） 倒易矢量g[hkl] * （hkl）⊥g[hkl] *
晶带轴 晶向矢量r[uvw] 倒易面(uvw)* r[uvw]⊥ (uvw)*
面线关系 r[uvw]∥（hkl） g[hkl] * ∥ (uvw)*
平行
2020/3/4
00
1 2
0
1 2
0
1 2
00
（b）为氯化钠的空间点 阵，属面心立方 点阵。每个阵点 对应1个氯离子 和1个钠离子
Na+
Cl－
(a)
2020/3/4
(b)
5
Cl－ Na+
Cl _ Cs+
Cl _ Cs+
6
2020/3/4
+
基元
＝
空间点阵
晶体结构
7
2020/3/4
空间点阵和晶胞
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几 何学抽象，用以描述和分析晶体 结构的周期性和对称性，由于各 阵点的周围环境相同，它只能有 14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原 子、离子或分子）的具体排列情况， 它们能组成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无限的。
二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容
二维晶体的衍射及其倒易点阵的物理内容
二维晶体的衍射是指晶体中的波在结构的空间限制下的散射现象。
它是晶体中电磁波的一种特殊形式，可以用来描述物体在不同方向上的折射、反射和衍射现象。
倒易点阵是指在晶体表面上形成的一种特殊的点阵，它由二维晶体衍射出来的小点组成，这些小点按照一定的规律排列，形成一个点阵。
在倒易点阵中，每个点都是由衍射出来的波，这些波在晶体表面上形成一个小的空间，也就是倒易点阵。
在这种空间中，波的传播方向受到晶体结构的影响，从而形成了一个倒易点阵。
第二章-晶体衍射和倒格子
G n(r)
即可用 G 展成傅氏
级数，用数学式子来表示就是：
n(r)
neiGr
G
G
22
证：
若
n(r)
n(G)eiGr
G
则
n (rR )
n G eiG reiG R
G
G R(hAkBlC )(uavbw c)
∴ 2(h uk vlw )2整数
必有
故
eiGR 1
n (r ) n (r R )
电子衍射 总能在微区细节上显神通，但晶胞参数等定量结果不能作为标准，而 且电子衍射的制样困难，好的制样技术甚至比电镜操作本身更难以掌 握 。物质对电子的散射作用很强[主要来源于原子核对电子的散射作 用，远强于物质对X射线的散射作用]，因而电子(束)穿透物质的能力 大大减弱，故电子衍射只适于材料表层或薄膜样品的结构分析
（ h、k、l 为整数），具有以上形式的矢量称 为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同 晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢 量所联系的诸点的列阵。
21
期可函以数证n明(r )由n 此(r 定R 义)傅的氏倒级易数点中阵的矢波量矢正，是即前G面 由周
n(r)
neiG r
G
若
R u a v b w c ，则
h 、k 、l ，
只需证明
GCA
GCB
则 G 肯定垂直于（ hkl）平面。
32
∵
CA
= OA
-
OC
=
ac hl
而
CB = OB
-OC
= ah
c l
G h A k B lC
∴
GCA
=
(h A k B lC )(a c ) 2 2 0 hl
倒易点阵与衍射
4埃
0.25埃-1
(010)
b
(110) (210)
020
120 110
220
(100) 010
210
b*
H110
H210
c
a
000
c* a*
100
200
图3. a=4埃 的立方晶体及其倒易点阵
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的应用举例 1、单胞体积 c* 单胞体积等于底面积乘高。 底面积为 a b sin γ=a×b 高是（001）面的面间 距，为 c cosδ 故体积： O V= a b sin γ c cosδ
=（a×b）· c =（b×c）· a =（c×a）· b
磁学与磁性材料
b*
δ
c b γ (001) a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的应用举例
2、晶面间距 Hhkl=1/dhkl，两边平方得： H2=1/d2=H · H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）= =h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* · b*)+2kl(b* ·c*)+2kl(b* ·c*) 对立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* · b*)=(b* ·c*)=(b* ·c*)=0 代入上式得： 1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2 故: d= a / √ h2+k2+l2 对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。
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利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。
图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。
图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样
按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。
可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。
电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点：
1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行
晶体结构分析，弄清微区的物象组成；
2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分
析晶体结构和位向关系带来很大方便；
3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。
下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。
电子衍射原理
已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成：
( )
这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。
可以想象，AO'
为入射电子束方向，它照射到位于O点处的晶体上，一部分透射出去，一部分使晶面间距为d的晶面发生衍射，在OG方向产生衍射束。
由于该表示方法首先由爱瓦尔德（Ewald）提出，故亦称为爱瓦尔德球。
图 2-16 爱瓦尔德球图解
如果我们要想判断一个特定的晶面能否产生衍射，或者衍射的方向如何，可以假想将这个晶面放在球心O处，沿其法线方向从Ｏ＇点出发，射出一长度为１／ｄ的射线，其与球面相交处若能满足布拉格关系（入射角等于反射角），则说明其衍射成立，反之，说明不满足衍射条件。
显然这种比较太不方便。
如果能构造一种特殊的晶体点阵，它的每一节点都能代表一定晶面间距和晶面法向，则只要将这样的特殊点阵原点放在爱瓦尔德球的Ｏ＇点，并根据节点是否恰好位于球面上就能判断衍射是否发生和衍射线的方向，从而大大简化了衍射分析过程。
这种特殊的晶体点阵有两个基本性质：点阵矢量的大小等于正常晶面的面间距的倒数，点阵矢量的方向，就是正常晶面的法向。
我们将这个特殊的点阵命名为倒易点阵。
上述规则称为倒易变换。
显然任何正空间的点阵都能变为倒易点阵，或者说任何一个倒易点阵都有相应的正点阵存在（只要有耐心进行变换即可），因而以后我们就直接用倒易点阵进行分析。
将爱瓦尔德球于倒易点阵结合起来，就使衍射结果形象化了(图２－１６)。
图2-17 单晶体电子衍射花样形成示意图
当一电子束照射在单晶体薄膜上时，透射束穿过薄膜到达感光相纸上形成中间亮斑；衍射束则偏离透射束形成有规则的衍射斑点（图2-15a）。
这样就解释了单晶体电子衍射谱图的形成原因。
对于多晶体而言，由于晶粒数目极大且晶面位向在空间任意分布，多晶体的倒易点阵将变成倒易球。
倒易球与爱瓦尔德球相交后在相纸上的投影将成为一个个同心圆（图2-15b）。
显然，电子衍射结果实际上是得到了被测晶体的倒易点阵花样，对它们进行倒易反变换从理论上讲就可知道其正点阵的情况――电子衍射花样的标定。
选区电子衍射原理
在下图所示中，在中间镜上方放一孔径可变的选区光阑，套住想要分析的微区，而把不感兴趣的区域挡掉。
这时可以得到选区成像（图17ａ）；维持样品位置和孔径光阑不变，而减弱中间镜电流转变为衍射方式操作，则此时将得到选区衍射结果（图17ｂ）。
换言之，经过上述两步操作，我们得到了所需的选区图像及其微区电子衍射。
经过对电子衍射花样的标定就可知道选区图像的物质结构――将形貌信息与结构信息关联起来了。
图2-17 选区衍射成像。